PENYELESAIAN PERMAINAN SUDOKU,...

PENYELESAIAN PERMAINAN SUDOKU, CHALLENGER

PUZZLE, DAN N-QUEENS PROBLEM MENGGUNAKAN

INTEGER PROGRAMMING

ALI VIKRI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Permainan

Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens Problem menggunakan Integer

Programming adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing

dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.

Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun

tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan

dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Februari 2014

Ali Vikri

NIM G54080032

ABSTRAK

ALI VIKRI. Penyelesaian Permainan Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens

Problem menggunakan Integer Programming. Dibimbing oleh FARIDA

HANUM dan MUHAMMAD ILYAS.

Banyak orang menganggap matematika itu sulit sehingga mereka tidak

tertarik untuk mempelajarinya. Menyajikan matematika dalam bentuk teka-teki

merupakan salah satu cara untuk menarik orang mempelajari matematika secara

tidak langsung. Teka-teki akan mengundang rasa ingin tahu seseorang untuk

memecahkan masalah. Ketika seseorang dapat menyelesaikan teka-teki, maka

secara tidak langsung dia sebenarnya telah mempelajari matematika. Dalam karya

ilmiah ini akan diformulasikan beberapa masalah teka-teki matematika yaitu

Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens Problem menggunakan integer

programming dan diselesaikan menggunakan LINGO 11.0

Kata kunci: Challenger Puzzle, Integer Programming, N-Queens Problem,

Sudoku

ABSTRACT

ALI VIKRI. Completion Sudoku Games, Puzzles Challenger, and the N-Queens

Problem using Integer Programming. Supervised by FARIDA HANUM and

MUHAMMAD ILYAS.

Many people think that mathematics is complicated so they are not

interested to learn it. Presenting mathematics in the form of a puzzle is one way to

attract people to study mathematics. The puzzle will attract curiosity of someone

to solve problems. When someone can solve the puzzle, then it implies that he in

fact has studied mathematics. In this paper, some mathematical puzzles are

formulated, such as Sudoku, Puzzle Challenger, and the N-Queens Problem using

integer programming and are solved by using LINGO 11.0

Keywords: Challenger Puzzle, Integer Programming, N-Queens Problem, Sudoku

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENYELESAIAN PERMAINAN SUDOKU, CHALLENGER

PUZZLE, DAN N-QUEENS PROBLEM MENGGUNAKAN

INTEGER PROGRAMMING

ALI VIKRI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2014

Judul Skripsi : Penyelesaian Permainan Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens

Problem Menggunakan Integer Programming

Nama : Ali Vikri

NIM : G54080032

Disetujui oleh

Dra Farida Hanum, MSi

Pembimbing I

Muhammad Ilyas, MSi MSc

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas

segala karunia-Nya sehingga penelitian dengan judul Penyelesaian permainan

Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens Problem menggunakan Integer

Programming dapat diselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dra Farida Hanum, M.Si dan

Bapak Muhammad Ilyas, MSi MSc selaku pembimbing, serta Bapak Dr Ir I Gusti

Putu Purnaba, DEA yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih

juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan

kasih sayangnya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Februari 2014

Ali Vikri

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 1

TINJAUAN PUSTAKA 1

DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH 2

Deskripsi Masalah 2

Formulasi Masalah 4

HASIL DAN PEMBAHASAN 17

Sudoku 17

Challenger Puzzle 20

N-Queens Problem 21

SIMPULAN 23

DAFTAR PUSTAKA 23

LAMPIRAN 24

RIWAYAT HIDUP 51

DAFTAR GAMBAR

Contoh Sudoku yang belum diselesaikan ........................................................... 2 Contoh grid pada Sudoku ................................................................................... 3 Contoh Challenger Puzzle yang belum diselesaikan .......................................... 3 Contoh N-Queens Problem yang belum diselesaikan ......................................... 4 Contoh Sudoku Tipe 1 ........................................................................................ 5 Contoh Sudoku Tipe 2 ........................................................................................ 6 Contoh Sudoku Tipe 3 ........................................................................................ 7 Contoh Sudoku Tipe 4 ........................................................................................ 8 Contoh Sudoku Tipe 5 ........................................................................................ 9 Contoh Sudoku Tipe 6 ...................................................................................... 10 Contoh Sudoku Tipe 7 ...................................................................................... 11

Contoh Challenger Puzzle Tipe A .................................................................... 12 Contoh Challenger Puzzle Tipe B .................................................................... 13 Contoh Challenger Puzzle Tipe C .................................................................... 13 Contoh Challenger Puzzle Tipe D .................................................................... 14 Posisi untuk penjumlahan sel miring pada N-Queens Problem ........................ 16 Sudoku Tipe 1 ................................................................................................... 17 Sudoku Tipe 2 ................................................................................................... 17 Sudoku Tipe 3 ................................................................................................... 18 Sudoku Tipe 4 ................................................................................................... 18 Sudoku Tipe 5 ................................................................................................... 19 Sudoku Tipe 6 ................................................................................................... 19 Sudoku Tipe 7 ................................................................................................... 20 Challenger Puzzle Tipe A ................................................................................. 20 Challenger Puzzle Tipe B ................................................................................. 21

Challenger Puzzle Tipe C ................................................................................. 21 Challenger Puzzle Tipe D ................................................................................. 21 N-Queens Problem Tipe I ................................................................................. 22 N-Queens Problem Tipe II ................................................................................ 22 N-Queens Problem Tipe III .............................................................................. 23

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Banyak orang menganggap matematika itu sulit sehingga tidak tertarik

untuk mempelajarinya. Padahal matematika sama saja dengan pelajaran lainnya

jika berminat mempelajarinya. Menyajikan matematika dalam bentuk teka-teki

merupakan salah satu jalan untuk menarik orang mempelajari matematika secara

tidak langsung. Karena dengan teka-teki ini akan mengundang rasa ingin tahu

seseorang untuk memecahkan masalah. Ketika seseorang dapat menyelesaikan

teka-teki, maka secara tidak langsng dia sebenarnya telah mempelajari

matematika.

Riset Operasi dapat digunakan untuk memecahkan masalah pengambilan

keputusan dalam dunia nyata. Dengan menguraikan ke dalam tiga unsur berikut,

yang pertama mengidentifikasi alternatif misalnya variabel keputusan, yang

kedua mengidentifikasi kendala dari masalah, dan yang ketiga mengidentifikasi

kriteria objektif. Teknik yang banyak digunakan dalam Riset Operasi ialah

Pemrograman Linear. Model Integer Programming adalah kasus khusus dari

model Pemrograman Linear di mana variabel keputusan dibatasi menjadi nilai

integer.

Dalam dunia nyata, salah satu penerapan integer programming ialah

penyelesaian teka-teki matematika seperti Sudoku, Challenger Puzzle dan N-

Queens Problem. Dalam karya ilmiah ini, masalah penyelesaian teka-teki Sudoku

dan Challenger Puzzle dimodifikasi dari artikel yang berjudul Teaching Integer

Programming via Sudoku and Other Math Puzzles yang ditulis oleh Daryl L.

Santos tahun 2007, sedangkan N-Queens Problem diformulasikan sendiri.

Tujuan Penelitian

Tujuan dari karya ilmiah ini ialah memformulasikan beberapa masalah teka-

teki matematika yaitu Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens Problem

menggunakan integer programming dan menyelesaikannya menggunakan LINGO

11.0.

TINJAUAN PUSTAKA

Pada abad ke-18, seorang ahli matematika asal Swiss, Leonhard Euler,

mengembangkan konsep “Latin squares”. Dalam konsep ini, angka atau simbol

dalam kotak hanya akan muncul satu kali di setiap baris atau kolom. Jadi, dalam

setiap baris atau kolom tidak ada angka atau simbol yang sama. Kemudian, di

Amerika Serikat terdapat permainan teka-teki angka yang dinamakan “Number

Place”. Saat itu, permainan ini dimuat di sebuah majalah terbitan Amerika

Serikat, Dell Magaziness, di akhir tahun 1970-an. Teka-teki angka yang dimuat

ini merupakan pengembangan dari teka-teki yang dibuat oleh Howard Garnes.

Pada pertengahan tahun 1980-an, teka-teki angka ini mulai diperkenalkan di

Jepang oleh Maki Kaji. Ia adalah pemilik dari Nikoli, Inc, sebuah perusahaan

2

penerbitan di Jepang. Perusahaan tersebut menerbitkan permainan teka-teki angka

di sebuah media cetak khusus teka-teki, Monthly Nikolist. Alhasil, teka-teki ini

menjadi terkenal di Jepang. Masyarakat Jepang menamakannya dengan “Suji wa

dokushin ni kagiru” yang kemudian disingkat menjadi Sudoku. Dalam bahasa

Jepang, sudoku diambil dari kata ”su” yang artinya angka dan “doku” berarti

sendiri. Artinya, dalam permainan ini, hanya boleh ada satu angka dalam satu

baris dan kolom (Asal Usul Puzzle Sudoku 2013). Teka-teki angka lainnya yang

juga dibahas dalam karya ilmiah ini, adalah Challenger Puzzle yang dimodifikasi

dari (Santos 2007).

Pada tahun 1848, Max Bezzel memperkenalkan permainan Eight Queens

Puzzle. Franz Nauck mengumumkan solusi pertama pada tahun 1850 serta

mengembangkan teka-teki ini menjadi N-Queens Problem. Dalam permainan ini

terdapat N ratu pada papan catur berukuran . Sejak itu banyak

matematikawan, termasuk Carl Friedrich Gauss, mencoba menyelesaikan masalah

Eight Queens Puzzle dan N-Queens Problem (Eight Queens Puzzle 2009). Pada

karya ilmiah N-Queens Problem yang dibahas hanya yang berukuran 8 8 dengan

8 ratu catur yang tidak saling menyerang satu sama lain.

DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH

Deskripsi Masalah

1. Sudoku

Sudoku adalah sebuah permainan teka-teki berdasarkan logika dengan

kombinasi penempatan angka. Pada permainan Sudoku pemain diminta untuk

mengisi kotak, sehingga setiap kotak dapat diisi dengan angka 1 sampai

dengan angka “n” itu sendiri. Pada karya ilmiah ini akan dibahas Sudoku yang

berukuran 9×9. Pada permainan ini tiap baris dan tiap kolom diisi angka 1 sampai

dengan 9 dan tidak boleh ada angka yang sama. Pada Gambar 1 diberikan contoh

Sudoku yang belum memiliki solusi.

2 4 6 8

3 5 7 9 2

1 9

7

8

6 9

9 2

1 5 3

Gambar 1 Contoh Sudoku yang belum diselesaikan

Pada Sudoku terdapat grid, yaitu sembilan kotak yang berisi angka 1 sampai

dengan 9 tanpa pengulangan angka. Bentuk grid sendiri ada yang beraturan dan

ada pula yang acak seperti pada Gambar 2.

3

Grid beraturan Grid acak

Gambar 2 Contoh grid pada Sudoku

Sudoku yang dibahas pada karya ilmiah ini, selain bentuk grid-nya ada yang

beraturan maupun acak, juga ditambah grid warna tertentu. Sudoku yang memiliki

solusi adalah Sudoku yang telah berisi angka 1 sampai dengan 9 pada setiap baris,

kolom dan grid sehingga tidak ada angka yang sama.

2. Challenger Puzzle

Challenger Puzzle adalah salah satu jenis teka-teki matematika. Pada teka-

teki ini disediakan seperangkat sel berukuran dan jumlah semua angka di

setiap baris, kolom, dan diagonal sudah ditetapkan, serta beberapa sel telah

ditentukan nilai awalnya. Pada karya ilmiah ini akan dibahas Challenger Puzzle

yang berukuran 4 4 dan 5 5. Aturan Challenger Puzzle yaitu sel-sel yang

kosong diisi dengan angka 1 sampai dengan 9 dan angka-angka tersebut boleh

berulang sehingga penjumlahan angka di setiap baris, kolom, dan diagonal sesuai

dengan angka yang sudah ditetapkan.

