Ukuran Pemusatan, Penyebaran dan Pola

Distribusi Normal-Ledhyane Ika Harlyan-

Pengolahan Data Perikanan(PIF 4107) 2 SKS (1-1)

Faculty of Fisheries and Marine ScienceBrawijaya University 2012

Tujuan Instruksional Khusus

Mahasiswa dapat menggunakan analisisstatistika sederhana dengan berfokus ukuranpemusatan, ukuran penyebaran,pola distribusinormal.

Materi Kuliah1. Ukuran Pemusatan2. Ukuran Penyebaran3. Perbandingan 2 ragam yang berbeda4. Pola Distribusi Normal

Ukuran Pemusatan (ukuran lokasi pusat)

….mendefinisikan ukuran-ukuran data numerik yg menjelaskan ‘ciri-ciri’ data.

--Pusat dari beberapa data lain---

o Berupa: 1. Rata-rata/ Nilai tengah (mean)

2. Median

3. Modus

Nilai tengah (mean)Nilai tengah populasi/contoh segugus data x1, x2, …xN (tdk harussemuanya berbeda) membentuk populasi N, maka nilai tengahnya :

8, 8,9,10,11,12,12 Nilai tengah?

Ukuran Pemusatan (ukuran lokasi pusat)Median

Segugus data yg telah diurutkan pengamatan yg berada di tengah-tengah (jumlah data ganjil)

Contoh: 8, 8,9,10,11,12,12

rata-rata kedua pengamatan yg di tengah (jumlah data genap)

Contoh: 1,5,8,10,12,15,19,20

Modus

Nilai yang terjadi paling sering atau yg mempunyai frekuensi paling tinggi

Contoh: a. 9,10,5,9,9,7,8,6,10,11 9

b. 2,0,3,1,2,4,2,5,4,0,1,4 2 dan 4 bimodus

c. 82,93,86,92,79 tdk memiliki modus

Ukuran Pemusatan (ukuran lokasi pusat)

• Untuk gugus data yang distribusinya simetris, nilai mean, median dan modus semuanya sama.• Untuk distribusi miring ke kiri (negatively skewed): mean < median < modus• Untuk distribusi miring ke kanan (positively skewed): terjadi hal yang sebaliknya, yaitu mean >

median > modus.Contoh: 9,10,5,9,9,7,8,6,10,11 gambarkanlah kurva ukuran pemusatan!

Ukuran Pemusatan (ukuran lokasi pusat):Arithmetic mean vs Geometric mean

1. Arithmetic mean/ mean (Rata-rata hitung)

2. Geometric mean

Digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan (growth rate)

misalnya : pertumbuhan penduduk, penjualan, tingkat bunga dll.

atau

Dimana : G = antilog (log G)

Contoh: Data pertumbuhan suku bunga dalam 5 hari kerja :

1.5 2.3 3.4 1.2 2.5 (%)

G = antilog 0.30928... = 2.03837....

nnxxxxG 321

nn321 xlog xlog xlog xlog=G log

nnxxxxG 321

5 xlog xlog xlog xlog xlog=G log 54321

52.5 log 1.2 log3.4 log2.3 log 1.5 loglog

G

5...397.0...079.0...531.00.361... 0.176...log

G5...5464.1log G

Ukuran keragaman…”seberapa jauh pengamatan-pengamatan menyebar dari rata-ratanya..”

Mean=10 ; Median=10

Keseragaman : A > B;

Keragaman (dispersi keragaman) : A< B

Ukuran Keragaman dapat dihitung dari: 1. Wilayah

2. Ragam

Wilayah

Beda antara pengamatan terbesar dan terkecil

-hanya memperhatikan nilai ekstrem

- tdk berbicara ttg sebaran data

Contoh A 8 8 9 10 11 12 12Contoh B 5 6 8 10 12 14 15

Ukuran keragaman

Ragam (Varian)

Simpangan dari nilai tengah selisih nilai pengamatan dengan nilai tengahnya

Untuk populasi maka simpangannya:

Ragam populasi Ragam contoh

TASK 1Coba bandingkan ragam antara Contoh A & Contoh B!Buktikan bahwa Contoh B memiliki ragam yg lebih tinggi dari Contoh A!

