PENYELESAIAN MODEL REAKTOR ALIRAN BOLAK-BALIK (RABB)MENGGUNAKAN METODE ANALISIS HOMOTOPI

(TESIS)

Oleh

SRI WULANDARI

PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2019

ABSTRAK

PENYELESAIAN MODEL REAKTOR ALIRAN BOLAK-BALIK (RABB)MENGGUNAKAN METODE ANALISIS HOMOTOPI

Oleh

Sri Wulandari

Metana (CH4) merupakan salah satu gas rumah kaca yang berbahaya danberjumlah banyak di atmosfer. Strategi untuk mengurangi pengaruh pemanasanglobal adalah dengan mengkonversi gas CH4 menjadi gas CO2 denganmenggunakan reaktor aliran bolak balik (RABB). Salah satu model matematikayang menggambarkan dinamika suhu dan konsentrasi pada oksidasi metanamenggunakan RABB adalah model homogen semu 1-D yang dikemukakan olehKhinast, et. al.(1999). Penyelesaikan model dinamika suhu dan konversi padaproses oksidasi metana menggunakan RABB tanpa pendingin dengan metodeanalisis homotopi. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Liao pada tahun1992. Metode ini kemudian dimodifikasi lebih lanjut pada tahun 1997 untukmemperkenalkan parameter yang membangun homotopi pada sistem diferensialdalam bentuk umum. Dalam beberapa tahun belakangan ini, metode ini dapatdiaplikasikan untuk menyelesaikan berbagai sistem persamaan linear maupun taklinear dan yang homogen maupun tak homogen. Metode analisis homotopi inidigunakan untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan penentuankonvergensi deret. Metode analisis homotopi tidak bergantung pada besarkecilnya parameter.

Kata kunci: solusi analitik, model homogen semu 1-D, reaktor aliran bolak-balik,homotopi.

PENYELESAIAN MODEL REAKTOR ALIRAN BOLAK-BALIK (RABB)MENGGUNAKAN METODE ANALISIS HOMOTOPI

Oleh

SRI WULANDARI

Tesis

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh GelarMAGISTER SAINS

Pada

Jurusan Matematika Program Studi Magister MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG2019

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bumi Kencana Kabupaten Lampung Tengah pada tanggal 15

Mei 1993. Penulis merupakan anak keempat dari pasangan Bapak Sunardi dan Ibu

Sujini.

Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SDN 3 Bumi Kencana dan

lulus pada tahun 2005. Selanjutnya, penulis melanjutkan pendidikan sekolah

menengah pertama di SMPN 3 Terbanggi Besar dan lulus pada tahun 2008.

Kemudian melanjutkan pendidikan sekolah menengah atas di SMAN 1 Terbanggi

Besar dan lulus pada tahun 2011.

Pada tahun 2011 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui

jalur Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Undangan (SNMPTN Undangan )

dan lulus pada tahun 2015. Di tahun 2017 penulis terdaftar sebagai mahasiswa

Pascasarjana Program Studi Magister Matematika, Jurusan Matematika FMIPA

Universitas Lampung.

PERSEMBAHAN

Puji dan syukur atas rahmat Allah SWT, karena berkat ridho-Nya lah tesis

ini dapat terselesaikan. Dan dengan setulus hati, kupersembahkan karya

sederhanaku ini teruntuk :

Kedua orangtuaku tercinta Ibunda Sujini dan Ayahanda Sunardi terimakasih

untuk setiap do’a, dukungan, semangat, kasih sayang, serta perhatian yang

selalu diberikan untukku.

Kakak-kakakku tercinta Mas Sunandar dan Mbak Tri Windari serta adikku

Imam Wardani yang selalu memberikan dukungan dan semangat untuk

menyelesaikan tesis ini.

Suami tercinta Muchamad Riwanto Putro yang selalu memberikan

semangat, dukungan, serta do’a yang tiada hentinya untuk kesuksesan

penulis.

Anakku tersayang Daffa Hafidz Al Harist yang menjadi penyemangat

penulis dalam menyelesaikan tesis ini.

Kedua Mertua, Ibu Suparti dan Bapak Lukito Harmono yang selalu

medo’akan untuk kesuksesan penulis.

Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa dan selalu memberikan

motivasi kepada penulis.