16 17

1 16 5 15

3 16 6 19

2 16 2 14

6 4 16 2 7 16

16 16 16 16 16 16 16 17 20 18

Gambar 3 Contoh Challenger Puzzle yang belum diselesaikan

Challenger Puzzle yang memiliki solusi adalah Challenger Puzzle yang

semua sel nya telah berisi angka dengan penjumlahan yang tepat. Pada Gambar 3

diberikan contoh Challenger Puzzle yang belum memiliki solusi.

3. N-Queens Problem

N-Queens Problem adalah masalah menempatkan N ratu pada papan

berukuran sehingga tidak ada dua ratu yang menyerang satu sama lain.

Dalam permainan catur, ratu bisa bergerak sejauh yang diinginkan, yaitu

horizontal, vertikal, atau diagonal. Sebuah papan catur memiliki 8 baris dan 8

4

kolom. Dengan demikian, solusi permainan ini mensyaratkan bahwa tidak ada dua

ratu berbagi baris, kolom, atau diagonal yang sama sehingga tidak satupun dari

mereka bisa memukul dalam satu gerakan. Gambar 4 merupakan contoh N-

Queens Problem yang belum memiliki solusi.

Gambar 4 Contoh N-Queens Problem yang belum diselesaikan

Formulasi Masalah

1. Sudoku

Dalam karya ilmiah ini, masalah sudoku akan diformulasikan ke dalam

integer programming.

Indeks yang digunakan:

i = 1, 2, ..., 9 merupakan indeks untuk baris

j = 1, 2, ..., 9 merupakan indeks untuk kolom

k = 1, 2, ..., 9 merupakan indeks untuk nilai sel

Variabel keputusan didefinisikan sebagai berikut:

{ ( )

Terdapat 729 variabel biner.

Sudoku Tipe 1

Fungsi objektif:

Minimumkan

Kendala-kendala yang harus dipenuhi ialah

1. Setiap baris harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan.

∑ ,

Terdapat = 81 kendala.

2. Setiap kolom harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan.

∑ ,

5


3. Setiap grid harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan.

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

Berikut ini akan diberikan contoh gambar Sudoku Tipe 1.

Gambar 5 Contoh Sudoku Tipe 1

Sudoku Tipe 2

Fungsi objektif:

Minimumkan



∑ ,



∑ ,



∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

6

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

4. Setiap kotak yang berwarna sama pada diagonal berisi angka 1 sampai 9

tanpa ada pengulangan.

∑ , , i+j=10

5. Setiap kotak yang berwarna sama di atas dan di bawah diagonal berisi

angka 1 sampai 9 tanpa ada pengulangan.

+ + + + + + + + = 1,

+ + + + + + + + = 1,



Sudoku Tipe 3

Fungsi objektif:

Minimumkan



∑ ,



∑ ,



∑ ∑

,

7

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

4. Kedua diagonal berisi angka 1 sampai dengan 9 tanpa pengulangan.

∑ , , i+j=10

∑ , , i=j



Sudoku Tipe 4

Fungsi objektif:

Minimumkan



∑ ,



∑ ,



∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

8

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

4. Pada kotak yang berwarna sama berisi angka 1 sampai 9 tanpa

pengulangan.

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,



Sudoku Tipe 5

Fungsi objektif:

Minimumkan



∑ ,



∑ ,


9


∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

∑

,

4. Kedua diagonal berisi angka 1 sampai dengan 9 tanpa pengulangan.

∑ , , i+j=10

∑ , , i=j



Sudoku Tipe 6

Fungsi objektif:

Minimumkan



∑ ,



∑ ,



∑ ∑

,

10

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

∑

,

4. Setiap kotak yang berwarna sama pada diagonal berisi angka 1 sampai 9

tanpa ada pengulangan.

∑ , , i+j=10

5. Setiap kotak yang berwarna sama di atas dan di bawah diagonal berisi

angka 1 sampai 9 tanpa ada pengulangan.

∑ ∑

,

∑ ∑

,



Sudoku Tipe 7

Fungsi objektif:

Minimumkan



∑ ,



∑ ,


11


∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

,

∑ ∑

∑

,

4. Pada kotak yang berwarna sama berisi angka 1 sampai 9 tanpa

pengulangan.

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,

∑ ∑ ,



2. Challenger Puzzle

Challenger Puzzle yang akan dibahas ada empat macam, yaitu Tipe A, Tipe

B, Tipe C, dan Tipe D. Pada karya ilmiah ini, dipilih angka 16 untuk penjumlahan

Tipe A, 25 untuk penjumlahan Tipe B, dan sembarang angka untuk penjumlahan

pada Tipe C dan Tipe D. Challenger Puzzle Tipe A dan Tipe C terdiri atas 4 baris

dan 4 kolom sedangkan Tipe B dan tipe D terdiri atas 5 baris dan 5 kolom.

12

Variabel keputusan :

Misalkan : merupakan angka yang berada pada baris i dan kolom j.

Berikut ini akan diberikan contoh Challenger Puzzle untuk Tipe A.

16

16

16

16

16

16 16 16 16 16

Gambar 12 Contoh Challenger Puzzle Tipe A

Tipe A

Indeks :

i = 1, 2, 3, 4 merupakan indeks untuk baris

j = 1, 2, 3, 4 merupakan indeks untuk kolom

Fungsi objektif

Minimumkan

Kendala :

1. Jumlah semua angka di setiap kolom adalah 16.

∑ , j = 1,2,3,4

2. Jumlah semua angka di setiap baris adalah 16.

∑ , i = 1,2,3,4

3. Jumlah semua angka pada kedua diagonal sel adalah 16.

∑ , i = j

∑ , i + j = 5

4. Semua bernilai bilangan bulat positif dari 1 sampai 9.

{1,2,3,4,5,6,7,8,9},

Berikut ini diberikan contoh Challenger Puzzle untuk Tipe B.

13

25

25

25

25

25

25

25 25 25 25 25 25

Gambar 13 Contoh Challenger Puzzle Tipe B

Tipe B

Indeks :

i = 1, 2, 3, 4, 5 merupakan indeks untuk baris

j = 1, 2, 3, 4, 5 merupakan indeks untuk kolom

Fungsi objektif

Minimumkan

Kendala :

1. Jumlah semua angka di setiap kolom adalah 25.

∑ , j = 1,2,3,4,5

2. Jumlah semua angka di setiap baris adalah 25.

∑ , i = 1,2,3,4,5

3. Jumlah semua angka pada kedua diagonal sel adalah 25.

∑ , i = j

∑ , i + j = 6


{1,2,3,4,5,6,7,8,9},

Berikut ini diberikan contoh Challenger Puzzle untuk Tipe C.

12

22

17

16

18

24 13 24 12 19

Gambar 14 Contoh Challenger Puzzle Tipe C

Tipe C

i = 1, 2, 3, 4 merupakan indeks untuk baris

j = 1, 2, 3, 4 merupakan indeks untuk kolom

14

Fungsi objektif

Minimumkan

Kendala :

1. Jumlah angka di setiap kolom mengikuti angka yang telah ditetapkan.

∑

∑

∑

∑

2. Jumlah angka di setiap baris mengikuti angka yang telah ditetapkan.

∑

∑

∑

∑

3. Jumlah semua angka pada kedua diagonal sel mengikuti angka yang telah

ditetapkan.

+ + + =12

+ + + =19


{1,2,3,4,5,6,7,8,9},

Berikut ini akan diberikan contoh Challenger Puzzle untuk Tipe D.

25

24

29

25

16

21

18 28 20 26 23 29

Gambar 15 Contoh Challenger Puzzle Tipe D

Tipe D

i = 1, 2, 3, 4, 5 merupakan indeks untuk baris

j = 1, 2, 3, 4, 5 merupakan indeks untuk kolom

Fungsi objektif

Minimumkan

15

Kendala :

1. Jumlah angka di setiap kolom mengikuti angka yang telah ditetapkan.

∑

∑

∑

∑

∑

2. Jumlah angka di setiap baris mengikuti angka yang telah ditetapkan.

∑

∑

∑

∑

∑

3. Jumlah semua angka pada kedua diagonal sel mengikuti angka yang telah

ditetapkan.

+ + + + =25

+ + + + =29


{1,2,3,4,5,6,7,8,9},

3. N-Queens Problem Indeks :

i = 1, 2, ..., 8 merupakan indeks untuk baris

j = 1, 2, ..., 8 merupakan indeks untuk kolom

Variabel keputusan :

Misalkan : merupakan angka yang berada pada baris i dan kolom j.

Fungsi objektif

Minimumkan

Kendala :

1. Jumlah angka di setiap kolom bernilai 1.

∑ , j = 1,2,3,4,.....,8

2. Jumlah angka di setiap baris bernilai 1.

∑ , i = 1,2,3,4,.....,8

3. Jumlah angka di setiap sel miring bernilai kurang dari atau sama dengan 1.

∑ , i + j = 3 ( )

16

∑ , i + j = 4 ( )

∑ , i + j = 5 ( )

∑ , i + j = 6 ( )

∑ , i + j = 7 ( )

∑ , i + j = 8 ( )

∑ , i + j = 9 ( )

∑ , i + j = 10 ( )

∑ , i + j = 11 ( )

∑ , i + j = 12 ( )

∑ , i + j = 13 ( )

∑ , i + j = 14 ( )

∑ , i + j = 15 ( )

∑ , j = i – 6 ( )

∑ , j = i – 5 ( )

∑ , j = i – 4 ( )

∑ , j = i – 3 ( )

∑ , j = i – 2 ( )

∑ , j = i – 1 ( )

∑ , i = j ( )

∑ , j = i + 1 ( )

∑ , j = i + 2 ( )

∑ , j = i + 3 ( )

∑ , j = i + 4 ( )

∑ , j = i + 5 ( )

∑ , j = i + 6 ( )

Gambar 16 Posisi untuk penjumlahan sel miring pada N-Queens Problem

4. Semua bernilai 0 atau 1.

{0,1},

17

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dibahas penyelesaian Sudoku, Challenger Puzzle, dan

N-Queens Problem menggunakan integer programming dan software LINGO

11.0.

Sudoku

Terdapat tujuh macam tipe Sudoku yang berbeda-beda, akan dibahas satu

per satu sesuai dengan tipe nya.

1. Sudoku Tipe 1

Sudoku tipe ini ialah Sudoku yang paling sering ditemukan, karena

merupakan Sudoku dasar. Sintaks program LINGO 11.0 dan solusinya dapat

dilihat pada Lampiran 1.

4 5 7 6 8 9 4 3 5 7 2 6 8 1 9

2 1 4 7 5 8 2 9 1 3 4 6 7 5

6 7 8 9 5 3 4 6 1 7 8 9 5 3 2 4

5 9 3 1 4 6 5 9 2 3 1 7 4 6 8

1 2 7 3 1 6 4 5 8 2 7 9 3

7 8 3 6 9 2 5 7 8 3 4 6 9 2 5 1

3 8 9 4 6 3 7 8 2 5 1 9 4 6

5 6 9 4 3 2 5 6 9 4 8 1 3 7

9 1 6 3 5 2 9 4 1 6 7 3 5 8 2

Bentuk awal Solusi

Gambar 17 Sudoku Tipe 1

2. Sudoku Tipe 2

Sudoku Tipe 2 merupakan Sudoku dengan variasi warna. Pada tipe ini

ditambahkan kendala tidak ada pengulangan pada kotak yang memiliki warna

yang sama. Sintaks program LINGO 11.0 dan solusinya dapat dilihat pada

Lampiran 3.

