PENGANTAR BISNIS - sipeg.unj.ac.idsipeg.unj.ac.id/repository/upload/buku/UPLOAD_HKI.pdfPengantar...

PENGANTAR STATISTIKA

EKONOMI DAN BISNIS

Sanksi Pelanggaran Pasal 113 Undang-UndangRepublik Indonesia Nomor 28 Tahun 2014 Tentang Hak Cipta]

1. Hak Cipta adalah hak eksklusif pencipta yang timbul secara otomatis berdasarkan prinsip deklaratif setelah suatu ciptaan diwujudkan dalam bentuk nyata tanpa mengurangi pembatasan sesuai dengan ketentuan peraturan perundangundangan. (Pasal 1 ayat [1]).

2. Pencipta atau Pemegang Hak Cipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 8 memiliki hak ekonomi untuk melakukan: a. Penerbitan cip taan; b. Penggandaan ciptaan dalam segala bentuknya; c. Pener jemahan ciptaan; d. Pengadaptasian, pengaransemenan, atau pentransformasian ciptaan; e. pendistribusian ciptaan atau salinannya; f. Pertunjukan Ciptaan; g. Pengumuman ciptaan; h. Komuni kasi ciptaan; dan i. Penyewaan ciptaan. (Pasal 9 ayat [1]).

3. Setiap Orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf a, huruf b, huruf e, dan/atau huruf g untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 4 (empat) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp1.000.000.000,00 (satu miliar rupiah). (Pasal 113 ayat [3]).

4. Setiap Orang yang memenuhi unsur sebagaimana dimaksud pada ayat (3) yang dilakukan dalam bentuk pembajakan, dipidana dengan pidana penjara paling lama 10 (sepuluh) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp4.000.000.000,00 (empat miliar rupiah). (Pasal 113 ayat [4]).

PENGANTAR STATISTIKA

EKONOMI DAN BISNIS

Dr. Rd. Tuty Sariwulan, M.Si

Katalog Dalam Terbitan (KDT)

Dr. Rd. Tuty Sariwulan, M.SiPengantar Statistika Ekonomi dan Bisnis/-- Yogya karta: Samudra Biru,

2018.xvi + 199 hlm. ; 16x 24 cm.

ISBN : 978-602-5610-67-7

Hak cipta dilindungi oleh Undang-Undang. Dilarang mengutip atau mem-perbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun juga tanpa izin tertulis dari penerbit.

Cetakan I, April 2018Penulis : Dr. Rd. Tuty Sariwulan, M.SiEditor : Alviana C.Desain Sampul : Titah SurgaLayout : A.R. Natsir

Diterbitkan oleh:Penerbit Samudra Biru (Anggota IKAPI)Jln. Jomblangan Gg. Ontoseno B.15 RT 12/30Banguntapan Bantul DI YogyakartaEmail/FB : [email protected]: www.cetakbuku.biz/www.samudrabiru.co.idPhone: 0811-264-4745

v

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT berkat rahmatNya maka selesai sudah penulisan buku bahan ajar yang berjudul Pengantar Statistika Ekonomi dan Bisnis ini. Terbatasnya waktu yang dibutuhkan untuk memberikan kuliah Statistik Ekonomi I, menimbulkan keinginan penulis untuk membuat bahan ajar yang ringkas, sederhana, konsisten, dan mudah dimengerti pembaca. Penulisan bahan ajar ini sangat memudahkan penulis dalam memberikan materi perkuliahan secara efektif dan efisien tanpa mengurangi arti serta pengertian bagi mahasiswa. Buku ini nantinya akan digunakan sebagai buku pegangan dasar/pokok bagi mahasiswa sekaligus penulis sebagai pengajar Statistik Ekonomi I.

Tulisan ini terdiri dari sepuluh bab, pada bab pertama berisi dasar statistik yang di dalamnya terdiri dari pengertian serta konsep dasar tentang statistik ekonomi. Pada bab II masih merupakan konsep dasar tentang statistik tapi lebih mengerucut pada statistik itu sendiri yaitu tentang penyusunan data, gambar dan grafik data. Pada bab III sampai dengan bab V mulai menghitung ukuran-ukuran statistik seperti ukuran lokasi, ukuran variasi, dan ukuran lainnya. Pada bab VI mulai menghitung angka indek, dan bab VII sampai bab VIII selanjutnya menganalisis data baik data cross section maupun data time series/runtun waktu, bab IX Teori Probabilitas, dan terakhir bab X tentang Distribusi Teoritis.

vi

Manfaat buku ini di samping mengawal mahasiswa pada konsep-konsep dasar tentang statistik, juga diharapkan dapat melatih keterampilan dalam menyelesaikan soal-soal Statistik Ekonomi I, diharapkan juga agar mahasiswa membaca buku-buku statistik lainnya untuk memperdalam wawasan tentang Statistik Ekonomi I.

Akhir kata penulis ucapkan terima kasih pada bapak Pembantu Rektor I serta Pembantu Dekan I Fakultas Ekonomi UNJ yang telah memberi kesempatan dalam penulisan bahan ajar, serta semua pihak yang membantu memperlancar/memperbaiki penulisan ini.

Jakarta, Juni 2007

Penulis

vii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ................................................................................................v

DAFTAR ISI ............................................................................................................. vii

DAFTAR TABEL .......................................................................................................xi

DAFTAR GRAFIK, DIAGRAM, GAMBAR, SKEMA ....................................xv

BAB I PENDAHULUAN .....................................................................................................1

A. Pengertian Statistik ..................................................................................1B. Jenis-Jenis Statistik ..................................................................................2C. Metode Statistik Deskriptif dan Induktif ............................................3D. Data dan Sumber Data ............................................................................4E. Pengumpulan Data Sensus dan Sampling ...........................................5F. Notasi, Penjumlahan dan Persyaratan Matematik ............................6G. Perhitungan Angka ..................................................................................8H. Data yang Dipublikasikan ......................................................................9I. Ringkasan ..................................................................................................9J. Latihan Soal ..............................................................................................9

viii

BAB II FREKUENSI DISTRIBUSI ..................................................................................15

A. Frekuensi Distribusi ..................................................................... 15B. Penyusunan Distribusi .........................................................................16C. Distribusi Frekuensi Komulatif ..........................................................23D. Distribusi Relatif / Prosentase ...........................................................24E. Distribusi Katagorikal / Katagori .....................................................25F. Penyajian Diagram / Grafik ................................................................26G. Penyajian Tabel .....................................................................................31H. Ringkasan ...............................................................................................32I. Latihan Soal ...........................................................................................32

BAB III UKURAN LOKASI (PENGUKURAN NILAI SENTRAL / UKURAN GEJALA PUSAT) ......39

A. Pengantar ................................................................................................39B. Rata-Rata Hitung ..................................................................................40C. Median ....................................................................................................45D. Modus .....................................................................................................48E. Rata-Rata Geometrik dan Rata-Rata Harmonis ............................50F. Rata-Rata Tertimbang ..........................................................................54G. Kuartil .....................................................................................................55H. Desil .........................................................................................................58I. Persentil ..................................................................................................61J. Perbandingan Berbagai Ukuran ........................................................63K. Ringkasan ...............................................................................................64L. Latihan Soal ...........................................................................................64

BAB IV UKURAN VARIASI ................................................................................................69

A. Pengantar ................................................................................................69B. Rentang (Range) ...................................................................................70C. Deviasi Rata-Rata .................................................................................71D. Standar Deviasi Data yang Belum Dikelompokkan .......................73E. Standar Deviasi Data yang Sudah Diklasifikasikan ........................78F. Beberapa Catatan Mengenai Standar Deviasi .................................81G. Ringkasan ...............................................................................................81H. Latihan Soal ...........................................................................................82

ix

BAB V PENGUKURAN LAINNYA ................................................................................87

A. Pengantar ................................................................................................87B. Ukuran Simetris dan Ukuran Kemencengan ..................................90C. Ukuran Puncak/Keruncingan ............................................................94D. Ringkasan ...............................................................................................96E. Latihan Soal ...........................................................................................97

BAB VI ANGKA INDEK .................................................................................................. 101

A. Pengantar ............................................................................................. 101B. Jenis Angka Indek .............................................................................. 102C. Teori dan Aplikasi ............................................................................. 108D. Angka Indek untuk Proses Deflasi .................................................. 114E. Ringkasan ............................................................................................ 115F. Latihan Soal ........................................................................................ 116

BAB VII ANALISIS DATA RUNTUN WAKTU (DATA BERKALA/TIME SERIES) ................................................................ 121

A. Pengantar ............................................................................................. 121B. Komponen Data Runtun Waktu ..................................................... 124C. Trend Linier.......................................................................................... 126D. Ringkasan ............................................................................................ 136E. Latihan Soal ........................................................................................ 137

BAB VIII ANALISIS REGRESI DAN KORELASI ........................................................ 141

A. Pengantar ............................................................................................. 141B. Regresi Linier ...................................................................................... 142C. Metode Kuadrat Terkecil ................................................................. 145D. Pengertian Korelasi ............................................................................ 149E. Koefisien Korelasi .............................................................................. 149F. Koefisien Determinasi ...................................................................... 153G. Kesimpulan ......................................................................................... 154H. Latihan Soal ........................................................................................ 154

x

BAB IX TEORI PROBABILITAS (TEORI PELUANG / KEMUNGKINAN) ................................................... 159

A. Pengantar ............................................................................................. 159B. Aturan Probabilitas/ Peluang .......................................................... 160C. Teori Peluang ...................................................................................... 162D. Permutasi dan Kombinasi ................................................................ 167E. Ringkasan ............................................................................................ 172F. Latihan Soal ........................................................................................ 172

BAB X DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS ............................................................. 175

A. Pengantar ............................................................................................. 175B. Distribusi Peluang Teoritis .............................................................. 176C. Distribusi Peluang Diskrit ................................................................ 177D. Distribusi Peluang Kontinyu ........................................................... 179E. Distribusi Binomial, Poisson, Hypergeometrik dan Normal .... 181F. Pendekatan Distribusi Normal untuk Distribusi Binomial ....... 188G. Ringkasan ............................................................................................ 189H. Latihan Soal ........................................................................................ 189

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 193

INDEKS.................................................................................................................. 197

TENTANG PENULIS ........................................................................................ 199

xi

DAFTAR TABEL

Tabel 1. Penggunaan Statistik pada Bidang Ekonomi dan Bisnis .................2

Tabel 2. Jumlah Mahasiswa Ekonomi Berdasarkan Umur ......................... 16

Tabel 3. Jumlah Mahasiswa Berdasarkan Semester ..................................... 16

Tabel 4. Distribusi Berdasarkan Cara I .......................................................... 18

Tabel 5. Distribusi Frekuensi Berdasarkan Cara II ...................................... 22

Tabel 6. Distribusi Jumlah Uang yang Dibelanjakan ................................... 22

Tabel 7. Distribusi Komulatif Kurang Dari .................................................... 23

Tabel 8. Distribusi Frekuensi Komulatif Lebih Dari .................................... 24

Tabel 9. Distribusi Prosentase .......................................................................... 25

Tabel 10. Jumlah Mahasiswa Berdasarkan Tempat Tinggal ........................ 26

Tabel 11. Jumlah Penduduk Berdasarkan Jenis Kelamin .............................. 26

Tabel 12. Kegagalan Industri dalam Perdagangan di Indonesia .................. 26

Tabel 13. Distribusi Frekuensi ............................................................................ 42

Tabel 14. Menghitung Rata-Rata Hitung Cara I ............................................. 44

xii

Tabel 15. Menghitung Rata-Rata Hitung (Cara II) .........................................45

Tabel 16. Menghitung Median Data yang Dikelompokkan ...........................47

Tabel 17. Menghitung Median Data yang Dikelompokkan ...........................47

Tabel 18. Menghitung Modus ..............................................................................50

Tabel 19. Cara Menghitung Rata-Rata Harmonis ...........................................53

Tabel 20. Menghitung Rata-Rata Tertimbang ..................................................55

Tabel 21. Mencari Letak Kuartil ..........................................................................56

Tabel 22. Menghitung Kuartil Data yang Dikelompokkan ............................57

Tabel 23. Menghitung Desil Data yang Dikelompokkan ...............................60

Tabel 24. Menghitung Persentil Data yang Sudah Dikelompokkan ............63

Tabel 25. Nilai Ujian Statistik 5 Orang Mahasiswa .........................................71

Tabel 26. Menghitung Deviasi Rata-Rata Populasi .........................................73

Tabel 27. Menghitung Standar Deviasi Data yang Belum Diklasifikasikan 74

Tabel 28. Menghitung Standar Deviasi Data yang Belum Diklasifikasikan 75

Tabel 29. Menghitung Standar Deviasi Sampel Besar .....................................77

Tabel 30. Menghitung Standar Deviasi Data yang Sudah Diklasifikasikan 80

Tabel 31. Pengeluaran Karyawan dalam Seminggu .........................................93

Tabel 32. Menghitung Koefisien Kemencengan ..............................................93

Tabel 33. Menghitung Puncak/Keruncingan Distribusi ................................95

Tabel 34. Angka Indek Jumlah Mahasiswa Th 2000 - 2007 ........................ 102

Tabel 35. Harga Eceran Rata-Rata 5 Bahan Pokok Beserta Jumlah yang Terjual di Pasar Tradisional Tahun 2003 – 2006 (Rp. 000,-/Kg) ................................................................................... 109


xiii


Tabel 38. Perhitungan Indek Upah Nyata Tahun 2002 - 2006 ................... 115

Tabel 39. Perkembangan Jumlah Wisatawan yang Datang Ke NTB Kurun Waktu Th 1996 -2006 .......................................... 123

Tabel 40. Jumlah Keuntungan Bersih Selama 10 Bulan ............................... 123

Tabel 41. Data Mengenai Perkembangan Ekspor Batik Solo Tahun 1999-2005............................................................................... 128

Tabel 42. Data Perkembangan Jumlah Wisatawan Domestik yang Datang ke Pulau Lombok Th 1999-2006 ........................... 129

Tabel 43. Data Mengenai Perkembangan Harga Telur Ayam di Kota Sukabumi Tahun 2000 - 2006 ........................................... 131

Tabel 44. Hasil Penjualan Komputer Tahun 2000-2006 ............................. 133

Tabel 45. Perhitungan Trend Parabola dengan Metode Kuadrat Terkecil ................................................................................................. 133

Tabel 46. Banyak Pengunjung dan yang Belanja di Suatu Toko Selama Bulan Agustus 2007 ............................................................. 144

Tabel 47. Pendapatan dan Pengeluaran Ibu Rumah Tangga Per Bulannya ....................................................................................... 147

Tabel 48. 8 Perusahaan yang Didata Mengenai Umur Perusahaan dan Produktivitas ............................................................................... 150

Tabel 49. Perbedaan Kombinasi dengan Permutasi ..................................... 172

Tabel 50. Titik Sampel dan Peluang dari Hasil Pelantunan 3 Uang Logam ........................................................................................ 177

Tabel 51. Distribusi Peluang dari Sisi Gambar Hasil Pelantunan 3 Keping Uang Logam ........................................................................................ 178

xv

DAFTAR GRAFIK, DIAGRAM, GAMBAR, SKEMA

Diagram Garis yang Menaik ..................................................................................27

Diagram Garis yang Menurun ...............................................................................27

Diagram Garis yang Bergelombang ......................................................................28

Grafik / Diagram Batang .......................................................................................28

Diagram / Grafik Histogram .................................................................................29

Grafik Polygon ..........................................................................................................29

Diagram / Grafik Komulatif Kurang Dari ..........................................................30

Diagram Frekuensi Komulatif Lebih Dari .........................................................30

Titik Ogave ................................................................................................................31

Bentuk Bel/Simetris ................................................................................................87

xvi

Bentuk Bel Menceng Kanan ..................................................................................88

Bentuk Bel Menceng Kiri .......................................................................................88

Distribusi dengan Puncak Runcing ......................................................................88

Distribusi dengan Puncak Tumpul .......................................................................89

Distribusi dengan Bentuk Datar ...........................................................................89

Distribusi dengan Bentuk U ..................................................................................89

Skema Angka Indek .............................................................................................. 104

Trend Naik .............................................................................................................. 125

Trend Turun ............................................................................................................ 125

Trend Tetap ............................................................................................................. 125

Trend Penjualan Komputer di Toko Elektronik Tahun 2000 - 2006 .......... 136

Gambar Regresi Linier Positif ............................................................................ 142



Diagram Pencar ..................................................................................................... 145

Distribusi Peluang Sisi Gambar Pelantunan Tiga Buah Koin ...................... 178

Distribusi Peluang Komulatif Sisi Gambar ...................................................... 178

Jenis-Jenis Grafik Kontinyu ................................................................................ 180

Kurva Normal ........................................................................................................ 188

1

BAB I PENDAHULUAN

Pada bab pertama ini, terdapat beberapa subbab, antara lain terdiri dari pengertian statistik, metode statistik, data dan sumber data, pengumpulan data, pengertian, serta konsep dasar tentang statistik ekonomi I.

A. Pengertian StatistikMenurut Sudjana pengertian statistik dengan statistika berbeda. Sudjana

mengatakan bahwa :1. Statistik adalah kumpulan angka-angka yang melukiskan atau

menggambarkan suatu persoalan. Kumpulan angka-angka ini biasanya disusun dalam tabel atau daftar yang sering disertai dengan diagram atau grafik dan keterangan lain yang diperlukannya.

2. Statistika adalah pengetahuan yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan bahan-bahan atau keterangan, pengolahan serta penganalisaan, penarikan kesimpulan serta pembuatan keputusan yang beralasan berdasarkan penganalisaan yang dilakukan.

Sedangkan Nata Wirawan dalam buku “Statistik-1” mengatakan bahwa :1. Statistik adalah kumpulan keterangan yang berbentuk angka saja

PENGANTAR STATISTIKA EKONOMI DAN BISNIS2

(data kuantitatif) yang dapat memberikan gambaran mengenai keadaan, peristiwa atau gejala tertentu. Misalnya satistik penduduk, statistik perdagangan, statistik pendidikan dll.

2. Selanjutnya Nata Wirawan mengatakan bahwa pengertian statistik dalam arti luas diartikan sebagai : cabang ilmu pengetahuan yang mempelajari cara-cara (metode) pengumpulan, penyajian, analisis, interpretasi dan pengambilan kesimpulan dari suatu data, sehingga data tersebut dapat memberikan pengertian atau makna tertentu. Statistik dalam arti luas disebut juga Metode Statistik.

B. Jenis-Jenis Statistik Ada bermacam-macam statistik menurut kebutuhan atau penggunaannya

antara lain : - Statistik Niaga- Statistik Psikologi- Statistik Pendidikan- Statistik Pertanian- Statistik KedokteranDalam hal ini metode statistik yang dipergunakan oleh Mahasiswa

Ekonomi adalah yang berhubungan dengan masalah perekonomian dan niaga/ perdagangan. Tabel berikut ini menunjukkan penggunaan statistik pada bidang ekonomi dan bisnis untuk memecahkan masalah yang hadapi.

Tabel 1. Penggunaan Statistik pada Bidang Ekonomi dan Bisnis

Bidang Ekonomi Masalah yang Dihadapi

Manajemen 1. Penentuan struktur gaji, pesangon dan tunjangan karyawan2. Penentuan jumlah barang-barang dalam proses, barang

setengah jadi dan barang jadi.3. Evaluasi produktivitas karyawan4. Evaluasi kinerja perusahaan

Akuntansi 1. Penentuan standar audit barang dan jasa.2. Penentuan depresiasi dan apresiasi barang dan jasa3. Analisis rasio keuangan perusahaan

Pemasaran 1. Penelitian dan pengembangan produk.2. Analisa potensi pasar, segmentasi pasar, dan diskriminasi pasar3. Efektivitas kegiatan promosi penjualan4. Ramalan penjualan

PENGANTAR STATISTIKA EKONOMI DAN BISNIS 3

Keuangan 1. Potensi peluang kenaikan & penurunan harga saham, suku bunga dan reksa dana

2. Tingkat pengembalian investasi pada sektor-sektor ekonomi3. Analisis pertumbuhan laba, cadangan usaha dan modal kerja

usaha4. Analisis resiko terhadap usaha

Ekonomi Pembangunan

1. Analisis pertumbuhan ekonomi, inflasi dan suku bunga2. Pertumbuhan penduduk dan tingkat pengangguran serta

kemiskinan3. Indeks harga konsumen dan perdagangan besar

C. Metode Statistik Deskriptif dan InduktifBerdasarkan metodenya, statistik dapat dibedakan menjadi dua bagian

yaitu statistik Deskriptif dan statistik Induktif.

1. Statistik Deskriptif disebut juga statistik DeduktifAdalah merupakan pengumpulan data, penyajian data dalam bentuk

tabel atau grafik, pengolahan data, melakukan perhitungan, menganalisis, serta menaksir nilai statistik.

2. Statistik Induktif disebut juga statistik InferensiaAdalah statistik yang melakukan penaksiran tentang karakteristik

populasi, meramalkan/ memprediksi dan menarik kesimpulan yang bersifat umum tentang populasi. .

Misal : Mahasiswa jurusan Akutansi dan jurusan manajemen di uji mengenai mata kuliah matematika.. Masing-masing mahasiswa diambil 5 orang untuk dijadikan sampel. Setelah diuji dan dinilai mahasiswa Akuntansi, ternyata mendapat nilai : 98,5 ; 86,3 ; 100 ; 97,2 dan 74,6. Sedangkan mahasiswa manajemen mendapat nilai : 89,2 ; 100 ; 99,3 ; 92,9 dan 78,5. Atas dasar keterangan ini, maka dapat dikatakan bahwa rata-rata nilai ujian mahasiswa jurusan Akuntansi :

98,5+ 86,3+ 100+ 97,2+ 74,65 = 91,32

Sedangkan nilai rata-rata mahasiswa jurusan manajemen:

89,2+ 100+ 99,3+ 92,9+ 78,55 = 91,88


Perbedaan rata-rata adalah : 91,88 – 92,32 = 0.56Nilai rata-rata ini adalah cara perhitungan yang sederhana untuk

menghitung dua rata-rata. Istilah statistik deskriptif dan statistik induktif berdasarkan jenis masalah yang akan dipecahkan, bukan berdasarkan atas rumus-rumus tertentu atas hasil statistik tertentu.

D. Data dan Sumber Data

1. Data Data merupakan sekumpulan fakta/keterangan yang dapat dipercaya

kebenarannya. Data bisa berbentuk angka dan bisa juga tidak berbentuk angka. Sekumpulan data yang berupa angka disebut data Kuantitatif, sedangkan data yang tidak berupa angka disebut data kualitatif.

a. Data Kuantitatif (angka) dibagi menjadi 2 :

• Data DiskritData Diskrit yaitu data yang satuannya berbentuk bulat, tidak

dapat dipecahkan. Misal : jumlah binatang satuannya tidak dapat dipisah, demikian pula dengan komputer, Meja, Kursi, dll. Kita tidak bisa membeli 4,5 meja atau dalam ruangan ada 7,25 unit computer.• Data Kontinyu

Data kontinyu adalah data yang satuannya dapat dipecahkan. Misalnya kita bisa membeli ½ kg gula pasir, 3,5 liter minyak curah, harga sepeda balap Rp 2,3 juta dll.

b. Data Kualitatif (Mutu / Kualitas)Data kualitatif merupakan data yang berbentuk bukan angka.

Biasanya data ini dipakai untuk penyelidikan statistik, menarik kesimpulan.

2. Sumber DataDilihat dari sumbernya maka data dapat dibagi menjadi dua bagian,

yaitu : Data Internal dan Data Eksternal.

a. Data InternalData Internal adalah data yang dikumpulkan oleh orang pribadi

atau badan dan digunakan untuk kepentingan sendiri.Misal :• Data mengenai pencatatan jumlah penduduk di kota Jakarta.• Data mengenai jumlah produksi padi sawah dan padi tadah


hujan tahun 2007 di kabupaten Bima NTB. • Data mengenai jumlah penjualan barang-barang di Koperasi

UNJ.• Dan lain-lain.

b. Data EksternalData Eksternal adalah data yang dikumpulkan oleh orang atau

badan untuk kepentingan orang lain. • Data Primer

Data dikumpulkan, diterbitkan untuk kepentingan orang lain, dari lembaga yang menerbitkannya.• Data Sekunder

Data dikumpulkan oleh satu badan, diterbitkan oleh badan lain, digunakan untuk kepentingan orang lain.

Misal :• Data dari Kanwil Pemerintahan Pusat atau dari lembaga lain

yang diterbitkan untuk orang lain.• Data tentang organisasi pemuda.• Data tentang perdagangan atau publikasi perdagangan.• Biro Pusat Statistik.

Pada umumnya lebih disukai data primer daripada data sekunder, bukan hanya karena data sekunder kemungkinan terdapat kesalahan, tetapi biasanya data primer diikuti dengan definisi dan dokumen-dokumen yang lebih baik.

Kadang-kadang beberapa penyelidikan memerlukan kedua data tersebut yaitu data internal dan eksternal. Misalnya : suatu Perguruan Tinggi Swasta ingin mengadakan perbandingan dengan seluruh Perguruan Tinggi Swasta lainnya, maka data internal diperoleh dari Perguruan Tinggi itu sendiri, sedangkan data eksternal yaitu Perguruan Tinggi lainnya secara keseluruhan diperoleh dari publikasi atau dari badan yang bersangkutan.

E. Pengumpulan Data Sensus dan SamplingPengumpulan data dapat dicari dengan dua cara, yaitu :

1. Cara Sensus / PopulasiPenelitian yang dilakukan dengan mengambil seluruh phenomena yang ada


atau seluruh populasi yang ada disebut sensus. Jadi sensus atau populasi yaitu mengumpulkan data dengan cara mengambil seluruh obyek yang ada. Penelitian ini sangat baik karena seluruh obyek diteliti, sehingga kemungkinan tidak terjadi kesalahan. Namun dilain pihak penelitian ini sangat banyak memerlukan dana, waktu dan juga tenaga. Kelemahan lainnya adalah : apabila suatu barang yang diteliti itu mudah rusak.

2. Cara Sampel/SamplingKadangkala kita tidak dapat meneliti seluruh phenomena yang ada, karena

masalah biaya , waktu dan tenaga, hanya bisa meneliti sebagian saja dari phenomena yang ada, jadi penelitian yang dilakukan terhadap sebagian dari populasi disebut sampel.

Serangkaian data disebut populasi atau sampel tergantung pada apa yang hendak dikerjakan. Misalnya kita ingin mengadakan wawancara dengan 25 orang pedagang dari 500 orang pedagang pada suatu pasar, maka hasil wawancara ini disebut sampel yaitu sebagian saja dari pendapatan seluruh pedagang di pasar itu yang diteliti, dan kita harus puas terhadap sampel yang diteliti karena tidak akan mungkin mendapat keterangan lengkap mengenai populasi.

F. Notasi, Penjumlahan dan Persyaratan Matematik

1. Notasia. Apabila datanya tidak banyak maka notasi / simbol dipergunakan

huruf atau abjad.b. Apabila datanya banyak maka dipergunakan tanda atau angka

(karena huruf/abjad tidak mencukupi hanya ada 26 huruf).Pada umumnya dipakai huruf yang berbeda untuk pengukuran yang

berbeda dan tanda yang berbeda untuk pengamatan yang berbeda.

2. PenjumlahanUntuk menyederhanakan rumus yang kompleks dipakai simbol : ∑

(sigma) salah satu huruf Yunani.Misalnya :

a. ∑=

+++++=5

1i

25

24

23

22

21

2ii

2 YYYYYYY

b. ∑=

++=3

1j32221222 fxfxfxYX

c. ∑=

+++=7

1i7654iZ ZZZZ


Sigma akan banyak dipakai pada rumus-rumus, maka ada baiknya dibicarakan beberapa aturan.

