PENGERTIAN DAN MODEL KRIGING

   Istilah kriging diambil dari nama seorang ahli, yaitu D.G. Krige, yang pertama

kali menggunakan korelasi spasial dan estimator yang tidak bias. Istilah kriging

diperkenalkan oleh G. Matheron untuk menonjolkan metode khusus dalam moving

average terbobot (weighted moving average) yang meminimalkan varians dari hasil

estimasi.

       kriging adalah suatu metode geostatistika yang memanfaatkan nilai spasial

pada lokasi tersampel dan variogram untuk memprediksi nilai pada lokasi lain yang

belum dan/atau tidak tersampel dimana nilai prediksi tersebut tergantung pada

kedekatannya terhadap lokasi tersampel [1]. Pada penerapannya, kriging dibawah

asumsi kestasioneran dalam ratarata (μ) dan varians (σ2), sehingga jika asumsi

kestasioneran tersebut dilanggar maka kriging menghasilkan nilai prediksi yang

kurang presisif. Selain itu, sebagaimana pada semua metode analisis data non-

spatial (crosssectional, time series, panel, dll.), kriging juga dapat menghasilkan

nilai prediksi kurang presisif jika di antara data yang ada terdapat pencilan

(outlier). Outlier didefinisikan sebagai nilai yang ekstrim dari nilai amatan lainnya

yang kemungkinan dapat disebabkan oleh kesalahan pencatatan, kalibrasi alat yang

tidak tepat atau kemungkinan lainnya. Kriging sebagai interpolasi spasial optimum

dapat menghasilkan nilai prediksi kurang presisif jika di antara data yang ada

terdapat pencilan (outlier). Outlierdidefinisikan sebagai nilai yang ekstrim dari nilai

amatan lainnya yang kemungkinan dapat disebabkan oleh kesalahan pencatatan,

kalibrasi alat yang tidak tepat atau kemungkinan lainnya. Pengembangan ordinary

kriging (kriging klasik) adalah robust kriging yang mentransformasi bobot

variogram pada variogram klasik sehingga menjadi variogram

yangrobust terhadap outlier. 

         Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data spasial yang

mengandung outlier dan memenuhi asumsi kriging klasik. Hasil analisis

menunjukkan bahwa robust kriging jauh lebih presisif dibandingkan

dengan ordinary kriging dalam mengestimasi nilai dari titik-titik spasial untuk data

yang mengandung pencilan. Hal tersebut ditunjukkan dengan nilaicross

validation (MAE dan RMSE) dari robust kriging jauh lebih kecil dibandingkan

dengan ordinary kriging.

Ada beberapa model kriging yang umum digunakan di antaranya

adalah ordinary kriging dan universal krigingyang notabenenya tidak

mengakomodir adanya outlier. Lebih lanjut, pengembangan ordinary kriging adalah

robust kriging yang mentransformasi bobot variogram pada variogram klasik

sehingga menjadi variogram yang robust terhadap outlier.

Variogram, Semivariogram, Kovariogram dan Korelogram

Pada pemodelan variogram dan kriging, data spasial diasumsikan sebagai

proses stokastik {Z(S):S E D} dengan D adalah himpunan bagian dalam ruang

berdimensi Rd, d > 0. Kovarian nilai antara dua titik sembarang si dan sj

didefinisikan sebagai,

                             

dengan nilai korelasi adalah

                                               

Suatu proses dikatakan stasioner pada ratarata dan varians jika dan hanya jika

μ(Si) = μ dan μ2(Si)=μ2, akibatnya:

C(Si,Sj) = C(Si –Sj) = C(h)

ρ(Si,Sj) = ρ(Si –Sj) = ρ(h)

di mana h adalah vektor jarak antara titik i dan j, C(h) disebut kovariogram dan ρ(h)

disebut korelogram.

Varians nilai antara dua lokasi dengan jarak tertentu ditentukan sebagai

Var [Z(S + h) -Z(S)] = 2ϒ(h),  2ϒ(h)disebut variogram dan ϒ (h) disebut

semivariogram.