Almamater Tercinta.

Niscaya Allah akan meninggikan beberapa derajat orang-orang yang beriman

diantaramu dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat.

(QS. Al-Mujaadalah : 11)

Dan perumpamaan-perumpamaan ini kami buat untuk manusia, dan tidak ada

yang akan memahaminya kecuali mereka yang berilmu.

(QS. Al-Ankabut : 43)

Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan. Maka apabila kamu telah

selesai (dari sesuatu urusan), kerjakanlah dengan sungguh-sungguh (urusan)

yang lain.

(QS. Asy-Syarh : 6-7)

Barang siapa yang menghendaki kehidupan di dunia maka wajib baginya

memiliki ilmu, dan barang siapa yang menghendaki kehidupan akhirat, maka wajib

baginya memiliki ilmu, dan barang siapa menghendaki keduannya maka wajib

baginya memiliki ilmu.

(HR. Tirmidzi)

Barang siapa berjalan untuk menuntut ilmu maka Allah akan memudahkan

baginya jalan ke surga.

(HR. Muslim)

SANWACANA

Puji syukur penulis panjatkan pada Allah SWT. atas berkat rahmat dan

hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis yang berjudul

“Penyelesaian Model Reaktor Aliran Bolak-Balik (RABB) Menggunakan

Metode Analisis Homotopi”. Pada proses penyusunan tesis ini, penulis

memperoleh banyak bimbingan, kritik, dan saran yang membangun sehingga tesis

ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terimakasih

kepada :

1. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing

utama yang telah memberikan bimbingan, pengarahan, dan waktu kepada

penulis dalam menyelesaikan tesis ini.

2. Bapak Dr. Aang Nuryaman, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu

yang telah memberikan bimbingan, pengarahan, dan waktu kepada penulis

dalam menyelesaikan tesis ini.

3. Bapak Dr. La Zakaria, S.Si., M.Sc., selaku dosen penguji pertama sekaligus

pembimbing akademik yang telah memberikan kritik dan saran.

4. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji kedua yang telah

memberikan kritik dan saran.

5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

6. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku Ketua Prodi. Magister Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

7. Bapak Drs. Suratman, M.Sc., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.

8. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada

penulis.

9. Kedua orang tua tercinta Bapak Sunardi dan Ibu Sujini, Mas Nandar, Mbak

Windari, serta adikku Imam Wardani yang selalu memberikan doa, dukungan,

motivasi, serta kasih sayang yang tulus.

10. Suamiku tercinta Muchamad Riwanto Putro dan anakku tersayang Daffa

Hafidz Al Harist yang amat luar biasa selalu memberikan do’a, semangat

kepada penulis untuk menyelesaikan program magister ini.

11. Ibu Suparti dan Bapak Lukito Harmono, selaku mertua yang selalu

mendo’akan dan memberikan motivasi untuk menyelesaikan program

magister ini.

12. Teman-teman seperjuangan Riyama, Dewi, Hanna, Mbak Umi, Cindy, Rafli,

Aldino, Dhani yang luar biasa atas pengalaman, kebersamaan, serta

kekeluargaan yang diberikan kepada penulis.

13. Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan penulisan

tesis ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Bandar Lampung, Desember 2019Penulis,

Sri Wulandari

xiii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL .................................................................................... xiv

DAFTAR GAMBAR ............................................................................... xv

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .......................................................................... 1 11.2 Perumusan Masalah .................................................................... 41.3 Maksud dan Tujuan ..................................................................... 41.4 Manfaat Penelitian ...................................................................... 4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Reaktor Aliran Bolak-Balik (RABB) ........................................ 52.2 Persamaan Diferensial Parsial ..................................................... 62.3 Model Homogen Semu 1-D ........................................................ 72.4 Metode Analisis Homotopi ......................................................... 11

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ...................................................... 153.2 Metode Penelitian ........................................................................ 15

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Mengkontruksi Persamaan Deformasi Orde- ........................... 184.2 Menentukan Solusi Persamaan Deformasi Orde- ....................... 224.3 Menentukan Deret Solusi Homotopi ............................................ 354.4 Grafik Solusi dari ( , ) dan ( , ) ....................................... 40

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Grafik Solusi untuk ( , ) ............................................................. 40