Aturan ISigma dari dua variabel atau lebih, sama dengan jumlah dari sigma

masing-masing variabel.Misal :

( )∑ ∑ ∑∑= = ==

++=++n

1i

n

1i

n

1i1

n

1i11iii ZYXZYX

Dapat pula dikerjakan apabila memakai tanda minus, hanya tinggal menunjukkan tanda.

Aturan II

∑ ∑= =

=n

1i

n

1iii XkkX

Aturan menyatakan bahwa sigma dari suatu bilangan konstan k kali suatu variabel Xi sama dengan bilangan konstan k kali sigma variabel tersebut, hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut :

∑=

++=n

1in321i X.........kkXkXkXkX

).........XXXk(X n321 ++=

∑=

=n

1iiXk

Aturan III

∑=

=n

1ikn k

Aturan ini mengatakan bahwa sigma dari satu bilangan konstan k dari 1 (satu) sampai n sama dengan hasil kali k dengan n. hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut :

∑=

++=n

1in321i ....kX..........kXkXkXkX

Kalau Xi diganti dengan 1 (satu) maka akan mendapat :

∑=

++=n

1ii111i ...k..........kkkk

∑=

=n

1ikn k


Karena bilangan konstan k tidak bergantung pada i, kita dapat menulis:

∑=

=++=n

1i1 kn .kk.........kkk

3. Persyaratan MatematikPengantar Matematik merupakan syarat utama pada pelajaran statistik

di Perguruan Tinggi, karena asas-asas teoritis ilmu statistik memerlukan pengetahuan matematik sebagai dasar yang cukup kuat.

Misal :• Menunjukkan suatu jumlah dengan simbol x, y, z.• Substitusi, fungsi, logaritma dan tabel.• Penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian• Dan lain-lain.

G. Perhitungan AngkaPembulatan Angka

Aturan umum pembulatan suatu angka yang terletak antara dua unit, diganti dengan satu unit terdekat.

Misal :• Apabila kita ingin membulatkan Rp. 125,37 yang terletak diantara

Rp.125 dan Rp. 126 kebulatan terdekat adalah Rp. 125.• Apabila ingin membulatkan jumlah buku 45,590 maka dibulatkan

keatas menjadi 46. Kesulitan terjadi apabila angka terletak ditengah-tengah antara 2 unit.

Misal : Rp. 75,50 apakah menjadi Rp. 75 atau Rp. 76 aturan ini kadang-kadang dibulatkan keatas dan kadang-kadang dibulatkan kebawah. Dalam jangka panjang kesalahan karena pembulatan dapat dihilangkan, apabila dibulatkan secara konsisten keatas atau kebawah. Hal ini dikenal dengan sebutan “Kesalahan Sistematis” (Sistematis Error) atau Kemencengan Sistematis (Sistematis Bias). Meskipun aturan di atas selalu diikuti dalam pekerjaan ilmiah, tetapi sering diabaikan dalam praktik. Dalam kasus di atas (Rp. 75,50) dibuat suatu perjanjian sebagai berikut : apabila bilangan tersebut bernilai ganjil maka dibulatkan keatas dan apabila bernilai genap dibulatkan kebawah. Jadi Rp. 75,5 dibulatkan keatas akan menjadi Rp. 76 jika nilainya Rp. 76,50 dibulatkan kebawah akan menjadi Rp. 76.


H. Data yang DipublikasikanSangat banyak data yang dikumpulkan oleh pemerintah baik untuk

pemerintah sendiri dalam melaksanakan kewajibannya, maupun yang dipublikasikan untuk memenuhi kebutuhan masyarakat, atau untuk suatu organisasi yang memerlukan biaya yang cukup murah. Seperti ditemui di kantor Statistik tentang aktivitas pemerintah dalam pengumpulan data yang berhubungan dengan perdagangan besar, kecil, jasa, pertanian, industri, pertambangan penduduk, perumahan, tenaga kerja dan yang lainnya. Semua data yang dipublikasikan oleh pemerintah dapat memberi gambaran yang menyeluruh mengenai data apa, bagaimana, kapan dan darimana data itu dikumpulkan,bagaimana data itu diolah dan sebagainya.

Contoh lain misalnya :• Departemen Perdagangan secara periodik mengumpulkan dan

mempublikasikan data, mengenai perekonomian nasional, baik dari aspek dalam maupun luar negeri.

• Departemen tenaga kerja mempublikasikan kesempatan kerja, angkatan kerja, jumlah pekerja di luar negeri.

I. RingkasanBab I (Pendahuluan) ini menjelaskan tentang pengertian statistik baik

secara umum maupun khusus, juga menjelaskan tentang data, sumber-sumber data, cara pengumpulan data, persyaratan matematika, sistim pembulatan angka dan notasi. Mahasiswa harus mengerti betul hal tersebut di atas, sebelum melangkah ke perhitungan-perhitungan statistik. Terutama notasi penjumlahan yang biasa ditulis dengan ∑ (sigma). Notasi ini akan sering dijumpai dalam bab bab selanjutnya.

J. Latihan Soal1. Jelaskan apa perbedaan statistik dengan statistika!2. Jelaskan perbedaan statistik dalam arti luas dan statistik dalam arti

sempit! 3. Jelaskan pula perbedaan Statistik Deskiptif dengan statistik Induktif!4. Jelaskan macam-macam statistik menurut penggunaannya!5. Menurut sumber data, ada 2 macam data yaitu data internal dan data

eksternal, jelaskan perbedaan kedua data tersebut, dengan contohnya!6. Apa perbedaan populasi dengan sampel, jelaskan dengan menggunakan

contoh!


7. Apa perbedaan data kualitatif dengan data kuantitatif, jelaskan dengan menggunakan contoh!

8. Jelaskan kapan saudara akan mempergunakan notasi abjad dan kapan mempergunakan notasi angka!

9. Jelaskan menurut pendapat saudara, mana yang lebih baik menggunakan data primer, atau data sekunder!

10. Jelaskan yang dimaksud dengan :a. Statistikb. Data primer c. Data sekunderd. Data kualitatife. Data kuantitatif

11. Bulatkanlah angka-angka di bawah ini hingga keteliatan yang diminta.a. 0,075 hingga per ratusanb. 0,0065 hingga per ribuanc. 0,000056502 hingga per jutaand. 259,6871 hingga dua decimale. 5445,9645 hingga satu decimal

12. Pada suatu hari lama pembicaraan telepon yang dilakukan seorang pengusaha dinyatakan dalam menit tercatat sebagai berikut.

14 15 8 4 2 10 8 7 5 12

23 6 8 12 5 30 21 25 2 4

Hitunglah rata-rata lama pembicaraan telepon yang dilakukan !13. Seorang pedagang jeruk menjual 6 buah jeruk dalam satu kantong

plastik dengan massa yang berbeda-beda dalam gram, yaitu 147, 165, 181, 156, 159, dan x. jika rata-rata massa jeruk 157,5 gram, berapakah massa apel x ?

14. Rata-rata nilai ujian mahasiswa ekonomi sebanyak 29 orang adalah 61. Jika ditambahkan nilai seorang mahasiswa dalam perhitungan, maka rata-rata nilainya menjadi 61,5. Berapakah nilai mahaiswa yang baru ditambahkan tersebut ?

15. Lima kelompok mahasiswa yang masing-masing terdiri dari 6, 12, 10 dan 8 orang rata-rata menyumbangkan uang ke Yayasan Rumah Anak


Yatim sebesar Rp 1.500.000, Rp 2.000.000, Rp 2.500.000 dan Rp 1.000.000. Tentukan besar rata-rata sumbangan setiap mahasiswa !

16. Diketahui :

1 2 3 4

1 2 3 4

5 3 4 22 5 1 7 6

x x x xy y y y k= = = = −= = − = = =

Hitunglah :

a.

42

1i i

ix y

=∑

b.

4

1i

iky

=∑

c. ( ) ( )

4 42

1 3i i

i ix k ky

= =

−∑ ∑

d. ( ) ( )

24 43

2 1i i i

i ix y ky

= =

− ∑ ∑

17. Lengkapilah tabel di bawah ini :

No Urut ix iy i ix y 3

ix3iy 3 3

i ix y+ ( )2

i ix y−

1 1 102 2 93 3 84 4 75 5 66 10 57 9 48 8 39 7 2

10 6 1Total

Kemudian hitunglah nilai :

a. iy∑

b. i ix y∑

c. 3ix∑

d. 3iy∑


e. ( )3 3i ix y+∑

f. ( )2

i ix y−∑18. Lengkapilah tabel bawah ini.

No Urut ix iy i ix y 2ix 2

iy ( )22 2i ix y−

1 2 72 4 43 6 34 8 95 10 8

Total

Kemudian hitunglah nilai dari :

a.

5

1i

ix

=∑

b.

5

2i

iy

=∑

c.

32

1i

ix

=∑

d.

42

3i

iy

=∑

e. ( )

5 22 2

2i i

ix y

=

−∑

19. Diketahui nilai variable x dan y seperti di bawah ini.

No Urut ix iy

1 8 6

2 3 6

3 4 9

4 8 7

5 6 7

6 1 3

7 10 5


Hitunglah nilai dari :a. ix∑

b. i

i

xy

∑∑

c. ( )i ix yn+∑

d. 2 2i ix yn

∑ ∑

15

BAB II FREKUENSI DISTRIBUSI

A. Frekuensi Distribusi Adalah susunan data angka menurut besarnya atau menurut kategorinya.

Biasanya perkataan “Frekuensi” dihilangkan menjadi “Distribusi”. Distribusi dibedakan menjadi dua :

1. Distribusi Angka (Nomerial)2. Distribusi Katagoris (Catagorical)

1. Distribusi Angka Distribusi berdasarkan angka juga indentik dengan distribusi

kuantitatif. Apabila data digolongkan berdasarkan angka di sebut dengan distribusi kuantitatif yaitu data yang berdasarkan angka-angka.

Misalnya : menggolongkan jumlah mahasiswa Ekonomi Koperasi dari semester I

sampai semester VII berdasarkan umur tahun tahun 2007.


Tabel 2. Jumlah Mahasiswa Ekonomi Berdasarkan Umur

Umur (Tahun) Jumlah (Orang)

16 – 1819 – 2122 – 2425 - 27

14323632859

Sumber : Data Hipotetis

2. Distribusi KatagorisApabila ada data bukan berdasarkan angka, tapi berdasarkan katagori

tertentu maka disebut data katagoris .Misalnya :Mengklasifikasikan jumlah mahasiswa Ekonomi Koperasi menjadi:

mahasiswa semester I, III, V, dan semester VII. Klasifikasi mahasiswa berdasarkan golongan tersebut disebut distribusi katagoris.

Tabel 3. Jumlah Mahasiswa Berdasarkan Semester

Semester Jumlah Mahsiswa

IIIIV

VII

65556560


B. Penyusunan Distribusi

1. Penyusunan Distribusi Frekuensi dengan Cara IApabila dalam suatu penelitian yang terdiri dari beberapa sampel

yang diambil dari suatu populasi, maka data tersebut perlu disusun secara sistimatis dalam bentuk daftar yang disebut dengan Distribusi Frekuensi agar mudah dipahami dan dimengerti.

Proses penyusunan distribusi frekuensi terdiri atas 4 (empat) langkah :a. Langkah I, menentukan jumlah kelas.

Dalam menentukan jumlah kelas, tidak ditentukan berapa banyaknya tergantung keinginan kita sendiri.b. Langkah II, memilih kelas-kelas, ke kelas mana data digolongkan.

Pada umumnya dimulai dari data yang terendah digolongkan ke


kelas yang pertama, demikian seterusnya sampai data yang tertinggi di golongkan ke kelas yang terakhir.c. Langkah III, menaruh tanda control.

Setiap pengamatan yang sudah dimasukkan kedalam kelas-kelas diberi tanda kontrol ke dalam kelas yang sesuai untuk memudahkan melihat dan untuk memudahkan perhitungan.d. Langkah IV, Menghitung jumlah tanda kontrol pada setiap kelas.

Setelah semua data dimasukkan ke dalam kelas-kelas, tanda kontrol dijumlah/dihitung, kemudian dimasukkan ke dalam kolom yang telah tersedia, yang dinamakan Jumlah frekuensi.Contoh : Di bawah ini disajikan data mengenai jumlah konsumen yang

berbelanja di pasar tradisional dalam sehari (hari Minggu), berdasarkan atas jumlah uang yang dibelanjakan untuk membeli sayur-mayur di kota Jakarta. Data pembelian sayur mayur tersebut adalah sebagai berikut (dalam ribuan rupiah) :

21,36

10,37

33,55

18,25

26,43

24,97

14,67

27,49

24,76

17,45

34,82

17,50

24,15

11,95

26,42

34,75

5,45

212,50

19,87

26,70

12,73

37,81

24,81

17,75

15,10

28,50

21,75

18,64

29,30

9,36

15,12

17,89

19,84

32,50

20,63

24,25

8,89

27,16

15,95

31,84

23,11

13,52

19,71

20,84

12,25

11,54

36,90

23,81

29,34

18,49

6,12

31,12

19,50

23,35

27,35

18,75

30,26

21,50

33,82

23,50

5,57

13,84

23,05

24,61

10,85

22,49

12,72

7,81

17,84

25,15

21,50

26,80

16,30

14,59

28,40

28,40

22,46

17,35

29,65

16,44


Data tersebut di atas terdiri dari 80 sampel, atau ada 80 konsumen yang membelanjakan uangnya di pasar tradisional. Kita lihat nilai terkecil dan nilai terbesar, kemudian kita hitung jaraknya. Pada data terlihat bahwa jumlah uang yang dibelanjakan terkecil adalah Rp. 5,45 dan jumlah uang yang dibelanjakan terbesar adalah Rp.37,81. maka secara kasar berjarak antara Rp 5 sampai dengan Rp38.

Seperti yang telah dikatakan di atas bahwa kita bebas menentukan jumlah kelas yang kita inginkan. Jumlah kelas disuaikan menurut keinginan dan kebutuhan. Dari data di atas kita tentukan saja jumlah kelasnya yaitu tujuh kelas. Karena jumlah yang dibelanjakan terkecil Rp 5,45 maka tepi kelas bawah secara kasar adalah Rp 5 dan tepi kelas atas Rp 10, untuk kelas I, supaya menghindari kelas jangan sampai tumpang tindih maka dipilih klasifikasi sebagai berikut :

Kelas I Rp. 5,00 – Rp. 9,99Kelas II Rp. 10,00 – Rp. 14,99 dan seterusnyaDengan memakai klasifikasi tersebut di atas, data tersebut dapat

dibuatkan tabel sebagai berikut :

Tabel 4. Distribusi Berdasarkan Cara I

Jumlah Uang (Ribuan Rupiah) Tally (tanda kontrol) Jumlah konsumen

(Frekuensi)

5,00 - 9,9910,00 - 14,9915,00 – 19,9920,00 – 24,9925,00 – 29,9930,00 – 34,9935,00 – 39,99

///// ////// ///// //

///// ///// ///// ///////// ///// ///// /////

///// ///// //////// ///

//

61219201382

J u m l a h 80 80

Sumber : data Hipotetis

Bisa pula aturan kelasnya antara Rp. 5,45 – 10,07 atau 10,08 – 14,71 dan seterusnya, tapi kelas yang demikian kurang baik karena sistem kontrolnya sulit dibaca. Secara umum dapat dikatakan bahwa pada umumnya lebih disukai memakai panjang kelas yang sama karena mudah dipergunakan.


2. Beberapa Istilah dalam Distribusi Frekuensi • Limit Kelas Atas dan Limit Kelas Bawah

Limit Kelas Atas dan Limit Kelas Bawah adalah nilai yang terbesar dan nilai yang terkecil yang dapat masuk pada suatu kelas. Pada tabel 4 di atas, limit bawah adalah 5,00 dan limit atas 9,99 untuk kelas I. Pada kelas IV limit bawah adalah 20,00 dan limit atas 24,99 dan seterusnya.• Interval Kelas (Panjang Kelas)

Untuk menentukan panjang kelas dapat dihitung dengan menghitung selisih dua limit kelas bawah berturut-turut, atau dua limit kelas atas berturut-turut. Pada tabel 4 di atas limit kelas I bawah adalah 5 dan limit kelas II bawah adalah 10, jadi interval kelas adalah selisihnya yaitu 5. Bisa juga selisih limit kelas atas. Kelas I atas adalah 9,99 dan kelas II atas adalah 14,99, selisihnya adalah 5. Jadi interval kelas atau panjang kelas adalah 5. • Titik tengah (Midle Point / Class mark)

adalah rata-rata dari masing-masing kelas. Atau dengan kata lain penjumlahan dari limit kelas I bawah dengan limit kelas I atas dibagi dua untuk titik tengah kelas satu. Demikian pula halnya kalau kita mencari nilai titik tengah kelas II dan seterusnya.

Contoh :

Pada kelas I titik tengah : 5,00+9,992

= 7,495

Pada kelas II titik tengah : 15,00+19,992

= 17,495

• Tepi Kelas (Class Boundareis / Batas Teoritis/True Limit)Antara limit kelas I atas yaitu 9,99 dengan dengan limit kelas II

bawah yaitu 10 terdapat celah atau batas sebesar selisihnya yaitu 0,01. Jika tabel 4 di atas dibuat grafik batang (grafik Histogram) maka akan terdapat batas atas celah antara batang yang satu dengan batang yang lain. Untuk menghindari celah tersebut maka dibuat kelas Boundareis dengan cara : selisih 0,01 tersebut dibagi dua masing-masing 0,005. Untuk limit kelas I atas ditambah maka akan menjadi 9,995 dan limit kelas II bawah dikurangi 0,005 maka akan menjadi 9,995.


Contoh :Batas kelas

Limit Kelas Limit Kelas

5 9,99 10 14,99 15

14,9959,995

Class Boundareis

9,99 10

Celah

3. Penyusunan Distribusi Frekuensi dengan Cara IIDalam menyusun Distribusi Frekuensi ada cara lain, yaitu dengan

memakai rumus untuk mencari jumlah kelas dan panjang kelas. Adapun cara menyusun distribusi frekuensi dengan menggunakan rumus adalah sebagai berikut :

a. Menentukan Jumlah KelasSebenarnya dalam menentukan jumlah kelas ini, dapat dilakukan

secara bebas, data dapat dibagi kedalam 5 kelas atau 10 kelas atau berapa saja sesuai dengan keperluan. Namun dapat pula dipakai rumus untuk menentukan jumlah kelas yaitu dengan rumus Sturges. Adapun rumus tersebut adalah sebagai berikut :

K = 1 + 3,32 log n

Keterangan :K = Banyaknya kelasn = Jumlah data yang dimilikiJika data di atas dicari jumlah kelasnya dengan menggunakan rumus

Sturges maka diperoleh hasil sebagai berikut : K = 1 + 3,32 log n = 1 + 3,32 log 80 = 1 + 3,32 (1,9) = 1 + 6,31 = 7,31 (berarti ada 7 kelas)


b. Menentukan panjang kelas (class interval)Dalam menentukan panjang kelas, maka pertama-tama kita mencari

jarak atau range dengan cara mengurangi antara data yang terbesar dengan data yang terkecil. Untuk Range tersebut diberi notasi R ( R = Range/jarak). Kemudian Range tersebut dibagi dengan jumlah kelas (K). Adapun rumus untuk menentukan panjang kelas adalah sebagai berikut :

KR

n log 3,321eJarak/RangI =

+=

Keterangan : I = panjang kelas R = range/jarak K = banyak kelas n = jumlah dataRange / RentangRange adalah jarak antara data yang terbesar dengan data yang

terkecil. Atau dengan kata lain :

Range = nilai data tertinggi – nilai data terendah

Contoh : Data terbesar Rp. 37,81 dan data yang terkecil Rp. 545. Maka : Range = 37,81 – 5,45 = 32,36.Dengan menggunakan rumus panjang kelas/interval kelas maka

diperoleh panjang kelas sebagai berikut :

KR

n log 3,321eJarak/RangI =

+=

RK

=

32,367,31

=

32,367,31

=

= 4,43 (dibulatkan menjadi 5)


Berdasarkan kedua rumus di atas, maka diperoleh jumlah kelas sebanyak 7 kelas, dengan interval masing-masing kelas sebesar 5, dengan demikian dapat dibuat Distribusi Frekuensi yang berdasarkan rumus (cara II) dalam tabel berikut ini :

Tabel 5. Distribusi Frekuensi Berdasarkan Cara II

No Kelas Interval Kelas Frekuensi (Tally) Frekuensi

1234567

IIIIIIIVVVIVII

- 9- 14- 19- 24- 29- 34

35 - 39

///// ////// ///// //

///// ///// ///// ///////// ///// ///// /////

///// ///// //////// ///

//

61219201382


Agar tidak terdapat celah atau batas maka Interval kelas pada Distribusi Frekuensi tabel di atas bisa dijadikan kelas Boundareis dengan cara selisih tepi kelas atas dengan tepi kelas bawah yang berikutnya kemudian dibagi dua, sebagai berikut :

Tepi kelas atas = 9Tepi kelas bawah berikutnya = 10 Selisih dari kedua angka tersebut adalah 1, yang kemudian dibagi

2, hasil menjadi 0,5. Masing-masing ditambah dan dikurangi dengan 0,5. Jadi tepi kelas atas menjadi 9,5 dan tepi kelas bawah berikutnya menjadi 9,5. Dengan demikian kita bisa membuat tabel kelas Boundareis sebagai berikut :

Tabel 6. Distribusi Jumlah Uang yang Dibelanjakan

Jumlah Uang yang Dibelanjakan (kelas Boundareis)

Banyaknya Konsumen (Frekuensi)

4,5 - 9,59,5 - 14,5

14,5 - 19,519,5 - 24,524,5 - 29,529,5 - 34,534,5 - 39,5

61219201382



C. Distribusi Frekuensi KomulatifSeringkali orang tertarik untuk mengetahui dengan cepat banyaknya

pengamatan (data) yang memiliki nilai di atas atau Di bawah nilai tertentu. Untuk keperluan itu kita harus menyusun tabel frekuensi komulatif.

Frekuensi Komulatif dari suatu tabel frekuensi adalah adalah frekuensi yang menunjukkan jumlah frekuensi yang terletak di atas atau Di bawah suatu nilai tertentu dalam suatu interval kelas (Nata Wirawan, h.44).

Distribusi Frekuensi Komulatif dapat dibagi menjadi 2 yaitu :

1. Distribusi Frekuensi Komulatif Kurang Dari (less than)Distribusi Komulatif Kurang Dari adalah frekuensi yang dapat

menunjukkan jumlah frekuensi yang kurang dari nilai tertentu. Frekuensi Komulatif Kurang Dari dapat ditentukan dengan menjumlahkan frekuensi pada kelas-kelas sebelumnya. Tabel 7 berikut Di bawah ini menunjukkan contoh Distribusi Komulatif Kurang Dari yang diambil dari data sebelumnya.

Tabel 7. Distribusi Komulatif Kurang Dari

Jumlah Uang yang Dibelanjakan(Ribuan Rupiah)

Jumlah Pembeli(Orang)

Kurang dari 5,00Kurang dari 10,00Kurang dari 15,00Kurang dari 20,00Kurang dari 25,00Kurang dari 30,00Kurang dari 35,00Kurang dari 40,00

06

183757707880


2. Distribusi Frekuensi Komulatif Lebih DariDistribusi frekuensi Komulatif Lebih Dari (more than) adalah

frekuensi yang dapat menunjukkan jumlah frekuensi yang lebih dari nilai tertentu. Frekuensi Komulatif Lebih Dari dapat ditentukan dengan jalan menjumlahkan frekuensi pada kelas-kelas sesudahnya sampai kelas itu sendiri. Dalam menyusun tabel Frekuensi komulatif Lebih Dari yang dipergunakan sebagai batas bawahnya adalah Batas Kelas Bawah dari masing-masing kelas (Nata Wirawan, h.46). Contoh distribusi komulatif lebih dari dapat terlihat dalam tabel berikut ini :


Tabel 8. Distribusi Frekuensi Komulatif Lebih Dari

Jumlah Uang yang dibelanjakan(Ribuan Rupiah)

Jumlah Pembeli(Orang)

lebih dari 5,00 lebih dari 10,00 lebih dari 15,00lebih dari 20,00 lebih dari 25,00 lebih dari 30,00 lebih dari 35,00 lebih dari 40,00

80746243231020


Disrtibusi Frekuensi Lebih dari bisa juga dipakai kata lain sebagai berikut:

• Rp. 5,00 “ lebih dari ” atau bisa ditulis “ atau lebih ” Rp. 4,99• Rp. 10,00 “ lebih dari” atau bisa juga ditulis “atau lebih” Rp. 9,99

dan seterusnya.Demikian juga halnya dengan kurang dari :• Rp. 4,99 “atau kurang” atau bisa juga ditulis “kurang dari”

Rp. 5,00• Rp. 9,99 “atau kurang” atau bisa juga ditulis “kurang dari”

Rp. 10,00.

D. Distribusi Relatif / ProsentaseSelain distribusi komulatif dapat juga disusun suatu distribusi prosentase

dengan membagi frekuensi tiap-tiap kelas dengan jumlah seluruh pengamatan kemudian dikalikan 100% (apabila tidak dikalikan dengan 100, maka distribusinya disebut : Distribusi Pecahan).

Contoh :

Frekuensi Kelas I= 680

x 100=7,5

II=1280

x 100=15,00

Dari data yang terdahulu dapat disusun distribusi prosentase / relatif sebagai berikut (lihat Tabel 9) :


Tabel 9. Distribusi Prosentase

Jumlah Uang yang Dibelanjakan(Ribuan Rupiah)

Prosentase JumlahPembeli

5,00 – 9,9910,00 – 14,9915,00 – 19,9920,00 – 24,9925,00 – 29,0030,00 – 34,9935,00,- 39,99

7,515,0

23,7525,0016,251,252,5

J u m l a h 100

Dengan cara yang sama dapat dicari Distribusi Prosentase Komulatif “Kurang Dari” atau “Lebih Dari”.

E. Distribusi Katagorikal / Katagori Pada distribusi kuantitatif angka-angkanya harus diperhatikan agar

dimasukkan dengan benar, tetapi pada distribusi kualitatif (katagoris), yang sering ditemui adalah masalah definisi. Misalnya apabila menggolongkan sejumlah industri kedalam industri koper, industri tas, barang-barang kecil dari kulit, dan sebagainya, maka sangat sulit menentukan bagaimana mengklasifikasikan industri, kecuali apabila telah diberi definisi yang tegas untuk masing-masing katagoris. Misalnya ingin membuat tabel yang menunjukkan kegagalan industri dalam perdagangan di Indonesia maka digolongkan atas jenis industrinya.

Dalam penyusunan tabel frekuensi katagorikal tidak ditentukan banyaknya kelas, penentuan panjangnya interval kelas, dan yang lainnya. Namun yang menentukan hanya katagori mana akan dipakai, disesuaikan dengan kebutuhan pemakai yang akan menyusun tabel frekuensi itu sendiri. Disarankan untuk memilih katagori yang lazim dipergunakan. Seperti misalnya : katagori tingkat pendapatan, rendah, sedang dan tinggi, katagori kepadatan penduduk ; penduduk yang jarang kepadatannya, sedang dan tinggi. (Nata Wirawan, h.42).

Contoh 1.Di bawah ini disajikan tabel penyusunan tabel Frekuensi Katagori,

mengenai jumlah mahasiswa di perguruan tinggi swasta yang tinggal serumah dengan orangtuanya, dengan keluarga lainnya, kontrak rumah/ kost, asrama mahasiswa, dll seperti tinggal dengan temannya.


Tabel 10. Jumlah Mahasiswa Berdasarkan Tempat Tinggal

No. Tempat Tinggal Jumlah Mahasiswa

1.2.3.4.5.