9 6 2 3 9 4 6 1 2 7 3 8 5

1 5 3 4 6 7 1 8 5 9 3 2 4 6

2 6 4 9 2 5 3 6 8 4 9 1 7

6 9 4 3 7 6 9 1 4 3 8 7 5 2

2 9 1 8 3 5 2 7 9 6 1 8 3 4

3 4 7 2 6 1 3 8 4 7 5 2 6 9 1

7 1 6 3 4 7 2 8 1 9 5 6 3

8 3 4 6 1 9 8 3 5 2 4 6 1 7 9

1 9 3 5 4 2 8 1 6 9 3 7 5 4 2 8

Bentuk awal Solusi


18

3. Sudoku Tipe 3

Sudoku Tipe 3 merupakan Sudoku dengan tambahan kendala tidak ada

pengulangan angka pada kedua diagonal Sudoku. Sintaks program LINGO 11.0

dan solusinya dapat dilihat pada Lampiran 4.

3 5 9 2 7 6 4 3 1 5 9 8 2 7

1 2 8 4 6 7 5 9 3

5 9 3 8 4 6 7 5 9 2 3 8 4 6 1

8 4 8 3 6 5 7 2 9 1 4

6 1 3 5 9 4 6 1 3 7 8 2

1 7 6 3 2 1 7 8 9 4 6 3 5

9 8 5 7 2 1 3 4 6

6 2 3 5 1 7 4 6 2 3 8 5 1 7 9

3 9 2 8 3 7 1 9 4 6 2 5 8

Bentuk awal Solusi


4. Sudoku Tipe 4

Sudoku Tipe 4 merupakan Sudoku dengan variasi warna. Selain itu, tidak

boleh ada pengulangan angka dalam satu grid dan pada warna yang sama juga

tidak boleh ada pengulangan angka. Dibutuhkan ketelitian yang lebih dalam

menyelesaikan Sudoku Tipe 4. Sintaks program LINGO 11.0 dan solusinya dapat

dilihat pada Lampiran 5.

3 2 8 7 1 5 3 2 6 8 9 7 1 4

9 8 2 3 9 8 4 7 1 5 6 2 3

3 7 6 1 4 3 2 8 9 5

1 5 2 8 1 7 5 9 4 3 2 6 8

6 8 4 9 2 6 1 5 3 7

6 3 1 9 6 2 3 5 7 8 1 4 9

2 3 9 6 8 2 7 4 5 1

4 5 7 2 4 5 8 1 9 6 3 7 2

1 7 5 8 6 2 1 7 3 5 4 9 8 6

Bentuk awal Solusi


19

5. Sudoku Tipe 5

Sudoku Tipe 5 merupakan Sudoku modifikasi dengan grid acak dan kendala

tidak boleh ada pengulangan angka pada kedua diagonal Sudoku. Solusi yang

diperoleh melalui LINGO 11.0 dapat dilihat pada Lampiran 6.

4 1 8 3 7 4 9 1 5 8 2 3 6 7

6 7 1 5 9 8 6 4 7 3 1 2 5 9

3 6 9 1 4 2 3 5 6 7 9 8 1 4

9 7 8 6 2 9 7 3 8 4 6 1 2 5

1 6 2 9 3 1 8 6 4 2 5 9 7 3

5 1 3 8 6 7 5 2 1 9 3 4 8 6

6 9 5 7 8 6 1 9 2 5 4 7 3 8

5 4 3 8 9 5 4 7 3 1 8 6 9 2

2 9 7 4 1 3 2 8 9 6 7 5 4 1

Bentuk awal Solusi


6. Sudoku Tipe 6

Sudoku Tipe 6 merupakan Sudoku modifikasi dengan kondisi grid acak

dengan kendala tidak ada pengulangan pada kotak yang berwarna sama pada

sudoku serta sebuah diagonal Sudoku. Solusi yang diperoleh melalui LINGO 11.0

dapat dilihat pada Lampiran 7.

8 1 9 7 3 2 8 5 1 6 9 4 7 3

7 6 3 1 5 7 6 2 3 4 1 8 5 9

5 8 3 6 1 5 9 8 7 3 4 6 2 1

3 4 7 9 8 3 1 4 5 7 2 9 6 8

7 2 8 1 5 4 7 6 2 9 8 3 1 5

9 3 8 6 4 9 3 1 8 5 6 2 4 7

5 6 2 1 9 8 5 7 6 2 3 1 9 4

6 3 1 5 8 6 4 3 9 1 7 5 8 2

2 8 5 7 6 1 2 9 4 8 5 7 3 6

Bentuk awal Solusi


20

7. Sudoku Tipe 7

Sudoku Tipe 7 merupakan Sudoku modifikasi dengan kondisi grid acak dan

menggunakan variasi warna. Selain itu, ditambahkan kendala tidak ada

pengulangan angka pada kotak yang berwarna sama. Solusi yang diperoleh

melalui LINGO 11.0 dapat dilihat pada Lampiran 8.

2 4 1 8 3 2 4 6 7 1 9 8 5 3

7 3 5 2 9 7 1 3 8 5 6 2 4 9

5 2 9 3 6 8 5 4 2 9 3 1 7 6

3 5 4 2 1 9 3 7 5 8 4 6 2 1

6 8 4 3 5 6 8 1 4 2 7 9 3 5

9 6 1 8 7 5 2 9 6 3 1 4 8 7

7 1 2 3 8 4 7 5 1 6 2 3 9 8

9 3 8 5 4 1 9 2 3 7 8 5 6 4

3 8 4 7 2 3 6 8 9 4 5 7 1 2

Bentuk awal Solusi


Challenger Puzzle

Pada karya ilmiah ini Challenger Puzzle memiliki empat tipe, yaitu Tipe A,

Tipe B, Tipe C, dan Tipe D. Tipe A dan Tipe C berukuran 4×4 sedangkan Tipe B

dan Tipe D berukuran 5×5. Pada Gambar 12, 13, 14, dan 15 terdapat Challenger

Puzzle yang belum dan yang sudah memiliki solusi. Solusi yang diperoleh melalui

LINGO 11.0 dapat dilihat pada Lampiran 8, 9, 10, dan 11.

1. Tipe A

16 16

4 16 4 6 2 4 16

3 16 3 5 2 6 16

4 16 3 4 5 4 16

6 7 16 6 1 7 2 16

16 16 16 16 16 16 16 16 16 16

Bentuk awal Solusi

Gambar 24 Challenger Puzzle Tipe A

21

2. Tipe B

25 25

2 6 25 1 2 9 7 6 25

3 25 3 9 9 2 2 25

4 25 5 9 4 6 1 25

25 7 4 1 4 9 25

7 25 9 1 2 6 7 25

25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25

Bentuk awal Solusi

Gambar 25 Challenger Puzzle Tipe B

3. Tipe C

12 12

5 2 22 5 7 8 2 22

4 17 9 3 4 1 17

6 16 6 2 5 3 16

1 6 18 4 1 7 6 18

24 13 24 12 19 24 13 24 12 19

Bentuk awal Solusi

Gambar 26 Challenger Puzzle Tipe C

4. Tipe D

25 25

8 5 24 8 6 3 2 5 24

7 6 29 4 7 3 6 9 29

2 1 25 2 5 9 8 1 25

4 16 1 2 4 3 6 16

8 2 21 3 8 1 7 2 21

18 28 20 26 23 29 18 28 20 26 23 29

Bentuk awal Solusi

Gambar 27 Challenger Puzzle Tipe D

N-Queens Problem

N-Queens Problem adalah permainan untuk menempatkan ratu catur agar

tidak saling menyerang satu sama lain. Ada 3 tipe yang diambil dalam contoh

kasus ini, yaitu Tipe I, II, dan III. Pada Tipe I diberikan kondisi awal berupa

papan catur tanpa ratu catur, sedangkan pada Tipe II dan Tipe III terdapat

beberapa ratu catur. Papan catur sebelah kiri pada Gambar 12, 13, dan 14

merupakan kondisi awal, sedangkan yang di sebelah kanan merupakan papan

catur yang sudah memiliki solusi. Solusi yang diperoleh melalui LINGO 11.0

dapat dilihat pada Lampiran 13, 14, dan 15.

22

1. Tipe 1

Bentuk awal Solusi

Gambar 28 N-Queens Problem Tipe I

2. Tipe II

Bentuk awal Solusi

Gambar 29 N-Queens Problem Tipe II

23

3. Tipe III

Bentuk awal Solusi

Gambar 30 N-Queens Problem Tipe III

SIMPULAN

Sudoku, Challenger Puzzles, dan N-Queens Problem dapat diformulasikan

menggunakan integer programming dan diselesaikan menggunakan LINGO 11.0

DAFTAR PUSTAKA

Asal Usul Puzzle Sudoku. 2013. [diunduh 7 Oktober 2013]; Tersedia pada:

http://www.blackits.net/id/art-and-culture/the-origins-of-the-sudoku-

puzzle.html

Eight Queens Puzzle. 2009. [diunduh 9 Oktober 2013]; Tersedia pada:

http://www.reachinformation.com/define/eight%20queens%20puzzle.aspx#s12

Santos DL. 2007. Teaching Integer Programming via Sudoku and Other Math

Puzzles. Di dalam: Bayraksan G, Lin W, San Y, Wysk R, editor. Proceedings

of the 2007 Industrial Engineering Reseacrh Conference. Norcross, United

States (US). Institute of Industrial Engineers. hlm 1060-1065.

http://www.reachinformation.com/define/eight%20queens%20puzzle.aspx#s12

24

Lampiran 1 Sintaks Program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 1 dan solusinya model:

sets:

row/1..9/;

col/1..9/;

val/1..9/;

LINK(row,col,val):X;

endsets

X(1,1,4)=1;X(1,3,5)=1;X(1,4,7)=1;X(1,6,6)=1;X(1,7,8)=1;X(1,9,9)=1;X(2,2,2)=1;X(2,4,1)=1;X(2,

6,4)=1;X(2,8,7)=1;X(2,9,5)=1;X(3,1,6)=1;X(3,3,7)=1;

X(3,4,8)=1;X(3,5,9)=1;X(3,6,5)=1;X(3,7,3)=1;X(3,9,4)=1;X(4,1,5)=1;X(4,2,9)=1;X(4,4,3)=1;X(4,

5,1)=1;X(4,7,4)=1;X(4,8,6)=1;X(5,1,1)=1;X(5,6,2)=1;

X(5,7,7)=1;X(5,9,3)=1;X(6,1,7)=1;X(6,2,8)=1;X(6,3,3)=1;X(6,5,6)=1;X(6,6,9)=1;X(6,7,2)=1;X(6,

8,5)=1;X(7,1,3)=1;X(7,3,8)=1;X(7,7,9)=1;X(7,8,4)=1;

X(7,9,6)=1;X(8,2,5)=1;X(8,3,6)=1;X(8,4,9)=1;X(8,5,4)=1;X(8,8,3)=1;X(9,1,9)=1;X(9,3,1)=1;X(9,

4,6)=1;X(9,6,3)=1;X(9,7,5)=1;X(9,9,2)=1;

Min=X(1,1,1);

@FOR(row(i):@FOR(val(k):@SUM(col(j):X(i,j,k))=1));

@FOR(col(j):@FOR(val(k):@SUM(row(i):X(i,j,k))=1));

@FOR(col(j):@FOR(row(i):@SUM(val(k):X(i,j,k))=1));

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#LE#3:@SUM(row(i)|i#LE#3:X(i,j,k)))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#LE#6#AND#j#GE#4:@SUM(row(i)|i#LE#3:X(i,j,k)))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#GE#7:@SUM(row(i)|i#LE#3:X(i,j,k)))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#LE#3:@SUM(row(i)|i#LE#6#AND#i#GE#4:X(i,j,k)))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#LE#6#AND#j#GE#4:@SUM(row(i)|i#LE#6#AND#i#GE#4:X(i,j,k

)))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#GE#7:@SUM(row(i)|i#LE#6#AND#i#GE#4:X(i,j,k)))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#LE#3:@SUM(row(i)|i#GE#7:X(i,j,k)))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#LE#6#AND#j#GE#4:@SUM(row(i)|i#GE#7:X(i,j,k)))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#GE#7:@SUM(row(i)|i#GE#7:X(i,j,k)))=1);

@FOR(row(i):@FOR(val(k):@FOR(col(j):@BIN(X(i,j,k)))));

end

end

Solusi Sudoku Tipe 1

Global optimal solution found.

