PENGUJIAN HIPOTESIS

Iwan PrasetiyoRizki Armanto

2016

TF6102 – Pemodelan Fisis dan Simulasi

Outline Keputusan dan hipotesis statistik Hukum pengambilan keputusan Pengujian sampel besar dan kecil

2

Keputusan dan Hipotesis Keputusan statistik: keputusan yang didasarkan pada uji

sampel untuk menentukan sifat atau perilaku dari suatupopulasi pada umumnya.

Hipotesis statistik: dugaan/asumsi awal yang perludiambil tentang perilaku sampel, supaya keputusanstatistik dapat diambil dengan efektif.

Hipotesis nul (H0): hipotesis yang akan dibuktikankesalahannya melalui uji statistik.

Hipotesis alternatif (H1): hipotesis yang akan diterimajika hipotesis nul terbukti kesalahannya (harus ditolak) secara statistik.

3

Uji Hipotesis Uji hipotesis: prosedur statistik yang dilakukan untuk

menerima atau menolak suatu hipotesis. Galat pengambilan keputusan:

Galat tipe I (α): hipotesis benar, namun ditolakberdasarkan hasil uji statistik

Galat tipe II (β): hipotesis salah, namun diterimaberdasarkan hasil uji statistik

Untuk mengurangi kemungkinan terjadi galat, makabanyaknya sampel uji harus diperbanyak.

4

Tingkat Signifikansi dan Kepercayaan Galat uji hipotesis atau tingkat signifikansi (α): besarnya

risiko kesalahan pengambilan keputusan yang masihdapat dipertanggungjawabkan dalam suatu uji hipotesis; umumnya diambil sebesar 0,05 (= 5%) atau 0,01 (= 1%).

Tingkat kepercayaan: 1 – α Jika menggunakan α = 0,05 terdapat 95% keyakinan

bahwa hipotesis yang diuji adalah benar. Jika menggunakan α = 0,01 terdapat 99% keyakinan

bahwa hipotesis yang diuji adalah benar.

5

Tingkat Signifikansi dan Kepercayaan Jika H0 ditolak pada tingkat kepercayaan 99%:

perbedaan sangat signifikan. Jika H0 ditolak pada tingkat kepercayaan 95% tetapi

diterima pada tingkat kepercayaan 99%: perbedaan mungkin signifikan (perlu diuji lebih lanjut).

Jika H0 diterima pada tingkat kepercayaan 95%: perbedaan tidak signifikan.

6

–zc 0 zc

Hukum Pengambilan Keputusan Pada pengujian dwi-arah dengan suatu nilai α:

Hipotesis H0 harus ditolak dengan tingkat kepercayaan1 – α, jika nilai z berdasarkan uji statistik berada di luarrentang –zα/2 ≤ z ≤ zα/2 .

Hipotesis H0 harus diterima (tidak dapat ditolak) dengantingkat kepercayaan 1 – α, jika nilai z berdasarkan ujistatistik berada di dalam rentang –zα/2 ≤ z ≤ zα/2 .

7

α 0,002 0,005 0,01 0,05 0,1

zc = zα/2 3,08 2,81 2,58 1,96 1,645

–zc 0 zc

α/2α/2nmz

/σµ−

=}{2 }|{|

c

c

zZPzZP

>=>=α

Hukum Pengambilan Keputusan Pada pengujian eka-arah dengan suatu nilai α:

Hipotesis H0 harus ditolak dengan tingkat kepercayaan1 – α, jika nilai z berdasarkan uji statistik berada padarentang z ≥ zα untuk pengujian dari arah kiri, atau z ≤ –zαuntuk pengujian dari arah kanan.

Hipotesis H0 harus diterima (tidak dapat ditolak) dengantingkat kepercayaan 1 – α, jika nilai z berdasarkan ujistatistik berada pada rentang z ≤ zα untuk pengujian dariarah kiri, atau z ≥ –zα untuk pengujian dari arah kanan.