2. Grafik Solusi untuk ( , ) ............................................................. 40

xiv

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Nilai Parameter Fisis RABB ................................................................ 8

2. Nilai Parameter Tak Berdimensi pada RABB ...................................... 11

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai fenomena-fenomena alam yang

dapat dimodelkan dalam model matematika. Fenomena tersebut terkadang bisa

dimodelkan dalam persamaan diferensial, baik diferensial biasa ataupun

diferensial parsial. Jika fenomena tersebut merupakan sistem fisik yang sederhana

maka dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa, sedangkan jika

merupakan masalah-masalah yang lebih rumit maka harus dimodelkan dengan

persamaan diferensial parsial.

Pada kenyataannya, banyak model-model matematika yang memiliki persamaan

yang sulit untuk diselesaikan dengan menggunakan persamaan diferensial parsial

analitik biasa. Sehingga dikembangkan berbagai metode untuk menyelesaikan

persamaan tersebut, seperti metode transformasi Laplace, metode perturbasi,

metode beda hingga, dan lain sebagainya.

Salah satu fenomena alam adalah pemanasan global. Salah satu gas rumah kaca

yang berbahaya dan berjumlah banyak di atmosfer adalah gas metana (CH4).

2

Strategi untuk mengurangi pengaruh pemanasan global adalah dengan

mengkonversi gas CH4 menjadi gas CO2 menurut persamaan reaksi oksidasi

(pembakaran) :

CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O; ΔH298 = −802,7 Kj/mol (1.1)

Setiap 1 mol gas CH4 yang dioksidasi akan melepaskan energi panas sebesar

802,7 kJ. Konversi gas CH4 menjadi gas CO2 akan menurunkan pengaruh

pemanasan sebesar 87%. Keberadaan gas metana yang cukup kecil di udara (0,1-

1% volume) menyebabkan konversi gas metana menjadi gas CO2 membutuhkan

katalis agar reaksi tersebut dapat berlangsung. Di sisi lain temperatur metana

yang rendah (sekitar 303 K) sangat jauh dari temperatur reaksi sehingga

membutuhkan pemanasan awal gas umpan.

Reaktor Aliran Bolak-Balik (RABB) adalah reaktor yang tepat untuk

mengoksidasi gas CH4 menjadi CO2. RABB mempunyai keunggulan

dibandingkan reaktor unggun diam katalitik konvensional dalam hal kemampuan

beroperasi secara ototermal. Dinamika perilaku suhu dan konsentrasi pada proses

oksidasi metana pada RABB dapat dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan

diferensial parsial yang di dalamnya memuat suku diffusi dan konveksi.

Salah satu model matematika yang menggambarkan dinamika suhu dan

konsentrasi pada oksidasi metana menggunakan RABB adalah model homogen

semu 1-D yang dikemukakan oleh Khinast, et. al.(1999). Model tersebut telah

3

dicari solusi numerik yang dikemukakan oleh Nuryaman, dkk.(2012). Selain itu,

untuk persamaan konversi pada model oksidasi metana menggunakan RABB

telah dikaji oleh Nuryaman, dkk.(2012) dengan menggunakan metode perturbasi,

serta menggunakan metode homotopi perturbasi (Nuryaman, 2018).

Metode analisis homotopi pertama kali diperkenalkan oleh Liao pada tahun 1992.

Metode ini kemudian dimodifikasi lebih lanjut pada tahun 1997 untuk

memperkenalkan parameter yang membangun homotopi pada sistem diferensial

dalam bentuk umum. Dalam beberapa tahun belakangan ini, metode ini dapat

diaplikasikan untuk menyelesaikan berbagai sistem persamaan linear maupun tak

linear dan yang homogen maupun tak homogen. Metode analisis homotopi ini

digunakan untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan penentuan

konvergensi deret. Metode analisis homotopi tidak bergantung pada besar

kecilnya parameter. Kenyataannya metode homotopi lebih mudah digunakan

dalam menyelesaikan masalah yang sulit.

Berdasarkan hal tersebut, maka penulis mencoba menerapkan metode analisis

homotopi untuk menyelesaikan model dinamika suhu dan konversi pada proses

oksidasi metana menggunakan RABB tanpa pendingin.