Tinggal Bersama OrangtuanyaTinggal Bersama Keluarganya

Kontrak Rumah/kostAsrama mahasiswa

Lain-lain

4251293005027

J u m l a h 931


Contoh 2.Desa X yang terletak di lereng gunung didata jumlah penduduknya

berdasarkan jenis kelamin. Hasil data tersebut dibuat tabel Distribusi Frekuensi Katagori sebagai berikut :

Tabel 11. Jumlah Penduduk Berdasarkan Jenis Kelamin

No. Jenis Kelamin Jumlah Penduduk

1.2.

Laki-lakiPerempuan

672715

J u m l a h 1387


Contoh 3Di bawah ini disajikan data mengenai kegagalan industri dalam

perdagangan di Indonesia tahun 1996

Tabel 12. Kegagalan Industri dalam Perdagangan di Indonesia

Jenis Industri Jumlah Perusahaan

Pertambangan dan PabrikPerdagangan Yang Besar

Perdagangan EceranPerusahaan Pemborong

Perusahaan Jasa

2,2821,1325,4911,305876

F. Penyajian Diagram / GrafikAda beberapa cara dalam menyajikan data agar dapat memberi gambaran

yang lebih jelas, yaitu dengan jalan menggambar data / diagram, tergantung


dari yang menyajikan agar mudah dibaca atau mudah untuk dimengerti. Ada yang berbentuk diagram / grafik, garis, diagram batang, dll. Di bawah ini disajikan beberapa jenis contoh dalam penyajian Diagram / grafik.

Contoh-Contoh Penyajian Diagram / Grafik

1. Diagram Garis / Grafik GarisJika ingin mengetahui tentang perubahan yang sifatnya seolah-olah

serba terus menerus selama jangka waktu tertentu maka lebih tepat jika digunakan diagram Garis. Di bawah ini disajikan Diagram Garis yang menaik (mempunyai hubungan yang positif), diagram yang menurun (mempunyai hubungan yang negatif), dan yang mengalami pasang- surut atau situasi yang bergelombang.

Diagram Garis yang Menaik

0102030405060708090

1 2 3 4 5 6 7 8

Diagram Garis yang Menurun

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1 2 3 4 5 6 7 8


Diagram Garis yang Bergelombang

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2. Diagram Batang Diagram Batang : untuk menggambarkannya diperlukan dua garis

yang berpotongan tegak lurus. Kedua garis tegak lurus ini biasanya disebut Sumbu datar dan sumbu tegak. Di dalam sumbu inilah digambar grafik atau diagram batang.

Grafik / Diagram Batang

Diagram I.1- 1 World Merchandise Trade and Output Growth by Major Product Group, 1950-99

All merchandise

0

2

4

6

8

10

12

195063 196373 197390 199099

TradeOutput

3. Diagram / Grafik Distribusi Frekuensi - Diagram / Grafik Histogram

Grafik Histogram adalah grafik distribusi frekuensi. Dengan kata lain : Grafik distribusi frekuensi disebut Histogram. Histogram ini disusun dengan menyajikan nilai pengamatan suatu rangkaian data.


Data pada Pengamatan Jumlah Uang yang dibelanjakan konsumen di pasar tradisional. Digambar dalam bentuk Diagram Batang /Histogram.

Pertama-tama cari dulu tepi kelas agar tidak ada celah. Grafiknya segi empat panjang, di mana : tingginya merupakan nilai pengamatan suatu frekuensi dan lebarnya adalah rangkaian data. Skala Horizontal adalah nilai pengamatan suatu data dan skala Vertikal adalah frekuensi masing-masing kelas. Skala horizontal dipergunakan sebagai Batas kelas. Selain batas kelas dapat juga dipergunakan limit kelas di skala horizontal. (limit kelas : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35) tetapi sebenarnya dasar pembuatan segi 4 panjang adalah batas kelas.

Diagram / Grafik HistogramHistogram/Diagram Batang

0

5

10

15

20

25

1

Jumlah Uang Yang Dibelanjakan

Jum

lah

Kons

umen

4,59,59,514,514,519,519,524,524,529,529,534,534,539,5

- Diagram / Grafik PolygonSuatu Diagram Frekuensi Polygon dapat dibuat dengan menaruh

titik pada masing-masing frekuensi yaitu pada titik tengah tiap kelas, kemudian dihubungkan titik itu dengan suatu garis lurus.

Grafik PolygonPolygon

0

5

10

15

20

25

4,59,5 9,514,5

14,519,5

19,524,5

24,529,5

29,534,5

34,539,5

Jumlah Uang yang dibelanjakan

Jum

lah

Kons

umen

Series2


- Diagram / Grafik Frekuensi KumulatifAda dua macam Diagram / Grafik Frekuensi Komulatif yaitu :1) Diagram / Grafik Komulatif Kurang Dari

Diagram / Grafik Komulatif Kurang DariGrafik Kmulatif Kurang Dari

0102030405060708090

1 2 3 4 5 6 7 8

Jumlah Uang Yang dibelanjakan

Jum

lah

Kons

umen

2) Diagram Frekuensi Komulatif Lebih Dari Diagram Frekuensi Komulatif Lebih Dari Distribusi Komulatif Lebih Dari

0102030405060708090

1 2 3 4 5 6 7 8

Jumlah Yang Yang dibelanjakan

Jum

lah

Kons

umen

5 10 15 20 25 30 35 40

- Diagram / Grafik OgiveApabila cara penyusunan frekuensi polygon ini diterapkan pada

distribusi komulatif maka akan diperoleh grafik “Ogive”. Bedanya adalah tidak digambarkan frekuensinya pada titik tengah masing-masing kelas. Pada grafik Ogive ada dua jenis yaitu grafik frekuensi komulatif kurang dari dan grafik komulatif lebih dari.

Apabila kedua grafik di atas (Grafik Frekuensi Komulatif Kurang Dari dan Grafik Frekuensi Komulatif Lebih Dari) digabung menjadi


satu kurva, maka akan diperoleh titik perpotongan antara 2 grafik yang disebut : Titik Ogave.

Titik OgaveTitik Ogave (A)

0102030405060708090

1 2 3 4 5 6 7 8

Jumlah Uang Yang dibelanjakan

Jum

lah

Kons

umen

5 10 15 20 25 30 35 40

A

Jumlah Uang yang Dibayarkan

G. Penyajian TabelTahap-tahap yang digunakan untuk mengajikan data dalam tabel adalah

sebagai berikut :1. Nomor Tabel dan Judul

Nomor akan memudahkan rujukan. Judul akan memberikan kemungkinan untuk mengerti tabel tanpa membaca dengan teliti penjelasannya.2. Kepsion dan Stub

Judul yang diberikan pada kolom dalam tabel disebut “Kepsion” sedang judul untuk baris horizontal pada tabel disebut “Stub” kedua-duanya harus diberikan secara singkat dan jelas.3. Garis, Spasi dan Petunjuk.

Garis dan spasi mempunyai fungsi yang kurang lebih sama, yaitu untuk memisahkan berbagai komponen pada tabel. Misal pada tabel di muka dapat digunakan garis horizontal Di bawah perkataan jumlah. Petunjuk, memudahkan untuk melihat jumlah (frekuensi) yang dimiliki oleh masing-masing kelas atau katagori. Petunjuk diperlukan bila stub memakai lebih dari satu baris.4. Sumber

Sumber data yang dipergunakan untuk menyusun tabel selalu harus dinyatakan. Biasakanlah menaruh sumber baik di bawah tabel maupun di bawah judul.


5. Pengaturan KelasAturan umum untuk distribusi kuantitatif ialah bahwa kelas-kelas

diatur berdasarkan atas nilai. Mulai dari nilai yang paling kecil untuk bagian atas tabel sampai nilai yang paling besar untuk bagian bawah tabel. Untuk distribusi katagori tidak ada aturannya.

H. RingkasanFrekuensi distribusi ini sangat penting terutama dalam perhitungan

statistik yang menggunakan data populasi sampel besar, dengan frekuensi distribusi memudahkan kita untuk melihat kelas-kelas yang ingin diselidiki atau dikaji. Frekuensi distribusi ini biasa disebut dengan “distribusi” saja. Ada beberapa jenis distribusi antara lain : Distribusi angka, distribusi katagoris, distribusi komulatif, distribusi relatif (prosentase) dll.

Selain distribusi juga dijelaskan tentang penyajian grafik, baik grafik histrogram, poligon maupun grafik komulatif. Kita sering menjumpai grafik ini terutama grafik histogram dikantor-kantor seperti: Kantor kelurahan, kantor camat, dll, dengan melihat grafik histogram sepintas maka seseorang akan mengetahui misalnya perbandingan jumlah penduduk yang mempunyai pekerjaan bertani, pengusaha, pegawai negeri, pegawai swasta, abri, dll, tanpa harus membaca teks/tulisan

I. Latihan Soal1. Nilai Ujian Statistik-I dari 50 mahasiswa program studi Ekonomi

Koperasi Fakultas Ekonomi Universitas Negeri Jakarta adalah sebagai berikut :

75 70 85 60 85 90 95 75 45 60

80 75 90 90 75 45 60 90 50 90

60 45 65 75 70 50 80 90 95 40

55 30 40 65 80 60 80 85 65 70

75 50 65 80 90 75 80 60 70 60

Dari data tersebut di atas maka hitunglah :a. Rentang (range)b. Jumlah kelas dengan menggunakan rumus Sturgesc. Susunlah tabel distribusi frekuensi d. Susunlah distribusi relatifnya


e. Susunlah tabel frekuensi komulatifnya (kurang dari dan lebih dari)f. Buatlah grafik frekuensi komulatif kurang dari dan lebih dari dalam

satu sumbu, tentukan pula titik ogivenyag. Buatlah grafik polygon dan grafik histogram

2. Di bawah ini disajikan tabel distribusi frekuensi, pendapatan bersih per hari pedagang kaki lima yang berjualan di terminal X dan sekitarnya. Tabelnya adalah sebagai berikut :

Jumlah Pendapatan Bersih (dalam Ribuan rupiah)

Jumlah Pedagang (Frekuensi)

20-2930-3940-4950-5951-5960-6970-7980-8990-99

37

1220253015105

J u m l a h 127

Dari distribusi tersebut di atas maka hitunglah :a. Berapa banyak pedagang kaki lima yang memperoleh pendapatan

tertinggib. Buatlah distribusi frekuensi dengan menggunakan kelas Boundareisc. Buat grafik histogram dengan menggunakan kelas Boundareisd. Berapa tepi kelas atas pada interval 40 - 49e. Berapa interval pendapatan pedagang kaki lima pada frekuensi

yang tertinggi3. Seorang petani ikan lele di suatu kota menangkap 40 ikan lele dari

kolamnya dan diukur panjangnya sampai cm terdekat. Berikut ini adalah hasil pengukurannya.

50 56 53 56 50 54 51 5857 50 57 54 55 58 55 5153 55 54 50 57 53 56 5353 56 58 54 52 51 50 5057 54 53 50 55 57 57 53


a. Buatlah tabel distribusi frekuensi data tunggalnya !b. Hitunglah rata-rata panjang ikan lele yang dipanen !c. Hitunglah banyaknya ikan lele yang memiliki panjang di bawah

panjang rata-rata !4. Berikut ini merupakan data hasil panen dari 100 kabupaten di Pulau

Jawa (dalam ton).

12 38 45 13 27 25 27 29 60 13

60 70 62 91 82 77 67 100 72 45

69 82 42 56 38 97 66 83 74 65

25 71 98 79 73 22 40 76 73 75

63 25 38 16 45 33 59 27 89 53

50 65 32 63 63 51 15 59 55 37

40 41 13 92 19 31 63 35 21 55

80 88 99 55 69 37 18 51 77 96

42 17 33 45 20 19 73 30 75 37

94 47 93 33 47 58 85 95 87 53

a. Susunlah tabel frekuensi dari data di atas dengan menggunakan panjang kelas yang sama dan kelas pertamanya adalah 11 – 20 !

b. Berapa kabupaten yang memiliki hasil panen antara 41 sampai dengan 50 ton ?

c. Berapa % kabupaten yang memiliki hasil panen antara 71 sampai dengan 80 ton ?

d. Berapa banyaknya kabupaten yang memiliki hasil panen lebih dari 50 ton ?

e. Buatlah histogram dan polygon frekuensi dari data di atas !f. Susunlah tabel frekuensi kumulatif “kurang dari” dan tabel frekuensi

“lebih dari” data tersebut dan buatlah ogivenya !5. Nilai ujian mata kuliah Statistika dari 80 mahasiswa ekonomi di suatu

perguruan tinggi disajikan sebagai berikut.


74 78 87 65 69 87 62 75 62 88

66 59 81 82 59 62 76 70 58 79

94 98 73 69 80 87 90 96 71 60

90 79 74 66 71 89 70 75 92 91

87 85 42 73 72 82 34 89 85 82

92 64 50 84 71 67 72 73 80 55

37 91 70 69 77 81 92 90 69 89

83 79 79 86 79 80 73 47 48 78

a. Hitungalah range(jangkauan), banyak kelas dan interval kelasnya menggunakan rumus Sturges !

b. Susunlah tabel distribusi frekuensinya !c. Tentukanlah lima nilai terendah !d. Gambarkan histogram dan polygon frekuensinya !

6. Data berikut ini adalah waktu yang dibutuhkan 40 mesin otomatis yang berbeda dalam memproduksi sebuah produk yang sama (dalam satuan detik).

27,7 28,2 38,8 29,4 24,4 25,6 32,2 22,2

28,4 22,7 29,8 24,8 27,6 24,4 28,4 26,1

31,6 23,5 30,1 32,6 31,6 23,4 26,1 27,7

24,2 25,4 29,3 26,2 32,5 33,6 26,3 24,8

39,9 30,8 26,9 24,8 27,5 33,3 28,2 25,7

a. Hitungalah range(jangkauan), banyak kelas dan interval kelasnya menggunakan rumus Sturges !

b. Susunlah tabel distribusi frekuensinya !c. Tentukanlah jumlah mesin yang memiliki waktu di bawah 30 detik

dalam membuat sebuah produk !d. Buatlah tabel distribusi frekuensi “kurang dari” dan “lebih dari” !e. Buatlah ogive positif dan ogive negatif !


7. Data di bawah ini adalah usia 30 peserta kursus Bahasa Inggris di sebuah lembaga kursus di Jakarta.

20 19 24 26 21 27

25 27 27 22 25 29

19 29 23 28 26 20

20 24 22 21 18 18

28 18 23 30 20 30

a. Susunlah tabel distribusi frekuensinya !b. Buatlah histogram, poligon frekuensi dan ogifnya !

8. Di bawah ini disajikan nilai ulangan ekonomi 100 siswa di “SMA Kasih”.

Nilai Frekuensi

25 - ….35 - ….45 - ….55 - ….65 - ….75 - ….85 - ….

1015….235

1712

a. Lengkapilah tabel di atas !b. Buatlah tabel distribusi “kurang dari” dan “lebih dari”c. Buatlah ogive positif dan ogive negatif !

9. Di bawah ini disajikan titik tengah perolehan penjualan mingguan (dalam juta rupiah) dari 80 salesman di sebuah perusahaan.

Titik Tengah Frekuensi

15222936435057

58

102012178

Total 80

a. Susunlah tabel distribusi frekuensi asalnya !


b. Buatlah histogram dan poligon frekuensinya !c. Buatlah tabel distribusi prosentase !

10. Berat sampel 100 buah apel diukur dalam satuan gram dikelompokkan pada tabel berikut ini.

Berat (gram) Frekuensi

…. – 159…. – 169 …. – 179 …. – 189 …. – 199 …. – 209 …. – 219

201310a

12153a

a. Hitunglah nilai a !b. Lengkapi tabel distribusi frekuensi di atas !c. Buatlah histogram dan poligon frekuensinya !d. Buatlah tabel distribusi kumulatif “kurang dari” dan “lebih dari” !e. Buatlah ogive positif dan ogive negatif !

11. Perhatikan histogram dan poligon frekuensi yang menunjukkan data banyaknya penghuni rumah di suatu wilayah di bawah ini.

Banyak rumah

Banyaknya penghuni per rumah

Bany

ak ru

mah

a. Berapa banyak rumah yang dihuni lebih dari 4 orang ?


b. Berapa banyak rumah yang dihuni kurang dari 3 orang ?c. Hitunglah persentase banyaknya rumah yang dihuni 4 orang !d. Hitunglah persentase banyaknya rumah yang dihuni lebih dari 3

orang !e. Hitunglah rata-rata banyaknya penghuni tiap rumah di wilayah

tersebut !12. Berikut ini disajikan ogif positif dari nilai ujian Mata Kuliah Statistika

dari satu kelas di sebuah STIE.

Bany

ak m

ahas

iswa

Nilai Ujian

Berdasarkan grafik di atas, tentukan :a. Tabel distribusi frekuensi awalnya !b. Jumlah mahasiswa seluruhnya !c. Banyaknya mahasiswa yang nilainya kurang dari 80,5 !

39

BAB III UKURAN LOKASI (PENGUKURAN NILAI SENTRAL / UKURAN GEJALA PUSAT)

A. PengantarPengukuran dasar dalam Ilmu Statistik-1 khususnya untuk mahasiswa

ekonomi, terdiri dari 4 macam pengukuran. Adapun ke empat macam pengukuran tersebut adalah :

1. Pengukuran Letak2. Pengukuran Variasi3. Pengukuran Simetri4. Pengukuran PuncakDimulai dari ukuran dasar yang pertama yang akan dijelaskan dalam

bab ini yaitu: Pengukuran Letak. Pengukuran Letak sering disebut pula Pengukuran Nilai Pusat atau Pengukuran Gejala Pusat, atau Pengukuran Posisi. Maksudnya letak dari pada pusat atau tengah dari pada serangkaian


data, atau dengan kata lain semacam Rata-rata.Biasanya data yang akan diukur dilihat dahulu, apabila jumlahnya sedikit

maka data tersebut tidak perlu dikelompokkan atau diklasifikasikan. Kalau data yang diperoleh jumlahnya banyak maka perlu di klasifikasikan atau dikelompokkan agar lebih mudah untuk menghitungnya.

Ada beberapa ukuran gejala pusat baik yang belum diklasifikasikan maupun yang sudah diklasifikasikan antara lain :

a. Rata-rata Hitung, b. Median,c. Modus d. Rata-rata Geometrike. Rata-rata Harmonisf. Rata-rata Tertimbangg. Kuartilh. Desili. Persentil

B. Rata-Rata HitungSeperti yang telah dikatakan sebelumnya bahwa data yang jumlahnya

sedikit maka tidak perlu dikelompokkan/diklasifikasikan. Biasanya data tersebut jumlahnya kurang dari 30. Sedangkan data yang jumlahnya lebih dari 30 perlu dikelompokkan/diklasifikasikan, dengan demikian ada 2 perhitungan untuk rata-rata hitung yaitu : (1). Rata-rata Hitung Data yang belum diklasifikasikan, (2). Rata-rata Hitung Data yang sudah diklasifikasikan.

1. Rata-Rata Hitung Data yang Belum DiklasifikasikanDalam menghitung rata-rata dari serangkaian data dipakai satu angka

yang disebut : Rata-Rata Hitung, dengan n rangkaian angka hasil penelitian (X1, X2, ….. Xn). Kata lain/ notasi lain dari Rata-Rata Hitung = X = Mean = Rata-Rata. Adapun rumus yang dipakai untuk menghitung rata-rata hitung adalah sebagai berikut :

n

Xn

i∑== 1

1

X


Keterangan :

X = Rata-Rata hitung n = Jumlah data

∑=

n

iiX

1

= Jumlah data dari data yang ke 1 sampai ke n

Contoh : Nilai ujian akhir untuk mahasiswa adalah : 76, 54, 73, 37, Maka rata-rata nilai ujian akhir mahasiswa tersebut adalah :

X76+54+73+37

5 = 57=

Apabila data yang diperoleh jumlahnya sedikit maka disebut : Rata-rata Sampel (biasanya jumlahnya relatif kecil, di bawah 30). Adapun notasi untuk rata-rata Sampel dipakai X, sedangkan untuk sampel besar, datanya di atas 30 disebut : Populasi dan dipakai notasi µ.

Para ahli statistik menyebutkan :- Parameter untuk populasi (µ).

Statistik untuk sampel (X)Apabila ada serangkaian data n1 pengamatan, dengan X1 rata-rata,

serangkaian n2 pengamatan dengan X1 rata-rata, rangkaian n3 pengamatan dengan X1 rata-rata, serangkaian n4 pengamatan dengan X1 rata-rata, maka keseluruhan / jumlah daripada : n1 + n2 + n3 + n4 dapat diperoleh dengan rumus :

1 2 3 41 2 3 4

1 2 3 4

n X +n X +n X +n XX=n +n +n +n

Contoh : Hitung nilai rata-rata keseluruhan, apabila diketahui nilai rata-rata dari

4 kelompok (n) adalah sebagai berikut :

1n = 16 1X = 6.757

2n = 13 2X = 5.685


3n = 22 3X = 4.582

4n = 14 4X = 3.908Dengan memasukkan rumus di atas maka diperoleh nilai rata-rata :

4321

44332221

n n n n xn xn xn xn

X++++++

=

16(6.757)+13(5.685)+22(4.582)+14(3.908)X16+13+22+14

=

= 5.193Apabila ada sejumlah data seperti contoh soal di atas, maka rumus di

atas bisa disederhanakan menjadi sebagai berikut :

∑

∑

=

== n

1ii

n

1iii

n

XnX

Keterangan :n1 = Jumlah pengamatan pada serangkaian data nomor 1X1 = Rata-rata

2. Rata-rata Hitung Data yang Sudah DiklasifikasikanApabila ada data yang sangat banyak maka untuk menghitung

rata-rata hitungnya, perlu diklasifikasikan terlebih dahulu. Data yang sudah diklasifikasikan dicari titik tengah/mid point nya dengan cara menjumlahkan limit kelas bawah dengan limit kelas atas masing-masing kelas. Di bawah ini disajikan kembali Disitribusi Frekuensi mengenai jumlah uang yang dibelanjakan konsumen di pasar tradisional dan jumlah konsumen yang biasa disebut Frekunsi beserta dan titik tengah/mid pointnya yang sudah dihitung terlebih dahulu.

Contoh :Tabel 13. Distribusi Frekuensi

Harga Barang(ratusan rupiah)

Titik Tengah(Mid Point)

Frekuensi(Orang)

5,00 – 9,9910,00 – 14,9915,00 – 19,99

7,49512,49517,495

61219


20,00 – 24,9925,00 – 29,9930,00 – 34,9935,00 – 39,99

22,49527,49532,49537,495

201382

Jumlah uang yang dibelanjakan dengan pembeli 6 orang, dianggap Rp. 7,495. Jumlah uang yang dibelanjakan dengan 12 orang pembeli dianggap Rp. 12.495 dst. Penjumlahan dari ke tujuh kelas tersebut yang masing-masing titik tengahnya dikalikan dengan frekuensinya kemudian dibagi dengan jumlah datanya. Hasil akhir hitungan tersebut dinamakan : Rata-rata Hitung. Perhitungannya adalah sebagai berikut:

80

2(37,495) 8(32,495) 13(27,495) 20(22,495 19(17,495)12(12,495)6(7,495) x

++++++=

80 = Rp. 20,87

Pernyataan di atas dapat dirumuskan sebagai berikut :

k321

kk33221 1

f ..................... f f ff x.................. f x f x fx

X++++

=

Keterangan :X1 = Distribusi titik tengah X1

X2 = Distribusi titik tengah X2

f1 = Frekuensi ke pertamaf2 = Frekuensi kedua dttDengan mempergunakan tanda sigma maka Rata-rata Hitung data

yang sudah diklasifikasikan dapat ditulis :

Rumus I ∑

∑

=

=

⋅= k

1ii

i

k

1ii

f

fXX

Atau Rata-rata Hitung tersebut di atas bisa juga dipakai rumus lain sebagai berikut :

Rumus II 0k

1ii

i

k

1ii

Xf

fUcX +

⋅=

∑

∑

=

=


Keterangan :C = Panjang kelasXo = Titik tengah kelas pada saat U mencapai nol (pada skala baru U)Contoh : Menghitung Rata-rata Hitung dengan rumus I. Sama seperti di atas,

kita kalikan frekuensi dengan titik tengahnya masing-masing kelas, hasilnya adalah sebagai berikut .

Tabel 14. Menghitung Rata-Rata Hitung Cara I

Kelas Fi (Frekuensi) Xi (titik Tengah) fi xi

15 – 2324 – 3233 – 4142 – 5051 – 5960 – 6869 - 77

389

16464

19283746556473

57224323736220384292

Jumlah 50 2246

Dengan menggunakan rumus pertama maka Rata-rata Hitung diperoleh sebagai berikut :

92,4450

2246==

⋅=

∑

∑

=

=k

1ii

i

k

1ii

f

fXX

5044,92

Dengan menggunakan rumus lain (rumus ke 2), cara perhitungan Rata-rata Hitung dengan menambah kolom baru untuk U (u-coding). Kolom U segabai pengganti kolom titik tengah/mid point, apabila mid point memiliki nilai yang besar, nilai itu diperkecil dengan U-coding. Nilai U adalah nilai bulat dan kecil. Diusahakan untuk penjumlahan U pada setiap kelas nilainya sekecil mungkin atau sama dengan nol. Langkah berikutnya adalah ; mengalikan angka pada kolom U dengan frekuensi masing-masing kelas. Hasil perhitungan dengan memakai cara II adalah sebagai berikut :


Tabel 15. Menghitung Rata-Rata Hitung (Cara II)

Kelas fi Xi Ui Ui fi

15-2324-3233-4142-5051-5960-6869-77

389

16464

19283746556473

- 3- 2-10123

- 9- 16- 904

1212

Jumlah 50 0 - 6

C = 9 (panjang kelas)Xo = 46 (Titik tengah pada saat U mencapai 0)å Ui fi = -6å fi =50

( )

44,9946-1,08

4650

69

Xf

fUcX 0k

1ii

i

k

1ii

=+=

+−

=

+⋅

=

∑

∑

=

=

5046

46

Hasil perhitungan Rata-rata Hiting dengan menggunakan Cara II adalah 44,99 berarti sama seperti hasil perhitungan dengan menggunakan cara I.

C. MedianAdalah titik tengah dari serangkaian data (nilai dari pada pengamatan yang

ditengah) atau rata-rata dari nilai dua pengamatan yang terletak ditengah, apabila pengamatan disusun dari kecil ke besar atau sebaliknya.

Sama halnya dengan Rata-rata Hitung, untuk menghitung/mencari median bisa dengan 2 cara yaitu (a) menghitung Median dengan data yang belum dikelompokkan dan (b) menghitung Median dengan data yang sudah dikelompokkan.

1. Median dengan Data yang belum DikelompokkanUntuk menghitung Median dengan data yang belum dikelompokkan,


caranya pertama-tama kita harus menyusun data tersebut mulai dari data dengan nilai yang terkecil sampai nilai yang terbesar, atau sebaliknya. Kemudian diambil data yang ditengah-tengah. Data yang ditengah itu disebut : Median.

Contoh :2, 8, 12, 5 disusun dulu dari nilai yang terkecil sampai

nilai yang terbesar sebagai berikut :2. 5. 8. 10. 12. Jadi mediannya = 8 (data yang terletak

ditengah) Apabila datanya agak besar/banyak maka bisa dipakai rumus Median sebagai berikut :

n+1Median =2

Syarat : Nilai pengamatan disusun menurut besarnya (berurutan) bisa disusun dari nilai terkecil sampai terbesar atau sebaliknya, disusun dari nilai terbesar sampai terkecil.

