Penyelesaian Masalah Optimasi Dengan Metode Fibonacci

Merupakan salah satu metode dengan teknik “Searching”1. Pencarian dengan langkah tetap :

a. Mulai dengan taksiran awal x1,hitung f1= f(x1)

b. Dengan langkah s, hitung f2= f(x2)= f(x1+ s)

c. 1). If f2> f1, pencarian xopt disepanjang lintasan x3, x4,...,

xi = x1+(i+1)s; Nilai xopt= xi or xi-1

c. 2). If f2> f1, pencarian dalam arah yang berlawanan x-2, x-3,...,

x-j = x1-(j-1)s; Nilai xopt = x-j or x-j+1

c. 3). If f2= f1, xopt= x1 or x2

c. 4). If f2> f1 dan f-2> f-1, xopt diluar selang (x-2 , x2)

2. Pencarian dengan langkah dipercepat Dengan memperbesar ukuran langkah sehingga xopt berada pada selang (xi-1 , xi). Misal dengan melipatgandakan ukuran langkah.

Metode Fibonacci dapat digunakan untuk

fungsi kontinu atau fungsi tidak kontinu

Deret FibonacciF0= F1=1 Fn= Fn-2+ Fn-1 , n = 2, 3, ....

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6

1 1 2 3 5 8 13 .....Dengan selang L0=[a,b] selang ketidakpastian awal

L*2=(Fn-1/Fn)L0

Experimen x = x1 dan x = x2 dengan jarak “L*2- L0”

X1=a+ L*2 ; X2=b - L*

2 dan seterusnya

L*j = (Fn-1/Fn-(j-2))Lj-1

Lj = (Fn-(j-1)/Fn)L0

Syarat penggunaan Metode Fibonacci:1. Selang yang memuat xopt harus diketahui sebelum ekspresi2. Pada selang ketidakpastian, f merupakan unimodal3. Nilai xopt yang sebenarnya tidak ditentukan dengan

Fibonacci hanya selang ketidakpastian akhir yang dapat ditentukan

Nisbah selang ketidakpastian setelah melakukan j ekspresi dari n ekspresi

terhadap selang ketidakpastian

n Fn Ln/L0

0 1 1.0

1 1 1.0

2 2 0.5

3 3 0.333

4 5 0.2

5 8 0.125

6 13 0.07692

7 21 0.04762

8 34 0.02941

9 55 0.01818

10 89 0.01124

Awal = Lj/L0 = Fn-(j-1)/Fn

Untuk j = n Ln/L0 = F1/ Fn = 1/Fn

Sehingga terbentuk tabel antara bil. Fibonacci Fn dengan nisbah Ln/L0

Tentukan maksimum dari fungsi berikut dengan Metode Fibonacci

3

2/)(

x

xxf

, x 2

, x > 2

pada selang (0,3) dengan eksperimen N = 6

Jawab:Fungsi f kontinu di x = 2, tetapi tidak bisa diturunkan di x = 2 bisa diselesaikan dengan Fibonacci N = 6, L0= 3-0 = 3

Contoh:

L2* = (Fn-1 / Fn ) L0 = (F5 / F6 ) L0 = (8/13)*3 = 1.8462

Maka x1 = 1.8462 + 0 = 1.8462 x2 = 3 - 1.8462 = 1.1538

0 3

0 3

F2F1

xxxxxx1.1538

1.8462a x2 x1 b

f(1) = f(1.8462) = 1.8462/2 = 0.9231 f(2) = f(1.1538) = 1.1538/2 = 0.5769

Karena f1 > f2 maka selang (a, x2) diabaikan

xxxxxxxxx

0 3

3

F1 F3

1.1538

1.8462x2 x1 b

2.3076 x3

Karena f1 > f3 maka selang (x3,b) diabaikan

Cari x3 x3 = 3 – (x1 – x2) x3 = 3 – (1.8462 – 1.1538) x3 = 2.3076 f3 = -2.3076 + 3 = 0.6924

Cari x4 x4 = x3 – (x1 – x2) x4 = 1.6152 f4 = 1.6152/2 = 0.8076

xxxxxxxx

0 3F1F4

1.1538

1.6152x2 x4

1.8462 x1

2.3076 x3

Karena f1 > f4 maka selang (x2,x4) diabaikan

xxxxxxxx

0 3F5F1

1.6152

1.8462x4 x1

2.0766 x5

2.3076 x3

Cari x5 x5 = x3 – (x1 – x4) x5 = 2.0766 f5 = -2.0766 + 3 = 0.9234

Karena f5 > f1 maka selang (x4,x1) diabaikan

Cari x6 x6 = x3 – (x5 – x1) x6 = 2.0772 f6 = -2.0772 + 3 = 0.9228

Secara teoritis x5 = x6 (pembulatan) Karena f5 > f6 maka selang (x6,x3) diabaikan sehingga selang ketidakpastian akhir,N = 6 adalah (1.8462, 2.0772), Nisbah L6/L0 = (2.0772 – 1.8462)/(3 – 0) = 0.077Apakah sama dengan 1/F6 ? 1/F6 = 1/13 = 0.07690.077 0.0769 terbukti

0 3F5 F6

1.8462

2.0766x1 x5

2.0772 x6

x3

xxxxxxxx

2.3076

Contoh Soal 2 :

Tentukan posisi Xopt dari fungsi unimodality y = f(x) pada selang (0,1) dengan jumlah eksp. N = 4

Jawab :N = 4 F0

1F1

1F2

2F3

3F4

5Lk = 1Siklus k Lk Lk

* Lk*/Lk Selang Ketidakpastian (0,

Lk)

1. 5/5 = 1

2/5 2/5 (0, 1)

2. 3/5 1/5 1/3 (0, 0.6)

3. 2/5 1/5 ½ (0, 0.4)

4. 1/5 (0, 0.2)

Jadi, Xopt berada diselang (0, 0.2)