4

1.2 Perumusan Masalah

Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah menentukan bagaimana cara

penyelesaian model RABB menggunakan metode analisis homotopi.

1.3 Maksud dan Tujuan

Maksud dan tujuan dalam penelitian ini adalah untuk memperoleh cara

penyelesaian baru untuk model RABB dengan metode analisis homotopi.

1.4 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Menambah pengetahuan mengenai metode analisis homotopi.

2. Memahami cara menyelesaikan model RABB menggunakan metode analisis

homotopi.

3. Menjadi alternatif untuk mencari solusi dari suatu persamaan dalam model

matematika.

5

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Reaktor Aliran Bolak-Balik (RABB)

Reaktor tak tunak merupakan reaktor yang memiliki variabel proses bervariasi

terhadap waktu. Ketidaktunakan ini dapat diimplementasikan pada variabel

proses reaktor utama berupa temperatur, tekanan, laju alir, dan konsentrasi.

Perubahan variabel proses (terutama temperatur) terhadap waktu memberikan

kesempatan mempertahankan laju reaksi di permukaan katalis pada laju yang

optimal.

Salah satu alternatif pengoperasian reaktor tak tunak adalah dengan cara

mengubah aliran yang melalui reaktor secara periodik. Konsep ini dikenal dengan

Reaktor Aliran Bolak Balik (RABB) atau Reverse Flow Reactor (RFR). RABB

dapat didefinisikan sebagai reaktor unggun diam yang arah alirannya diubah

secara periodik dalam selang waktu tertentu, selang waktu ini disebut waktu

balikan (Budhi, 2005).

6

2.2 Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan terhadap satu

atau lebih dari variabel-variabel bebas. Berdasarkan jumlah variabel bebasnya

persamaan diferensial dibagi dalam dua kelas, yaitu persamaan diferensial biasa

(PDB) dan persamaan diferensial parsial (PDP). Jika turunan fungsi itu hanya

tergantung pada satu variabel bebas, maka disebut persamaan diferensial biasa.

Sedangkan, jika turunan fungsi itu tergantung pada lebih dari satu variabel bebas

disebut persamaan diferensial parsial (Bronson dan Costa, 2007).

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang memuat lebih

dari satu turunan parsial. Persamaan diferensial parsial ini merupakan persamaan

yang menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variabel turunan

parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisika, model

matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Persamaan diferensial parsial

digolongkan berdasarkan unsur yang sama, yaitu orde, linearitas dan kondisi

batas. Orde dari persamaan diferensial parsial ditentukan oleh orde dari turunan

tertinggi dari persamaan diferensial parsial tersebut.

Persamaan diferensial orde 1− = 0 (2.1)

Persamaan diferensial orde 2+ = 0 (2.2)

7

Persamaan diferensial orde 3( ) + + = 0 (2.3)

(Sasongko, 2010).

2.3 Model Homogen Semu 1-D

Model matematika yang menggambarkan dinamika suhu dan konsentrasi pada

oksidasi metana menggunakan RABB adalah model homogen 1-D untuk reaktor

dengan pendingin (Khinast, 1999). Asumsi yang digunakan pada model ini adalah

distribusi suhu dan konsentrasi sepanjang garis = dengan adalah koordinat

titik ke-i dari panjang reaktor adalah bernilai sama dan tidak ada hambatan antara

fasa gas dan fasa padat (perubahan suhu gas metana dan katalis dianggap sama).

Model matematika ini diturunkan dari hukum kekekalan massa dan kekekalan

energi untuk reaksi:

Input – output + generasi = akumulasi

Berdasarkan asumsi yang digunakan maka model semu 1-D yang terbentuk dalam

aliran ke kanan diberikan oleh persamaan:((1 − )( ) + ( ) ) = − ( ) − ( − ) +(−∆ ) ( ) (2.4)= − − ( ) (2.5)

dimana konstanta laju reaksi ( ) diberikan oleh:

8

( ) = exp+ expDengan syarat batas di = 0− ( ) = − ,− = − (2.6)

dan di = = = 0 (2.7)

Kedua syarat batas di atas sering disebut syarat batas Danckwert yang

menyatakan laju flux suhu (konsentrasi) yang masuk di = 0 sebanding dengan

selisih antara suhu (konsentrasi) gas umpan dengan suhu (konsentrasi) di titik

tersebut serta tidak ada panas (konsentrasi) yang keluar dari daerah pengamatan.