Objective value: 0.000000

Objective bound: 0.000000

Infeasibilities: 0.000000

Extended solver steps: 0

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost

X( 1, 1, 4) 1.000000 0.000000

X( 1, 2, 3) 1.000000 0.000000

X( 1, 3, 5) 1.000000 0.000000

X( 1, 4, 7) 1.000000 0.000000

X( 1, 5, 2) 1.000000 0.000000

X( 1, 6, 6) 1.000000 0.000000

X( 1, 7, 8) 1.000000 0.000000

X( 1, 8, 1) 1.000000 0.000000

X( 1, 9, 9) 1.000000 0.000000

X( 2, 1, 8) 1.000000 0.000000

25

X( 2, 2, 2) 1.000000 0.000000

X( 2, 3, 9) 1.000000 0.000000

X( 2, 4, 1) 1.000000 0.000000

X( 2, 5, 3) 1.000000 0.000000

X( 2, 6, 4) 1.000000 0.000000

X( 2, 7, 6) 1.000000 0.000000

X( 2, 8, 7) 1.000000 0.000000

X( 2, 9, 5) 1.000000 0.000000

X( 3, 1, 6) 1.000000 0.000000

X( 3, 2, 1) 1.000000 0.000000

X( 3, 3, 7) 1.000000 0.000000

X( 3, 4, 8) 1.000000 0.000000

X( 3, 5, 9) 1.000000 0.000000

X( 3, 6, 5) 1.000000 0.000000

X( 3, 7, 3) 1.000000 0.000000

X( 3, 8, 2) 1.000000 0.000000

X( 3, 9, 4) 1.000000 0.000000

X( 4, 1, 5) 1.000000 0.000000

X( 4, 2, 9) 1.000000 0.000000

X( 4, 3, 2) 1.000000 0.000000

X( 4, 4, 3) 1.000000 0.000000

X( 4, 5, 1) 1.000000 0.000000

X( 4, 6, 7) 1.000000 0.000000

X( 4, 7, 4) 1.000000 0.000000

X( 4, 8, 6) 1.000000 0.000000

X( 4, 9, 8) 1.000000 0.000000

X( 5, 1, 1) 1.000000 0.000000

X( 5, 2, 6) 1.000000 0.000000

X( 5, 3, 4) 1.000000 0.000000

X( 5, 4, 5) 1.000000 0.000000

X( 5, 5, 8) 1.000000 0.000000

X( 5, 6, 2) 1.000000 0.000000

X( 5, 7, 7) 1.000000 0.000000

X( 5, 8, 9) 1.000000 0.000000

X( 5, 9, 3) 1.000000 0.000000

X( 6, 1, 7) 1.000000 0.000000

X( 6, 2, 8) 1.000000 0.000000

X( 6, 3, 3) 1.000000 0.000000

X( 6, 4, 4) 1.000000 0.000000

X( 6, 5, 6) 1.000000 0.000000

X( 6, 6, 9) 1.000000 0.000000

X( 6, 7, 2) 1.000000 0.000000

X( 6, 8, 5) 1.000000 0.000000

X( 6, 9, 1) 1.000000 0.000000

X( 7, 1, 3) 1.000000 0.000000

X( 7, 2, 7) 1.000000 0.000000

X( 7, 3, 8) 1.000000 0.000000

X( 7, 4, 2) 1.000000 0.000000

X( 7, 5, 5) 1.000000 0.000000

X( 7, 6, 1) 1.000000 0.000000

X( 7, 7, 9) 1.000000 0.000000

X( 7, 8, 4) 1.000000 0.000000

X( 7, 9, 6) 1.000000 0.000000

X( 8, 1, 2) 1.000000 0.000000

X( 8, 2, 5) 1.000000 0.000000

X( 8, 3, 6) 1.000000 0.000000

X( 8, 4, 9) 1.000000 0.000000

X( 8, 5, 4) 1.000000 0.000000

26

X( 8, 6, 8) 1.000000 0.000000

X( 8, 7, 1) 1.000000 0.000000

X( 8, 8, 3) 1.000000 0.000000

X( 8, 9, 7) 1.000000 0.000000

X( 9, 1, 9) 1.000000 0.000000

X( 9, 2, 4) 1.000000 0.000000

X( 9, 3, 1) 1.000000 0.000000

X( 9, 4, 6) 1.000000 0.000000

X( 9, 5, 7) 1.000000 0.000000

X( 9, 6, 3) 1.000000 0.000000

X( 9, 7, 5) 1.000000 0.000000

X( 9, 8, 8) 1.000000 0.000000

X( 9, 9, 2) 1.000000 0.000000


sets:

row/1..9/;

col/1..9/;

val/1..9/;


endsets

X(1,1,9)=1;X(1,3,6)=1;X(1,5,2)=1;X(1,7,3)=1;X(1,9,5)=1;X(2,2,1)=1;X(2,4,5)=1;X(2,6,3)=1;X(2,

8,4)=1;X(2,9,6)=1;

X(3,1,2)=1;X(3,4,6)=1;X(3,6,4)=1;X(3,7,9)=1;X(4,1,6)=1;X(4,2,9)=1;X(4,4,4)=1;X(4,5,3)=1;X(4,

7,7)=1;X(5,2,2)=1;

X(5,4,9)=1;X(5,6,1)=1;X(5,7,8)=1;X(5,8,3)=1;X(6,1,3)=1;X(6,3,4)=1;X(6,4,7)=1;X(6,6,2)=1;X(6,

7,6)=1;X(6,9,1)=1;

X(7,2,7)=1;X(7,5,1)=1;X(7,8,6)=1;X(7,9,3)=1;X(8,1,8)=1;X(8,2,3)=1;X(8,5,4)=1;X(8,6,6)=1;X(8,

7,1)=1;X(8,9,9)=1;

X(9,1,1)=1;X(9,3,9)=1;X(9,4,3)=1;X(9,6,5)=1;X(9,7,4)=1;X(9,8,2)=1;X(9,9,8)=1;

MIN=X(1,1,1);









)))=1);





@FOR(val(k):(X(1,9,k)+X(2,8,k)+X(3,7,k)+X(4,6,k)+X(5,5,k)+X(6,4,k)+X(7,3,k)+X(8,2,k)+X(9,

1,k))=1);


7,k))=1);


3,k))=1);

27


end









X( 1, 1, 9) 1.000000 0.000000

X( 1, 2, 4) 1.000000 0.000000

X( 1, 3, 6) 1.000000 0.000000

X( 1, 4, 1) 1.000000 0.000000

X( 1, 5, 2) 1.000000 0.000000

X( 1, 6, 7) 1.000000 0.000000

X( 1, 7, 3) 1.000000 0.000000

X( 1, 8, 8) 1.000000 0.000000

X( 1, 9, 5) 1.000000 0.000000

X( 2, 1, 7) 1.000000 0.000000

X( 2, 2, 1) 1.000000 0.000000

X( 2, 3, 8) 1.000000 0.000000

X( 2, 4, 5) 1.000000 0.000000

X( 2, 5, 9) 1.000000 0.000000

X( 2, 6, 3) 1.000000 0.000000

X( 2, 7, 2) 1.000000 0.000000

X( 2, 8, 4) 1.000000 0.000000

X( 2, 9, 6) 1.000000 0.000000

X( 3, 1, 2) 1.000000 0.000000

X( 3, 2, 5) 1.000000 0.000000

X( 3, 3, 3) 1.000000 0.000000

X( 3, 4, 6) 1.000000 0.000000

X( 3, 5, 8) 1.000000 0.000000

X( 3, 6, 4) 1.000000 0.000000

X( 3, 7, 9) 1.000000 0.000000

X( 3, 8, 1) 1.000000 0.000000

X( 3, 9, 7) 1.000000 0.000000

X( 4, 1, 6) 1.000000 0.000000

X( 4, 2, 9) 1.000000 0.000000

X( 4, 3, 1) 1.000000 0.000000

X( 4, 4, 4) 1.000000 0.000000

X( 4, 5, 3) 1.000000 0.000000

X( 4, 6, 8) 1.000000 0.000000

X( 4, 7, 7) 1.000000 0.000000

X( 4, 8, 5) 1.000000 0.000000

X( 4, 9, 2) 1.000000 0.000000

X( 5, 1, 5) 1.000000 0.000000

X( 5, 2, 2) 1.000000 0.000000

X( 5, 3, 7) 1.000000 0.000000

X( 5, 4, 9) 1.000000 0.000000

X( 5, 5, 6) 1.000000 0.000000

X( 5, 6, 1) 1.000000 0.000000

X( 5, 7, 8) 1.000000 0.000000

X( 5, 8, 3) 1.000000 0.000000

X( 5, 9, 4) 1.000000 0.000000

28

X( 6, 1, 3) 1.000000 0.000000

X( 6, 2, 8) 1.000000 0.000000

X( 6, 3, 4) 1.000000 0.000000

X( 6, 4, 7) 1.000000 0.000000

X( 6, 5, 5) 1.000000 0.000000

X( 6, 6, 2) 1.000000 0.000000

X( 6, 7, 6) 1.000000 0.000000

X( 6, 8, 9) 1.000000 0.000000

X( 6, 9, 1) 1.000000 0.000000

X( 7, 1, 4) 1.000000 0.000000

X( 7, 2, 7) 1.000000 0.000000

X( 7, 3, 2) 1.000000 0.000000

X( 7, 4, 8) 1.000000 0.000000

X( 7, 5, 1) 1.000000 0.000000

X( 7, 6, 9) 1.000000 0.000000

X( 7, 7, 5) 1.000000 0.000000

X( 7, 8, 6) 1.000000 0.000000

X( 7, 9, 3) 1.000000 0.000000

X( 8, 1, 8) 1.000000 0.000000

X( 8, 2, 3) 1.000000 0.000000

X( 8, 3, 5) 1.000000 0.000000

X( 8, 4, 2) 1.000000 0.000000

X( 8, 5, 4) 1.000000 0.000000

X( 8, 6, 6) 1.000000 0.000000

X( 8, 7, 1) 1.000000 0.000000

X( 8, 8, 7) 1.000000 0.000000

X( 8, 9, 9) 1.000000 0.000000

X( 9, 1, 1) 1.000000 0.000000

X( 9, 2, 6) 1.000000 0.000000

X( 9, 3, 9) 1.000000 0.000000

X( 9, 4, 3) 1.000000 0.000000

X( 9, 5, 7) 1.000000 0.000000

X( 9, 6, 5) 1.000000 0.000000

X( 9, 7, 4) 1.000000 0.000000

X( 9, 8, 2) 1.000000 0.000000

X( 9, 9, 8) 1.000000 0.000000


sets:

row/1..9/;

col/1..9/;

val/1..9/;


endsets

X(1,3,3)=1;X(1,5,5)=1;X(1,6,9)=1;X(1,8,2)=1;X(1,9,7)=1;

X(3,2,5)=1;X(3,3,9)=1;X(3,5,3)=1;X(3,6,8)=1;X(3,7,4)=1;

X(3,8,6)=1;X(4,1,8)=1;X(4,9,4)=1;X(5,4,6)=1;X(5,5,1)=1;

X(5,6,3)=1;X(6,2,1)=1;X(6,3,7)=1;X(6,7,6)=1;X(6,8,3)=1;

X(8,2,6)=1;X(8,3,2)=1;X(8,4,3)=1;X(8,6,5)=1;X(8,7,1)=1;