Apabila jumlah pengamatan = 39 maka letak median adalah :n+1Median =2

n+1 39+1 202 2

+ =

Ini berarti nilai pengamatan berada di urutan yang ke 20.Apabila ada Data yang jumlahnya genap maka untuk mencari median

adalah dengan cara dua data yang ditengah dijumlah dan dimabil rata-ratanya dengan membagi 2.

Contoh lain : a. 2. 4. 8. 10. 12. 15.

Maka Mediannya adalah : 8+10Median= 92

=

2. Median dengan Data yang sudah DikelompokkanTahap pertama dalam mencari median adalah menentukan letak dari

median dengan rumus : n dibagi dengan 2 kemudian pergunakan rumus :

Rumus I mfjCLM +=

Atau bisa juga memakai rumus lain yaitu :


Rumus II m

U

fjCUM −=

Keterangan :M = MedianL = Tepi kelas atas di mana median beradaC = Interval/panjang kelasj = Selisih letak median dengan frekuensi komulatif sebelum

mencapai L (yang terdekat)U = Batas atas (pengganti L)jU = Selisih letak median dengan frekuensi komulatif

(lebih dari) yang masih kurang pada saat mencapai UContoh :

Tabel 16. Menghitung Median Data yang Dikelompokkan

Harga Barang f Fk U FL (lebih dari)

5,00 – 9,9910,00 – 14,9915,00 – 19,9920,00 – 24,9925,00 – 29,9930,00 – 34,9935,00 – 39,99

61219201382

6183757707880

- 3- 2- 10123

8074624323102

Sebelum menghitung median dengan menggunakan rumus yang ada, kelas pada distribusi di atas dirubah dulu menjadi kelas boundres, tujuannya agar tidak terjadi celah/batas antar kelas.

Tabel 17. Menghitung Median Data yang Dikelompokkan


4,995 – 9,9959,995 – 14,995

14,995 – 19,99519,995 – 24,99524,995 – 29,99529,995 – 34,99534,995 – 39,995

61219201382

6183757707880

- 3- 2- 10123

8074624323102

Letak Median : 80n= 402= Data yang ke 40


L = 19,995C = 5j = 40 – 37 = 37fm = 20a. Dengan menggunakan rumus yang pertama :

20.745)(Rp.-20,745203519,995

fm

jCLM

=

+=+=

b. Dengan menggunakan rumus yang kedua :

U = 24,995C = 5jU = 40 – 23 = 17 , fm = 20

20,7452017524,995

fjCUMm

U

=

−=−=

Dari hasil perhitungan didapat hasil nilai yang sama, baik memakai rumus yang pertama maupun rumus yang kedua, di mana hasilnya perhitungan Median atau nilai yang di tengah adalah sebesar 20,745.

D. ModusModus adalah data yang mempunyai frekuensi yang terbesar / terbanyak.

Modus dapat dipakai untuk data kualitatif dan kuantitatif.

1. Contoh Modus Kualitatifa. Apabila banyak orang yang memakai baju warna putih dari pada

warna lainnya, maka warna putih adalah modus.b. Apabila lebih banyak orang mati karena penyakit jantung dari pada

penyakit lainnya maka serangan jantung adalah modus sebab-sebab kematian.

c. Apabila lebih banyak orang tinggal dengan rumah tiga kamar, dari pada rumah ukuran lainnya, maka kita katakan ukuran tiga kamar adalah modus.

d. Apabila semua mahasiswa mengendarai sepeda motor, maka tidak dapat dikatakan bahwa semua adalah modus (tidak ada modus).

2. Modus KuantitatifUntuk modus kuantitatif dibagi menjadi dua yaitu : mencari Modus


dengan data yang belum diklasifikasikan, dan mencari Modus dengan data yang sudah diklasifikasikan.

a. Data yang belum Dikelompokkan• Misalnya ada data : 63, 67, 40, 49, 70, 80, 63, 78, maka modusnya:

63 karena mempunyai frekuensi tiga atau nilai yang terbanyak muncul.

• Data bermodus 2 misalnya ada data : 5, 2, 3, 7, 5, 4, 5, 6, 10, 9, 7, 7. Ada nilai 5 dan nilai 7 yang muncul paling banyak dan sama banyaknya, yaitu 3 kali muncul, maka disebut bermudus 2. Mudusnya 5 dan 7.

• Tidak mempunyai modus : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 17, 19 . Karena semua data hanya satukali muncul, maka data tersebut dikatakan tidak bermodus.

b. Data yang sudah DikelompokkanApabila kita menghadapi data yang sudah dikelompokkan atau

diklasifikasikan biasanya dipergunakan istilah Kelas Modus. Data yang sudah diklasifikasikan, modusnya adalah frekuensi yang terbesar atau yang paling banyak. Tahap-tahap mencari modus yang diklasifikasikan adalah sebagai berikut :

Mula-mula dicari letak modus, di mana letaknya modus pada frekuensi yang paling besar/ nilai yang terbesar. Kemudian dipergunakan rumus modus sebagai berikut :

Rumus modus : 21

10 AA

ACLM+

+=

Keterangan :L = Tepi kelas bawah di mana modus terletakC = Interval KelasA1 = Selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sebelumnya.A2 = Selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sesudahnya.Contoh : mencari modus data yang sudah diklasifikasikan.Sama halnya dengan menghitung Median, untuk menghitung

Modus, perlu distribusi kelas bounders.


Tabel 18. Menghitung Modus

Harga Barang f (Frekunsi)

4,995 – 9,9959,995 – 14,995

14,995 – 19,99519,995 – 24,99524,995 – 29,99529,995 – 34,99534,995 – 39,995

61219201382

L = 19,995 (karena f tertinggi adalah 20)C = 5A1 = 20 – 19, A2 = 20 – 13 = 7

20,628519,995

711519,995

A2A1

A1CLM0

=+=

++=

++=

Dari rumus di atas diperoleh nilai Modus sebesar 20,62

E. Rata-Rata Geometrik dan Rata-Rata HarmonisUkuran sentral lainnya adalah ukuran Rata-rata Geometrik atau biasa

juga disebut Rata-rata Ukur. Selain itu ada ukuran lain yang disebut : Rata-rata Harmonis.

1. Rata-Rata Ukur / Rata-Rata GeometrikRata-rata Ukur biasanya digunakan untuk : menghitung rata-rata

data rasio, seperti rata-rata persen, rata-rata nilai indek, rata-rata nilai relatif (Nata Wirawan, h.90) .

Rata-rata ukur /rata-rata Geometrik adalah akar pangkat n dari hasil kalinya, dengan menggunakan notasi diperoleh rumus sebagai berikut :

Rata-rata Ukur = n

n321 X.....X.X.X

Contoh : Sebuah toko mendapat untung Rp. 500.000,- Rp. 1.000.000,- dan

Rp. 8.000.000,- bulan Januari, Pebruari, dan Maret tahun 2007. Maka


rata-rata perkembangan keuntungan adalah sebagai berikut:Bulan Januari 2007 ke bulan Pebruari 2007 keuntungan 2 kali lipat

dari Pebruari 2007 ke Maret 2007 keuntungan 8x lipat.Rata-rata Ukur 2.8 18 4= = =

Keuntungan toko rata-rata 4x tiap bulannya. Jika angkanya cukup banyak maka dapat dilakukan dengan Logaritma, dengan rumus :

n

XlogGLog

n

1ii∑

==

Keterangan :G = Rata-rata ukurN = Jumlah pengamatanXi = Masing-masing pengamatanContoh : Angka indek pedagang besar dari 8 macam barang bulan Agustus

2007 adalah sebagai berikut : 107, 132, 120, 116, 130, 126, 116, 122. Dicari rata-rata ukurnya. Dengan menggunakan daftar Log (kalkulator) dan dengan menggunakan rumus maka rata-rata ukur dapat dihitung sebagai berikut :

log 107 = 2,0294

log 132 = 2,1206

log 120 = 2,0792

log 116 = 2,0645

log 130 = 2,1139

log 126 = 2,1004

log 116 = 2,0645

log 122 = 2,0864

å log g = 16,6589

121loganti2,08248

16,6589n

XlogGLog

n

1ii

==

==∑=


Jadi rata-rata ukur nya dari 8 macam barang adalah 121.

2. Rata-Rata HarmonisRata-rata harmonis biasanya dipakai dalam Laju Pertumbuhan,

seperti laju pertumbuhan penduduk, laju pertumbuhan ekonomi, dll.. Sama seperti mengukur ukuran sentral lainnya, mengukur Rumus Rata-rata Harmonis ada dua cara yaitu : mengukur Rata-rata Harmonis untuk data yang belum di klasifikasikan dan mengukur Rata-Rata Harmonis untu data yang sudah diklasifikasikan.a. Mengukur Rata-rata Harmonis untuk data yang belum

diklasifikasikanUntuk mengukur Rata-rata Harmonis ini dipergunakan rumus

sebagai berikut :

Rumus rata-rata Harmonis ∑=

= n

1i iX1

nH

Contoh I :Si A membeli amplop 30 buah @ Rp. 40 = Rp. 1.200Dan 20 buah amplop @ Rp. 60 = Rp. 1.200Dengan menggunakan rumus rata-rata Harmonis maka

diperoleh hasil sebagai berikut :

∑=

= n

1i iX1

nH

Rata-rata Harmonis = 2 481 140 60

=+

Jadi Rata-rata Harmonis adalah : 48Contoh II :Seorang ibu rumah tangga menyediakan anggaran untuk

keluarganya sebesar Rp 5.000.000,- per bulan, dalam jangka 7 bulan diperlukan untuk konsumsi rumah tangga (pembelian lauk-pauk, sembako dll) mulai dari bulan I sampai dengan bulan ke VII


masing-masing sebesar : Rp 2.500.000,- , Rp 2.750.000,- , Rp 2.900.000,- , Rp 3.200.000,- , Rp 3.450.000,- , Rp 3.600.000,- , dan Rp 3.850.000,- Hitunglah rata-rata pengeluaran ibu rumah tangga tsb untuk keperluan rumah tangganya.

Dari soal di atas, kita dapat menggunakan rumus rata-rat Harmonis dengan jumlah n = 7, X1 = 2.500.000 X2 = 2.750.000 dan seterusnya sampai X7 = 3.850.000. Cara menghitung sama seperti contoh soal I.

b. Mengukur Rata-rata Harmonis data yang sudah diklasifikasikanUntuk mengukur rata-rata Harmonis data yang sudah

diklasifikasikan dipakai rumus sebagai berikut :

Rumus Rata-rata Harmonis ∑∑=

i

i

i

Xff

H

Keterangan : fi = Frekunsi Xi = Titik tengah/mid pointContoh :Di bawah ini disajikan serangkaian data yang sudah

diklasifikasikan, maka untuk menghitung rata-rata harmonis dapat dipakai dengan tahap-tahapan sebagai berikut :

Tabel 19. Cara Menghitung Rata-Rata Harmonis

Kelas fi Xi fi/xi

15 – 2324 – 3233 – 4142 – 5051 – 5960 – 6869 – 77

389

16464

19283746556473

0,160,290,240,350,070,090,05

Jumlah 50 322 1,25

40

25,150

Xff

H

i

i

i ===∑∑

Jadi rata-rata harmonis untuk data yang sudah dikelompokkan/ diklasifikasikan adalah 40.


F. Rata-Rata TertimbangRata-rata Tertimbang (menurut Nata W, h.67) yaitu : rata-rata hitung

dengan memperhatikan Arti penting yang dimiliki oleh setiap barang. Barng yang lebih penting diberikan factor penimbang yang lebih besar dibandingkan barang lainnya yang kurang penting. Misalnya : Beras mempunyai arti penting daripada kacang, oleh karena itu beras beras diberi factor penimbang (w) yang lebih besar dibandingkan factor penimbang pada kacang.

Rumus Rata-rata Tertimbang untuk data yang belum di klasifikasikan dan yang sudah diklasifikasikan mempunyai rumus yang sama, sebagai berikut:

Rumus Rata-Rata Tertimbang

∑

∑

=

== n

1ii

n

1iii

w

W

WX X

Contoh 1 : Seorang ibu rumah tangga membeli beras 12 kg dengan harga Rp. 32.000/

kg, 18 kg beras C4 dengan harga Rp. 2.900/kg, dan 50 kg beras Bulu Rp. 3500/kg

Harga rata-rata : X1 = 3200 dan W1 = 12 X2 = 2900 dan W2 = 18 X3 = 3500 dan W3 = 50

XW = ( ) ( ) ( )3200 12 2900 18 312

500 5018 50

+ ++ +

= 26560080

= 3320/kgContoh 2Seorang mahasiswa membeli peralatan peralataan kuliah antara lain : 1

buah tas/ ransel untuk kuliah seharga Rp 50.000,- , 20 buah buku tulis @ Rp 1.500,- , 6 buah bolpoint @ Rp 1.000,- , 2 buah stabilo @ Rp 2.000,- , 3 buah karet penghapus @ Rp 1000,-


Tabel 20. Menghitung Rata-Rata Tertimbang

Jenis Barang Nilai (Rp)(Xi)

Timbangan(Wi)

XiWi

Tas / ranselBuku tulisBolpointStabilo

Karet penghapus

50.0001.5001.0002.0001.000

120623

50.00030.000

6.0004.0003.000

Jumlah 30 93.000

Dengan mempergunakan rumus maka diperoleh hasil sebagai berikut :

∑

∑

=

== n

1ii

n

1iii

w

W

WX X

W = 93.00030

=31.000

G. KuartilKuartil adalah serangkaian data yang dibagi menjadi 4 bagian yang

sama, yang sebelumnya diurut dulu dari angka yang terkecil sampai angka yang terbesar. Dengan demikian akan terdapat 3 kuartil. , masing-masing mengandung jumlah pengamatan yang sama yaitu seperempatnya (minimal banyak data 4). Dalam menghitung kuartil ada 2 cara yaitu : (1) untuk data yang belum diklasifikasikan dan untuk (2) untuk data yang sudah diklasifikasikan.

1. Menghitung Kuartil untuk Data yang Belum DiklasifikasikanMenghitung kuartil data yang belum diklasifikasikan, sebagaimana

yang dikatakan di atas bahwa data tersebut diurut dulu mulai dari yang data terkecil sampai nilai yang terbesar. Kemudian mencari letak kuartil dengan rumus :

Letak Kuartil i(n+1)Qi=

4

Langkah-langkah dalam perhitungan kwartil hampir sama dengan perhitungan median perbedaannya :

- Bila menghitung Q1 (kwartil) kita harus menghitung (n+1)/4, dan 3(n+1)/4 untuk pengamatan Q3.


- Bila menghitung dari ujung lainnya, kita harus menghitung 3(n+1)/4 pengamatan Q1 dan (n+1)/4 pengamatan untuk Q3, fm untuk median diganti dengan fq (untuk kuartil).

Kw1 Kw2 Kw325% 50% 75%

Contoh : Rerangkaian data yang sudah diurut akan dicari Kuartil 1 (Q1), Kuartil

2 (Q2), dan Kuartil 3 (Q3). Datanya adalah sebagai berikut:12, 15, 17, 19, 20, 22, 25, 29, 30, 32, 37, 42, 44, 45, 48.Untuk menghitung Kuartil 1 ( Q1) , cari dulu letak dengan rumus :

(15+1)/4 = 16/4 = 4. Ini berarti letak Q1 diurutan ke 4. Nilai data di urut ke 4 adalah 19. Berarti nilai Q1 adalah 19. Dengan cara yang sama dapat dihitung Kuartil 2 dan kuartil 3.

Jadi nilai ( Q1) , ( Q2 ), dan (Q3 ) dapat dilihat dalam serangkaian data sebagai berikut :

12, 15, 17, 19, 20, 22, 25, 29, 30, 32, 37, 42, 44, 45, 48

Q1 Q2 Q3

2. Menghitung Kuartil untuk Data yang Sudah DiklasifikasikanApabila jumlah data banyak, maka perlu dikelompokkan. Untuk

menghitung Kuartil dari suatu Distribusi Frekuensi, pertama-tama kita mencari letak kuartil, kemudian baru menghitung Kuartil dengan memakai rumus. Adapun mencari letak kuartil hampir sama dengan data yang tidak diklasifikasikan. Tabel berikut ini adalah perbandingan mencari letak kuartil untuk data yang belum diklasifikasikan dengan data yang sudah diklasifikasikan.

Tabel 21. Mencari Letak Kuartil

UKURAN LETAKRUMUS UKURAN LETAK

Data yang belum di klasifikasikan

Data yang sudah di klasifikasikan

Kuartil 1 ( Q1) ( n+1 ) / 4 n / 4

Kuartil 2 ( Q2 ) 2( n+1 ) / 4 2n / 4

Kuartil 3 (Q3 ) 3( n+1 ) / 4 3n / 4

Untuk menghitung ( Q1) , ( Q2 ), dan (Q3 ) dipakai rumus sebagai


berikut :

Rumus I jQi=L+C

fQi


Rumus II JuQi U CfQ

= −

Keterangan :Qi = Kuartil yang ke iL = Tepi kelas atas di mana kuartil berada beradaC = Interval/panjang kelasj = Selisih letak kuartil dengan frekuensi komulatif sebelum

mencapai L (yang terdekat)U = Batas atas (pengganti L)jU = Selisih letak kuartil dengan frekuensi komulatif (lebih dari)

yang masih kurang pada saat mencapai UContoh soal : Untuk menghitung Kuartil 1, Kuartil 2, dan Kuartil 3, kita kembali

tampilkan distribusi yang terdahulu, dengan memakai kelas Boundareis. Datanya adalah sebagai berikut :

Tabel 22. Menghitung Kuartil Data yang Dikelompokkan


4,995 – 9,9959,995 – 14,995

14,995 – 19,99519,995 – 24,99524,995 – 29,99529,995 – 34,99534,995 – 39,995

61219201382

6183757707880

- 3- 2- 10123

8074624323102


a). Letak Q1 80 20

4 4n

= = =

Qi 20 1814,945 5

19−

= +

214,945+5 =Rp. 15,52019

=

b). Q3 803. =60 4

= (letak Q3)

Q3 60-57L+C.fq=24,995+5 =20

13=

324,995 513

+= =Rp. 26,150

Dengan memakai rumus yang ke II bisa dihitung Kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3 dan akan mengasilkan nilai yang sama dengan memakai rumus ke I.

H. DesilDesil adalah nilai/data yang membagi distribusi menjadi sepuluh (10)

bagian yang sama. D1 untuk desil pertama yang melampaui 10% pengamatan yang terendah, D2 untuk desil kedua yaitu nilai yang melampaui 20% pengamatan dari serangkaian data. Di adalah desil yang ke i yang melampaui (i merupakan angka : 1, 2, 3, …. 9). Dalam menghitung desil, diperlukan data paling sedikit 10 data.

1. Menghitung Desil untuk Data yang Belum DiklasifikasikanSebagaimana halnya dengan Median dan Kuartil, maka untuk mencari

Desil tahapannya sama seperti mencari Median dan Kuartil. Pertama-tama data di urut mulai dari yang terkecil sampai terbesar, kemudian mencari letak Desil dengan rumus sebagai berikut :


Letak Desil ( )i n + 1

Di =10

Contoh :

Apabila ada serangkaian data yang berjumlah n = 29 , maka untuk mencari Desil 3, dan Desil 7, maka pertama-tama data di urut dari yang terkecil sampai terbesar. Kemudian dicari letak Desil 3 dan Desil 7 dengan memasang rumus sebagai berikut :

( )

( )

i n + 1 Di =

103 29 + 1

D3 = 90 /1010

=

= 9 (artinya D3 berada pada urutan yang ke 9 dari serangakaian data)

( )7 29 + 1 D7 = 210 /10 21

10= =

D7 = 21 artinya nilai D7 berada pada urutan yang ke 21

2. Menghitung Desil untuk Data yang Sudah DiklasifikasikanMenghitung Desil untuk data yang sudah diklasifikasilkan sama seperti

menghitung Kuartil. Pertama-tama yang dilakukan adalah mencari letak Desil yang ke i ( i = 1, 2, ……..9 ), dengan memakai rumus :

Rumus Letak Desil ( )i n

Di =10

Untuk menghitung ( D1), ( D2 )…(D3 ) dipakai rumus sebagai berikut:

Rumus I Di

jDi =L+Cf



Rumus II JuDi U CfDi

= −

Keterangan :Di = Desil yang ke iL = Tepi kelas atas di mana desil berada beradaC = Interval/panjang kelasj = Selisih letak desil dengan frekuensi komulatif sebelum

mencapai L (yang terdekat)U = Batas atas (pengganti L)jU = Selisih letak Desil dengan frekuensi komulatif (lebih dari)

yang masih kurang pada saat mencapai UContoh mencari letak Desil 1 ( D1) dan Desil 6 ( D6) dengan

menggunakan distribusi yang sudah ada (di atas)

Tabel 23. Menghitung Desil Data yang Dikelompokkan


4,995 – 9,9959,995 – 14,995

14,995 – 19,99519,995 – 24,99524,995 – 29,99529,995 – 34,99534,995 – 39,995

61219201382

6183757707880

- 3- 2- 10123

8074624323102

Cari dulu letak Desil kemudian baru pakai rumus Desil sebagai berikut:

a. D1 = 1. 8010

=8(letak D1)

D1 = L + C fq = 9,995 + 8-6512

= 9,995 + 25

12=Rp. 10,830


b. D6 = 6. 8010

=48(Letak D6)

D6 = L + C fq = 19,995 + 557 48

20−

= 19,995 + 5 920

= Rp. 22.740

I. PersentilPersentil adalah nilai yang membagi suatu distribusi menjadi 100 bagian

yang sama. Untuk menunjukkan persentil ke-15 adalah dalam menulis P15 artinya persentil ke-15 melampaui 15% pengamatan dengan nilai terendah pada serangkaian data. P95 untuk persentil ke-95 yaitu yang dilampaui oleh 5 saja dari seluruh pengamatan dengan nilai tertinggi. Perhitungan persentil hampir sama dengan perhitungan median, kuartil atau desil, hanya saja data yang dipakai minimal 100 data apabila kita ingin mencari persentil yang ke -99.

1. Menghitung Persentil untuk data yang Belum DiklasifikasikanSebagaimana halnya dengan Median dan Kuartil, mencari letak

Persentil juga sama caranya hanya rumus untuk mencarai letak Persentil dibagi 100. Tahapannya sama seperti mencari desil. Pertama-tama data diurut mulai dari yang terkecil sampai terbesar, kemudian mencari letak Desil dengan rumus sebagai berikut :

Letak Persentil ii(n+1)P =100

Contoh :

Apabila ada serangkaian data yang berjumlah n = 199 , maka untuk mencari Persentil15, maka data di urut dari yang terkecil sampai terbesar. Kemudian dicari letak Persentil 15 dengan memasang rumus sebagai berikut :


ii(n+1)P =100

15(199+1) 3000P15=100 100

=

= 30 artinya nilai ( P15 ) berada pada urutan yang ke 30

2. Menghitung Persentil untuk data yang Sudah DiklasifikasikanMenghitung Persentil untuk data yang sudah diklasifikasilkan sama

seperti menghitung Desil. Pertama-tama yang dilakukan adalah mencari letak Desil yang ke i ( i = 1, 2,…99), dengan memakai rumus :

Rumus Letak Persentill ii(n)P =100

Untuk menghitung (P1), (P2)…(P99 ) dipakai rumus sebagai berikut:

Rumus I iPi

jP =L+Cf


Rumus II JuPi U CfPi

= −

Keterangan :Pi = Persentil yang ke iL = Tepi kelas atas di mana persentil berada beradaC = Interval/panjang kelasj = Selisih letak persentil dengan frekuensi komulatif sebelum

mencapai L (yang terdekat)U = Batas atas (pengganti L)jU = Selisih letak persentil dengan frekuensi komulatif (lebih

dari) yang masih kurang pada saat mencapai UContoh :


Mencari P15 dengan menggunakan distribusi kelas Boundareis sebagai berikut :

Tabel 24. Menghitung Persentil Data yang Sudah Dikelompokkan


4,995 – 9,9959,995 – 14,995

14,995 – 19,99519,995 – 24,99524,995 – 29,995

612192013

618375770

- 3- 2- 101

8074624323

29,995 – 34,99534,995 – 39,995

82

7880

23

102

P15 80=15. 12

100= (letak P15)

P15 15

12 6=L+C P 9,995 512−

= +

=9,995+65

12 12.500Jadi letak persentil yang ke 15 (P15) adalah 12.500

J. Perbandingan Berbagai Ukuran Perbandingan Berbagai Ukuran Pusat1. Rata-rata atau “Aritmatik” atau dikatakan Mean saja, pada bab

mendatang sangat penting dalam mempelajari masalah penaksiran, pengambilan keputusan dan peramalan.

2. Median menunjukkan data yang di tengah yang berarti data yang berada di tengah-tengah dari serangkaian data.

3. Modus menunjukkan nilai yang paling banyak ada/muncul, dalam serangkaian data.

4. Untuk rata-rata ukur, harmonis dan tertimbang tergantung dari sifat-sifat data yang diamati, dan yang dipakai pada suatu masalah tertentu. Ukuran rata-rata khususnya berguna dalam perhitungan bilangan indek (tingkat kenaikan). Rata-rata harmonis digunakan dalam menghitung


rata-rata tingkat kelajuan (laju pertumbuhan), dan rata-rata tertimbang dalam memberi timbangan (perbandingan) pada masing-masing data dengan arti penting relatifnya (Wi). Timbangan yang paling sering dipakai dalam menghitung harga rata-rata adalah jumlah barang yang dikonsumsi, jumlah barang yang terjual atau jumlah barang yang diproduksi.

5. Jika median adalah harga yang memberi distribusi angka menjadi 2 bagian yang sama, maka kuartil adalah harga yang membagi distribusi menjadi 4 bagian yang sama, sehingga terdapat 3 harga kuartil yaitu K1, K2, dan K3, demikian pula halnya dengan desil dan persentil adalah harga data yang membagi distribusi menjadi 10 bagian yang sama dan 100 bagian sama, sehingga terdapat 9 harga desil dan 99 harga persentil.

6. Median, kuartil ke 2, desil ke 5 dan persentil ke 55, harga/nilai dari semua itu akan sama atau berimpit.

K. RingkasanPada bab ini mahasiswa mulai menghitung ukuran-ukuran statistik.

Dimulai dari ukuran lokasi, dalam menghitung ukuran lokasi mahasiswa dapat memilih cara-cara perhitungan. Apabila data yang akan dihitung adalah sampel kecil yang memiliki data kurang dari 30 ( n < 30 ) maka data tersebut tidak perlu diklasifikasikan (dikelaskan dalam suatu distribusi.) Mahasiswa cukup memakai rumus yang tersedia untuk menghitung ukuran lokasi ( rata-rata, median, modus, dan lain-lain). Terlebih dahulu mengurut data tersebut dari nilai terkecil sampai nilai terbesar atau sebaliknya. Apabila data populasi atau sampel besar memiliki frekuensi lebih dari 30 ( n > 30 ) maka data ini perlu di klasifikasikan untuk memudahkan perhitungan lokasi, setelah diklasifikasikan dengan cara menyusun distribusi dengan interval yang diketahui atau menggunakan rumus sturges maka barulah mulai menghitung ukuran lokasi dengan rumus yang telah disediakan.

L. Latihan Soal1. Di bawah ini adalah nilai mata uji Matematika Ekonomi dari 50

mahasiswa Ekonomi di UNJ. Datanya adalah sebagai berikut :90 75 80 65 75 90 50 60 95 7545 70 70 85 90 55 85 30 70 5560 80 65 50 50 80 75 70 75 9590 85 75 75 90 85 55 30 50 4565 70 65 45 50 45 70 85 45 75

Berdasarkan data tersebut di atas ;


a. Susunlah distribusi frekunsinya dengan menggunakan rumus Sturges!

b. Buatlah kelas Boundareisnya dan kelas U-coding!c. Carilah Rata-rata Hitung, Median, dan Modus!d. carilah Kuartil-1, Desil-8 , Persentil-25 dan Persentil-30!e. Buktikanlah bahwa : Median = Kuartil-2 = Desil-5 = Persentil-50!