Pada persamaan (2.4) –(2.7) , peubah = ( , ) dan = ( , ) berturut-turut

menyatakan suhu dan konsentrasi gas CH4 pada posisi dan pada saat . Adapun

keterangan parameter lain yang terdapat dalam persamaan (2.4)-(2.7) dapat dilihat

dalam Tabel 1. Pada kasus RABB tanpa pendingin maka suku ketiga di ruas

kanan pada persamaan (2.4) tidak ada.

Tabel 1. Nilai Parameter Fisis RABB

Parameter Nilai Keterangan4. 10 m s Konstanta difusi aksial60 Waktu pembalikan aliran1,26 Konduktivitas fasa padat1 Panjang reaktor

9

( ) 624,4 Kapasitas panas fasa gas( ) 1,319. 10 Kapasitas panas fasa padat2 Laju aliran gasΔ 50 Kenaikan suhu adiabatik0,69 Bed voidage323 Suhu gas umpanℎ 130 Koefisien transfer panas fluida0,005 Jari-jari luar reaktor1,815. 10 Faktor frekuensi1001,7 Energi aktivasi2628,8 Luas permukaan partikel katalis0,115 Koefisien transfer massa8,3145 Konstanta gas

Koefisien transfer panas keseluruhan

Dengan melakukan penskalaan ulang pada persamaan (2.4) – (2.7) maka

diperoleh persamaan tak berdimensi (Van Noorden, 2003) sebagai berikut:= − + ( )(1 − ) + (1 − )= − + ( )(1 − ) (2.8)(0, ) = ( (0, ) − 1)(0, ) = (0, )(1, ) = 0, (1, ) = 0 (2.9)

10

dimana :

( ) = 1,6656 x 10 , ( )/1,6656 x 10 + , /Peubah tak berdimensi yang digunakan pada persamaan (2.8) – (2.9) adalah

sebagai berikut:

= (1 − ) + ( )ℎ(1 − ) += (1 − ) += Δ /

(1 − ) += 2(1 − ) +

==

= /

( ) = exp ( − 1)+ exp

= , = (Nuryaman dkk, 2012).

11

Dengan = ( , ), = ( , ) adalah variabel tak berdimensi untuk suhu dan

konversi. Sedangkan , , , , , , dan adalah parameter tak berdimensi yang

nilainya diberikan pada Tabel 2. Sedangkan untuk ( ) adalah fungsi nonlinier

yang sesuai dengan laju reaksi pada RABB.

Tabel 2. Nilai parameter tak berdimensi pada RABB

No Parameter Nilai

1 6,9393 x 102 0,17493 1,5577 x 104 0,01745 2,4038 x 106 174,067 0,01

(Nuryaman, dkk., 2012)

2.4 Metode Analisis Homotopi

Metode analisis homotopi pertama kali dirancang pada tahun 1992 oleh Shijun

Liao dari Shanghai Jiaotong University dalam disertasi Ph.D-nya dan dimodifikasi

lebih lanjut pada tahun 1997 untuk memperkenalkan parameter tambahan nol-nol

atau disebut sebagai parameter konvergensi-kontrol yang dilambangkan c0 untuk

membangun homotopi pada sistem diferensial dalam bentuk umum.

12

Metode analisis homotopi adalah teknik semianalitis untuk memecahkan masalah

taklinear biasa atau persamaan diferensial parsial. Homotopi dapat didefinisikan

sebagai suatu penghubung antara dua benda yang berbeda di dalam matematika

yang memiliki karakteristik yang sama dibeberapa aspek (Liao, 2012).

Metode analisis homotopi yang diusulkan oleh Shijun Liao didasarkan pada

konsep dalam topologi dan diferensial geometri untuk menghasilkan

kekonvergenan deret dari sistem taklinear. Konsep homotopi kemudian ditelusuri

kembali oleh Jules Henri Poincare, seorang matematikawan Perancis. Homotopi

menjelaskan semacam variasi deformasi dalam matematika. Sebagai contoh

sebuah lingkaran dapat dideformasikan secara kontinu menjadi elips, dan bentuk

dari cangkir kopi dapat dideformasikan secara kontinu menjadi bentuk donat.