8

α 0,002 0,005 0,01 0,05 0,1

zc = zα 2,81 2,58 2,33 1,645 1,28

0 zc

αnmz

/σµ−

=}{

}{

c

c

zZPzZP−<=

>=α

Tabel Distribusi Normal

9

nmz

zZP

/

; }{

σµ−

=

<

5,0}{}0{

}0{

−<=<<−=

<<

zZPZzPzZP

}{1}{

zZPzZP

<−=>

Hukum Pengambilan Keputusan Nilai-p (p-value): suatu nilai tingkat signifikansi kritis

sedemikian sehingga: jika α < nilai-p, maka H0 akan diterima; jika α ≥ nilai-p, maka H0 akan ditolak.

10

Pada uji dwi-arah: nilai-p = P{|Z|> z} = 2 P{Z > z} = 2 (1 – P{Z < z})

Pada uji eka-arah:nilai-p = P{Z > z} = P{Z < –z} = 1 – P{Z < z}

Tanpa sebelumnya menentukan nilai α: jika nilai-p >>, maka H0 akan diterima; jika nilai-p <<, maka H0 akan ditolak.

Hukum Pengambilan Keputusan Contoh:

Hasil simulasi iluminansi di suatu titik sebanyak 36 kali menghasilkan mean 12,95 lx dan standar deviasi 3 lx. Jikadikatakan bahwa mean iluminansi di titik tersebutdianggap sama dengan 12 lx, apakah pernyataan tersebutdapat diterima dengan tingkat kepercayaan 95%?

11

Solusi:

9,136/3

1295,12/

12:12:

1

0

=−

=−

=

≠=

nmz

HH

σµ

µµ α = 0,05 zα/2 = 1,96.

Karena –1,96 ≤ z ≤ 1,96, maka H0 dapat diterimadengan tingkatkepercayaan 95%.

Hukum Pengambilan Keputusan Contoh:

Suatu sinyal dipancarkan dari titik A dengan mean kekuatan 40,0 dB, kemudian diterima di titik B denganterdistribusi normal dengan standar deviasi 6,0 dB.Sinyal tersebut dikirim sebanyak 45 kali, kemudianmean kekuatan sinyal di titik B diamati. Jika mean kekuatan sinyal di titik B ternyata sebesar 40,5 dB, apakah dapat dikatakan bahwa sinyal yang dipancarkan dari titik A dan yang diterima di titik B adalah sama?Jika mean kekuatan sinyal di titik B sebesar 43,5 dB?

12

Hukum Pengambilan Keputusan Solusi:

13

559,045/6405,40

/

:dB 5,40Untuk 40:40:

1

0

=−

=−

=

=≠=

nmz

mHH

σµ

µµ

913,345/6405,43

/

:dB 5,43Untuk

=−

=−

=

=

nmz

m

σµ

Nilai-p: P{|Z|> 0,559}= 2 P{Z > 0,559}= 2 × 0,288 = 0,576

Karena nilai-p >>,maka H0 diterima.

Nilai-p: P{|Z|> 3,913}= 2 P{Z > 3,913}≈ 0,00005

Karena nilai-p <<,maka H0 ditolak.

Pengujian Sampel Besar Pengujian bahwa mean populasi: μ = x (H0)

H0: μ = x ; H1: μ ≠ x ; uji dwi-arah H0 diterima jika:

Pengujian bahwa mean populasi: μ > x (H1) H0: μ ≤ x ; H1: μ > x ; uji eka-arah H0 diterima jika:

Pengujian bahwa mean populasi: μ < x (H1) H0: μ ≥ x ; H1: μ < x ; uji eka-arah H0 diterima jika:

14

/2/2 / αα σ

znxmzz ≤

−=≤−

ασz

nxmz ≤

−=

/

ασz

nxmz −≥

−=

/

Pengujian Sampel Besar Pengujian bahwa selisih mean sampel: m1 – m2 = 0 (H0)