2. Tabel Di bawah ini adalah Distribusi frekuensi tentang pendapatan 100 orang pedagang kaki lima per harinya. Distribusinya adalah sebagai berikut :

Penghasilan per hari (Rp 000) Banyaknya Pedagang (Frekuensi)

15 - 2425 - 3435 - 4445 - 5455 - 6465 - 7475 - 84

510172527133

100

Berdasarkan distribusi tersebut maka : a. Buatlah kelas Boundareisnya ! b. Hitung Persentil-50 dan Persentil-75 !c. Jika 20% dari pedagang kaki lima itu dianggap berpenghasilan

rendah maka tentukan nilai tertinggi pedagang kaki lima yang dikatagorikan rendah!

3. Seorang pedagang es kelapa muda berjualan selama 14 hari berturut-turut mampu menjual kelapa muda per hari sebanyak 20, 15, 13, 14, 14, 20, 16, 16, 25, 30, 32, 17, 10, 20, 20. Tentukan :a. Rata-rata penjualan per hari b. Median c. Modus

4. Data penjualan televisi setiap bulan di suatu toko pada tahun 2000 adalah 10, 8, 12, 9, 9, 1, 12, 4, 11, 9, 3, 20. Tentukanlah :a. Median b. Modusc. Rata-rata


d. Q3

e. Q1

5. Seorang pedagang rokok menjual rokok selama lima hari kerja berturut-turut. Hari pertama ia mampu menjual sebanyak x bungkus dan hari terakhir menjual 2x bungkus. Tiga hari lainnya secara berturut-turut ia mampu menjual sebanyak (x + 2) bungkus, (x + 4) bungkus dan (2x – 3) bungkus. Tentukan banyaknya rokok yang telah dijual oleh pedagang tersebut pada tiap harinya !

6. Pendapatan rata-rata karyawan suatu industri rumahan Rp 400.000,- per bulan. Pendapatan rata-rata karyawan laki-laki Rp 420.000,- dan karyawan wanita Rp 350.000. Tentukanlah :a. Perbandingan banyaknya karyawan laki-laki dengan karyawan

wanita b. Banyaknya karyawal laki-laki dan wanita jika jumlah seluruh

karyawan 84 orang7. Seorang pedagang buah menjual semangka dengan berat beraneka

ragam tiap buahnya. Dari 35 buah semangka yang diambil sebagai sampel, berikut ini data hasil timbangan dalam satuan gram.

3150 3500 3250 2800 3150 3000 3250

4000 2800 2500 3250 3000 4000 3000

3250 3150 2800 3000 3000 2500 3000

3250 3500 3150 4000 3250 2500 2800

3500 3150 3500 2800 3150 3250 2500

a. Berdasarkan data di atas, lengkapilah tabel distribusi frekuensi di bawah ini

Berat (gram) 2500 2800 3000 3150 3250 3500 4000

Frekuensi

b. Hitunglah meanc. Hitunglah mediand. Hitunglah moduse. Kuartil atasf. Kuartil bawah

8. Berikut ini merupakan data berat badan (kg) 100 mahasiswa di sebuah


perguruan tinggi.

57 57 56 57 57 57 56 59 55 50

58 55 58 59 58 58 56 57 56 80

54 56 55 59 56 57 57 58 56 50

58 57 58 57 56 58 57 56 57 53

56 57 58 55 59 60 54 59 55 76

57 58 57 57 56 57 57 57 56 65

65 80 64 77 78 63 61 64 68 72

67 75 70 75 75 63 76 69 80 65

63 74 65 78 70 80 80 70 65 68

66 69 68 79 72 80 77 72 76 80

Berdasarkan data tersebut :a. Buatlah tabel distribusi frekuensi dengan aturan Sturgessb. Hitunglah meanc. Hitunglah mediand. Hitunglah modus

9. Berdasarkan tabel distribusi frekuensi yang anda buat pada soal nomor 6, tentukanlah :a. Kuartil ke-1b. Kuartil ke-2c. Kuartil ke-3d. Kelas letak desil ke-6e. Desil ke-5f. Kelas letak persentil ke-98g. Persentil ke-77

10. Data berikut adalah tinggi badan sekelompok mahasiswa yang nilai mediannya 163 cm.

Tinggi (cm) Frekuensi


151 – 155156 – 160161 – 165166 – 170171 – 175

205a

267

Berdasarkan data tersebut :a. Tentukan nilai a b. Hitunglah modusc. Hitunglah jumlah mahasiswa yang tinggi badannya di bawah rata-

ratad. Hitunglah rata-rata harmonisnya

11. Seorang ibu rumah tangga membeli kebutuhan pokok sebagai berikut.

Jenis Barang Harga/kg Berat (kg)

BerasGula

TeriguMinyak goreng

Telur ayamKentang

Cabai rawitBawang merahBawang putih

Tomat

Rp 11.200Rp 15.918Rp 7.913

Rp 12.588Rp 21.372Rp 18.186Rp 47.511Rp 38.744Rp 37.069Rp 8.930

25586243312

Berdasarkan data di atas hitunglah rata-rata hitung tertimbang harga per kg dari barang-barang kebutuhan pokok yang dibeli !12. Tingkat bunga deposito enam tahun terakhir sebesar 7%, 9%, 10%,

11,5%, 13,7%, 15,8% per tahun. Hitunglah rata-rata ukur tingkat bunga deposito tersebut !

69

BAB IV UKURAN VARIASI

A. PengantarSelain ukuran Lokasi seperti yang di bahas pada bab 3, diperlukan lagi

ukuran lainnya agar analisis data bisa lebih baik, lebih lengkap. Ukuran lainnya itu dinamakan Ukuran variasi atau disebut Ukuran Penyebaran atau disebut juga Ukuran Penyimpangan.

Ukuran variasi akan lebih mengerti dan jelas jika disertai dengan beberapa kasus. Di bawah ini disajikan beberapa kasus / contoh tentang pengertian dari Variasi/ penyimpangan.

Contoh :1. Sebuah mata uang dilantunkan 100 kali, yang diharapkan muncul

adalah 50 gambar dan 50 huruf, tetapi mungkin sekali akan ditemui 43 gambar dan 57 huruf, atau 40 gambar dan 60 huruf, hal ini disebabkan karena faktor kebulatan saja.

2. Apabila diumpamakan pelantunan sebuah mata uang 100 kali dan dalam 10 kali percobaan diperoleh angka-angka untuk gambar adalah sebagai berikut : 51, 54, 47, 52, 56, 45, 41, 48, 58, dan 49. Diharapkan yang akan muncul adalah 50 gambar dan 50 huruf sehingga rata-rata


dalam 50 pengamatan ini menunjukkan besar kecilnya “Variasi”, yang disebabkan karena faktor kebetulan terhadap tampaknya “gambar” dalam 100 kali pelemparan mata uang. Jadi dalam pelantunan mata uang 100 kali jumlah gambar akan bervariasi antara 41 – 58. Perbedaan variasinya berkisar 17 (58 – 41 = 17).

3. Kasus lain yang akan terjadi apabila pelantunan sebuah mata uang 100 kali, dan dalam 2 kali percobaan diperoleh 30 dan 76 gambar. Kasus ini tidak sempurna karena memberi variasi yang sangat jauh berbeda yaitu antara 30 – 76 variasi lemparan ini bersifat kurang tetap (kurang konsisten) hal ini disebabkan karena kebetulan saja.• Apabila variabilitasnya kecil seperti pada kemungkinan pertama,

di mana rata-rata 50, maka X (rata-rata sampel) akan sangat mendekati m (rata-rata populasi).

• Apabila variabilitasnya besar seperti pada kemungkinan kedua, di mana variasinya antara 30 dan 70 gambar, X (rata-rata sampel) tidak dapat diharapkan mendekati m (rata-rata populasi).

Contoh ini menunjukkan bahwa konsep penyebaran atau variasi memegang peranan yang sangat penting baik pada statistik deskriptif maupun induktif. Pada bab ini dibicarakan beberapa pengukuran variasi atau pengukuran penyebaran.

B. Rentang (Range)Rentang (Range) adalah nilai deviasi yang paling sederhana yaitu beda

antara pengamatan terbesar dengan pengamatan terkecil dari serangkaian pengamatan, disini tidak menghitung seluruh nilai yanga ada hanya selisih terbesar dan terkecil. Rentang merupakan ukuran dengan satu angka, tetapi sayang sekali bahwa rentang tidak dapat menjelaskan dengan baik seberapa jauh penyebaran rangkaian pengamatan (seberapa jauh variasi datanya).

Keunggulan rentang adalah perhitungannya sangat sederhana, sehingga tidak akan sulit dilakukan. Rentang digunakan untuk mendapatkan gambaran yang tepat mengenai variasi pada serangkaian pengamatan.

I. 60, 60, 63, 68, 69, 75, 80, 81, 85, 90 rentang = 90 – 60 = 30II. 69, 75, 87, 89, 90 rentang = 90 – 60 = 30

Dari data I dan II menunjukkan bahwa rentang tidak melihat seberapa jauh penyebaran datanya (Kasus I ada 10 data dan kasus II ada 5 data), namun hanya dilihat data terbesar dan terkecil, sehingga mempunyai nilai rentang yang sama yaitu 30.


C. Deviasi Rata-RataDeviasi Rata-rata adalah selisih antara nilai pengamatan dengan nilai

rata- ratanya. Deviasi sama artinya dengan beda. Jadi deviasi rata-rata sama dengan beda rata-rata, sedangkan penyebaran artinya deviasi.

Ukuran Deviasi Rata-rata dipakai untuk mengatasi kelemahan daripada Rentang. Sebagaimana diketahui bahwa kelemahan dari rentang sama sekali tidak menjelaskan penyebaran, maka dipakai rumus “Deviasi Rata-rata” untuk pengukuran penyebaran. Di bawah ini disajikan tabel untuk menghitung Deviasi Rata-rata.

Sebagaimana halnya dengan Ukuran Lokasi, maka Ukuran Variasi juga dihitung dengan 2 cara dilihat dari datanya yaitu :

1. Menghitung Deviasi Rata-rata untuk data yang belum diklasifikasikan, 2. Menghitung Deviasi Rata-rata untuk data yang sudah dikalsifikasikan.

1. Deviasi Rata-Rata Data yang belum DiklasifikasikanUntuk menghitung Deviasi Rata-rata yang belum diklasifikasikan, di

bawah ini disajikan tabel data mengenai 5 orang mahasiswa yang mendapat nilai ujian statistik. Tabel datanya adalah sebagai berikut :

Tabel 25. Nilai Ujian Statistik 5 Orang Mahasiswa

Mahasiswa Xi (nilai) Deviasi (xi - x ) ½xi - x ½

ABCDE

7065454030

2015-5

-10-20

20155

1020

250 0 70

505

250X == 50

Deviasi ini mempunyai nilai nol berapapun nilai Xi, karena beberapa beda mempunyai nilai positif dan lainnya negatif dan jumlahnya selalu sama dengan nol, maka dipakai nilai absolut, nilai absolut X ditulis ½X½. Setiap nilai negatif yang diabsolutkan maka akan menjadi nilai positif.

Contoh : ½17½ = 17 ½-17½ = 17


Dari penjelasan tersebut di atas dipergunakan nilai absolut dari beda tiap pengamatan dari rata-rata, sehingga ukuran deviasi rata-ratanya menjadi positif, dengan demikian ukuran Deviasi Rata-rata dapat dirumuskan sebagai berikut :

n

XXn

1ii

X

∑=

−=∂

Rumus Deviasi Rata-rataKeterangan :

X∂ = Deviasi rata-rata n = data dari 1,2 …n Xi = Data yang ke i

x = Nilai rata-rataDengan mempergunakan rumus tersebut maka diperoleh hasil deviasi

rata-rata sebagai berikut : 14570

X==∂

7014 , nilai 14 artinya : nilai ujian

statistik berbeda 14 dari nilai rata-ratanya.

2. Deviasi Rata-Rata Data yang Sudah DiklasifikasikanUntuk deviasi rata-rata pada data yang sudah diklasifikasikan digunakan

rumus sebagai berikut :

n

XXn

1ii

X

if⋅−=∂∑=

Rumus Deviasi Rata-rataKeterangan :

X∂ = Deviasi rata-rata Xi = Titik tengah pada suatu kelas yang ke i fi = Frekuensi n = Jumlah seluruh pengamatan = å fi


Rumus di atas adalah Deviasi Rata-Rata sampel. Sampel adalah pengamatan sebagian dari populasi biasanya jumlah pengamatannya kurang dari 30 ( n ≤ 30 ). Sedangkan populasi adalah pengamatan dari seluruhnya. Deviasi Rata-rata Populasi rumusnya sama dengan Deviasi Rata-rata Sampel, hanya x (rata-rata sampel) diganti dengan m (rata-rata populasi).

Contoh :Menghitung deviasi rata-rata dari serangkaian data yang sudah

diklasifikasikan dan titik tengahnya sudah diketahui. Tabel datanya adalah segabai berikut :

Tabel 26. Menghitung Deviasi Rata-Rata Populasi

Xi (Titik Tengah) fi ½xi - x ½ fi ½xi - x ½

19283746556473

389

16464

25,9216,927,921,08

10,0819,0828,08

77,76135,3671,2817,2840,32

114,48112,32

50 568,8

X = 44,92 ( lihat tabel 14) sudah dihitung rata-ratanya.Dengan menggunakan rumus deviasi rata-rata maka diperoleh hasil

sebagai berikut :

n

XXn

1ii

X

if⋅−=∂∑=

X∂ = 376,1150

8,568=

5011

Jadi nilai dari Deviasi Rata-rata adalah sebesar 11,376

D. Standar Deviasi Data yang Belum DikelompokkanStandar Deviasi atau disebut juga Simpangan Baku, untuk data yang

belum diklasifikasikan dalam penggunaannya masih diadakan penyesuaian tergantung ukuran sampelnya, yakni antara sampel dengan ukuran kecil dan sampel dalam ukuran besar. Sampel dalam ukuran kecil diberi notasi – n ≤ 30


sedangkan sampel ukuran besar atau populasi diberi notasi > 30.Di bawah ini disajikan rumus Standar Deviasi dengan sampel ukuran

kecil dan sampel ukuran besar atau populasi sebagai berikut :

1. Standar Deviasi dengan sampel ukuran kecil (n ≤ 30)Rumus Standar Deviasi

n2

i=1(Xi-X)

s=n-1

∑

Contoh :Menghitung Standar Deviasi Sampel kecil untuk data yang belum

diklasifikasikan.

Tabel 27. Menghitung Standar Deviasi Data yang Belum Diklasifikasikan

Mahasiswa Xi (nilai) Deviasi xi - x ½xi - x ½ ( )2x;-x

ABCDE

7065454030

2015-5

-10-20

20155

1020

40022525

100400

250 0 70 1150

S

n2

i=1(Xi-X)

=n-1

11505-1

11504

16,96

=

=

=

∑

Contoh lain :Daya nyala bola lampu listrik A adalah : 985, 863, 1024, 972, 746 jam


maka deviasi standar sampelnya adalah :

Tabel 28. Menghitung Standar Deviasi Data yang Belum Diklasifikasikan

Xi Xi - X (Xi - X )2 Xi2

985863

1024972746

67-5510654

-172

4.4893.025

11.2362.916

29.584

970.225744.769

1.048.567944.784556.516

4590 0 51.250 4.264.870

9185

4590X ==

( )251.250 133

1 4Xi X

Sn−

= = =−

∑ (Dibulatkan)

Hasil perhitungan deviasi standar 5 buah bola lampu listrik ± 133 jam.Rumus lain untuk mencari Standar Deviasi sampel kecil adalah

sebagai berikut :

( )( )1-nn

XXS

2i

2i∑ ∑−

=

Dengan memakai rumus di atas, deviasi standar dapat dihitung tanpa perlu mencari deviasi setiap pengamatan rata-ratanya, hanya menghitung jumlah kuadratnya dan kemudian memasukkan pada rumus di atas. Hasilnya harus sama dengan rumus deviasi standar sampel (persis sama).

Contoh :Dari tabel 16 dapat dihitung standar deviasi dengan cara pendek, dan

hasilnya adalah sebagai berikut (lihat tabel 26). Dengan menggunakan rumus di atas maka diperoleh nilai Standar Deviasi sebagai berikut :

( )( )1-nn

XXS

2i

2i∑ ∑−

=


( ) ( )45

459042648705S2

⋅−

=

= 5,12812

= ± 133 jamJadi dengan rumus lainnya, mendapatkan nilai Standar Deviasi yang

sama yaitu sebesar 133

2. Standar Deviasi untuk Sampel besar atau Populasi (n > 30)Deviasi Standar untuk Sampel besar biasanya mempunyai data yang

besar lebih dari 30 (n > 30) . Jika semua data diamati walaupun kurang dari 30 maka disebut Populasi, dan memakai rumus yang sama dengan Sampel Besar.

Standar Deviasi Sampel Besar disebut juga Standar Deviasi Populasi Untuk menghitung Deviasi Standar ini ada dua rumus. Rumus yang pertama disebut cara dengan cara pendek, dan rumus yang kedua disebut dengan cara panjang. Adapun Rumusnya adalah sebagai berikut :.

a. Rumus Standar Deviasi Sampel Besar/Populasi Cara Pendek

( )2i2i XXn

n1 ∑ ∑−=σ

b. Rumus Standar Deviasi Sampel Besar/Populasi Cara Panjang

( )2Xin

µσ

−= ∑

Contoh :Sebuah toko terdiri dari 12 pegawai, seluruh pegawai diselidiki

mengenai gaji per hari (dalam ribuan rupiah). Untuk populasi yang terdiri dari 12 pengamatan datanya adalah sebagai berikut :


Tabel 29. Menghitung Standar Deviasi Sampel Besar

Gaji xi Xi-µ (Xi-µ)2 Xi 2 Xi-12 (Xi-12 )2

15101287

11205

14171612

2,75-2,25-0,25-4,25-5,25-1,257,757,251,754,75-3,750,25

7,56255,06250,0625

18,062527,56251,5625

60,062552,56253,0625

22,562514,06250,0625

2251001446449

12140025

196289256144

3-20-4-5-18-72540

940

16251

64494

25160

147 0 212,2500 2013 3 213

1) Dengan rumus pendek :

( )2i2i XXn

n1 ∑ ∑−=σ

4,2

2547121

)147()2013(12121σ 2

±=

=

−=

2) Dengan rumus panjang :Sebelum menggunakan rumus, terlebih dulu menghitung rata-

rata sampel besar, kemudian menghitung standar deviasi deangan menggunakan rumus panjang sebagai berikut :

25,12

12147

==µ

( )n

μXiσ

2∑ −=


4,212

212,25

±=

=σ

Perhitungan ini bisa pula disederhanakan dengan mengurangi atau menambah nilai pengamatan dengan bilangan yang sama (bilangan konstan) dan penyebaran serangkaian pengamatan tidak akan berubah. Misal contoh di atas dikurangi dengan 12 maka diperoleh :

atas) didengan sama (Persis 2,42547121

)3()213(12121 2σ

±==

−=

Hal ini bertujuan untuk mengecilkan angka-angka yang harus dikerjakan maka baiknya dikurangi dengan bilangan konstan). Dikurangi dengan angka yang mendekati rata-rata hitungnya.

Perlu diingat bahwa serangkaian data dianggap sebagai suatu populasi atau sampel tergantung pada apa yang hendak diperbuat dengan data tersebut. Apabila informasi yang ada akan dipergunakan untuk menarik kesimpulan umum yaitu menaksir atau meramalkan atau mengambil keputusan mengenai keadan umum, maka data yang dipakai adalah sampel (sebagian dari populasi) dipakai. Dilain pihak apabila data memuat semua pengamatan yang mungkin dari suatu data maka data tersebut adalah populasi. Data ini dipakai untuk menunjukkan penyebaran.

E. Standar Deviasi Data yang Sudah DiklasifikasikanMenghitung Standar Deviasi untuk data yang sudah diklasfikasikan ada

dua cara, yaitu : (1) Standar Deviasi dengan Sampel kecil, (2) Standar Deviasi dengan sampel kecil.

1. Standar Deviasi dengan Sampel Kecil (n≤30)Untuk Standar Deviasi Sampel kecil (n≤30) data yang sudah

diklasifikasikan dipakai rumus sebagai berikut (ada 2 rumus) :

(a) ( )1n

fXXS i

2

i

−

−= ∑


Atau dengan rumus lain :

(b) ( )1n

fUfUnS

2iii

2

−

−⋅= ∑ ∑

Keterangan :Xi = Titik tengah pada suatu kelas yang ke i

x = Rata-rata hitungfi = FrekuensiUi = U Codingn = Jumlah data/pengamatan

Langkah-langkah untuk mengukur Standar Deviasi untuk data yang sudah dikelompokkan adalah sebagai berikut :

Menghitung deviasi titik tengah tiap interval kelas terhadap rata-ratanya. Nilai ini dianggap sebagai deviasi tiap data dalam interval yang bersangkutan terhadap mean.

• Nilai deviasi yang telah diperoleh dalam (a), dikuadratkan.• Nilai yang telah dikuadratkan ini masing-masing dikalikan dengan

frekuensi tersebut.• Nilai hasil kali ini dijumlahkan.Untuk data, tidak menggunakan satuan yang berbeda (Rp dengan

kg atau meter) tetapi mempergunakan “Deviasi Relatif ” yang satuannya sama yaitu prosentase (%).

2. Standar Deviasi Sampel Besar atau Populasi (n>30) Untuk deviasi standar sampel besar di mana n>30 atau untuk populasi

pada serangkaian data yang sudah diklasifikasikan dipakai rumus sebagai berikut (adalah 2 rumus yang berbeda) :

(a) ( )2Xi X fi

nσ

−= ∑

Atau dengan rumus lain :

(b) σ 2 2i i i

có= n U f -(U f )n ∑


Keterangan :

σ = Deviasi standar untuk sampel besar/populasic = Panjang kelasn = Jumlah dataUi = U Codingfi = Frekuensi

X = Rata-rata hitungContoh :Menghitung Standar Deviasi untuk data yang sudah diklasifikasikan

sampel besar/ populasi.

Tabel 30. Menghitung Standar Deviasi Data yang Sudah Diklasifikasikan

Xi fi ( X - x ) ( X - x )2 ( X - x )2 fi

19283746556473

389

16464

50

25,9216,927,921,08

10,0819,0828,08

671.85286.2962.733.24

101.61364.05

788.49

2015.542290.91564.5451.84

406.432184.28

3153.95

10667.49

Dengan menggunakan rumus Standar Deviasi (a) maka diperoleh hasil sebagai berikut :

σ ( )2

1667.4950

213.349814.6

Xi X fin−

=

=

==

∑

Jadi hasil/nilai Standar Deviasi untuk data yang sudah diklasifikasikan untuk sampael besar/populasi adalah 14.6. Dengan cara yang sama kita bisa menghitung standar deviasi memakai rumus kedua (b).


F. Beberapa Catatan Mengenai Standar DeviasiKoefisien Variasi : menyatakan prosentase deviasi standar dari rata-

ratanya. Gunanya untuk mengukur keseragaman suatu hal. Semakin kecil koefisien variasinya, berarti datanya semakin seragam dan semakin besar koefisien variasinya maka datanya semakin tidak seragam.

Contoh : Harga rata-rata 5 buah mobil dan 5 ekor ayam masing-masing Rp. 100.000.000,- dan Rp. 25.000,- dan Rp. 5.000,-. Manakah yang lebih bervariasi harga motor atau ayam.

x mobil = Rp. 100.000.000,- S mobil = Rp. 10.000.000,- x ayam = Rp. 25.000,- S ayam = Rp. 5.000,-

Koefisien Variasi Mobil = VS

Koefisien variasi mobil =

10% 100%x 000.000.100000.000.10

=

Koefisien variasi ayam =

20% 100% x 000.25

000.5=

Jadi ayam lebih bervariasi daripada mobil.

G. RingkasanPada Bab ini yang dibahas adalah ukuran variasi. Sama Seperti Bab III kita

bedakan dahulu mana sampel besar dan sampel kecil. Untuk sampel besar data perlu distribusikan terlebih dahulu sebelum menghitung ukuran lokasi (rentang, deviasi rata-rata, deviasi standar) sedangkan untuk sampel kecil hanya diurut datanya dari terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. Kemudian dihitung dengan menggunakan rumus yang telah disediakan.

Adapun tujuan menghitung ukuran variasi (standar deviasi) untuk melihat penyimpangan data dari rata-ratanya. Apabila rata-rata 75 dengan standar deviasi 10 (setelah dihitung dengan memakai rumus) ini berarti kisaran datanya bervariasi antara 65 – 85 dari rata-ratanya jadi standar deviasi untuk melihat variasi data dari rata-ratanya.


H. Latihan Soal1. Data Di bawah ini adalah jumlah uang saku 15 orang mahasiswa yang

diberikan orang tuanya setiap minggunya. Datanya adalah sebagai berikut (dalam Ribuan Rupiah) :125, 150, 100, 110, 160, 200, 90, 100, 125, 140, 220, 250, 140, 100, 200.Dari data tersebut hitunglah ;a. Range / rentangnyab. Deviasi rata-ratanyac. Standar deviasinyad. Variannya

2. Di bawah ini disajikan tabel distribusi frekuensi mengenai 100 orang ibu rumah tangga yang mengeluarkan uangnya setiap hari untuk kebutuhan rumah tangga. Datanya adalah sebagai berikut :

Pengeluaran Rumah Tangga(ribuan rupiah)

Jumlah (frekuensi)

10 - 2020 - 3030 - 4040 - 5050 - 6060 - 7070 - 80

81725301253

100

Dari tabel di atas hitunglah :a. Deviasi rata-rata

1) Standar Deviasi dengan menggunakan cara pendek2) Standar Deviasi dengan menggunakan cara panjang

3. Tono pelajar SMA I Denpasar, sedang Tini pelajar SMA III Denpasar. Pada ujian kenaikan kelas dalam pelajaran Matematika Tono memperoleh nilai 82. Hasil rata-rata ujian Matematika 94. Dengan standar deviasi 8. Tini memperoleh nilai 48. Hasil ujian rata-rata dikelas Tini 90. Dengan deviasi standar 40.

Menurut saudara pelajar manakah yang memiliki prestasi yang lebih baik dan mengapa?


4. Mahasiswa x memperoleh angka 70 untuk statistik dan 90 untuk Teori Ekonomi. Hasil ujian rata-rata untuk statistik bagi seluruh kelas 64 dan standar deviasi 12. Sedang hasil rata-rata ujian Teori Ekonomi bagi seluruh kelas 72 dan standar deviasi 10. Keterangan apa yang mungkin saudara peroleh mengenai kemampuan mahasiswa x dalam kedua mata pelajaran dikelasnya.

5. Berikut ini harga bahan-bahan makanan di suatu daerah :

No Bahan Makanan Harga (Rp / Kg)

123456789

10

BerasTelur

Minyak goringTerigu

Gula pasirAyam boilerDaging sapi

KentangBawang merahCabai merah

10.20016.00021.5006.000

17.00030.00085.00017.50040.00050.000

Berdasarkan data di atas hitunglah standar deviasinya !6. Dua sampel masing-masing terdiri dari 5 bungkus kopi merk A dan

5 bungkus kopi merk B. Pada label kedua kopi tersebut tertera berat netto 100 gr. Masing-masing sampel tersebut diukur berat nettonya dan didapatkan data sebagai berikut :Kopi merk A : 98, 97, 100, 103, 101Kopi merk B : 100, 97, 105, 104, 99Berdasarkan data tersebut :a. Hitunglah standar deviasi berat netto kopi merk Ab. Hitunglah standar deviasi berat netto kopi merk Bc. Koefisien variansi kopi merk Ad. Koefisien variansi kopi merk Be. Bila Anda ingin membeli kopi yang beratnya sesuai dengan yang

tertera pada label, kopi mana yang akan Anda beli ? Berikan alasannya.