Pada intinya, homotopi didefinisikan sebagai suatu penghubung antara benda

yang berbeda dalam matematika yang memiliki karakteristik yang sama

diberbagai aspek.

Misalkan terdapat persamaan diferensial:

[ ( , )] = 0, = 1,2, … , (2.10)

dengan adalah operator tak linear yang mewakili seluruh persamaan, dan

adalah variabel bebas dan ( , ) adalah fungsi yang tidak diketahui. Dengan cara

menggeneralisasi metode homotopi sederhana, Liao menyusun persamaan

deformasi orde nol.

13

(1 − ) ( , ; ) − , ( , ) = ℏ [ ( , ; )] (2.11)

Dimana [0,1] adalah parameter homotopi, ℏ adalah fungsi taknol tambahan,

adalah operator linear tambahan, , ( , ) adalah syarat awal dari ( , ) dan( , ; ) adalah fungsi yang tidak diketahui. Penting untuk diingat bahwa, bebas

untuk memiligh objek tambahan seperti ℏ dan pada metode analisis homotopi.

Terlihat jelas bahwa saat = 0 dan = 1 , keduanya menghasilkan:

( , ; 0) = , ( , ) dan ( , ; 1) = ( , ) (2.12)

Maka, seiring dengan bertambahnya nilai dari 0 ke 1, solusi ( , ; ) berubah

dari syarat awal , ( , ) ke solusi ( , ). Mengekspansikan ( , ; ) ke

dalam deret Taylor terhadap , akan menghasilkan:

( , ; ) = , ( , ) + ∑ , ( , ) (2.13)

dimana

, = ! ( , ; ) | (2.14)

Jika operator linear tambahan, syarat awal, parameter tambahan ℏ , dan fungsi

tambahan dipilih dengan benar, maka deret pada persamaan (2.13) konvergen ke= 1 dan ( , ; 1) = , ( , ) + ∑ , ( , ) (2.15)

14

merupakan salah satu dari solusi – solusi persamaan tak linear, seperti yang telah

dibuktikan oleh Liao. Jika ℏ = −1, persamaan (2.11) menjadi

(1 − ) ( , ; ) − , ( , ) + [ ( , ; )] = 0 (2.16)

merupakan persamaan yang paling sering digunakan dalam metode analisis

homotopi. Berdasarkan (2.14), persamaan tersebut dapat di deduksi dari

persamaan deformasi orde nol (2.11). Didefinisikan vektor

, = { , ( , ), , ( , ),… , , ( , )} (2.17)

Mendiferensialkan (2.11) sebanyak kali terhadap parameter homotopi dan

substitusikan = 0 dan akhirnya membaginya dengan ! , maka diperoleh

persamaan deformasi orde ke- .

, ( , ) − , ( , ) = ℏ , ( , ) (2.18)

dimana

, , = ( )! [ ( , ; ) | (2.19)

dan

= 0, ≤ 11, > 1 (2.20)Perhatikan bahwa , ( , ) ( ≥ 1) berdasarkan persamaan linear (2.18) dengan

kondisi batas linear yang didapat dari masalah awalnya (Bataineh, 2007).

15

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan pada semester ganjil tahun akademik 2019/2020

bertempat di gedung Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah Metode Analisis Homotopi.

Dengan menggunakan persamaan tak berdimensi (Van Noorden, 2003) dengan

RABB dalam kondisi tanpa pendinginan adalah sebagai berikut:

= − + ( )(1 − )= − + ( )(1 − )dimana :

( ) = 1,6656 x 10 , ( )/1,6656 x 10 + , /

16

Dengan = ( , ), = ( , ) adalah variabel tak berdimensi untuk suhu dan

konversi. Sedangkan , , , , , , dan adalah parameter tak berdimensi yang

nilainya diberikan pada Tabel 2. Sedangkan untuk ( ) adalah fungsi nonlinier

yang sesuai dengan laju reaksi pada RABB.

Dalam penyelesaian persamaan tersebut nilai

( ) = 1,6656 × 10 exp 25,785( − 1)1,6656 × 10 + exp −25,785Berasal dari persamaan

( ) = exp + 1 + exp + 1Dimana

= exp −Jika dianggap nilai sangat kecil ( ≪ 1) maka fungsi ( ) ≈ 1(Nuryaman dan Gunawan, 2017).