H0: m1 – m2 = 0 ; H1: m1 – m2 ≠ 0 ; uji dwi-arah H0 diterima jika:

Pengujian bahwa selisih mean sampel: m1 – m2 > 0 (H1) H0: m1 – m2 ≤ 0 ; H1: m1 – m2 > 0 ; uji eka-arah H0 diterima jika:

Pengujian bahwa selisih mean sampel: m1 – m2 < 0 (H1) H0: m1 – m2 ≥ 0 ; H1: m1 – m2 < 0 ; uji eka-arah H0 diterima jika:

15

2/2

221

21

212/

//αα

σσz

nnmmzz ≤+

−=≤−

ασσ

znn

mmz // 2

221

21

21 ≤+

−=

// 2

221

21

21α

σσz

nnmmz −≥+

−=

Pengujian Sampel Besar Contoh: 100 sampel lampu A: mean 2000 jam, SD 500 jam 150 sampel lampu B: mean 1800 jam, SD 450 jam

Dengan interval kepercayaan 95%, dapatkah dikatakanbahwa mean kedua kelompok sampel lampu tersebutsama?

Solusi:96,12/ => αzz

16

22,3

150450

100500

180020000:0:

22

2

22

1

21

21

211

210

=

+

−=

+

−=

≠−=−

nn

mmz

mmHmmH

σσ

H0 ditolak dengan tingkatkepercayaan 95%.Nilai-p: 2 P{Z > 3,22}

= 2(1 – 0,9994) = 0,0012

Pengujian Sampel Besar Contoh:

Pada contoh sebelumnya, dapatkah dikatakan bahwamean dari sampel lampu A sekurang-kurangnya samadengan mean dari sampel lampu B?

Solusi:

645,1−=−> αzz17

22,3

150450

100500

180020000:

0:

22

2

22

1

21

21

211

21210

=

+

−=

+

−=

<−≥−⇔≥

nn

mmz

mmHmmmmH

σσ

H0 diterima dengan tingkat kepercayaan 95%.Nilai-p: P{Z > –3,22} = P{Z < 3,22} = 0,9994

Pengujian Sampel Kecil Pengujian bahwa mean populasi: μ = x (H0)

H0: μ = x ; H1: μ ≠ x ; uji dwi-arah H0 diterima jika:

Pengujian bahwa mean populasi: μ > x (H1) H0: μ ≤ x ; H1: μ > x ; uji eka-arah H0 diterima jika:

Pengujian bahwa mean populasi: μ < x (H1) H0: μ ≥ x ; H1: μ < x ; uji eka-arah H0 diterima jika:

18

1 ;2/1 ;2/ 1/ −− ≤

−−

=≤− nn tns

xmtt αα

1 ;1/ −≤−

−= nt

nsxmt α

1 ;1/ −−≥−

−= nt

nsxmt α

Pengujian Sampel Kecil Pengujian bahwa selisih mean sampel: m1 – m2 = 0 (H0)

H0: m1 – m2 = 0 ; H1: m1 – m2 ≠ 0 ; uji dwi-arah H0 diterima jika:

Pengujian bahwa selisih mean sampel: m1 – m2 > 0 ataum1 – m2 < 0 (H1) H0: m1 – m2 ≤ 0 ; H1: m1 – m2 > 0 , atau H0: m1 – m2 ≥ 0 ; H1: m1 – m2 < 0 ; uji eka-arah H0 diterima jika:

atau19

2 ;2/21

2 ;2/ 21

21

21 −+

−−+ ≤

−=≤− nn

mmnn t

smmtt αα

2121

222

211 11

2)1()1(

21 nnnnsnsns mm +⋅

−+−+−

=−

2 ;21

21

21

−+−

≤−

= nnmm

ts

mmt α 2 ;21

21

21

−+−

−≥−

= nnmm

ts

mmt α

Tabel Distribusi t

20

1

,

−

−=

ns

mt µνα

Pengujian Sampel Kecil Pengujian bahwa variansi dua sampel adalah sama:

σ12 = σ2

2 (H0) H0: σ1

2 = σ22 ; H1: σ1

2 ≠ σ22 ; uji dwi-arah

H0 diterima jika:

Pengujian bahwa variansi dua sampel tidak sama: σ1

2 > σ22 atau σ1

2 < σ22 (H1)

H0: σ12 – σ2

2 ≤ 0 ; H1: σ12 – σ2

2 > 0 ; atau H0: σ1

2 – σ22 ≥ 0 ; H1: σ1

2 – σ22 < 0 ; uji eka-arah

H0 diterima jika:

atau21

2121 , ,2/122

21

, ,2/ νναννα −≤=≤ fssff

21 , ,122

21 ννα−≤= f

ssf

21 , ,22

21 νναfs

sf ≥=

Tabel Distribusi F

22

Pengujian Sampel Kecil Contoh:

Dinas Kesehatan mengklaim bahwa rata-rata penggunaan air untuk keperluan rumah tangga dalam sehari di suatu wilayahadalah 350 galon. Untuk membuktikan klaim tersebut, diambil sampel sebanyak 20 rumah, dengan data penggunaanair dalam sehari memiliki mean 353,8 galon, serta standardeviasi 21,85 galon. Benarkah klaim dari Dinas Kesehatan itu?

Solusi:

23

698,019/85,21

3505,3531/

:galon 5,353Untuk 350:350:

1

0

=−

=−

−=

=≠=

nsmt

mHH

µ

µµ 093,2698,0 19 ;025,0 =<= tt

H0 diterima dengan tingkatkepercayaan 95%.Nilai-p: α pada t = 0,698, v = 19 nilai-p = 2(0,250) = 0,500

Pengujian Sampel Kecil Contoh:

Pada contoh sebelumnya, misalkan Dinas Kesehatanmengklaim bahwa rata-rata penggunaan air untuk keperluanrumah tangga dalam sehari di suatu wilayah adalahsekurang-kurangnya 350 galon. Dengan data sampel yang sama, benarkah klaim dari Dinas Kesehatan itu?

Solusi:

24

698,019/85,21

3505,3531/

:galon 5,353Untuk 350:350:

1

0

=−

=−

−=

=<≥

nsmt

mHH

µ

µµ 729,1698,0 19 ;05,0 −=−>= tt

H0 diterima dengan tingkatkepercayaan 95%.Nilai-p: α pada t = 0,698, v = 19 nilai-p = 0,250

Pengujian Sampel Kecil Contoh:

Dari 10 sampel program simulasi yang belum di-debug, didapatkan mean waktu komputasi 24,3 s dengan standardeviasi 4,6 s. Setelah di-debug, mean dan standar deviasisampel berubah menjadi 20,4 s dan 5,0 s. Dapatkah dikatakanbahwa proses debugging pada program tersebut efektifmenurunkan mean waktu komputasi?

Solusi:

25817,118/15,2

4,203,24

15,2101

101

21010)0,56,4(9

0:0:

22

211

21210

21

=−

=

=

+

−++

=

>−≤−⇔≤

−

t

s

mmHmmmmH

mm

734,1817,1 18 ;05,0 =>= tt

H0 ditolak dengan tingkatkepercayaan 95% m1 > m2

Nilai-p: α pada t = 1,817, v = 19 nilai-p = 0,044

Pengujian Sampel Kecil Contoh:

Dari contoh sebelumnya, dapatkah dikatakan bahwa proses debugging pada program tersebut efektif menurunkan variansiwaktu komputasi?

Solusi:

26

18,3846,0 0,56,4

0:0:

9 ;9 ;05,0

2

2

22

21

22

211

22

21

22

210

=<=

==

>−

≤−⇔≤

fssf

HH

σσ

σσσσ

H0 diterima dengan tingkat kepercayaan 95% σ12 < σ2

2

Nilai-p: α pada f = 0,846, v1 = v2 = 9 nilai-p = 0,211