X(8,8,7)=1;X(9,1,3)=1;X(9,4,9)=1;X(9,7,2)=1;X(9,9,8)=1;

Min=X(1,1,1);





29





)))=1);






1,k))=1);


9,k))=1);


end









X( 1, 1, 6) 1.000000 0.000000

X( 1, 2, 4) 1.000000 0.000000

X( 1, 3, 3) 1.000000 0.000000

X( 1, 4, 1) 1.000000 0.000000

X( 1, 5, 5) 1.000000 0.000000

X( 1, 6, 9) 1.000000 0.000000

X( 1, 7, 8) 1.000000 0.000000

X( 1, 8, 2) 1.000000 0.000000

X( 1, 9, 7) 1.000000 0.000000

X( 2, 1, 1) 1.000000 0.000000

X( 2, 2, 2) 1.000000 0.000000

X( 2, 3, 8) 1.000000 0.000000

X( 2, 4, 4) 1.000000 0.000000

X( 2, 5, 6) 1.000000 0.000000

X( 2, 6, 7) 1.000000 0.000000

X( 2, 7, 5) 1.000000 0.000000

X( 2, 8, 9) 1.000000 0.000000

X( 2, 9, 3) 1.000000 0.000000

X( 3, 1, 7) 1.000000 0.000000

X( 3, 2, 5) 1.000000 0.000000

X( 3, 3, 9) 1.000000 0.000000

X( 3, 4, 2) 1.000000 0.000000

X( 3, 5, 3) 1.000000 0.000000

X( 3, 6, 8) 1.000000 0.000000

X( 3, 7, 4) 1.000000 0.000000

X( 3, 8, 6) 1.000000 0.000000

X( 3, 9, 1) 1.000000 0.000000

X( 4, 1, 8) 1.000000 0.000000

X( 4, 2, 3) 1.000000 0.000000

X( 4, 3, 6) 1.000000 0.000000

30

X( 4, 4, 5) 1.000000 0.000000

X( 4, 5, 7) 1.000000 0.000000

X( 4, 6, 2) 1.000000 0.000000

X( 4, 7, 9) 1.000000 0.000000

X( 4, 8, 1) 1.000000 0.000000

X( 4, 9, 4) 1.000000 0.000000

X( 5, 1, 5) 1.000000 0.000000

X( 5, 2, 9) 1.000000 0.000000

X( 5, 3, 4) 1.000000 0.000000

X( 5, 4, 6) 1.000000 0.000000

X( 5, 5, 1) 1.000000 0.000000

X( 5, 6, 3) 1.000000 0.000000

X( 5, 7, 7) 1.000000 0.000000

X( 5, 8, 8) 1.000000 0.000000

X( 5, 9, 2) 1.000000 0.000000

X( 6, 1, 2) 1.000000 0.000000

X( 6, 2, 1) 1.000000 0.000000

X( 6, 3, 7) 1.000000 0.000000

X( 6, 4, 8) 1.000000 0.000000

X( 6, 5, 9) 1.000000 0.000000

X( 6, 6, 4) 1.000000 0.000000

X( 6, 7, 6) 1.000000 0.000000

X( 6, 8, 3) 1.000000 0.000000

X( 6, 9, 5) 1.000000 0.000000

X( 7, 1, 9) 1.000000 0.000000

X( 7, 2, 8) 1.000000 0.000000

X( 7, 3, 5) 1.000000 0.000000

X( 7, 4, 7) 1.000000 0.000000

X( 7, 5, 2) 1.000000 0.000000

X( 7, 6, 1) 1.000000 0.000000

X( 7, 7, 3) 1.000000 0.000000

X( 7, 8, 4) 1.000000 0.000000

X( 7, 9, 6) 1.000000 0.000000

X( 8, 1, 4) 1.000000 0.000000

X( 8, 2, 6) 1.000000 0.000000

X( 8, 3, 2) 1.000000 0.000000

X( 8, 4, 3) 1.000000 0.000000

X( 8, 5, 8) 1.000000 0.000000

X( 8, 6, 5) 1.000000 0.000000

X( 8, 7, 1) 1.000000 0.000000

X( 8, 8, 7) 1.000000 0.000000

X( 8, 9, 9) 1.000000 0.000000

X( 9, 1, 3) 1.000000 0.000000

X( 9, 2, 7) 1.000000 0.000000

X( 9, 3, 1) 1.000000 0.000000

X( 9, 4, 9) 1.000000 0.000000

X( 9, 5, 4) 1.000000 0.000000

X( 9, 6, 6) 1.000000 0.000000

X( 9, 7, 2) 1.000000 0.000000

X( 9, 8, 5) 1.000000 0.000000

X( 9, 9, 8) 1.000000 0.000000

31


sets:

row/1..9/;

col/1..9/;

val/1..9/;


endsets

X(1,2,3)=1;X(1,3,2)=1;X(1,5,8)=1;X(1,7,7)=1;X(1,8,1)=1;

X(2,1,9)=1;X(2,2,8)=1;X(2,8,2)=1;X(2,9,3)=1;X(3,5,3)=1;

X(4,1,1)=1;X(4,3,5)=1;X(4,7,2)=1;X(4,9,8)=1;X(5,5,6)=1;

X(6,1,6)=1;X(6,3,3)=1;X(6,7,1)=1;X(6,9,9)=1;X(7,5,2)=1;

X(8,1,4)=1;X(8,2,5)=1;X(8,8,7)=1;X(8,9,2)=1;X(9,2,1)=1;

X(9,3,7)=1;X(9,5,5)=1;X(9,8,8)=1;X(9,9,6)=1;

Min=X(1,1,1);









)))=1);






7,k))=1);


8,k))=1);


9,k))=1);


7,k))=1);


8,k))=1);


9,k))=1);


7,k))=1);


8,k))=1);


9,k))=1);


End

32









X( 1, 1, 5) 1.000000 0.000000

X( 1, 2, 3) 1.000000 0.000000

X( 1, 3, 2) 1.000000 0.000000

X( 1, 4, 6) 1.000000 0.000000

X( 1, 5, 8) 1.000000 0.000000

X( 1, 6, 9) 1.000000 0.000000

X( 1, 7, 7) 1.000000 0.000000

X( 1, 8, 1) 1.000000 0.000000

X( 1, 9, 4) 1.000000 0.000000

X( 2, 1, 9) 1.000000 0.000000

X( 2, 2, 8) 1.000000 0.000000

X( 2, 3, 4) 1.000000 0.000000

X( 2, 4, 7) 1.000000 0.000000

X( 2, 5, 1) 1.000000 0.000000

X( 2, 6, 5) 1.000000 0.000000

X( 2, 7, 6) 1.000000 0.000000

X( 2, 8, 2) 1.000000 0.000000

X( 2, 9, 3) 1.000000 0.000000

X( 3, 1, 7) 1.000000 0.000000

X( 3, 2, 6) 1.000000 0.000000

X( 3, 3, 1) 1.000000 0.000000

X( 3, 4, 4) 1.000000 0.000000

X( 3, 5, 3) 1.000000 0.000000

X( 3, 6, 2) 1.000000 0.000000

X( 3, 7, 8) 1.000000 0.000000

X( 3, 8, 9) 1.000000 0.000000

X( 3, 9, 5) 1.000000 0.000000

X( 4, 1, 1) 1.000000 0.000000

X( 4, 2, 7) 1.000000 0.000000

X( 4, 3, 5) 1.000000 0.000000

X( 4, 4, 9) 1.000000 0.000000

X( 4, 5, 4) 1.000000 0.000000

X( 4, 6, 3) 1.000000 0.000000

X( 4, 7, 2) 1.000000 0.000000

X( 4, 8, 6) 1.000000 0.000000

X( 4, 9, 8) 1.000000 0.000000

X( 5, 1, 8) 1.000000 0.000000

X( 5, 2, 4) 1.000000 0.000000

X( 5, 3, 9) 1.000000 0.000000

X( 5, 4, 2) 1.000000 0.000000

X( 5, 5, 6) 1.000000 0.000000

X( 5, 6, 1) 1.000000 0.000000

X( 5, 7, 5) 1.000000 0.000000

X( 5, 8, 3) 1.000000 0.000000

X( 5, 9, 7) 1.000000 0.000000

X( 6, 1, 6) 1.000000 0.000000

X( 6, 2, 2) 1.000000 0.000000

X( 6, 3, 3) 1.000000 0.000000

X( 6, 4, 5) 1.000000 0.000000

X( 6, 5, 7) 1.000000 0.000000

33

X( 6, 6, 8) 1.000000 0.000000

X( 6, 7, 1) 1.000000 0.000000

X( 6, 8, 4) 1.000000 0.000000

X( 6, 9, 9) 1.000000 0.000000

X( 7, 1, 3) 1.000000 0.000000

X( 7, 2, 9) 1.000000 0.000000

X( 7, 3, 6) 1.000000 0.000000

X( 7, 4, 8) 1.000000 0.000000

X( 7, 5, 2) 1.000000 0.000000

X( 7, 6, 7) 1.000000 0.000000

X( 7, 7, 4) 1.000000 0.000000

X( 7, 8, 5) 1.000000 0.000000

X( 7, 9, 1) 1.000000 0.000000

X( 8, 1, 4) 1.000000 0.000000

X( 8, 2, 5) 1.000000 0.000000

X( 8, 3, 8) 1.000000 0.000000

X( 8, 4, 1) 1.000000 0.000000

X( 8, 5, 9) 1.000000 0.000000

X( 8, 6, 6) 1.000000 0.000000

X( 8, 7, 3) 1.000000 0.000000

X( 8, 8, 7) 1.000000 0.000000

X( 8, 9, 2) 1.000000 0.000000

X( 9, 1, 2) 1.000000 0.000000

X( 9, 2, 1) 1.000000 0.000000

X( 9, 3, 7) 1.000000 0.000000

X( 9, 4, 3) 1.000000 0.000000

X( 9, 5, 5) 1.000000 0.000000

X( 9, 6, 4) 1.000000 0.000000

X( 9, 7, 9) 1.000000 0.000000

X( 9, 8, 8) 1.000000 0.000000

X( 9, 9, 6) 1.000000 0.000000


sets:

row/1..9/;

col/1..9/;

val/1..9/;


endsets

X(1,1,4)=1;X(1,3,1)=1;X(1,5,8)=1;X(1,7,3)=1;X(1,9,7)=1;

X(2,2,6)=1;X(2,4,7)=1;X(2,6,1)=1;X(2,8,5)=1;X(2,9,9)=1;

X(3,2,3)=1;X(3,4,6)=1;X(3,6,9)=1;X(3,8,1)=1;X(3,9,4)=1;

X(4,1,9)=1;X(4,2,7)=1;X(4,4,8)=1;X(4,6,6)=1;X(4,8,2)=1;

X(5,1,1)=1;X(5,3,6)=1;X(5,5,2)=1;X(5,7,9)=1;X(5,9,3)=1;

X(6,2,5)=1;X(6,4,1)=1;X(6,6,3)=1;X(6,7,8)=1;X(6,9,6)=1;

X(7,1,6)=1;X(7,3,9)=1;X(7,5,5)=1;X(7,7,7)=1;X(7,9,8)=1;

X(8,1,5)=1;X(8,2,4)=1;X(8,4,3)=1;X(8,6,8)=1;X(8,8,9)=1;

X(9,2,2)=1;X(9,4,9)=1;X(9,6,7)=1;X(9,8,4)=1;X(9,9,1)=1;

MIN=X(1,1,1);





1,k))=1);

34


4,k))=1);


9,k))=1);


5,k))=1);


6,k))=1);


9,k))=1);


3,k))=1);


6,k))=1);


9,k))=1);


7,k))=1);


8,k))=1);


9,k))=1);


7,k))=1);


8,k))=1);


9,k))=1);


7,k))=1);


8,k))=1);


9,k))=1);


1,k))=1);