7. Biaya perawatan sebuah mobil dalam 6 bulan terakhir adalah Rp 300.000, Rp 200.000, Rp 400.000, Rp 100.000, Rp 350.000 dan

Rp 536.00. Hitunglah :


a. Deviasi rata-ratab. Standar deviasic. Koefisien variansi

8. Sepuluh (10) bungkus sampel suatu merk deterjen ditimbang berat nettonya dan diperoleh data sebagai berikut :198, 195, 197, 202, 205, 200, 197, 207, 199, 201.Berdasarkan data di atas, hitunglah :a. Deviasi rata-ratab. Standar deviasic. Koefisien variansi

9. Pada label biscuit merk A, merk B dan merk C tertera berat netto 300 13 gr. Diambil sampel 13 kaleng biscuit untuk masing-masing merk biscuit. Dari pengukuran diperoleh data :Standar deviasi biscuit merk A 70Standar deviasi biscuit merk B 80Standar deviasi biscuit merk C 90Berdasarkan data tersebut, hitunhlah :a. Koefisien variansi berat netto biscuit merk A, B dan Cb. Bila Anda ingin membeli biscuit yang beratnya sesuai yang tertera

pada label, biscuit manakah yang akan Anda beli ?10. Berikut ini nilai statistika tiga orang mahasiswa di kelas berbeda. Jhoni

memperoleh nilai 80 dan hasil rata-rata ujian statistika di kelasnya 92 dengan standar deviasi 20. Melly memperoleh nilai 70 dengan rata-rata nilai di kelasnya 80 dan standar deviasi 25. Sedangkan Syifa memperoleh nilai 90 dengan rata-rata nilai ujian di kelasnya 78 dan standar deviasi 30. Menurut Anda, siapa mahasiswa yang memiliki prestasi yang paling baik ? Mengapa ?

11. Berikut ini data pendapatan perusahaan A dalam kurun waktu 5 tahun (2008-2012).

Tahun Pendapatan (miliar rupiah)

20082009201020112012

48,1888,72330,5

544,26842,38


Berdasarkan data di atas :a. Hitunglah standar deviasi pendapatan perusahaan Ab. Hitunglah koefisien variansi pendapatan perusahaan A

12. Sinta telah melakukan lima kali kuis selama 1 semester untuk mata kuliah statistika. Nilai Sinta adalah 68, 75, 65, x, dan 87. Jika deviasi rata-rata nilai Sinta 8,5, maka tentukan nilai x !

13. Datu satu kelas jurusan pendidikan ekonomi semester 2 di suatu STIE diambil sampel secara acak lima orang mahasiswa untuk di data umurnya. Umur dari masing-masing mahasiswa a-2, a-1, a, a-3 dan a+1. Jika rata-rata umur mereka 19 tahun, maka hitunglah :a. Nilai ab. Standar deviasi umur kelima mahasiswa tersebut

14. Berikut ini adalah data banyaknya penjualan produk per minggu dari 40 sales di suatu perusahaan.

Jumlah Produk Frekuensi

10 – 1415 – 1920 – 2425 – 2930 – 3435 – 39

15

161431

Hitunglah :a. Deviasi rata-ratab. Standar deviasi

87

BAB V PENGUKURAN LAINNYA

A. PengantarSelain pengukuran lokasi dan pengukuran variasi pada suatu distribusi

ada pula pengukuran lainnya yang disebut : Pengukuran Simetris dan Kemencengan serta Pengukuran Puncak.

1. Pengukuran Simetris dan Pengukuran Kemencengan Pengukuran Simetris dan Kemencengan gunanya untuk mengetahui

apakah bentuk distribusi tersebut simetris ataukah menceng. Apabila menceng, bisa dilihat dari nilainya apakah menceng kanan atau kiri.

Bentuk Distribusi Simetris, Menceng Kanan dan Menceng Kiri

a.

Bentuk Bel/Simetris


b.

Bentuk Bel Menceng Kananc.

Bentuk Bel Menceng Kiri

2. Pengukuran Puncak/KeruncinganPengukuran Puncak/Keruncingan gunanya untuk mengetahui apakah

distribusi tersebut memiliki puncak yang runcing, tumpul ataukah simetris (normal). Untuk itu semua diperlukan adanya pengukuran.

Bentuk Distribusi Menurut Puncaknya

a.

Distribusi dengan Puncak Runcing


b.

Distribusi dengan Puncak Tumpulc.

Distribusi dengan Bentuk Datard.

Distribusi dengan Bentuk UDistribusi yang mungkin simetris adalah bentuk U dan Bel :• Bentuk bel misalnya : produksi padi bila diberi pupuk, maka

produksi makin meningkat pada sampai pada titik tertentu bila ditambah pupuk lagi, produksi justru akan menurun.

• Bentuk J misalnya : sebagian besar orang memiliki satu rumah, dua rumah, hanya sedikit orang yang memiliki 4 rumah, 5 rumah dan seterusnya semakin sedikit.

• Bentuk U misalnya : mahasiswa pertama kali kuliah pengikutnya banyak, semakin lama semakin sedikit. Bulan berikutnya apabila ujian semester, maka akan dipertambah lagi.

• Bentuk daftar misalnya : harga garam walaupun murah/mahal ibu rumah tangga tidak akan membeli banyak atau tidak mungkin tidak membeli.


B. Ukuran Simetris dan Ukuran KemencenganUkuran statistik yang disebut ukuran simetris dan ukuran kemencengan

(Skewness) adalah suatu ukuran yang dapat digunakan untuk menentukan menceng tidaknya suatu distribusi. Untuk mengukur kemencengan suatu kurva distribusi dapat diketahui dari besarnya koefisien skewness (SK) dan besarnya koefisien moment ke tiga 3α

SK dan 3α dipakai untuk membedakan grafik distribusi :• Suatu distribusi dikatakan simetris apabila rata-rata hitung sama dengan

median dan modus distribusi tersebut adalah simetris sempurna.• Jika terdapat perbedaan antara rata-rata hitung dengan median atau

rata-rata hitung dengan modus, maka suatu distribusi dikatakan menceng kekanan (mempunyai ekor dibagikan kanan) atau menceng kekiri (mempunyai ekor dibagian kiri). Semakin besar jarak antara mean dan modus maka semakin menceng pula distribusinya.

• Apabila rata-rata hitung > median atau modus maka mempunyai ekor pada bagian kanan (menceng positif/kanan).

• Rata-rata hitung < median atau modus, maka mempunyai ekor kesebelah kiri, atau menceng kiri.

• Apabila memakai koefisien moment ketiga 3α , makin besar nilai 3α

maka maka makin menceng atau miring kurva distribusi frekuensi tersebut.

• Apabila 3α bertanda positif ( + ) berarti kurva tersebut menceng ke kanan/ condong ke kanan. Sebaliknya apabila bernilai negatif ( - ) maka kurva tersebut menceng ke kiri/ condong kiri.

• Apabila 3α bernilai 0 berarti kurva tersebut simetris.Perbedaan antara Rata-rata Hitung, Median dan Modus dapat

dipergunakan sebagai alat untuk mengukur derajat simetris atau kemencengan suatu distribusi. Untuk mengukur Kemencengan suatu Disterbusi dapat dipakai beberapa rumus antara lain : (1) Koefisien of Skewness, (2) koefisien moment ketiga ( 3α ).

1. Koefisien of SkewnessBesarnya koefisien of Skewness dapat dipakai dengan beberapa cara

yaitu (a) Metode Karl Pearson, (b) metode Bowley, (c) metode 10 – 90 persentil.


a. Rumus Koefisien Kemencengan dari Karl Pearson - Koefisien kemencengan oleh Pearson dengan memakai Modus

dirumuskan sebagai berikut :

Standar DeviasiModus - rata-Rata SK =

- Koefesien kemencengan oleh Pearson dengan memakai Rata- rata.

Rumus SK di atas mempunyai kelemahan-kelemahan karena memakai modus, kemungkinan ada dua modus atau mungkin tidak modus, atau sangat sulit menentukan terutama untuk data yang dikelompokkan, maka rumus koefisien kemencengan Pearson lainnya diperoleh sebagai berikut :

Standar DeviasiModus) - rata-(Rata 3 SK =

Apabila : SK = 0, ini berarti simetris sempurnaSK Negatif = Menceng kiri/ekor dikiriSK Positif = Menceng Kanan.

b. Metode BowleyRumus Koefisien Kemencengan dari Bowley

( )3 1 23 – 2 2- 1k

3 1 3 1

K + ( ) K – 2KK K – K KSK –

( K

=K

=– K

)

Keterangan:

Sk = koefisien skewnessK3 = kuartil ketigaK2 = kuartil keduaK1 = kuartil pertama

c. Metode 10 -90 PersentilRumus Koefisien Kemencengan dari Metode 10 -90 Persentil


( ) ( )( )

90 50 50 10k

90 10

P – P - P – PS

P – P=

2. Rumus Koefisien Kemencengan dengan Alfa Tiga ( 3α )

Ukuran kemencengan yang paling banyak dipergunakan ialah 3α (Alfa Tiga). Untuk menghitung 3α ada dua cara yaitu (a) Rumus untuk data yang belum diklasifikasikan, (b) Rumus untuk data yang sudah diklasifikasikan, adapun rumusnya sebagai berikut. :

a. Rumus Kemencengan untuk data yang belum diklasifikasikan

( )

3

n

1i

3

3 σ

μXin1

α∑=

−=

b. Rumus kemencengan untuk data yang sudah dikelompokkan

( )

3

n

1i

3

3

Xin1

σ

fμα

i∑=

−=

c. Rumus Kemencengan untuk Data yang sudah dikelompokkan dengan memakai U-coding

+

⋅−

⋅= ∑∑∑∑

3iiiii

2i

3i

3

3

3 nfU

2n

fUn

fU3

nfUc

σα

Meskipun rumus di atas sangat ruwet, tetapi pemakaiannya amat mudah, apabila sudah menghitung deviasi standar kemudian menghitung 3

iU fi∑ kemudian memasukkan rumus di atas.Contoh soal :

Tabel di bawah ini adalah 100 karyawan pabrik sepatu yang diteliti mengenai jumlah pengeluaran yang digunakan untuk biaya transport dari rumah menuju pabrik selama 1 minggu. Datanya adalah sebagai berikut :


Tabel 31. Pengeluaran Karyawan dalam Seminggu

Distribusi Pengeluaran (Ribuan Rupiah)

Jumlah Karyawan

0-910-1920-2930-3940-4950-59

5201545105

Jumlah 100

Dari tabel di atas hitunglah 3α dengan menggunakan U-coding, apakah bentuk Distribusi tersebut Menceng Kiri atau Menceng kanan?

Tabel 32. Menghitung Koefisien Kemencengan

Kelas fi Ui Ui fi Ui2 fi Ui

3 fi

0-910-1920-2930-3940-4950-59

5201545105

-2-10123

-10-20

0452015

20200

454045

-40-20

04580

135

100 50 170 200

Sebelum menggunakan rumus 3α , kita cari dulu nilai standar deviasi, kemudian menghitung 3α dengan menggunakan rumus U-coding.

( )∑ ∑−=2

iii2 fUfUn

ncσ

10= 100(170) (50)2100

σ −

1= 14500 12,0410

σ =


33 2i i i i i i iU f U f U f U fc33= 3 2

3 n n n nα

σ

− +

∑ ∑ ∑ ∑� �

33

3310 200 170 50 50= 3 2(12,04) 100 100 100 100

α − +

= - 0,17

Karena nilai 3α bernilai negatif maka Kurva Distribusi tersebut Menceng ke Kiri

C. Ukuran Puncak/KeruncinganSebuah distribusi baru dapat dikatakan Runcing atau Tumpul apabila

telah menghitung Puncak atau Kurtosis. Untuk menghitung keruncingan dipakai ukuran 4α (alfa empat) yang disebut : Moment Coeficient of Curtosis . Mengukur puncak ada dua cara yaitu (1) Rumus untuk data yang belum diklasifikasikan, (2) Rumus untuk data yang sudah diklasifikasikan, adapun rumusnya sebagai berikut :

1. Mengukur Puncak ( a4 ) untuk data yang belum diklasifikasikan

( )

4

n

1i

4

4

Xin1

σ

μα

∑=

−=

2. Mengukur Puncak ( 4α ) untuk data yang sudah diklasifikasikanMengukur Puncak ( 4α ) untuk data yang sudah diklasifikasikan ada 2

cara yaitu dengan (a) Cara Panjang dan (b) Cara Pendek.

a. Dengan Cara Panjang

( )

4

i

n

1i

4

4 σ

fμXin1

α∑=

−=


b. Dengan cara Pendek

2 43 24

4 4 4 6 3i i i i i i i i i i iU f U f U f U f U f U fcan n n n n nσ

⋅ ⋅ = − + −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Contoh Soal :Kita lihat kembali Distribusi mengenai pengeluaran karyawan

dalam seminggu untuk transport dari rumah menuju kantor. Dari perhitungan di atas mencari 3α kita tambah satu kolom lagi untuk menghitung tingkat keruncingan ( 4α ) yaitu dengan menghitung

770n

fU 4ii =

∑ kemudian dimasukkan nilainya ke dalam rumus,

perhitungannya adalah sebagai berikut :

Tabel 33. Menghitung Puncak/Keruncingan Distribusi

Kelas fi Ui Ui fi Ui2 fi Ui3 fi Ui4fi

0-910-1920-2930-3940-4950-59

5201525105

-2-10123

-10-20

0252015

20200

454045

-40-20

04580

135

80200

25160 405

100 50 170 200 690

2 44 3 2

4 i i i i i i i i i i i

44

U f U f U f U f U f U fc= 4 6 3

( ) n n n n n nα

σ

− + −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2 4

4

4

4

10 690 200 50 170 50 50= 4 6 3(12,04) 100 100 100 100 100 100

α − + −

4α = 2,633 (mempunyai puncak tumpul).Distribusi di atas (a = 2,633) mendekati PlatykurtisApabila :


• 4α = 3 , maka disebut Distribusi Mesokurtis (normal).

• 4α > 3 disebut Distribusi Leptokurtis (distribusi dengan puncak runcing).

• 4α < 3 disebut Distribusi Platykurtis (distribusi dengan puncak tumpul).

a. Distribusi LeptokurtisApabila suatu distribusi sangat runcing dan memiliki ekor yang relatif

panjang.

b. Distribusi PlatykurtisApabila suatu distribusi agak rata di tengah dan ekornya relatif agak

kecil.

c. Distribusi MesokurtisDalam praktik dijumpai banyak distribusi bentuk ini yaitu bentuk

yang seperti bel/genta.

D. RingkasanSelain menghitung ukuran lokasi dan ukuran variasi, data tersebut

bisa digambarkan dalam bentuk kurvanya. Bentuk kurva bervariasi ada bentuk normal, bentuk menceng/miring kekiri atau menceng kekanan. Untuk menghitung kemencengan biasanya dipergunakan rumus 4α (alpha 3). Alpha 3 ini merupakan ukuran kemencengan yang paling banyak dipergunakan. Apabila 4α setelah dihitung dengan rumus yang ada mempunyai nilai negatif ini berarti kurva dari data tersebut menceng kiri demikian pula sebaliknya bila bernilai positif kurvanya akan menceng kanan. Apabila 4α bernilai 0 berarti kurvanya normal atau simetris.

Selain ukuran kemencengan dalam bab ini juga dijelaskan ukuran puncak. Bentuk puncak tersebut ada yang tumpul, runcing, atau normal. Untuk ukuran puncak biasanya dipakai rumus 4α (alpha 4). Dengan menggunakan rumus yang ada kita akan mengetahui puncaknya tumpul bila 4α nilainya lebih kecil dari 3, bentuknya akan runcing bila

4α nilainya lebih besar dari 3, dan puncaknya normal bila 4α bernilai 3.


E. Latihan Soal1. Di bawah ini disajikan tabel distribusi frekuensi mengenai 100 orang

ibu rumah tangga yang mengeluarkan uangnya setiap hari untuk kebutuhan rumah tangga. Datanya adalah sebagai berikut :

Pengeluaran Rumah Tangga(ribuan rupiah) Jumlah (frekuensi)

10 - 2020 - 3030 - 40

81725

40 - 5050 - 6060 - 7070 - 80

301253

100

Hitunglah :2. Hitunglah besarnya Koefisien of Skewness menurut metode Karl

Pearson (SK) dan metode Bowley ( 4α )a. Menceng kemana kurva dstribusi frekuensinya?b. Hitung besarnya Moment Coeficient of Curtosis ( 4α )c. Bagaimana bentuk puncaknya, Runcing, Tumpul, Simetris (bentuk

seperti bel/genta) ?3. Berikut ini nilai ujian statistika 10 mahasiswa Pendidikan Ekonomi :

50, 70, 80, 70, 70, 55, 85, 50, 80, 90Berdasarkan data tersebut hitunglah koefisien kemencengan kurva

distribusi dan berikan interpreatasi !4. Besarnya omzet penjualan 100 toko di sebuah komplek pertokoan

disajikan pada tabel berikut.

Omzet (juta rupiah) Banyak Toko (unit)

20 – 2425 – 2930 – 3435 – 3940 – 4445 – 49

13302017155


Berdasarkan data di atas :a. Hitunglah besarnya koefisien kemencengan kurva menggunakan

metode Karl Pearsonb. Menceng kemana distribusi frekuensinya ? berikan interpretasi

5. Pada suatu sanggar kerajinan tangan terdapat 100 pemahat kayu. Lamanya proses pemahatan satu jenis patung oleh setiap pemahat berbeda-beda. Berikut ini datanya :

Waktu Pemahatan (jam) Banyak Pemahat

18 – 2425 – 3132 – 3839 – 4546 – 5253 – 5960 – 66

512301513178

Berdasarkan data di atas :a. Hitunglah koefisien kemencengan dan arah kemencengan kurvanya

menggunakan metode Karl Pearsonb. Hitunglah ukuran keruncingan dan jenis bentuk keruncingan

kurvanya6. Data berikut ini adalah data tinggi badan (cm)12 orang mahasiswa

jurusan ekonomi :167, 166, 176, 168, 167, 166, a, 161, 161, 167, 166, 161Tentukanlah nialai a agar kurva distribusinya simetris sempurna !

7. Untuk soal nomor 1 di BAB 2, maka :a. Hitunglah besarnya koefisien kemencengan dan arah kemencengan

kurvanya menggunakan rumus 3αb. Hitunglah ukuran keruncingan dan jenis bentuk keruncingan

kurvanya


8. Untuk soal nomor 2 di BAB 2, maka :a. Hitunglah besarnya koefisien kemencengan dan arah kemencengan

kurvanya menggunakan rumus 3αb. Hitunglah ukuran keruncingan dan jenis bentuk keruncingan

kurvanya9. Untuk soal nomor 3 di BAB 2, maka :

a. Hitunglah besarnya koefisien kemencengan dan arah kemencengan kurvanya menggunakan metode Karl Pearson

b. Hitunglah ukuran keruncingan dan jenis bentuk keruncingan kurvanya

101

BAB VI ANGKA INDEK

A. PengantarAngka indek adalah ukuran statistik yang menyatakan angka

perbandingan suatu kuantitas antara yang satu dengan yang lainya, perubahan relatif ini dinyatakan dalam prosentase. Biasanya prosentese tidak ditulis, akan tetapi setiap angka indek selalu di baca dalam persen.

Angka indek merupakan salah satu ukuran statistik yang tertua yang yang dipakai untuk menunjukkan perubahan di dalam nilai suatu variabel atau di dalam nilai sekumpulan variabel yang berhubungan satu dengan lainnya.

Kegunaan angka indek tidak terbatas pada perubahan harga dan jumlah produksi suatu barang, tapi juga digunakan untuk menyatakan perubahan fenomena-fenomena ekonomi yang kompleks seperti biaya hidup, jumlah produksi barang-barang industri dan gerak gelombang perekonomian.

Angka indek selain digunakan untuk dunia usaha, juga digunakan di bidang lain, misal : ahli sosiologi membuat indek penduduk, ahli psychologi mengukur Intelligence Quotient (IQ) memakai angka indek dengan membandingkan derajat kepandaian seseorang, pejabat kesehatan memakai angka indek untuk menunjukkan pergantian fasilitas-fasilitas rumah sakit dan lain-lain.


Contoh : Jumlah Mahasisawa Ekonomi angkatan tahun 2000 adalah 250 orang,

tahun 2001 ada 280 orang, tahun 2002 ada 290 orang, tahun 2003 ada 320 orang, tahun 2004 ada 275 orang, tahun 2005 ada 300 orang, tahun 2006 ada 315 orang dan tahun 2007 ada 325 orang. Dari data ini akan dicari angka indeknya.

Penyelesaian :Data jumlah mahasiswa setiap angkatan dibuatkan tabel kemudian dicari

angka indeknya.

Tabel 34. Angka Indek Jumlah Mahasiswa Th 2000 - 2007

Tahun Jumlah Mahasiswa (orang) Angka Indek

20002001200220032004200520062007

250280290320275300315325

Tahun dasar = 100280/250x100=112290/250x100=116320/250x100=128275/250x100=110300/250x100=120315/250x100=126325/250x100=130


Berdasarkan tabel 32, maka dapat di interpretasikan sebagai berikut: tahun 2000 merupakan tahun dasar sehingga angka indeknya diberi nilai 100. Tahun2001 angka indeknya 112, ini berarti jumlah mahasiswa bertambah sebesar 12% dari jumlah mahasiswa tahun 2000. Tahun 2002 angka indeknya 116, berarti jumlah mahasiswa naik 16% dari jumlah mahasiswa tahun 2000. demikian seterusnya sampai tahun 2007.

B. Jenis Angka IndekPerhitungan angka indek dibagi menjadi 2 golongan, yaitu :1. Angka Indek yang tidak Ditimbang2. Angka Indek yang Ditimbang

1. Angka Indek yang Tidak DitimbangAngka indek yang tidak ditimbang dibagi lagi menjadi 2, yaitu :a. Angka indek Gabungan/Agregatifb. Angka indek Relatif/Rata-rata Relatif


a. Angka Indek Gabungan/Agregatif.Angka indek ini umumnya dapat ditentukan dengan mencari rata-

rata dari indek tiap bahan yang membentuk gabungan atau dengan cara mencari indek seluruh gabungan atau agregatif.

Sering kali indek yang pakai sehari hari tidak lagi merupakan indek dari masing-masing bahan, tapi indek dari suatu kelompok bahan yang diperlukakan untuk suatu kebutuhan misalnya : menentukan angka indek kebutuhan pokok (beras, gula, minyak goreng, tepung terigu, dan lain-lain) tidak lagi dihitung sendiri-sendiri melainkan sudah merupakan sebuah indek yang mewakili kelompok kebutuhan pokok. Angka indek ini disebut Angka Indek Gabungan atau Agregratif”.

b. Angka Indek Relatif/Rata-Rata Relatif.Berbeda dengan angka indek gabungan, maka angka indek relatif

adalah angka indek yang tidak digabung melainkan dihitung angka angka indeknya satu per satu dari masing-masing bahan, karena kepentingan relatifnya berbeda-beda misalkan diperlukan 5 kg beras, 2 kg tepung terigu, 3 kg gula pasir, dan 4 liter minyak goreng.

Angka indek agregratif maupun relatif, keduanya tidak ditimbang, maksudnya bahwa setiap jenis barang dianggap memiliki arti penting yang sama. Jadi setiap bahan makanan tidak diperhitungkan kepentingan relatifnya. Kelemahan angka indek tidak ditimbang ialah bahwa setiap bahan dianggap sama pentingnya.

2. Angka Indek yang DitimbangDalam hal angka indek ditimbang, haruslah diperhatikan kepentingan

relatifnya dari semua bahan yang membentuk gabungan. Berdasarkan kelemahan pada angka indek tidak ditimbang, maka para ahli berusaha memperbaikinya dengan memperhatikan kepentingan relatif penggunaan barang-barang. Dengan memberi bobot/ ditimbang pada setiap barang, maka dapat diharapkan bahwa angka indek yang diperoleh akan memberikan gambaran yang lebih mendekati keadaan yang sebenarnya.

Angka Indek Ditimbang dibagi menjadi 2, yaitu :a. Angka Indek Ditimbang dengan metode Agregatif/Gabungan.b. Angka Indek Ditimbang dengan metode Relatif.Untuk menghitung Angka Indek, ada beberapa cara tergantung

dari metode dan jenis Angka Indeknya. Di bawah ini disajikan skema mengenai angka indek yang berdasarkan golongan, jenis dan metode


perhitungannya.Catatan :

1. Pemilihan Tahun Dasara. Tahun dasar adalah tahun yang dipakai sebagai dasar dalam

pembanding, maka tahun dasar diberi indek 100. Oleh karena tahun dasar dipakai sebagai pembanding, maka tahun dasar ini perlu dipilih secara tepat. Dalam memilih tahun dasar harus dipertimbangkan dua hal :

b. Tahun dasar hendaknya dipilih yang keadaan ekonominya stabil (normal), tidak dalam keadaan perang, bencana alam, resesi, infeksi dan deflasi.

Metode Agregatif

Metode Relatif

Indek Laspeyres

Indek Paasche

Indek Drobish & Bowley

Indek Irving Fisher

Indek Marshall Edgeworth

Bila tahun dasar dipakai sebagai penimbang

Bila tahun t dipakai sebagai penimbang

Metode Agregatif

Metode Relatif

Indek Harga

Indek Jumlah

Indek Nilai

Harga Relatif

Jumlah Relatif

Rata-rata Relatif

Angka Indek

Angka Indek Ditimbang

Angka Indek tidak Ditimbang

Skema Angka Indek


c. Tahun dasar hendaknya Up to Date artinya tahun dasar hendaknya tidak terlalu lama dengan tahun-tahun yang dibandingkan.

2. Pemilihan Faktor PenimbangKhusus untuk angka indek yang ditimbang, akan dihadapkan pada

masalah penentuan faktor penimbang. Faktor penimbang dipergunakan untuk membedakan arti penting suatu barang terhadap barang lainnya. Untuk barang yang penting diberikan faktor penimbang yang lebih besar dibandingkan dengan faktor penimbang untuk barang yang kurang penting.

Sebelum menghitung angka indek yang tidak ditimbang maupun yang ditimbang, pertama-tama akan disajikan rumus dari angka-angka indek yang tertera dalam skema 1. (di atas).