Ukuran keragamanSimpangan Baku (Standar Deviasi)

…”simpangan baku adalah akar dari ragam”= ukuran keragaman akan memiliki satuan yg sama

dengan satuan asalnya (dilakukan pengakaran thd ragam)

o Memperlihatkan keberagaman

o Memperlihatkan penyebaran data terhadap nilai rata-rata (expected value)

o Semakin tinggi standar deviasi data semakin tersebar jauh dari nilai tengah

Perbandingan 2 ragam

Dilakukan percobaan untuk mengetahui komposisikandungan minyak goreng yang dihasilkan oleh 8 pabrik minyak goreng untuk menggoreng kerupukikan. Masing-masing produk minyak digunakan untukmenggoreng enam bungkus kerupuk dengan formula yang sama. Kerupuk yang berasal dari:

A. Pabrik A dan B menggunakan campuran bahan x B. Pabrik C, D dan E menggunakan campuran bahan y. C. Pabrik F dan G menggunakan metode S D. Pabrik I tidak menggunakan metode atau campuran

apapun.

Apakah setiap perlakuan efektif untuk menghasilkan kerupukyang berkualitas??

Apakah ada perbedaan diantara 8 kerupuk (yg berasal dari 8 pabrik kerupuk)? Kalau ada, yang mana yang paling efektif?

Apakah ada perbedaan yang nyata antara penggunaan bahanx dan y?

Apakah ada perbedaan penggunaan kadar bahan x/y terhadap kualitas kerenyahan kerupuk (hasil uji organoleptikdari beberapa responden)?

Pertanyaan yg mungkin muncul..

Perbandingan 2 ragam

Banyak perlakuan : Uji Fmengetahui fungsi (beda nyata) perlakuanUJi Lanjutmengetahui perlakuan yang memiliki beda nyatapaling baik(Dunnet’s test, Fisher’s test, Tukey’s test)

Dua perlakuan:UJi t : 1. Populasi bebas ragam sama

ragam beda2. Populasi dependen (berpasangan)

1. Dua populasi bebas (independen)Dua populasi dikatakan bebas (independent) jika dua populasi tersebut mempunyai karakteristik yang berbeda.

Hipotesis:

211

210

210

:0:

:

HHatauH

PERBANDINGAN DUA PERLAKUAN: Menggunakan Uji t

Contoh populasi bebas:

Dari data penelitian tentang upaya peningkatan efektivitas bahan alternatif pengganti tepung ikan pada pakan buatan. Data diambil pada dua kolam yang berbeda, kolam pertama menggunakan tepung A sedangkan kolam kedua menggunakan tepung B. Apakah ada perbedaan respon terhadap bobot rataan dari tepung A dan tepung B?

Data

Kolam 1/Tepung

A(A)

Kolam 2/Tepung

B(B) Data

Kolam 1/Tepung

A(A)

Kolam 2/Tepung

B(B)

1 260 332 11 269 335

2 280 310 12 296 327

3 298 319 13 264 324

4 288 317 14 267 328

5 279 320 15 268 334

6 290 316 16 272 339

7 299 312 17 293 314

8 276 329 18 274 325

9 279 320 19 278 328

10 275 331 20 294 337

POPULASI BEBAS: Ragam sama

s2 atau yang biasa disebut kuadrat tengah dapat dijabarkan dalamrumus hitung sebagai berikut:

Selang Kepercayaan:

Dengan t adalah nilai dari t tabel dengan α tertentu dengan derajatbebas sebesar ((n1+n2)-2)

21

11

21

nnS

xxt

gab

test

2)1()1(

21

222

2112

nn

snsnS gab

11111

21

22121

21

221 nn

stxxnn

stxxP gabgab

Lihat kembaliUkuran Penyebaran: Ragam

Selang kepercayaan untuk ragam kedua populasi berbeda:

Dengan t adalah nilai dari t tabel dengan α tertentu denganderajat bebas sebesar ((n1+n2)-2)

1

2

22

1

21

21212

22

1

21

21 ns

nstxx

ns

nstxxP

2

22

1

21

21

ns

ns

xxt test

POPULASI BEBAS: Ragam berbeda

t-Test: Two-Sample Assuming Unequal Variances

Reject H0 if:1. P two tail < P level2. T stat not in range t critical two tail

Pengerjaandengan Ms. Excell

PERBANDINGAN DUA PERLAKUAN: Menggunakan Uji t

2. Dua populasi berpasangan(dependen)- Diamati secara berpasangan padasetiap pengamatan- Memiliki data yang sifatnya sebelumdan sesudah sehingga setiap obyekyang sama diamati sebelum treatment (populasi 1) dan sesudah treatment (populasi 2)- Berasal dari obyek yang berbedatetapi cara mengamatinya berpasang-pasangan

0:0:

:0:

:

1

0

1

0

0

D

D

BA

BA

BA

HHatauHHatauH

HIPOTESIS

Sebuah penelitian ingin mengujiperbedaan selektivitas dan efektivitas hasiltangkapan terhadap:1. alat tangkap bubu tradisional (A); dan2. baited plastic pot with closing door (B). Penilaian tersebut dilihat dari kualitas hasiltangkapan: (a) kuantitas hasil tangkapan(b) jumlah by-catch (c) waktu yang dibutuhkan target hasiltangkapan untuk masuk bubu/ time ingress

Kuantitas Hasil Tangkapan

PERBANDINGAN DUA PERLAKUAN: 2 populasi berpasangan (dependen)

UJI STATISTIK

dimana:

Selang kepercayaannya adalah sebagai berikut:

Dengan t adalah nilai dari t tabel dengan a tertentu dan derajat bebas (n-1) dan s adalah :

nsDt

Dtest BIAijj XXD

antDntDP SDBASD 1

1

2

nDD

s iD

Pola Distribusi Normal

Sebaran Normal/ Gauss Sebaran peluang kontinu yg

digunakan di gugusan data alam, industri, dan penelitian

Definisi:Jika X merupakan suatupeubah acak normal dengannilai tengah µ dan ragam σ2, maka persamaan kurvanormalnya

...14159265.3 and ...7182818.2 where

for 22

2

221)(

e

xx

exf

Bentuk distribusi normal ditentukan oleh μ dan σ.

1 2

μ1 = μ2 σ1 > σ2

1

2

μ1 < μ2 σ1 = σ2

1

2

μ1 < μ2 σ1 < σ2

Kurva Normal

Menghitung luas daerah di bawahkurva normal

Bentuk kurva sangat tergantung pada 2 nilaiparameternya, yaitu µ dan σ2

1-24

Kurva Normal

Sifat-sifat kurva normal:1. Modusnya titik pada sumbu mendatar yang

membuat fungsi mencapai maksimum, terjadi pada x = µ

2. Kurvanya setangkup terhadap suatu garis tegak yang melalui nilai tengah

3. Kurva ini mendekati sumbu mendatar secara asimtotikdalam kedua arah bila kita semakin menjauhi nilaitengahnya.

4. Luas daerah yang terletak di bawah kurva tetapi di atassumbu mendatar = 1

Gambaran kurva normal

1-26

Transformasi dari peubah acak X ~ Normal (µ,σ2) kepeubah acak Z ~ Normal Baku (0,1), denganmenggunakan :

XZ

1-27

Gambaran kurva normal

Menghitung Probabilitas denganKurva Normal: P(0 < Z < 1.56)

1-28

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .090.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.18790.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.31330.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.40151.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.43191.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.44411.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45451.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.46331.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.47061.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.47672.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.48172.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.48572.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.48902.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.49162.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.49362.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.49522.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.49742.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.49812.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.49863.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f( z)

StandardNormalDistribution

1.56{

Standard Normal Probabilities

Lihat baris 1.5 dankolom .06 untukmencariP(0 z 1.56) =0.4406

Pola Distribusi NormalLuas daerah untuk kurva normal

adalah luas daerah di bawahkurva (sebelah kiri dari nilaipeubah z)

CONTOH!!