9,k))=1);


end









X( 1, 1, 4) 1.000000 0.000000

X( 1, 2, 9) 1.000000 0.000000

X( 1, 3, 1) 1.000000 0.000000

X( 1, 4, 5) 1.000000 0.000000

X( 1, 5, 8) 1.000000 0.000000

X( 1, 6, 2) 1.000000 0.000000

35

X( 1, 7, 3) 1.000000 0.000000

X( 1, 8, 6) 1.000000 0.000000

X( 1, 9, 7) 1.000000 0.000000

X( 2, 1, 8) 1.000000 0.000000

X( 2, 2, 6) 1.000000 0.000000

X( 2, 3, 4) 1.000000 0.000000

X( 2, 4, 7) 1.000000 0.000000

X( 2, 5, 3) 1.000000 0.000000

X( 2, 6, 1) 1.000000 0.000000

X( 2, 7, 2) 1.000000 0.000000

X( 2, 8, 5) 1.000000 0.000000

X( 2, 9, 9) 1.000000 0.000000

X( 3, 1, 2) 1.000000 0.000000

X( 3, 2, 3) 1.000000 0.000000

X( 3, 3, 5) 1.000000 0.000000

X( 3, 4, 6) 1.000000 0.000000

X( 3, 5, 7) 1.000000 0.000000

X( 3, 6, 9) 1.000000 0.000000

X( 3, 7, 8) 1.000000 0.000000

X( 3, 8, 1) 1.000000 0.000000

X( 3, 9, 4) 1.000000 0.000000

X( 4, 1, 9) 1.000000 0.000000

X( 4, 2, 7) 1.000000 0.000000

X( 4, 3, 3) 1.000000 0.000000

X( 4, 4, 8) 1.000000 0.000000

X( 4, 5, 4) 1.000000 0.000000

X( 4, 6, 6) 1.000000 0.000000

X( 4, 7, 1) 1.000000 0.000000

X( 4, 8, 2) 1.000000 0.000000

X( 4, 9, 5) 1.000000 0.000000

X( 5, 1, 1) 1.000000 0.000000

X( 5, 2, 8) 1.000000 0.000000

X( 5, 3, 6) 1.000000 0.000000

X( 5, 4, 4) 1.000000 0.000000

X( 5, 5, 2) 1.000000 0.000000

X( 5, 6, 5) 1.000000 0.000000

X( 5, 7, 9) 1.000000 0.000000

X( 5, 8, 7) 1.000000 0.000000

X( 5, 9, 3) 1.000000 0.000000

X( 6, 1, 7) 1.000000 0.000000

X( 6, 2, 5) 1.000000 0.000000

X( 6, 3, 2) 1.000000 0.000000

X( 6, 4, 1) 1.000000 0.000000

X( 6, 5, 9) 1.000000 0.000000

X( 6, 6, 3) 1.000000 0.000000

X( 6, 7, 4) 1.000000 0.000000

X( 6, 8, 8) 1.000000 0.000000

X( 6, 9, 6) 1.000000 0.000000

X( 7, 1, 6) 1.000000 0.000000

X( 7, 2, 1) 1.000000 0.000000

X( 7, 3, 9) 1.000000 0.000000

X( 7, 4, 2) 1.000000 0.000000

X( 7, 5, 5) 1.000000 0.000000

X( 7, 6, 4) 1.000000 0.000000

X( 7, 7, 7) 1.000000 0.000000

X( 7, 8, 3) 1.000000 0.000000

X( 7, 9, 8) 1.000000 0.000000

X( 8, 1, 5) 1.000000 0.000000

36

X( 8, 2, 4) 1.000000 0.000000

X( 8, 3, 7) 1.000000 0.000000

X( 8, 4, 3) 1.000000 0.000000

X( 8, 5, 1) 1.000000 0.000000

X( 8, 6, 8) 1.000000 0.000000

X( 8, 7, 6) 1.000000 0.000000

X( 8, 8, 9) 1.000000 0.000000

X( 8, 9, 2) 1.000000 0.000000

X( 9, 1, 3) 1.000000 0.000000

X( 9, 2, 2) 1.000000 0.000000

X( 9, 3, 8) 1.000000 0.000000

X( 9, 4, 9) 1.000000 0.000000

X( 9, 5, 6) 1.000000 0.000000

X( 9, 6, 7) 1.000000 0.000000

X( 9, 7, 5) 1.000000 0.000000

X( 9, 8, 4) 1.000000 0.000000

X( 9, 9, 1) 1.000000 0.000000


sets:

row/1..9/;

col/1..9/;

val/1..9/;


endsets

X(1,2,8)=1;X(1,4,1)=1;X(1,6,9)=1;X(1,8,7)=1;X(1,9,3)=1;

X(2,1,7)=1;X(2,2,6)=1;X(2,4,3)=1;X(2,6,1)=1;X(2,8,5)=1;

X(3,1,5)=1;X(3,3,8)=1;X(3,5,3)=1;X(3,7,6)=1;X(3,9,1)=1;

X(4,1,3)=1;X(4,3,4)=1;X(4,5,7)=1;X(4,7,9)=1;X(4,9,8)=1;

X(5,2,7)=1;X(5,4,2)=1;X(5,6,8)=1;X(5,8,1)=1;X(5,9,5)=1;

X(6,1,9)=1;X(6,2,3)=1;X(6,4,8)=1;X(6,6,6)=1;X(6,8,4)=1;

X(7,2,5)=1;X(7,4,6)=1;X(7,5,2)=1;X(7,7,1)=1;X(7,8,9)=1;

X(8,1,6)=1;X(8,3,3)=1;X(8,5,1)=1;X(8,7,5)=1;X(8,8,8)=1;

X(9,2,2)=1;X(9,5,8)=1;X(9,6,5)=1;X(9,7,7)=1;X(9,9,6)=1;

MIN=X(1,1,1);





1,k))=1);


4,k))=1);


9,k))=1);


5,k))=1);


6,k))=1);


9,k))=1);


3,k))=1);


6,k))=1);

37


9,k))=1);


1,k))=1);


4,k))=1);


8,k))=1);


end









X( 1, 1, 2) 1.000000 0.000000

X( 1, 2, 8) 1.000000 0.000000

X( 1, 3, 5) 1.000000 0.000000

X( 1, 4, 1) 1.000000 0.000000

X( 1, 5, 6) 1.000000 0.000000

X( 1, 6, 9) 1.000000 0.000000

X( 1, 7, 4) 1.000000 0.000000

X( 1, 8, 7) 1.000000 0.000000

X( 1, 9, 3) 1.000000 0.000000

X( 2, 1, 7) 1.000000 0.000000

X( 2, 2, 6) 1.000000 0.000000

X( 2, 3, 2) 1.000000 0.000000

X( 2, 4, 3) 1.000000 0.000000

X( 2, 5, 4) 1.000000 0.000000

X( 2, 6, 1) 1.000000 0.000000

X( 2, 7, 8) 1.000000 0.000000

X( 2, 8, 5) 1.000000 0.000000

X( 2, 9, 9) 1.000000 0.000000

X( 3, 1, 5) 1.000000 0.000000

X( 3, 2, 9) 1.000000 0.000000

X( 3, 3, 8) 1.000000 0.000000

X( 3, 4, 7) 1.000000 0.000000

X( 3, 5, 3) 1.000000 0.000000

X( 3, 6, 4) 1.000000 0.000000

X( 3, 7, 6) 1.000000 0.000000

X( 3, 8, 2) 1.000000 0.000000

X( 3, 9, 1) 1.000000 0.000000

X( 4, 1, 3) 1.000000 0.000000

X( 4, 2, 1) 1.000000 0.000000

X( 4, 3, 4) 1.000000 0.000000

X( 4, 4, 5) 1.000000 0.000000

X( 4, 5, 7) 1.000000 0.000000

X( 4, 6, 2) 1.000000 0.000000

X( 4, 7, 9) 1.000000 0.000000

X( 4, 8, 6) 1.000000 0.000000

X( 4, 9, 8) 1.000000 0.000000

X( 5, 1, 4) 1.000000 0.000000

38

X( 5, 2, 7) 1.000000 0.000000

X( 5, 3, 6) 1.000000 0.000000

X( 5, 4, 2) 1.000000 0.000000

X( 5, 5, 9) 1.000000 0.000000

X( 5, 6, 8) 1.000000 0.000000

X( 5, 7, 3) 1.000000 0.000000

X( 5, 8, 1) 1.000000 0.000000

X( 5, 9, 5) 1.000000 0.000000

X( 6, 1, 9) 1.000000 0.000000

X( 6, 2, 3) 1.000000 0.000000

X( 6, 3, 1) 1.000000 0.000000

X( 6, 4, 8) 1.000000 0.000000

X( 6, 5, 5) 1.000000 0.000000

X( 6, 6, 6) 1.000000 0.000000

X( 6, 7, 2) 1.000000 0.000000

X( 6, 8, 4) 1.000000 0.000000

X( 6, 9, 7) 1.000000 0.000000

X( 7, 1, 8) 1.000000 0.000000

X( 7, 2, 5) 1.000000 0.000000

X( 7, 3, 7) 1.000000 0.000000

X( 7, 4, 6) 1.000000 0.000000

X( 7, 5, 2) 1.000000 0.000000

X( 7, 6, 3) 1.000000 0.000000

X( 7, 7, 1) 1.000000 0.000000

X( 7, 8, 9) 1.000000 0.000000

X( 7, 9, 4) 1.000000 0.000000

X( 8, 1, 6) 1.000000 0.000000

X( 8, 2, 4) 1.000000 0.000000

X( 8, 3, 3) 1.000000 0.000000

X( 8, 4, 9) 1.000000 0.000000

X( 8, 5, 1) 1.000000 0.000000

X( 8, 6, 7) 1.000000 0.000000

X( 8, 7, 5) 1.000000 0.000000

X( 8, 8, 8) 1.000000 0.000000

X( 8, 9, 2) 1.000000 0.000000

X( 9, 1, 1) 1.000000 0.000000

X( 9, 2, 2) 1.000000 0.000000

X( 9, 3, 9) 1.000000 0.000000

X( 9, 4, 4) 1.000000 0.000000

X( 9, 5, 8) 1.000000 0.000000

X( 9, 6, 5) 1.000000 0.000000

X( 9, 7, 7) 1.000000 0.000000

X( 9, 8, 3) 1.000000 0.000000

X( 9, 9, 6) 1.000000 0.000000

Lampiran 7 sintaks program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 7 dan solusinya model:

sets:

row/1..9/;

col/1..9/;

val/1..9/;


endsets

X(1,1,2)=1;X(1,2,4)=1;X(1,5,1)=1;X(1,7,8)=1;X(1,9,3)=1;

X(2,1,7)=1;X(2,3,3)=1;X(2,5,5)=1;X(2,7,2)=1;X(2,9,9)=1;

X(3,2,5)=1;X(3,4,2)=1;X(3,5,9)=1;X(3,6,3)=1;X(3,9,6)=1;

X(4,2,3)=1;X(4,4,5)=1;X(4,6,4)=1;X(4,8,2)=1;X(4,9,1)=1;

39

X(5,1,6)=1;X(5,2,8)=1;X(5,4,4)=1;X(5,8,3)=1;X(5,9,5)=1;

X(6,3,9)=1;X(6,4,6)=1;X(6,6,1)=1;X(6,8,8)=1;X(6,9,7)=1;

X(7,2,7)=1;X(7,4,1)=1;X(7,6,2)=1;X(7,7,3)=1;X(7,9,8)=1;

X(8,2,9)=1;X(8,4,3)=1;X(8,6,8)=1;X(8,7,5)=1;X(8,9,4)=1;

X(9,1,3)=1;X(9,3,8)=1;X(9,5,4)=1;X(9,7,7)=1;X(9,9,2)=1;

MIN=X(1,1,1);





1,k))=1);


4,k))=1);


9,k))=1);