Keterangan Skema

1. Angka Indek Tidak Tertimbang.Angka indek tidak di timbang dibagi menjadi 2 metode yaitu :

a. Menggunakan Metode Agregatif• Rumus Angka Indek Harga• Rumus Angka Indek Jumlah• Rumus Angka Indek Nilai1) Rumus Angka Indek Harga

.100hoht

Ih ∑∑=

Angka Indek Harga adalah angka yang dapat dipakai untuk melihat perubahan mengenai harga-harga barang, baik harga barang sejenis maupun sekelompok barang dalam waktu dan tempat yang sama ataupun berlainan.2) Rumus Angka Indek Jumlah (Quantity)

.100

QoQt

IQ ∑∑=


Angka Indek Jumlah adalah angka yang dapat dipakai untuk melihat perubahan mengenai jumlah sejenis barang atau sekelompok barang yang dihasilkan, digunakan, di ekspor, di jual dan sebagainya dalam waktu yang sama atau waktu yang berlainan.3) Rumus Angka Indek Nilai (Value)

QtHt x Vt =

.100VoVt

Iv ∑∑=

Angka Indek Nilai adalah angka yang dapat dipakai untuk melihat perubahan nilai uang dari suatu barang yang di produksi, diekspor, diimpor, dikonsumsi dan sebagainya dalam waktu dan tempat yang sama atau berlainan.

b. Menggunakan Metode Relatif• Angka Indek Harga Relatif• Angka Indek Jumlah Relatif• Angka Indek Rata-rata = Harga Relatif1) Angka Indek Harga Relatif

.100

hohtIhr =

Angka Indek Harga Relatif terjadi apabila yang dibandingkan itu menyangkut soal harga, dan hanya satu macam barang saja. Misalnya Indek harga relatif beras, indek harga relatif gula, indek harga relatif tepung terigu dan lain-lainnya.2) Angka Indek Jumlah Relatif

.100

QoQtIQr =

Angka Indek Jumlah Relatif terjadi apabila yang dibandingkan itu menyangkut masalah jumlah, dan hanya satu macam barang saja. Misalnya Indek Jumlah Relatif, Indek Jumlah Relatif gula pasir, dan lain-lainnya.3) Angka Indek Rata-rata = Harga Relatif


.100

hoht

k1I hrx ∑∑=

Angka Indek Rata-rata ini merupakan rata-rata hitung dari angka indek relatif

Keterangan :ht = harga pada tahun tho = harga pada tahun dasarQt = jumlah pada tahun tQo = jumlah pada tahun dasarVt = nilai pada tahun tVo = nilai pada tahun dasar

k = jumlah data

2. Angka Indek DitimbangAngka indek ditimbang dibagi menjadi dua metode yaitu :a. Menggunakan Metode Agregatifb. Menggunakan Metode Relatif

a. Dengan Menggunakan Metode Agregatif1) Rumus Angka Indek Laspeyres

.100ho.doht.Qo

IL ∑∑=

2) Rumus Angka Indek Paasche

.100ho.Qtht.Qt

IP ∑∑=

3) Rumus Angka Indek Drobish & Bowley

2PL

DIII +

=


4) Rumus Angka Indek Irving Fisher’s

PLF III ⋅=

5) Rumus Angka Indek Marshall Edgeworth

( )( ) .100

hoQtQohtQtQo

Im +

+= ∑

b. Menggunakan Metode Relatif1) Apabila Tahun Dasar Dipakai Sebagai Penimbang

.100ho.Qo

.hoQohoht

I∑∑

=

2) Apabila Tahun t Dipakai Penimbang

.100ht.Qt

ht.Qthoht

I∑∑

=

Keterangan :1. Angka indek Laspeyres dan angka indek Paasche masing-masing mempunyai

kelemahan yaitu : hasil perhitungan Laspeyres cenderung over estimate (berlebihan keatas) dan hasil perhitungan Paasche cenderung under estimate (berlebihan kebawah). Ahli statistik yang bernama Drobish Bowley dan Irving Fisher membuat rumus baru yang menggabungkan kedua rumus/angka indek IL dan IP. Tujuannya adalah untuk mengatasi kelemahan-kelemahan dalam perhitungan Laspeyres dan Paasche.

2. Marshall Edgeworth membuat rumus angka indek yang berbeda, namun dalam perhitungan (hasil perhitungan) mendapatkan nilai yang tidak jauh berbeda dengan nilai yang diperoleh oleh Laspeyres, Paasche, Drobish maupun Inrving Fisher.

C. Teori dan AplikasiSebagaimana yang telah disebutkan pada sub bab sebelumnya bahwa

angka indek dalam perhitungannya dibagi menjadi dua golongan besar yaitu angka indek yang tidak ditimbang dan angka indek yang ditimbang. Masing-masing golongan ini dibagi lagi menjadi dua yaitu : dengan menggunakan metode agregatif dan metode relatif.


Metode Agregatif dan RelatifAda beberapa jenis pengukur angka indek dalam metode agregatif dan

relatif, antara lain : angka indek jumlah, angka indek harga, angka indek dengan menggunakan Laspeyres, Paasche, Drobish dan lain-lain. Di bawah ini disajikan contoh perhitungan dengan menggunakan semua metode-metode atau jenis-jenis perhitungan angka indek.

Contoh :

Tabel 35. Harga Eceran Rata-Rata 5 Bahan Pokok Beserta Jumlah yang Terjual di Pasar Tradisional Tahun 2003 – 2006 (Rp. 000,-/Kg)

No. Jenis Bahan Pokok

Harga Rp. 000,-/kg Jumlah Barang (kg)

Tahun 2003 Tahun 2004 Tahun 2005 Tahun 2006

1.2.3.4.5.

BerasTepung terigu

Gula pasirMinyak goreng

Ikan asin

2,53,93,65,025

2,74,03,95,325

60015045017510

64027055022512

Jumlah 40 40,9 1.385 1.697


Dari data tabel 32 mengenai harga eceran rata-rata 5 bahan pokok / sembako tersebut, maka hitunglah Angka Indek Tahun 2004 dengan menggunakan Tahun Dasar tahun 2003, untuk :

1. Angka indek yang tidak ditimbang :a. Dengan metode agregatif

• Angka indek Harga• Angka indek Jumlah• Angka indek Nilai

b. Dengan metode relatif untuk gula pasir dan minyak goreng• Metode harga relatif• Metode jumlah relatif• Metode rata-rata harga relatif untuk kelima bahan pokok tersebut

di atas

2. Angka indek yang ditimbang :a. Dengan metode agregatif

• Angka indek Laspeyres ( IL )


• Angka indek Paasche ( IP )• Angka indek Drobish Bowley ( ID )• Angka indek Ivving Fisher ( IF )• Angka indek Marshall Edgeworth ( IM )

b. Dengan metode relatif• Bila tahun dasar dipergunakan sebagai timbangan• Bila tahun t dipergunakan sebagai timbangan

Jawab :

1. Angka indek yang tidak ditimbang :

a. Dengan metode agregatif

• Angka indek Harga = 100hh

o

t ⋅∑∑

Angka Indek Harga = 40,9 .10040

= 102,25

• Angka indek Jumlah = 100QQ

o

t ⋅∑∑

= 10013851697

⋅

= 122,5• Angka indek Nilai

Untuk angka indek nilai, dikalikan dahulu antara hO dengan QO dan ht dengan Qt sehingga nilai diperoleh masing-masing :

Vo = ho . Qo dan Vt = ht . Qt



No. Jenis Bahan Pokok

Harga Rp. 000,-/Kg

Jumlah Barang (Kg) Vo

( ho . Qo)Vo

( ho . Qo)Tahun 2000

Tahun 2001

Tahun 2000

Tahun 2001

1.2.3.4.5.

BerasTepung terigu

Gula pasirMinyak goreng

Ikan asin

2,53,93,65,025

2,74,03,95,325

60015045017510

64027055022512

1.500585

1.620875250

1.7281.0802.145

1.192,5300

Jumlah 40 40,9 1.385 1.697 4.830 6.445,5

Angka indek Nilai = 100VV

o

t ⋅∑∑

= 100x4830

6445,5

= 133,4

b. Dengan metode relatif untuk gula pasir dan minyak goreng

• Metode harga relatif gula pasir = 100hh

o

t ⋅

= 1003,63,9

⋅

= 108,3

• Metode harga relatif m.goreng = 100hh

o

t ⋅

= 1005,05,3

⋅

= 106

• Metode jumlah relatif g.pasir = 100QQ

o

t ⋅


= 100450550

⋅

= 122,2

• Metode jumlah relatif m.goreng = 100QQ

o

t ⋅

= 100175225

⋅

= 128,6

• Metode rata-rata harga relatif = 100hh

k1

p

t ⋅∑

= 1 2,7 4,0 3,9 5,3 25 .1005 2,5 3,9 3,6 5,0 25 + + + +

= ( ) 1005,2551

⋅ = 105

2. Angka indek yang ditimbang :

a. Dengan metode agregatifUntuk memhitung angka indek dengan metode agregatif ditimbang,

sebelumnya data harga dan jumlah dikalikan terlebih dahulu, baik data pada tahun dasar maupun data pada tahun t. Tabel berikut ini (lihat data pada tabel 19) adalah perkalian antara harga dengan jumlah.


No. ht . Qo ho . Qo ht . Qt ho . Qt ht (Qo + Qt) ho (Qo + Qt) ( )ooo

t Qhhh

⋅ ( )tto

t Qhhh

⋅

1.2.3.4.5.

1.600600

1.755927,5250

1.500585

1.620875250

1.7281.0802.145

1.192,5300

1.6001.0531.9801.125300

3.3481.6803.9002.120550

3.1001.6383.6002.000550

1.620600

1.755927,5250

1.8661.107,72.323,71.264,1

300å 5.152,5 4.830 6.445,5 6.058 11.598 10.888 5.152,5 6.861,5


• IL = 100QhQh

oo

ot ⋅⋅

⋅

∑∑ IP = 100

QhQh

to

tt ⋅⋅

⋅

∑∑

= 100x4.830

5.152,5 = 100x

6.0586.445,5

= 106,67 = 106,4

• ID = 2

II PL + IF = PL II ⋅

= 2

106,4 x 106,67 = 106,4106,67 ⋅

= 106,54 = 11.349,3

= 106,53

• IM = ( )( ) 100

QQhQQh

too

tot ⋅+

+

∑∑

= 10010.88811.589

⋅

= 106,44

b. Dengan metode relatif• Bila tahun dasar dipakai sebagai timbangan

I = ( )

100Qh

Qhhh

oo

ooo

t

⋅⋅

⋅

∑

∑

= 1004.830

5.152,5⋅

= 106,68


• Bila tahun t dipakai sebagai timbangan

I = ( )

100Qh

Qhhh

tt

tto

t

⋅⋅

⋅

∑∑

= 1006.445,56.861,5

⋅

= 106,45

D. Angka Indek untuk Proses DeflasiUpah nominal yang tinggi tidak selalu mencerminkan tingkat hidup yang

lebih baik dari keadaan sebelumnya, apabila perkembangan tingkat harga barang-barang kebutuhan pokok sehari-hari meningkat pula.

Upah nyata atau upah riil lebih berarti dibandingkan dengan upah nominal. Upah nominal adalah upah yang diterima dalam bentuk uang, sedangkan upah nyata/upah riil adalah upah atau tenaga beli upah yang diterima. Apabila upah nyata/riil naik, ini menunjukkan tingkat hidup yang lebih baik. Penentuan upah nyata dilakukan dengan jalan mendeflasikan upah yang diterima oleh buruh/pegawai sebagai deflator, umumnya adalah “indek biaya hidup”.

Sampai saat ini BPS belum menerbitkan Indek Biaya Hidup, yang diterbitkan adalah Indek Harga Konsumen (IHK) tahunan dan bulanan, sehingga Indek Harga Konsumen sering digunakan sebagai penggati Indek Biaya Hidup. Dengan demikian untuk menghitung upah nyata (upah riil) dengan proses deflasi dapat dipakai rumus : Upah Nyata/ upah Riil.

Menghitung upah nyata/riil caranya adalah membagi upah nominal dengan indek biaya hidup dikalikan 100. Atau dengan menggunakan rumus :

100hidup biayaIndek

nominalUpah riil/upah Upah ⋅=


Contoh :

Tabel 38. Perhitungan Indek Upah Nyata Tahun 2002 - 2006

No. Tahun Upah Nominal (Rp 000)

Indek Harga Konsumen

UpahNyata/Riil

1.2.3.4.5.

20022003200420052006

2.0002.5003.0003.5004.000

100120125200225

2.0002.0832.4001.7501.777

Berdasarkan tabel di atas dapat disimpulkan bahwa upah nominal mengalami kenaikan tiap tahunnya, sedangkan upah nyata mengalami kemunduran, ini membuktikan bahwa upah nominal tidak dapat mengimbangi kenaikan biaya hidup.

Daya Beli Mata UangDaya beli sebuah mata uang adalah perbandingan antara nilai dari mata

uang dalam tahun tertentu dengan nilainya pada tahun dasar. Daya beli sebuah mata uang merupakan kebalikan dari IHK (Indek Harga Konsumen) maksudnya apabila IHK meningkat maka daya beli mata uang tersebut melemah/ menurun. Bila IHK meningkat 3kali maka daya beli mata uang melemah menjadi 1/3 kali.

Contoh :Apabila diketahui IHK pada tahun 2004 adalah sebesar 125. IHK pada

tahun 2006 adalah sebesar 225. Berapa daya beli Rupiah pada tahun 2006?Penyelesaian :

Daya Beli Rupaih Tahun 2006 = IHK th 2004IHK th 2006

= 125225

= 0,56Jadi daya beli rupiah = 0,56 : artinya uang sebesar satu rupiah yang

dibelanjakan pada tahun 2004 , hanya mendapatkan 0,56 dari yang diperoleh atas pembelanjaan satu rupiah tahun 2006 untuk barang yang sama.

E. RingkasanAngka indek merupakan salah satu ukuran statistik yang tertua yang

dipakai untuk menunjukkan perubahan Di dalam nilai sekumpulan variabel


yang berhubungan satu dengan lainnya. Angka indek ini biasanya digunakan untuk menunjukkan perubahan harga (indek harga), jumlah produksi (indek jumlah produksi), biaya hidup (indek biaya hidup).

Perhitungan angka indek dibagi menjadi dua golongan yaitu angka indek yang ditimbang dan angka indek yang tidak ditimbang. Perhitungan masing-masing golongan tersebut dibedakan lagi masing-masing menjadi dua bagian yaitu : angka indek gabungan (aggregatif ) dan angka indek relatif. Sebelum menghitung angka indek perlu ditentukan terlebih dahulu tahun dasar sebagai dasar dalam pembanding. Tahun dasar yang dipilih hendaknya dalam keadaan ekonomi stabil (norma) dan tahun dasar hendaknya yang data yang up to date.

F. Latihan Soal1. Tabel Di bawah ini adalah data mengenai harga beberapa jenis beras dan telur

yang dijual di sebuah Warung dekat pasar serta jumlah yang laku terjual. Data tersebut dicatat selama dua tahun yaitu tahun 2005 dan tahun 2006. Datanya adalah sebagai berikut :

No. Jenis BarangHarga (Rp000) Jumlah (000kg)

Th 2005 Th 2006 Th 2005 Th 2006123

Beras BMWBeras Cianjur

Beras Pandan Wangi

4,005,256,00

6,507,508,75

25,0020,0017,50

30,0029,5025,75

45

Telur AyamTelur Itik

8,0015,00

10,0018,50

2,00 1,75

3,002,50

Total 38,25 61,25 66,25 90,75

Apabila diketahui bahwa tahun 2005 adalah tahun dasar, maka hitunglah :

a. Angka Indek yang Tidak Ditimbang :1) Dengan Metode Agregatif ;

- Angka Indek Harga- Angka Indek Jumlah- Angka Indek Nilai

2) Dengan Metode Relatif untuk beras Cianjur ;- Metode Harga Relatif- Metode Jumlah Relatif- Metode Rata-rata Harga Relatif untuk ke-5 jenis barang di

atas


b. Angka Indek yang Ditimbang :1) Dengan Metode Agregatif ;

- Angka Indek Laspeyres (IL)- Angka Indek Paasche (IP)- Angka Indek Drobish Bowley (ID)- Angka Indek Irving Fisher (IF)- Angka Indek Marshall Edgeworth (IM)

2) Dengan Metode Relatif ;- Bila tahun dasar dipakai sebagai timbangan- Bila tahun t dipergunakan sebagai timbangan

2. Rata-rata harga (Rp / kg) enam jenis bahan pokok sebagai berikut :

No Jenis Bahan Pokok Tahun 2011 Tahun 2012

123456

BerasDaging sapiTelur ayam

Bawang merahGula pasir

Tepung terigu

7.34970.32118.42121.43610.5347.589

8.00085.32522.50050.00013.0007.500

Berdasarkan data di atas, dengan tahun dasar 2011 hitunglah :a. Indeks harga agregatif enam bahan pokok tersebut pada tahun 2012 b. Indeks harga relatif untuk tepung terigu dan beras pada tahun 2012

3. Rata-rata harga (Rp / kg) 4 jenis barang selama 3 tahun berturut-turut adalah sebagai berikut :

No Jenis Barang Tahun 2000 Tahun 2001 Tahun 2002

1234

Bawang putihKentang

Gula pasirTomat

30.15020.90010.00014.200

32.00021.00010.25014.500

35.50023.52511.50015.300

Berdasarkan data, tersebut :a. Hitunglah indeks harga agregatif pada tahun 2001 dan 2002 deng

tahun dasar 2000b. Hitunglah rata-rata harga relatif pada tahun 2002 dengan tahun

dadar 2001


4. Berikut ini adalah data harga (Rp/kg) lima jenis buah-buahan di pasaran pada tahun 2013 dan 2014 :

No Jenis Buah Tahun 2013 Tahun 2014

12345

Pir jambuApel merah

Papaya CaliforniaMelon kuning

Semangka merah

37.00035.0007.0009.5006.250

40.00040.0008.000

10.0007.000

Berdasarkan data di atas, dengan tahun dasar 2013 :a. Hitunglah indeks harga agregatif di tahun 2014 b. Hitunglah indeks harga relatif untuk kelima jenis buah tersebut

tahun 20145. Berikut ini adalah harga (Rp/kg) dan banyaknya bahan pokok yang

dikonsumsi masyarakat suatu desa pada tahun 2014 – 2015 :

No Bahan PokokHarga (Rp/kg) Jumlah Konsumsi (kg)

2014 2015 2014 2015

1234

BerasTelur ayamGula pasir

Bawang merah

9.50024.00013.00052.350

10.25024.50013.50060.000

50012070

230

625145100260

Berdasarkan data di atas, dengan tahun dasar 2014 :a. Hitunglah angka indeks jumlah pada tahun 2015b. Angka indeks nilai pada tahun 2015

6. Hitunglah indeks harga agregatif tertimbang keempat barang pada tahun 2015 dengan tahun dasar 2014 pada soal nomor 4.a. Dengan metode Laspeyresb. Dengan metode Paaschec. Dengan metode Irvin Fisherd. Dengan metode Drobishe. Dengan metode Marshar –Edgeworth

7. Pada soal nomor 3 jika pada tahun 2015 harga apel merah dan pepaya California mengalami kenaikan harga 20% dan yang lain mengalami kenaikan 30% dari harga pada tahun 2014, maka hitunglah rata-rata harga relatif pada tahun 2015 dengan tahun dasar 2014 !


8. Di bawah ini adalah gaji seorang karyawan selama 5 tahun berturut-turut di sebuah perusahaan :

No Tahun Upah Nominal Indeks Biaya Hidup

12345

20012002200320042005

2.800.0003.200.0003.600.0004.000.0004.400.000

145150180225240

Berdasarkan data di atas, hitunglah upah nyata karyawan tersebut untuk masing-masing tahun !9. Pada tahun 2013 gaji seorang karyawan Rp 4.000.000 dan indeks

biaya hidup pada saat itu 250. Pada tahun 2014 gajinya naik menjadi Rp. 4.800.000 dan indeks biaya hidup pada saat itu 280. Apakah kesejahteraan hidup karyawan tersebut meningkat? Berikan alasannya!

10. Pada tahun 2000 gaji seorang karyawan Rp 5.000.000 dan indeks biaya hidup pada saat itu 250. Pada tahun 2001 ternyata indeks biaya hidup meningkat 40% dari tahun sebelumnya. Berapakah gaji yang harus diperoleh karyawan tersebut di tahun 2001 agar ia mendapatkan upah nyata ditahun 2001 melebihi upah nyata di tahun 2000 ?

11. Seorang karyawan menerima gaji Rp 3.500.000/bulan ditahun 2005 dengan indeks biaya hidup pada saat itu 200. Jika upah nyata pada tahun 2006 sama dengan upah nyata pada tahun 2005, maka hitunglah gaji karyawan tersebut di tahun 2006 jika indeks biaya hidup 2006 meningkat 50% dari tahun sebelumnya !

121

BAB VII ANALISIS DATA RUNTUN WAKTU (DATA BERKALA/TIME SERIES)

A. PengantarData runtun waktu/ time series adalah data yang disusun berdasarkan

urutan waktu terjadinya, serta menggambarkan perkembangan suatu kejadian/ kegiatan.

Menurut Sudjana : Data deret waktu adalah sekumpulan hasil observasi yang diatur dan didapat menurut urutan kronologis, biasanya dalam interval waktu yang sama.

Data runtun waktu berguna untuk kepentingan peramalan, prediksi atau forecasting yaitu memperkirakan sesuatu di masa yang akan datang. Dengan demikian data di masa yang lampau sangat penting. Kualitas suatu peramalan sangat berkaitan erat dengan informasi yang dapat diserap dari data pada masa yang lalu. Apabila data di masa yang lalu sudah didapat maka data tersebut dapat dipakai untuk mengadakan peramalan di masa yang akan datang. Semakin banyak data yang beruntun maka semakin tepat peramalannya. Data yang disusun berdasarkan urutan waktunya, bisa data tahunan, bulanan,


triwulan atau mingguan.Data dimasa yang lalu dikumpulkan, dipelajari, dan di analisis,

dihubungkan dengan geraknya waktu. Karena adanya factor waktu maka dari hasil analisis ini kita mencoba mengatakan sesuatu yang akan terjadi dimasa yang akan datang. Dalam hal ini kita berhadapan dengan hal ketidak pastian sehingga akan terdapat faktor akurasi atau keseksamaan yang harus diperhitungkan. Akurasi suatu ramalan berbeda untuk tiap persoalan dan tergantung pada berbagai factor antara lain ; data itu sendiri, cara analisis data, cara membuat kesimpulan.

Dalam beberapa hal mungkin sudah merasa puas bila hasil ramalan membuktikan akurasi 80% atau 90%. Yang jelas tidak akan selalu didapat hasil ramalan dengan ketepatan 100%. Ini tidak berarti bahwa teori ramalan akan menjadi percuma, tapi sebaliknya telah terbukti bahwa ramalan telah banyak digunakan dan membantu dengan baik di dalam berbagai managemen sebagai dasar perencanaan, pengawasan dan pengambilan keputusan untuk masa yang akan dating. Oleh karenanya pada bab ini akan dibahas tentang sebuah cara yang dinamakan : Analisis Data Runtun Waktu.

Analisis Deret Waktu Adalah suatu metode kuantitatif yang mempelajari pola pergerakan

data masa yang lampau yang teratur, dan berdasarkan data lampau tersebut diharapkan dapat mengadakan peramalan dan perencanaan dimasa yang akan datang.

Analisis ini bisa menyimpang dari dat yang sudah lampau karena beberapa sebab antara lain : bencana alam, banjir, gempa, hama wereng (untuk tanaman), ulah manusia, factor-faktor ini memang sangat berpengaruh tapi dapat diabaikan, karena analisis Klasik biasanya hanya membahas pemecahan data deret waktu paling banyak 4 faktor yaitu : komponen variasi atau gerak yang masing-masing sering dianggap sebagai pengaruh yang dapat menjelaskan keseluruhan. Keempat komponen atau gerak itu adalah :

1. Gerak jangka panjang atau trend,2. Gerak Siklis,3. Gerak musiman,4. Gerak regular atau residu. Analisis yang akan diberikan disini merupakan Analisis Klasik, yaitu

yang bersifat deskriptif dan tidak membahasnya berdasarkan pada model probabilistik. Pembahasan yang menggunakan model probabilistik sering


diberikan dalam teori Ekonomitrika dan teori ini tidak dibahas pada bab ini.Contoh data Runtun Waktu 1. Di bawah ini disajikan data runtun waktu mengenai perkembangan

jumlah wisatawan yang datang ke NTB, yang disusun menurut tahun terjadinya.

Tabel 39. Perkembangan Jumlah Wisatawan yang Datang Ke NTB Kurun Waktu Th 1996 -2006

No. Tahun Jumlah Wisatawan (Ribuan Orang )

1.2.3.4.5.6.7.8.9.

10.11.

19961997199819992000200120022003200420052006

200225300350300200150175200210180

2. Di bawah ini disajikan tabel data mengenai jumlah keuntungan bersih pada usaha penjualan barang-barang kelontong. Keuntungan tersebut di catat selama 12 bulan dari bulan Januari sampai Desember 2006. Datanya adalah sebagai berikut :

Tabel 40. Jumlah Keuntungan Bersih Selama 10 Bulan

No. Bulan pada th 2006 Jumlah Laba (Rp000)

1.2.3.4.5.6.7.8.9.

10.11.12.

JanuariFebruari

MaretAprilMeiJuniJuli

AgustusSeptember

OktoberNovemberDesember

2.0002.3003.0003.1203.2903.7502.8002.7003.9004.0004.2004.500

Contoh di atas merupakan deret waktu yaitu data yang disusun


secara berurutan berdasarkan waktu kejadiannya. Dengan membaca data yang disajikan di atas dapat diketahui bahwa perkembangan jumlah keuntungan yang diperoleh dari penjualan kelontong selama 12 bulan terakhir pada toko X. Data pada tabel di atas disebut data runtun waktu, yaitu : data yang disusun berdasarkan urutan waktu terjadinya dan menggambarkan perkembangan suatu kejadian atau suatu kegiatan.

B. Komponen Data Runtun WaktuPada umumnya perubahan yang terjadi dalam data stastistik dalam

serangkaian waktu dipengaruhi oleh beberapa faktor. Menurut model Klasik, variabel runtun waktu dipengaruhi oleh empat factor gerakan atau perubahan yang disebut : komponen deret waktu. Keempat komponen itu adalah : (1) Trend, (2) variasi musim, (3) variasi siklis, dn (4) variasi tidak teratur.

Suatu nilai dari deret waktu dapat terdiri dari semua atau beberapa komponen saja. Model Klasik mengasumsikan bahwa nilai data deret waktu ( Y ) merupakan gabungan perkalian dari nilai-nilai komponennya. Sehingga bentuk modelnya akan menjadi sebagai berikut :

Y = T X S X C X I

Keterangan :

Y = nilai data runtun waktuT = trend sekulerS = variasi musimC = variasi siklisI = variasi tidak teratur

1. Trend SekulerTrend sekuler atau Seculer trend biasanya disebut “Trend” saja. Trend

melukiskan gerak data deret waktu selama jangka waktu yang panjang atau cukup lama. Gerak ini mencerminkan sifat kontinuitas atau keadaan serba terus dari wktu ke waktu. Gerakan ini naik turun di dalam waktu yang panjang. Menurut gerakan ini, trend dapat dibedakan menjadi 3 macam gerakan yaitu : (1) trend naik, (2) trend turun, (3) dan trend tetap. Di bawah ini disajikan gambar trend yang naik, turun dan tetap.


Trend Naik

Trend Turun

Trend Tetap

2. Variasi MusimVariasi musim atau gerak musim adalah gerak naik atau turun secara

periodik dalam jangka waktu biasanya satu tahun kalender atau kurang lebih satu tahun.

Faktor-faktor utama yang menyebabkan gerak ini adalah iklim dan kebiasaan. Misalnya : pada musim hujan biasanya akan lebih banyak terjual paying bial dibandingkan musim kemarau. Pada saat menjelang lebaran, barang-barang (baju, mukenah, sembako, makanan kering) lebih banyak terjual daripada hari-hari biasanya. Demikian pula halnya dengan awal tahun sekolah, lebih banyak terjual perlengkapan sekolah, alat tulis, daripada hari biasanya.

Dalam analisis, gerak musiman untuk bulan tertentu dinyatakan dengan angka indek, yaitu Indek Musiman, biasanya dengan mengambil rata-rata bulanan selama satu tahun kalender.


3. Variasi SiklusVariasi siklus adalah gerak naik atau turun secara periodik di dalam

jangka waktu panjang 5 tahun, 10 tahun atau 20 tahun, atau juga bisa lebih.

Kegiatan ekonomi seperti dalam kegiatan dunia perdagangan sering sekali menunjukkan gerakan naik turun yang memerulukan waktu yang lama. Variasi ini dapat dilukiskan dengan adanya 4 fase yaitu: untung, mundur, depresi dan pemulihan. Karenanya akan timbul gelombang yang berisikan titik-titk tertinggi atau puncak dan terendah atau lembah. Jarak antara titik- titik ini biasa disebut : Amplitudo.