Hubungan antara kovariogram, korelogram dan semivariogram berdasarkan

kestasioneran dinyatakan dengan [2]

Semivariogram Empirik

Semivariogram empirik dihitung dari data sampel yang kemudian diplotkan

sebagai fungsi dari jarak. MisalZ(Si) adalah nilai hasil pengukuran pada lokasi i,

sedangkan Si = (Xi,yi) adalah vektor yang mengandung koordinat spasial x, y,

semivariogram cloud didefinisikan sebagai 

ϒij=0,5[Z(Si)-Z(Sj)]2            

                                                                                                                                                                       

untuk semua pasangan jarak yang mungkin {(Si,Sj); i,j = 1,2,3,…,n} dan

diplotkan sebagai fungsi jarak, yang dihitung dengan: 

|h| = lSi -Sjl = [(Xi –Xj)2 + (yi –yj)2]1/2  Perhitungan ini melibatkan ribuan titik

pada plot semivariogram sehingga mengakibatkan sulitnya melihat pola tertentu. 

Untuk mengatasi hal tersebut maka yij dikelompokkan (binning) berdasarkan

kesamaan jarak. Berikut rumusan semivariogram yang dikelompokkan

(semivariogram empirik):

ϒ(h) =

di mana

N(h) : himpunan pasangan data pada Si dan Sj yang mempunyai selisih jarak yang

sama, h E T(h), sedangkan T(h) merupakan daerah toleransi di sekitar h. |N(h)| :

banyak pasangan jarak di dalam himpunan N(h).

Spatial Outlier

Spatial Outlier (pencilan spasial) didefinisikan sebagai nilai lokasi observasi yang

tidak konsisten (ekstrim) terhadap nilai lokasi observasi yang lainnya. Munculnya

pencilan dapat disebabkan oleh mekanisme pengambilan nilai observasi yang

berbeda dengan yang lainnya, Ada banyak metode yang digunakan untuk

mendeteksi adanya pencilan salah satunya adalah dengan spatial statistics Z test.

Untuk spatial statistics Z test, didefinisikan sebagai:

Jika Zs(x) > θ, maka dideteksi sebagai pencilan (outlier), untuk tingkat signifikansi

5%, nilai θ = 2.

Robust Kriging

Model yang mendasari robust kriging adalah

  

Dengan W(·) stasioner intrinsik dan gaussian dan ɳ(·)+ϵ(·) = ε(·) . Berbeda

dengan kriging klasik (simple, ordinary), untuk mengakomodir adanya outlier,

variogram empirik untuk robust kriging dirumuskan sebagai :

Robust kriging mengakomodir adanya outlier sehingga semivariogram yang

digunakan adalah semivariogram empirik terboboti. Adapun paket program ArcGIS

9.2 yang digunakan untuk membuat peta kontur prediksi pada ordinary kriging

masih belum menyediakan fasilitas penghitungan nilai dan pembuatan peta kontur

prediksi untuk robust kriging, demikian pula untuk semua paket program

geostatistika. Oleh karena itu, diperlukan pembuatan program yang sesuai untuk

algoritma robust kriging.

Penelitian tentang aplikasi robust kriging masih terbatas. Pada umumnya, para

peneliti hanya sampai pada ilustrasi statistika matematika dari modelmodel yang

menunjang penggunaan robust kriging. Pada penelitian ini, untuk mengestimasi

nilai pada suatu daerah tertentu adalah dengan menggunakan macro Minitab v.14 .

Namun, kelemahan pada macro tersebut adalah ketidakmampuan untuk

mengestimasi nilai pada daerah lain, sehingga pada penelitian ini hanya dicari nilai

estimasi pada daerah yang sudah diketahui nilai asalnya yang kemudian dihitung

tingkat ketepatan dalam mengestimasi.

Langkah awal dari macro adalah menghitung jarak masingmasing titik,

menghitung interval masingmasing lag dimana besar lag didapatkan dari proses

perhitungan via ArcGIS 9.2, kemudian mengelompokkan jarakjarak tersebut pada

lag yang bersesuaian. Langkah kedua adalah menghitung variogram dan

semivariogram untuk robust kriging. 

Selanjutnya menghitung matrik C yang terbentuk dari semivariogram robust,

matrik C0 yang terbentuk dari semivariogram dari titik yang diestimasi dengan

semua titik yang diketahui. Langkah terakhir adalah menghitung matrik lambda

yang digunakan untuk menentukan nilai estimasi.

Berdasarkan hasil analisis dari macro didapat nilai estimasi yang relatif sama

dengan nilai asalnya atau dengan kata lain tingkat presisif dari robust kriging untuk

data yang mengandung pencilan sangat tinggi.