5,k))=1);


6,k))=1);


9,k))=1);


3,k))=1);


6,k))=1);


9,k))=1);


7,k))=1);


8,k))=1);


9,k))=1);


7,k))=1);


8,k))=1);


9,k))=1);


7,k))=1);


8,k))=1);


9,k))=1);


end

40









X( 1, 1, 2) 1.000000 0.000000

X( 1, 2, 4) 1.000000 0.000000

X( 1, 3, 6) 1.000000 0.000000

X( 1, 4, 7) 1.000000 0.000000

X( 1, 5, 1) 1.000000 0.000000

X( 1, 6, 9) 1.000000 0.000000

X( 1, 7, 8) 1.000000 0.000000

X( 1, 8, 5) 1.000000 0.000000

X( 1, 9, 3) 1.000000 0.000000

X( 2, 1, 7) 1.000000 0.000000

X( 2, 2, 1) 1.000000 0.000000

X( 2, 3, 3) 1.000000 0.000000

X( 2, 4, 8) 1.000000 0.000000

X( 2, 5, 5) 1.000000 0.000000

X( 2, 6, 6) 1.000000 0.000000

X( 2, 7, 2) 1.000000 0.000000

X( 2, 8, 4) 1.000000 0.000000

X( 2, 9, 9) 1.000000 0.000000

X( 3, 1, 8) 1.000000 0.000000

X( 3, 2, 5) 1.000000 0.000000

X( 3, 3, 4) 1.000000 0.000000

X( 3, 4, 2) 1.000000 0.000000

X( 3, 5, 9) 1.000000 0.000000

X( 3, 6, 3) 1.000000 0.000000

X( 3, 7, 1) 1.000000 0.000000

X( 3, 8, 7) 1.000000 0.000000

X( 3, 9, 6) 1.000000 0.000000

X( 4, 1, 9) 1.000000 0.000000

X( 4, 2, 3) 1.000000 0.000000

X( 4, 3, 7) 1.000000 0.000000

X( 4, 4, 5) 1.000000 0.000000

X( 4, 5, 8) 1.000000 0.000000

X( 4, 6, 4) 1.000000 0.000000

X( 4, 7, 6) 1.000000 0.000000

X( 4, 8, 2) 1.000000 0.000000

X( 4, 9, 1) 1.000000 0.000000

X( 5, 1, 6) 1.000000 0.000000

X( 5, 2, 8) 1.000000 0.000000

X( 5, 3, 1) 1.000000 0.000000

X( 5, 4, 4) 1.000000 0.000000

X( 5, 5, 2) 1.000000 0.000000

X( 5, 6, 7) 1.000000 0.000000

X( 5, 7, 9) 1.000000 0.000000

X( 5, 8, 3) 1.000000 0.000000

X( 5, 9, 5) 1.000000 0.000000

X( 6, 1, 5) 1.000000 0.000000

X( 6, 2, 2) 1.000000 0.000000

X( 6, 3, 9) 1.000000 0.000000

X( 6, 4, 6) 1.000000 0.000000

X( 6, 5, 3) 1.000000 0.000000

41

X( 6, 6, 1) 1.000000 0.000000

X( 6, 7, 4) 1.000000 0.000000

X( 6, 8, 8) 1.000000 0.000000

X( 6, 9, 7) 1.000000 0.000000

X( 7, 1, 4) 1.000000 0.000000

X( 7, 2, 7) 1.000000 0.000000

X( 7, 3, 5) 1.000000 0.000000

X( 7, 4, 1) 1.000000 0.000000

X( 7, 5, 6) 1.000000 0.000000

X( 7, 6, 2) 1.000000 0.000000

X( 7, 7, 3) 1.000000 0.000000

X( 7, 8, 9) 1.000000 0.000000

X( 7, 9, 8) 1.000000 0.000000

X( 8, 1, 1) 1.000000 0.000000

X( 8, 2, 9) 1.000000 0.000000

X( 8, 3, 2) 1.000000 0.000000

X( 8, 4, 3) 1.000000 0.000000

X( 8, 5, 7) 1.000000 0.000000

X( 8, 6, 8) 1.000000 0.000000

X( 8, 7, 5) 1.000000 0.000000

X( 8, 8, 6) 1.000000 0.000000

X( 8, 9, 4) 1.000000 0.000000

X( 9, 1, 3) 1.000000 0.000000

X( 9, 2, 6) 1.000000 0.000000

X( 9, 3, 8) 1.000000 0.000000

X( 9, 4, 9) 1.000000 0.000000

X( 9, 5, 4) 1.000000 0.000000

X( 9, 6, 5) 1.000000 0.000000

X( 9, 7, 7) 1.000000 0.000000

X( 9, 8, 1) 1.000000 0.000000

X( 9, 9, 2) 1.000000 0.000000

Lampiran 8 Sintaks Program LINGO 11.0 Challenger Puzzle Tipe A dan solusinya model:

sets:

row/1..4/;

col/1..4/;

LINK(row,col):X;

endsets

X(1,4)=4;X(2,1)=3;X(3,4)=4;X(4,1)=6;X(4,3)=7;

min=X(1,1);

@sum(row(i):X(i,1))=16;

@sum(row(i):X(i,2))=16;

@sum(row(i):X(i,3))=16;

@sum(row(i):X(i,4))=16;

@sum(col(j):X(1,j))=16;

@sum(col(j):X(2,j))=16;

@sum(col(j):X(3,j))=16;

@sum(col(j):X(4,j))=16;

X(4,1)+X(3,2)+X(2,3)+X(1,4)=16;

X(1,1)+X(2,2)+X(3,3)+X(4,4)=16;

@FOR(row(i):@FOR(col(j):@GIN(X(i,j))));

42

@FOR(row(i):@FOR(col(j):X(i,j)<=9));

@FOR(row(i):@FOR(col(j):1<=X(i,j)));

end

Solusi Challenger Puzzle Tipe A








X( 1, 1) 4.000000 1.000000

X( 1, 2) 6.000000 0.000000

X( 1, 3) 2.000000 0.000000

X( 1, 4) 4.000000 0.000000

X( 2, 1) 3.000000 0.000000

X( 2, 2) 5.000000 0.000000

X( 2, 3) 2.000000 0.000000

X( 2, 4) 6.000000 0.000000

X( 3, 1) 3.000000 0.000000

X( 3, 2) 4.000000 0.000000

X( 3, 3) 5.000000 0.000000

X( 3, 4) 4.000000 0.000000

X( 4, 1) 6.000000 0.000000

X( 4, 2) 1.000000 0.000000

X( 4, 3) 7.000000 0.000000

X( 4, 4) 2.000000 0.000000

Lampiran 9 Sintaks Program LINGO 11.0 Challenger Puzzle Tipe B dan solusinya

model:

sets:

row/1..5/;

col/1..5/;

LINK(row,col):X;

endsets

X(1,2)=2;X(1,5)=6;X(2,1)=3;X(3,3)=4;X(5,1)=9;X(5,5)=7;

min=X(1,1);

@sum(row(i):X(i,1))=25;

@sum(row(i):X(i,2))=25;

@sum(row(i):X(i,3))=25;

@sum(row(i):X(i,4))=25;

@sum(row(i):X(i,5))=25;

@sum(col(j):X(1,j))=25;

@sum(col(j):X(2,j))=25;

@sum(col(j):X(3,j))=25;

@sum(col(j):X(4,j))=25;

@sum(col(j):X(5,j))=25;

X(5,1)+X(4,2)+X(3,3)+X(2,4)+X(1,5)=25;

X(1,1)+X(2,2)+X(3,3)+X(4,4)+X(5,5)=25;

43




end

Solusi Challenger Puzzle Tipe B








X( 1, 1) 1.000000 1.000000

X( 1, 2) 2.000000 0.000000

X( 1, 3) 9.000000 0.000000

X( 1, 4) 7.000000 0.000000

X( 1, 5) 6.000000 0.000000

X( 2, 1) 3.000000 0.000000

X( 2, 2) 9.000000 0.000000

X( 2, 3) 9.000000 0.000000

X( 2, 4) 2.000000 0.000000

X( 2, 5) 2.000000 0.000000

X( 3, 1) 5.000000 0.000000

X( 3, 2) 9.000000 0.000000

X( 3, 3) 4.000000 0.000000

X( 3, 4) 6.000000 0.000000

X( 3, 5) 1.000000 0.000000

X( 4, 1) 7.000000 0.000000

X( 4, 2) 4.000000 0.000000

X( 4, 3) 1.000000 0.000000

X( 4, 4) 4.000000 0.000000

X( 4, 5) 9.000000 0.000000

X( 5, 1) 9.000000 0.000000

X( 5, 2) 1.000000 0.000000

X( 5, 3) 2.000000 0.000000

X( 5, 4) 6.000000 0.000000

X( 5, 5) 7.000000 0.000000

Lampiran 10 Sintaks Program LINGO 11.0 Challenger Puzzle Tipe C dan solusinya model:

sets:

row/1..4/;

col/1..4/;

LINK(row,col):X;

endsets

X(1,1)=5;X(1,4)=2;X(2,3)=4;X(3,1)=6;X(4,2)=1;X(4,4)=6;

min=X(1,1);

@sum(row(i):X(i,1))=24;

@sum(row(i):X(i,2))=13;

@sum(row(i):X(i,3))=24;

@sum(row(i):X(i,4))=12;

@sum(col(j):X(1,j))=22;

44

@sum(col(j):X(2,j))=17;

@sum(col(j):X(3,j))=16;

@sum(col(j):X(4,j))=18;

X(4,1)+X(3,2)+X(2,3)+X(1,4)=12;

X(1,1)+X(2,2)+X(3,3)+X(4,4)=19;




end

Solusi Challenger Puzzle Tipe C








X( 1, 1) 5.000000 0.000000

X( 1, 2) 9.000000 0.000000

X( 1, 3) 6.000000 0.000000

X( 1, 4) 2.000000 0.000000

X( 2, 1) 9.000000 0.000000

X( 2, 2) 1.000000 0.000000

X( 2, 3) 4.000000 0.000000

X( 2, 4) 3.000000 0.000000

X( 3, 1) 6.000000 0.000000

X( 3, 2) 2.000000 0.000000

X( 3, 3) 7.000000 0.000000

X( 3, 4) 1.000000 0.000000

X( 4, 1) 4.000000 0.000000

X( 4, 2) 1.000000 0.000000

X( 4, 3) 7.000000 0.000000

X( 4, 4) 6.000000 0.000000

Lampiran 11 Sintaks Program LINGO 11.0 Challenger Puzzle Tipe D dan solusinya model:

sets:

row/1..5/;

col/1..5/;

LINK(row,col):X;

endsets

X(1,1)=8;X(1,5)=5;X(2,2)=7;X(2,4)=6;X(3,1)=2;

X(3,5)=1;X(4,3)=4;X(5,2)=8;X(5,5)=2;

min=X(1,1);

@sum(row(i):X(i,1))=18;

@sum(row(i):X(i,2))=28;

@sum(row(i):X(i,3))=20;

@sum(row(i):X(i,4))=26;

@sum(row(i):X(i,5))=23;

@sum(col(j):X(1,j))=24;

45

@sum(col(j):X(2,j))=29;

@sum(col(j):X(3,j))=25;

@sum(col(j):X(4,j))=16;

@sum(col(j):X(5,j))=21;

X(5,1)+X(4,2)+X(3,3)+X(2,4)+X(1,5)=25;