Untuk sebaran normal dengan µ=50; σ=10 hitunglah bahwa X mengambilsebuah nilai antara 45 dan 62!

Z1=(45-50)/10 = -0.5Z2=(62-50)/10=1.2Maka P(45<X<62) = P(-0.5<Z<1.2)

P(45<X<62)= P(-0.5<Z<1.2)=P(Z<1.2) – P(Z<-0.5)= 0.8849 – 0.3085= 0.5764

543210-1-2-3-4-5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Z

f( z)

StandardNormalDistribution

Contoh: Hitung LuasPergunakanlah tabel distribusi normal standard untuk menghitung luasdaerah :a) Di sebelah kanan z=1.84b) Antara z=-1.97 s/d z=0.86

Jawab.Ingat bahwa luas yg diberikan dalam tabel distribusi normal kumulatif

adalah luas dari z=-∞ s/d z0 tertentu: P(z<z0).a) P(z>1.84) = 1 – P(z≤1.84)

=1 -0.9671 = 0.0329

a) P(-1.97 <z<0.86) = P(z<0.86) – P(z<-1.97) = 0.8051 – 0.0244 = 0.7807

Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan

Diketahui luas dibawah distribusi normal yg diinginkan yang terkaitdengan besar probabilitas, ingin dicari nilai variabel random X ygterkait.

Contoh.Misalkan distribusi normal memiliki μ=40 σ=6, carilah nilai x0 sehingga:a) P(x<x0) = 45%b) P(x>x0)=14%

Jawab.a) Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.

P(z<z0) = 45% = 0.45 dari tabel z0 = -0.13z0 = (x0-μ)/σx0 = μ + σz0

= 40 +6*(-0.13) = 39.22

Memakai Distribusi Normal Dalam Arah Kebalikan

Jawab.b) Kita mulai dengan mencari nilai Z yg sama luasnya.

P(z>z0) = 14% P(z<z0) = 1- P(z>z0) = 1-0.14 = 0.86

P(z<z0) = 0.86 dari tabel z0 = 1.08

z0 = (x0-μ)/σ x0 = μ + σz0

= 40 +6*(1.08) = 46.48

Contoh Penerapan Distribusi NormalSebuah perusahaan lampu celup bawah air mengetahui bahwa umurlampunya (sebelum putus) terdistribusi secara normal dengan rata-rata umurnya 800 jam dan standard deviasinya 40 jam. Carilah probabilitasbahwa sebuah bolam produksinya akan:a. Berumur antara 778 jam dan 834 jamb. Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jam

Jawab.μ= 800 σ=40. P(778<x<834)

x1=778 z1 = (x1-μ)/σ = (778-800)/40 = -0.55x2=834 z2 = (x2-μ)/σ = (834-800)/40 = 0.85P(778<x<834) = P(-0.55<z<0.85)

= P(z<0.85)-P(z<-0.55)= 0.8023 – 0.2912 = 0.5111

Contoh Penerapan Distribusi Normalb) Berumur kurang dari 750 jam atau lebih dari 900 jamμ= 800 σ=40.

P(x< 750 atau x>900)x1=750 z1 = (x1-μ)/σ

= (750-800)/40 = -1.25

x2=900 z2 = (x2-μ)/σ= (900-800)/40 = 2.5

P(x< 750 atau x>900) = P(z<-1.25) + P(z>2.5)= P(z<-1.25) + 1- P(z<2.5)= 1 + P(z<-1.25) - P(z<2.5)= 1 + 0.1056-0.9938 = 0.1118

Assignment!

Rata-rata nilai kuliah statistik diketahui 65 dengan standard deviasi 15.

a) Jikalau diinginkan 15% murid mendapat nilai A dan diketahuidistribusi nilai normal, berapakah batas bawah nilai agar mendapatA?

b) Selanjutnya diinginkan yg mendapat B adalah sebanyak 25%. Berapakah batas bawah B?