Sehingga persamaan menjadi:= − + (1 − )= − + (1 − )Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai

berikut:

17

1. Mendefinisikan operator linear L dan mengkontruksikan persamaan

deformasi orde ke-nol.

2. Menentukan rangkaian solusi dari komponen yang telah diperoleh melalui

perkiraan awal jika = 0, dan = 1.3. Mengkontruksikan persamaan deformasi orde- .

4. Menentukan solusi persamaan deformasi pada persamaan yang diperoleh dari

langkah ke (3) untuk setiap = 1, 2, … , 5.5. Membuktikan solusi yang diperoleh memenuhi persamaan= − + (1 − ) dan = − + ( )(1 − ).6. Menggambar dan menjelaskan grafik solusi persamaan yang diperoleh dari

metode homotopi.

V. KESIMPULAN

Kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah

1. Solusi dari sistem persamaan persamaan tak berdimensi yang menggambarkan

dinamika suhu dan konversi pada oksidasi metana menggunakan RABB tanpa

pendingin diperoleh ( , ) = dan ( , ) = 1 − .

2. Grafik solusi dari ( , ) mengambarkan terjadi peningkatan suhu dalam

selang waktu tertentu, setelah itu suhu tidak mengalami peningkatan ataupun

penurunan tetapi bergerak konstan, nah kondisi ini telah mencapai keadaan

ototermal sehingga tidak diperlukan preheater. Untuk grafik ( , )menggambarkan jumlah kosentrasi yang bereaksi, setelah konsentrasi bereaksi

seluruhnya dalam waktu tertentu maka grafik akan bergerak konstan.

DAFTAR PUSTAKA

Bataineh, Noorani, dan Hashim. 2007. Approximate Analytical Solutions ofSystems of PDEs by Homotopy Analysis Method. Journal of Computers andMathematics with Applications, Malaysia. No.55: 2913–2923.

Bronson, R. dan Costa, G. 2007. Persamaan Differensial. Erlangga, Jakarta.

Budhi, Y.W. 2005. Reverse Flow Reactor Operation for Control of CatalystSurface Coverage. Disertasi. Eindhoven University of Technology, TheNetherlands.

Khinast, J., Jeong, Y.O. dan Luss, D. 1999. Dependence of Colled Reverse-FlowReactor Dynamics on Reactor Model. A.I.Ch.E. Journal, 45, pp. 299-309.

Liao, S. 2012. Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equation.Hinger Education Press, Beijing

Nuryaman, A., Gunawan, A.Y., Budhi, Y.W., 2012. Solusi Numerik KondisiTunak Dinamika Suhu dan Konversi pada Proses Oksidasi Metana MenggunakanReaktor Aliran Bolak Balik.Prosiding Seminar Nasional Sains MatematikaInformatika dan Aplikasinya III.

Nuryaman, A., Gunawan, A.Y., Sidarto, A.S., dan Budhi, Y.W. 2012. A SingularPerturbation Problem for Steady State Conversion of Methane Oxidation in aReserve Flow Reactor.ITB J.Sci. , Vol. 44 A, No. 3. 275-284.

Nuryaman, A., Gunawan, A.Y., 2017. A Singular Pertubation Problem in SteadyState of Methane Combustion Using Reverse Flow Reactor. Far East Journal ofMathematical Sciences (FJMS), Vol. 102, No. 9. 2069-2079.

Nuryaman, A. 2018. An Analytical Solution of 1-D Pseudo Homogenenous Modelfor Oxidation Reaction Using Homotopy Perturbation Method.Journal ofResearch in Mathematics Trends and Technology, Vol.01, No.01. 8-15.

Sasongko, S.B. 2010. Metode Numerik dengan Scilab. Andi, Yogyakarta.

Van Noorden, T.L., Verduyn Lunel, S.M.V., Bliek, A. 2003. The EfficientComputation of Periodic States of Cyclically Operated Chemical Processes. IMAJournal of Applied Mathematics, 68, 149-166.

Wibisono,F., Rimbualam, H.G. 2009. Dinamika Reverse Flow Reactor untukOksidasi Emisi Gas Metana Encer.ITB.