X(1,1)+X(2,2)+X(3,3)+X(4,4)+X(5,5)=29;




end

Solusi Challenger Puzzle Tipe D








X( 1, 1) 8.000000 0.000000

X( 1, 2) 3.000000 0.000000

X( 1, 3) 1.000000 0.000000

X( 1, 4) 7.000000 0.000000

X( 1, 5) 5.000000 0.000000

X( 2, 1) 2.000000 0.000000

X( 2, 2) 7.000000 0.000000

X( 2, 3) 5.000000 0.000000

X( 2, 4) 6.000000 0.000000

X( 2, 5) 9.000000 0.000000

X( 3, 1) 2.000000 0.000000

X( 3, 2) 9.000000 0.000000

X( 3, 3) 8.000000 0.000000

X( 3, 4) 5.000000 0.000000

X( 3, 5) 1.000000 0.000000

X( 4, 1) 1.000000 0.000000

X( 4, 2) 1.000000 0.000000

X( 4, 3) 4.000000 0.000000

X( 4, 4) 4.000000 0.000000

X( 4, 5) 6.000000 0.000000

X( 5, 1) 5.000000 0.000000

X( 5, 2) 8.000000 0.000000

X( 5, 3) 2.000000 0.000000

X( 5, 4) 4.000000 0.000000

X( 5, 5) 2.000000 0.000000

Lampiran 12 Sintaks Program LINGO 11.0 N-Queens Problem Tipe I dan solusinya

model: sets:

row/1..8/;

col/1..8/;

LINK(row,col):X;

endsets

46

min=X(1,1);

@sum(row(i):X(i,1))=1;








@sum(col(j):X(1,j))=1;








X(1,1)+X(2,2)+X(3,3)+X(4,4)+X(5,5)+X(6,6)+X(7,7)+X(8,8)<=1;

X(8,1)+X(7,2)+X(6,3)+X(5,4)+X(4,5)+X(3,6)+X(2,7)+X(1,8)<=1;

X(2,1)+X(3,2)+X(4,3)+X(5,4)+X(6,5)+X(7,6)+X(8,7)<=1;

X(3,1)+X(4,2)+X(5,3)+X(6,4)+X(7,5)+X(8,6)<=1;

X(4,1)+X(5,2)+X(6,3)+X(7,4)+X(8,5)<=1;

X(5,1)+X(6,2)+X(7,3)+X(8,4)<=1;

X(6,1)+X(7,2)+X(8,3)<=1;

X(7,1)+X(8,2)<=1;

X(1,2)+X(2,3)+X(3,4)+X(4,5)+X(5,6)+X(6,7)+X(7,8)<=1;

X(1,3)+X(2,4)+X(3,5)+X(4,6)+X(5,7)+X(6,8)<=1;

X(1,4)+X(2,5)+X(3,6)+X(4,7)+X(5,8)<=1;

X(1,5)+X(2,6)+X(3,7)+X(4,8)<=1;

X(1,6)+X(2,7)+X(3,8)<=1;

X(1,7)+X(2,8)<=1;

X(1,7)+X(2,6)+X(3,5)+X(4,4)+X(5,3)+X(6,2)+X(7,1)<=1;

X(1,6)+X(2,5)+X(3,4)+X(4,3)+X(5,2)+X(6,1)<=1;

X(1,5)+X(2,4)+X(3,3)+X(4,2)+X(5,1)<=1;

X(1,4)+X(2,3)+X(3,2)+X(4,1)<=1;

X(1,3)+X(2,2)+X(3,1)<=1;

X(1,2)+X(2,1)<=1;

X(2,8)+X(3,7)+X(4,6)+X(5,5)+X(6,4)+X(7,3)+X(8,2)<=1;

X(3,8)+X(4,7)+X(5,6)+X(6,5)+X(7,4)+X(8,3)<=1;

X(4,8)+X(5,7)+X(6,6)+X(7,5)+X(8,4)<=1;

X(5,8)+X(6,7)+X(7,6)+X(8,5)<=1;

X(6,8)+X(7,7)+X(8,6)<=1;

X(7,8)+X(8,7)<=1;




end

47

Solusi N-Queens Problem Tipe I








X( 1, 7) 1.000000 0.000000

X( 2, 4) 1.000000 0.000000

X( 3, 2) 1.000000 0.000000

X( 4, 8) 1.000000 0.000000

X( 5, 6) 1.000000 0.000000

X( 6, 1) 1.000000 0.000000

X( 7, 3) 1.000000 0.000000

X( 8, 5) 1.000000 0.000000

Lampiran 13 Sintaks Program LINGO 11.0 N-Queens Problem Tipe II dan

solusinya model:

sets:

row/1..8/;

col/1..8/;

LINK(row,col):X;

endsets

X(6,4)=1;

X(7,7)=1;

X(8,1)=1;

min=X(1,1);

















X(1,1)+X(2,2)+X(3,3)+X(4,4)+X(5,5)+X(6,6)+X(7,7)+X(8,8)<=1;

X(8,1)+X(7,2)+X(6,3)+X(5,4)+X(4,5)+X(3,6)+X(2,7)+X(1,8)<=1;

X(2,1)+X(3,2)+X(4,3)+X(5,4)+X(6,5)+X(7,6)+X(8,7)<=1;

X(3,1)+X(4,2)+X(5,3)+X(6,4)+X(7,5)+X(8,6)<=1;

X(4,1)+X(5,2)+X(6,3)+X(7,4)+X(8,5)<=1;

X(5,1)+X(6,2)+X(7,3)+X(8,4)<=1;

X(6,1)+X(7,2)+X(8,3)<=1;

48

X(7,1)+X(8,2)<=1;

X(1,2)+X(2,3)+X(3,4)+X(4,5)+X(5,6)+X(6,7)+X(7,8)<=1;

X(1,3)+X(2,4)+X(3,5)+X(4,6)+X(5,7)+X(6,8)<=1;

X(1,4)+X(2,5)+X(3,6)+X(4,7)+X(5,8)<=1;

X(1,5)+X(2,6)+X(3,7)+X(4,8)<=1;

X(1,6)+X(2,7)+X(3,8)<=1;

X(1,7)+X(2,8)<=1;

X(1,7)+X(2,6)+X(3,5)+X(4,4)+X(5,3)+X(6,2)+X(7,1)<=1;

X(1,6)+X(2,5)+X(3,4)+X(4,3)+X(5,2)+X(6,1)<=1;

X(1,5)+X(2,4)+X(3,3)+X(4,2)+X(5,1)<=1;

X(1,4)+X(2,3)+X(3,2)+X(4,1)<=1;

X(1,3)+X(2,2)+X(3,1)<=1;

X(1,2)+X(2,1)<=1;

X(2,8)+X(3,7)+X(4,6)+X(5,5)+X(6,4)+X(7,3)+X(8,2)<=1;

X(3,8)+X(4,7)+X(5,6)+X(6,5)+X(7,4)+X(8,3)<=1;

X(4,8)+X(5,7)+X(6,6)+X(7,5)+X(8,4)<=1;

X(5,8)+X(6,7)+X(7,6)+X(8,5)<=1;

X(6,8)+X(7,7)+X(8,6)<=1;

X(7,8)+X(8,7)<=1;




end

Solusi N-Queens Problem Tipe II








X( 1, 3) 1.000000 0.000000

X( 2, 5) 1.000000 0.000000

X( 3, 2) 1.000000 0.000000

X( 4, 8) 1.000000 0.000000

X( 5, 6) 1.000000 0.000000

X( 6, 4) 1.000000 0.000000

X( 7, 7) 1.000000 0.000000

X( 8, 1) 1.000000 0.000000

Lampiran 14 Sintaks Program LINGO 11.0 N-Queens Problem Tipe III dan

solusinya model:

sets:

row/1..8/;

col/1..8/;

LINK(row,col):X;

endsets

X(3,6)=1;

X(4,8)=1;

49

X(5,3)=1;

X(6,1)=1;

X(8,5)=1;

min=X(1,1);

















X(1,1)+X(2,2)+X(3,3)+X(4,4)+X(5,5)+X(6,6)+X(7,7)+X(8,8)<=1;

X(8,1)+X(7,2)+X(6,3)+X(5,4)+X(4,5)+X(3,6)+X(2,7)+X(1,8)<=1;

X(2,1)+X(3,2)+X(4,3)+X(5,4)+X(6,5)+X(7,6)+X(8,7)<=1;

X(3,1)+X(4,2)+X(5,3)+X(6,4)+X(7,5)+X(8,6)<=1;

X(4,1)+X(5,2)+X(6,3)+X(7,4)+X(8,5)<=1;

X(5,1)+X(6,2)+X(7,3)+X(8,4)<=1;

X(6,1)+X(7,2)+X(8,3)<=1;

X(7,1)+X(8,2)<=1;

X(1,2)+X(2,3)+X(3,4)+X(4,5)+X(5,6)+X(6,7)+X(7,8)<=1;

X(1,3)+X(2,4)+X(3,5)+X(4,6)+X(5,7)+X(6,8)<=1;

X(1,4)+X(2,5)+X(3,6)+X(4,7)+X(5,8)<=1;

X(1,5)+X(2,6)+X(3,7)+X(4,8)<=1;

X(1,6)+X(2,7)+X(3,8)<=1;

X(1,7)+X(2,8)<=1;

X(1,7)+X(2,6)+X(3,5)+X(4,4)+X(5,3)+X(6,2)+X(7,1)<=1;

X(1,6)+X(2,5)+X(3,4)+X(4,3)+X(5,2)+X(6,1)<=1;

X(1,5)+X(2,4)+X(3,3)+X(4,2)+X(5,1)<=1;

X(1,4)+X(2,3)+X(3,2)+X(4,1)<=1;

X(1,3)+X(2,2)+X(3,1)<=1;

X(1,2)+X(2,1)<=1;

X(2,8)+X(3,7)+X(4,6)+X(5,5)+X(6,4)+X(7,3)+X(8,2)<=1;

X(3,8)+X(4,7)+X(5,6)+X(6,5)+X(7,4)+X(8,3)<=1;

X(4,8)+X(5,7)+X(6,6)+X(7,5)+X(8,4)<=1;

X(5,8)+X(6,7)+X(7,6)+X(8,5)<=1;

X(6,8)+X(7,7)+X(8,6)<=1;

X(7,8)+X(8,7)<=1;



50


End

Solusi N-Queens Problem Tipe III








X( 1, 2) 1.000000 0.000000

X( 2, 4) 1.000000 0.000000

X( 3, 6) 1.000000 0.000000

X( 4, 8) 1.000000 0.000000

X( 5, 3) 1.000000 0.000000

X( 6, 1) 1.000000 0.000000

X( 7, 7) 1.000000 0.000000

X( 8, 5) 1.000000 0.000000

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada 8 November 1990 sebagai anak pertama

dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Zaky Bazher dan Azizah Asyatiri. Pada

tahun 2002 penulis lulus dari SD N Tebet Timur 03 Pagi Jakarta Selatan

kemudian pada tahun 2005 lulus dari SLTP N 73 Jakarta Selatan. Tahun 2008

penulis lulus dari SMA Muhammadiyah 5 Jakarta Selatan dan pada tahun yang

sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur USMI (Undangan Seleksi

Masuk IPB) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai anggota Biro

Kewirausahaan Matematika IPB (GUMATIKA IPB) 2009/2010, ketua Biro

Kewirausahaan Matematika IPB (GUMATIKA IPB) 2010/2011. Penulis juga

aktif mengikuti kepanitiaan sebagai koordinator publikasi dekorasi dokumentasi

Seminar Kewirausahaan Matematika IPB 2010, staf divisi dana usaha dan

sponsorship Matematika Ria Pesta Sains Nasional IPB 2010, staf divisi publikasi

dekorasi dokumentasi Math Expo IPB 2010, staf divisi dana usaha Green Society

IPB 2010, staf divisi logistik Masa Perkenalan Departemen (MPD) Matematika

IPB 2010, staf divisi penanggungjawab kelompok Masa Perkenalan Fakultas

(MPF) FMIPA IPB 2011, staf divisi hubungan masyarakat Pesta Sains Nasional

IPB 2011.

PENYELESAIAN PERMAINAN SUDOKU,...

Documents

Transcript of PENYELESAIAN PERMAINAN SUDOKU,...