4. Variasi Tidak TeraturVariasi tidak teratur adalah gerak yang tidak teratur dan sulit untuk

diramalkan, gerakan ini terjadi karena faktor kebetulan, misalnya timbul karena bencana alam, pengaruh perubahan politik, mogok kerja/ demonstrasi dan lain-lain, yang semua ini dapat mempengaruhi kegiatan ekonomi, sehingga menciptakan fluktuasi-fluktuasi yang kadang-kadang terasa sekali, tapi kadang-kadang tidak terasa.

Adanya pengaruh ini jelas sukar skali untuk melukiskan gerak irreguler dalam suatu model. Biasanya yang sering dilakukan adalah menghilangkan dulu pengaruh trend, gerak siklis, dan gerak musiman. Karena itulah maka pengaruh ini disebut juga Residu.

Dari uraian di atas dapat dilihat bahwa trend terjadi dalam waktu jangka panjang. Siklis terjadi dalam jangka waktu yang lebih pendek dan pola lengkap variasi musiman biasanya terjadi setiap 12 bulan. Variasi tidak teratur terjadi selama waktu yang berbeda-beda akan tetapi umumnya lebih singkat daripada kejadian siklis dan sering lebih singkat lagi daripada gerak musiman.

C. Trend LinierTrend linier atau garis trend adalah garis lurus ke atas, atau ke bawah atau

sejajar sumbu horizontal, dapat juga tidak garis lurus yang disebut dengan trend tan linier. Jadi menurut jenisnya trend dibagi menjadi 2 bagian :

1. Trend Linier2. Tren Non Linier


1. Trend LinierAdalah trend yang berbentuk garis lurus. Trend mempunyai persamaan

sebagai berikut :Rumus Trend Linier

Y = a + b XKeterangan :

Y = Variabel terikatX = Variabel bebasa = Intercept Yb = slope garis trend

Ada 4 cara yang digunakan untuk menghitung trend yaitu :a. Dengan Metode Bebasb. Dengan Metode Setengah Rata-ratac. Dengan Metode Rata-rata Bergerakd. Dengan Metode Kuadrat Terkecil.

a. Metode BebasMetode ini yang paling sederhana dibandingkan dengan metode

lainnya. Cara membuat garis trend adalah : data observasi dibuat grafiknya, kemudian ditarik garis lurus secara bebas melalui grafik tersebut metode ini menghasilkan trend yang bersifat “subjektif ”.

Contoh :

Y

X

Trend linier

Data observasi

b. Metode Setengah Rata-RataUntuk trend linier cara setengah rata-rata merupakan cara yang

paling mudah dalam menentukan persamaannya berdasarkan


perhitungan-perhitungan. Adapun cara menentukan Trend dengan metode setengah rata-rata ada tahapannya, yaitu :

• Data dibagi menjadi 2 kelompok, bila jumlah tahunannya ganjil, tahun yang di tengah boleh dihilangkan.

• Cari rata-rata dari tiap kelompok, dan letakkan pada tahun pertengahan tiap kelompok.

• Hubungkan kedua titik itu dengan garis lurus maka diperoleh “trend”.

• Cari selisih dari kedua rata-rata tersebut, bila selisihnya positif berarti ada kenaikan, dan jika selisihnya negatif berarti ada penurunan.

• Menentukan rata-rata kenaikan/penurunan setiap tahun dengan cara : selisih rata-rata dibagi selisih tahun.

Contoh :

Tabel 41. Data Mengenai Perkembangan Ekspor Batik Solo Tahun 1999-2005

No. Tahun Nilai Export ($) Rata-Rata Tiap Kelompok

1.2.3.

199920002001

200018002300

I

dyd ydxdx

2.0333

6.100=

4. 2002 3000

5.6.7.

200320042005

350030003800

II

dyd ydxdx

3.4333

10.300=

Data dibagi menjadi 2 kelompok, karena jumlah tahunnya ganjil maka data tahun 1998 dihilangkan. Setelah dihitung rata-rata tiap kelompok maka sekarang terdapat hanya dua titik rata-rata. Untuk membuat grafik dari metode setengah rata-rata kita tinggal menghubungkan dua buah titik tersebut. Maka akan tergambar grafik sebagai berikut :


Nila

i Exp

ort

3.433

2.033

Tahun 95 9997 200196 200098

trend

Selisih dari kedua rata-rata = 3.433 – 2.033 = 1.400, karena selisih tersebut bernilai positif maka ada kenaikan rata-rata tiap

tahun = 3504

1.400= .

c. Rata-Rata BergerakMetode rata-rata bergerak, nilai data (tahunan triwulan, bulanan,

mingguan) diganti dengan nilai rata-ratanya. Untuk dasar perhitungan trend bisa dipakai bergerak 3 tahun/triwulan, 5 tahunan/triwulan. Total dari 3 tahunan kemudian dirata-ratakan.

Contoh :Di bawah ini disajikan tabel data mengenai jumlah wisatawan yang

datang ke pulau Lombok dari tahun 1999 sampai tahun 2007. Dari data tersebut dibuat / dihitung trend nya dengan menggunakan metode rata-rata bergerak 5 tahunan. Perhitungannya adalah sebagai berikut :

Tabel 42. Data Perkembangan Jumlah Wisatawan Domestik yang Datang ke Pulau Lombok Th 1999-2006

No. Tahun JumlahWisatawan

Total dasar5 Tahun

Rata-rata bergerakDasar 5 tahun

1.2.3.4.5.6.7.8.9.

199920002001200220032004200520062007

2.5003.0002.0001.0002.2003.0002.0001.5001.000

--

10.70011.20010.20097009700

--

--

2.1402.2402.0401.9401.940

--


Dari perhitungan kolom 4 yaitu menjumlahkan 5 data dan di taruh diantara kelima data yaitu di urutan ke tiga. Kemudian untuk menghitung rata-rata bergerak 5 tahunan adalah dengan membagi lima data pada kolom 4 maka diperoleh Trend dengan metode rata-rata bergerak 5 tahunan.

d. Metode Kuadrat TerkecilCara yang lebih baik dan lebih umum untuk menentukan trend ini

adalah : dengan Cara Kuadrat Terkecil. Metode kuadrat terkecil yang paling banyak digunakan dibandingkan metode lainnya Trend yang sedang dicari ditentukan sedemikian sehingga jumlah dari kuadrat-kuadrat penyimpangan antara nilai sebenarnya dengan nilai ramalan mencapai nilai yang terkecil Trend linier mempunyai bentuk fungsi sebagai berikut :

Rumus Fungsi Linier Y’ = a + b X

Keterangan :Y’ = Nilai ramalan (nilai trend)X = Periode runtun waktua = Interceptb = Slope

Untuk mencari nilai a dan b dapat dipakai persamaan normal sebagai berikut :

∑ ∑ ∑∑ ∑

+=

+=2XbXaXY

XbnaY

Jika ΣX = 0, maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:

nY

a ∑=

∑∑= 2X

XYb

Contoh 1 :Di bawah ini disajikan data dalam tabel mengenai perkembangan

harga telur ayam potong di kota Sukabumi dari tahun 2000 sampai tahun 2006. Dari tabel tersebut hitunglah :

1) Garis trendnya 2) Ramalkan harga telur per kilogramnya tahun 2010.


Penyelesaian :

Tabel 43. Data Mengenai Perkembangan Harga Telur Ayam di Kota Sukabumi Tahun 2000 - 2006

No. Tahun (Y) Harga(Rp. 000/Kg) X X2 XY

1.2.3.4.5.6.7.

2000200120022003200420052006

24263030292830

- 3- 2- 10123

9410149

- 72- 52- 30

0295890

Jumlah 197 0 28 177

1) Tabel di atas terlihat bahwa ΣX = 0, sehingga bisa dipakai rumus a dan b, masing-masing nilainya :

28,1

7197

nY

a === ∑

6,3

28177

XXY

b 2 ===∑∑

Persamaan garis trend : Y’ = 28,1 + 6,3 X(Y = jumlah harga setiap tahun, X = satu tahun dengan skala asal

tahun 1998).2) Dari fungsi tersebut bisa diramalkan harga telur per kg-nya

untuk tahun-tahun yang akan datang. Misalkan menghitung harga telur pada tahun 2010.Y’ = 28,1 + 6,3 X ; Nilai X untuk tahun 2010 adalah sebesar 7 = 28,1 + 6,3 (7) = 28,1 + 44,1 = 72,2

Ini berarti bahwa tahun 2010 harga telur per kilogram adalah 72,2.


2. Trend Non LinierTrend non linier ada bermacam-macam antara lain :• Trend Parabola• Trend Kubik• Trend Exponensiala. Trend Parabola

Bentuk trend parabola adalah : Y = a + b X + C X2

Keterangan :Y = variabel terikatX = variabel bebasa, b, c = bilangan konstanDengan metode kuadrat terkecil maka persamaan Trend

tersebut dapat dicari dengan terlebih dahulu menghitung nilai a,b dan c dengan cara persamaan, yaitu tiga buah persamaan dengan tiga buah bilangan yang tidak diketahui, menyelesaikannya dengan cara simultan. Adapun persamaanya adalah sbb :

∑ Yi = n a + b ∑ Xi + c ∑ Xi ................. 1)∑ XiYi = a ∑ Xi + b ∑ X2

i + c ∑ X3i ................ 2)

∑ Xi2Yi = a ∑ X2

i + b ∑ X3i + c ∑X4

i ................. 3)Perhitungan akan lebih mudah jika disederhanakan sedemikian

rupa pada nilai Xi sehingga : ∑ Xi = 0 sehingga ∑ X3i = 0

Dengan demikian maka persamaan di atas bisa disederhanakan menjadi rumus sebagai berikut :

∑ Yi = n a + b ∑ Xi + c ∑ Xi

∑ XiYi = a ∑ Xi + b ∑ X2i + c ∑ X3

i

∑ Xi2Yi = a ∑ X2

i + b ∑ X3i + c ∑X4

i

∑ Yi = n a + c ∑ Xi

∑ XiYi = b ∑ X2i∑ Xi

2Yi = a ∑ X2i + c ∑X4i

Grafik pada persamaan parabola akan berbentuk parabola


Contoh soal 2: Dari hasil penelitian pada sebuah toko elektornik di kota

Jakarta, dipilih salah satu toko yang menjual elektronik Komputer. Toko tersebut bernama “Toko Elektronik” . Hasil penjual di data selama kurun waktu 7 tahun, periode 2000-2006, Data dalam tabel disajikan sebagai berikut :

Tabel 44. Hasil Penjualan Komputer Tahun 2000-2006

Tahun Penjualan

2000200120022003200420052006

4125123

6085

110

Sumber: data hipotesis

Berdasarkan data tersebut di atas,1) Dengan metode kuadrat terkecil, tentukanlah persamaan trend

parabolisnya2) Hitunglah nilai trend untuk masing-masing tahun3) Taksirlah hasil penjulan computer di toko Elektronik tersebut

pada tahun 2010Penyelesaian

1) Menentukan persamaan trend

Tabel 45. Perhitungan Trend Parabola dengan Metode Kuadrat Terkecil

Tahun Hasil penjualan (Yi) Xi XiYi Xi2 Xi

2Yi Xi4

2000200120022003200420052006

4125123

6085

110

-3-2-10

+1+2+3

-123-50-12

060

170330

9410149

369100120

60340990

8116101

1681

Total 336 0 375 28 1871 196

Dengan memasang rumus : mencari nilai a dan b, c maka didapat


fungsi parabola sebagai berikut :∑Yi = 336, n = 7, ∑XiYi = 375, ∑Xi

2 = 28,∑Xi

2Yi = 1871 dan ∑Xi4 = 196

Nilai a, b dan c berturut-turut dapat dihitung melalui rumus persamaan trend parabola yang sudah disederhanakan, sebagai berikut:

∑XiYi = b ∑Xi2375 = b . 28b = 13,39∑Yi = na + c ∑Xi

2

336 = 7a + c 28

∑ Xi2Yi = a ∑Xi

2 + c ∑ Xi4

1871 = 28 a + c 196

336 = 7a + c 28 /4X1871 = 28a + c 196-527 = 0-84 c

c = 52784

= 6,27

Dari (3) dan (4) didapat nilai a sebagai berikut:

336 = 7 a + 28 c336 = 7 a + 28 (6,27)336 = 7 a + 175,56a = 22,92

Jadi persamaan trendnyaY’ = a + b X + C XY’ = 22,92 + 13,39 X + 6,27 X2

(Titik asal tahun tahun 2003; satuan X=1 tahun, Y= hasil penjualan Komputer, dalam satuan/unit)


2) Menghitung nilai trend masing-masing tahunNilai trend tahun tahun 2000, 2001, 2002, 2003, 2004,2005,

dan 2006 dengan tahun dasar 2003, berturut-turut dapat dihitung sebagai berikut:

Persamaan trend Y’ = 22,92 + 13,39X + 6,27 X2

Nilai trend tahun 2000 Y’ = 22,92 + 13,19(-3) + 6,27(-3)2

= 39,18Nilai trend tahun 2001 Y’ = 22,92 + 13,39 (-2) + 6,27(-2)2

= 21,22 Nilai trend tahun 2002 Y’ = 22,92 + 13,39 (-1) + 6,27(-1)2

= 15,80Nilai trend tahun 2003 Y’ = 22,92 + 13,39 (0) + 6,27(0)2




= 119,523) Menghitung taksiran banyaknya hasil penjualan komputer dari

toko Elektronik pada tahun 2010Untuk tahun 2004 X = 7 maka,Y’ = 22,92 + 13,39 (7) + dan 6,27(7)2

= 423,88Jadi, hasil penjualan komoditi A Toko Makmur Perkasa tersebut

pada tahun 2004, ditaksir sebanyak 423,88 ton.


4) Gambar GrafikTrend Penjualan Komputer di Toko Elektronik Tahun 2000 - 2006

120

100

80

60

40

20

0 94 95 96 97 98 99 2000

b. Trend KubikBentuk persamaan tren kubik adalah sebagai berikut :

Y’ = a + b X + c X2 + d X3 atau Y’ = a + bX + c X3 Atau dengan lain kata : fungsi yang berpangkat tiga

c. Trend ExponensialBentuk persamaan untuk tren exponensial adalah sebagai berikut :

Y’ = a bxDalam hal ini x menjadi suatu exponen (pangkat). Kalau persamaan

ini dilog-kan maka diperoleh : log y’ = log a + x log b, yaitu persamaan linier dalam log. Persamaan ini disebut “Persamaan Linier Semi Log” atau “Tren Lurus Semi Log”.

D. RingkasanData runtun waktu biasanya dipakai untuk peramalan/prediksi dimasa yang

akan datang dengan berdasarkan data yang lalu. Semakin banyak data runtun waktu yang diperoleh maka peramalan akan mendekati tepat. Alat analisis yang biasa dipakai adalah trend linier berupa fungsi garis lurus, walaupun sebenarnya ada trend kuadrat, trend exponensial, trend kubik, namun pada statistik ekonomi yang sering dipakai adalah trend linier. Data runtun waktu


yang dipakai bisa data tahunan, data bulanan, data mingguan atau data harian. Dalam menganalisis data runtun waktu selain mempergunakan analisis trend dapat pula dipakai analisis variasi musim, variasi siklis, variasi tidak teratur.

E. Latihan Soal1. Di bawah ini disajikan data runtun waktu mengenai penggunaan listrik

di salah satu perguruan tinggi selama kurun waktu 12 bulan tahun 2006 dalam puluhan KWH (kilo watt jam). Datanya adalah sebagai berikut :

No. Bulan (tahun2006) Penggunaan (00 KWH)

1.2.3.4.5.6.7.8.9.

10.11.12.

JanuariFebruari


AgustusSeptember

OktoberNovemberDesember

6,012,221,843,461,796,8

101,799,4

146,7213,8307,4423,9

Dari data tersebut di atas gambarkanlah / hitunglah :a. Diagram titik untuk penggunaan tenaga listrik tsbb. Tentukan persamaan trend dengan memakai kuadrat terkecilc. Ramalkan pemakaian listrik pada bulan Mei dan Juli tahun 2007

2. Sebutkan dan jelaskan 4 komponen data runtun waktu !3. Jelaskan bagaimana memilih trend yang baik untuk suatu data ?4. Berikut ini data laba bersih sebuah swalayan dalam kurun waktu 11

tahun (2000 – 2010).

Tahun Laba Bersih (miliar rupiah)

200020012002200320042005

12011511090

10085


20062007200820092010

120125130135140

Gambarkan diagram trend linearnya dengan metobebas dan berikan interpretasi !

5. Data di bawah ini menunjukkan jumlah penjualan kerajinan tangan per bulan selama 11 bulan (Februari – Desember 2006) di sebuah industri rumahan di suatu desa.

Bulan Jumlah Penjualan (unit)

JanuariFebruari


Agustus September

Oktober November

150125130160195200230190240300280

Berdasarkan data di atas :a. Gambarkan diagram trend linearnya dengan metode setengah rata-

ratab. Apakah ada kenaikan penjualan setiap bulan? Jika ada, hitunglah

rata-rata kenaikan penjualan setiap bulannyaData di bawah ini digunakan untuk soal nomor 5 sampai dengan

nomor 8.Berikut ini data jumlah wisatawan domestik yang datang ke Kepulauan

Sangihe tahun 2004 – 2012.

Tahun Jumlah Wisatawan

20042005200620072008

15002000190014002500


2009201020112012

3000350027002000

6. Berdasarkan data tersebut :a. Susunlah persamaan trend linearnya menggunakan metode kuadrat

terkecilb. Tentukan nilai trend untuk masing-masing tahunc. Taksirlah jumlah wisatawan domestik yang berkunjung ke

Yogyakarta pada tahun 20167. Berdasarkan data tersebut :

a. Susunlah persamaan trend parabolanya menggunakan metode kuadrat terkecil

b. Hitunglah nilai trend untuk masing-masing tahunc. Taksirnya jumlah wisatawan domestik yang berkunjung ke

Yogyakarta pada tahun 20168. Berdasarkan data tersebut :

a. Susunlah persamaan trend eksponensialnya menggunakan metode kuadrat terkecil

b. Hitunglah nilai trend untuk masing-masing tahunc. Taksirnya jumlah wisatawan domestik yang berkunjung ke

Yogyakarta pada tahun 20169. Berdasarkan perhitungan di nomor 5 hingga nomor 7, manakah

trend yang paling cocok untuk digunakan pada data di atas ? Berikan alasannya.

10. Data di bawah ini menunjukkan jumlah omzet sebuah perusahaan swasta di suatu kota selama 6 bulan ( Januari – Juni 2016)

Bulan Omzet (miliar rupiah)

JanuariFebruari

MaretAprilMeiJuni

200150180230300250


Berdasarkan data di atas :a. Susunlah persamaan trend linearnya menggunakan metode

setengah rata-ratab. Tentukan nilai trend untuk masing-masing bulanc. Taksirlah omzet yang akan di dapatkan selama tahun 2016

11. Suatu data jumlah produksi barang dari tahun 2000 – 2004 memiliki persaman trend linear ' 200.000 350.000Y X= + yang dihitung mengunakan metode kuadrat terkecil. Hitunglah selisih jumlah produksi barang di tahun 2010 dan 2011 !

141

BAB VIII ANALISIS REGRESI DAN KORELASI

A. PengantarAnalisis regresi mempelajari hubungan yang ada di antara variabel-

variabel sehingga dari hubungan yang diperoleh didapat penaksiran variabel yang satu, apabila nilai variabel yang lainnya diketahui. Bagian ini dikenal dengan nama : “Analisis Regresi”.

Contoh :Ingin mencari hubungan yang ada antara pengunjung di suatu supermarket

dan yang belanja. Jika pada suatu hari ada 300 pengunjung, dari hubungan yang diperoleh dapat diperkirakan ada berapa yang akan belanja di toko itu.

Selain hubungan regresi dapat juga menentukan kuatnya jumlah pembeli ditentukan oleh adanya pengunjung.

Jadi tujuan utama adalah mengadakan peramalan meskipun sebenarnya lebih dikehendaki peramalan yang tepat. Peramalan berdasarkan pada statistik memberikan gambaran yang memadai. Berdasarkan pada data statistik, para usahawan dan ahli Ekonomi dapat merumuskan ramalannya


dengan memakai kemungkinan dalam prosentase yang tinggi.

B. Regresi LinierPara ahli berusaha sedapat mungkin menyatakan hubungan dua variabel

yaitu hubungan antara variabel yang diketahui dengan variabel yang diramalkan, dalam persamaan matematis.

Mis : ■ Hubungan jumlah konsumsi dengan harga suatu barang. ■ Hubungan jumlah penjualan suatu perusahaan dengan

lamanya perusahaan-perusahaan itu beroperasi. ■ Hubungan besarnya pesanan dan biaya rata-rata, dan

hubungan antara variabel ekonomi lainnya.Salah satu persamaan yang paling sederhana dan banyak dipergunakan

adalah persamaan garis lurus dalam bentuk :

Y’ = a + b X

Istilah persamaan linear menunjukkan bahwa :Apabila digambarkan semua pasangan nilai X dan Y yang memenuhi

persamaan Y’ = a + b X, maka akan terletak pada satu garis lurus.Gambar /Grafik Regresi

1. Regresi Linier PositifMempunyai hubungan antara X dan Y yang positifY

0 XGambar Regresi Linier Positif


2. Regresi Linier PositifMempunyai hubungan antara X dan Y yang negativeY

0 XGambar Regresi Linier Positif

3. Regresi Linier PositifTidak ada hubungan antara X dan YY

0 X]Gambar Regresi Linier Positif

Interpretasi Terhadap Nilai Koefisien RegresiTanda positif atau negatif dari koefisien regresi, bukanlah menyatakan

tanda aljabar, melainkan menyatakan arah hubungan atau lebih tegasnya menyatakan pengaruh variabel bebas X terhadap variabel terikat Y. Nilai b yang positif menyatakan bahwa variabel bebas X berpengaruh positif terhadap nilai variabel terikat Y. Sedangkan nila b yang negatif (b dengan tanda negatif) menyatakan bahwa variabel bebas X berpengaruh negatif terhadap nilai variabel terikat Y. Interpretasi terhadap koefisien regresi, b adalah sebagai berikut:

1. b = A (b bertanda positif), artinya bila nilai variabel bebas X naik/bertambah/meningkat 1 unit, maka nilai variabel Y akan naik/bertambah/meningkat sebesar A unit. Sebaliknya nilai variabel bebas X turun/berkurang 1 unit, maka nilai variabel Y akan turun/berkurang sebesar A unit.


2. b = - A (b bertanda negatif), artinya bila nilai variabel bebas X naik/bertambah/meningkat 1 unit, maka nilai variabel Y akan turun/berkurang sebesar A unit. Sebaliknya nilai variabel bebas X turun/berkurang 1 unit, maka nilai variabel Y naik/bertambah/meningkat sebesar A unit.

Penyelidikan untuk mengetahui hubungan antara kedua variabel, dimulai dengan satu usaha untuk menemukan bentuk terdekat daripada hubungan itu dengan jalan menyajikan data yang diketahui dalam sebuah grafik yang biasa disebut diagram pencar. Diagram ini melukiskan titik-titik pada bidang (Xi,Yi) yang tiap titik ditentukan oleh setiap pasang (Xi,Yi). Untuk data dalam tabel 46, diagram pencarnya dapat dilihat seperti dalam gambar 17.

Tabel 46. Banyak Pengunjung dan yang Belanja di Suatu Toko Selama Bulan Agustus 2007

Tanggal Pengunjung (Xi) Yang Belanja (Yi)

2/83/85/86/87/89/8

10/811/812/813/814/816/817/818/819/820/821/8

3438403143403033393332364042404132

3236382942332929363131333736383730

23/824/825/826/827/828/830/831/8

3430353637394033

3028352934353632


1/92/93/94/9

34363737

32343734

Dari data di atas (tabel 46) dapat dibuat diagram pencarnya sebagai berikut:

Diagram Pencar

Dengan menggunakan diagram ini kita dapat melihat apakah ada sesuatu hubungan yang berarti antara kedua variabel itu. Apakah ada gejala bahwa titik-titik tersebut pada atau sekitar garis lurus? Jika demikian halnya, cukup alasan bagi kita untuk menduga bahwa antara variabel-variabel itu ada hubungan linier. Dalam hal lainnya antara variabel-variabel itu diduga terdapat hubungan non linier.

C. Metode Kuadrat TerkecilMetode pembuatan garis lurus yang sekarang dipakai secara luas,

dikemukakan pada permulaan abad ke-19 oleh ahli matematika Perancis “Andrien Legendre” dan dikenal dengan nama : “Metode Kuadrat Terkecil”.

Jadi garis tersebut dibuat sedemikian rupa sehingga sejumlah kuadrat dari pada jarak (beda) vertikal dari titik-titik ke garis lurus adalah maksimum.

Untuk menggambarkan bagaimana metode kuadrat terkecil ini dipergunakan dalam membuat garis serangkaian data, misalnya ada sejumlah n pasang pengamat (X1, Y1), (X2, Y2), (X3,Y3), …, (Xn,Yn) yang menunjukkan tinggi dan berat badan sejumlah n orang, atau jumlah mobil dan jumlah penjualan bensin dari sejumlah n kota, diumpakan bahwa garis yang dimaksud mempunyai persamaan :


Y’ = a + b X

Simbol y’ dipergunakan untuk dapat membedakan antara nilai y hasil penganmatan dan nilai y’ sebagai hasil perhitungan persamaan garis. Untuk nilai xi tertentu (i = 1, 2, 3, …, n) dan mempunyai nilai yi yang sama jumlahnya, maka nilai hasil perhitungannya : Y’ = a + b X.

Jika persamaan garis tersebut diperoleh dengan metode kuadrat terkecil, nilai a dan b harus sedemikian rupa sehingga setelah memasukkan nilai Xi dan menghitung Y’ adalah sekecil mungkin.

Untuk menaksir nilai a dan b dalam garis regresi dipergunakan Metode Kuadrat Terkecil dengan rumus :

( )2i2i

iiii

XXn

YXYXnb

∑ ∑∑ ∑ ∑

−

−=

nXbY

a ii∑ ∑−=

Keterangan : n = Jumlah persamaan

∑ iX = Jumlah nilai X

∑ iY = Jumlah nilai YSelain dengan rumus a dan b di atas dapat pula dipakai rumus lain yaitu

: “Persamaan Normal” (dua persamaan dengan 2 bilangan tidak diketahui yaitu a dan b), maka nilai a dan b dapat dicari sebagai berikut :

∑ ∑+= ii XbanY

∑ ∑∑ += 2iiii XbXaYX

Contoh Soal:Sebuah sampel acak yang terdiri dari 6 pasangan data mengenai besarnya

pendapatan dan konsumsi bulanan dari 6 ibu rumah tangga yang berperan sekaligus sebagai karyawan pada suatu perusahaan (pendapatan = X dan


pengeluaran = Y; dalam jutaan rupiah). Datanya adalah sebagai berikut (data hipotesis) Berdasarkan data tersebut :

1. susunlah persamaan regresinya2. berikanlah interprestasi terhadap nilai regresinya3. taksirlah konsumsi seorang karyawan yangpendapatannya 23 juta

rupiah.

Penyelesaian1. menyusun persamaan regresi

Tabel 47. Pendapatan dan Pengeluaran Ibu Rumah Tangga Per Bulannya

Xi Yi XiYi Xi2 Yi

2 x i= xi - x yi = yi - y xiyi xi2

81216202426

79

12141315

56108192280312390

64144256400576676

4981

144196169225

-9,67-5,67-1,672,336,338,33

-4,67-2,670,332,331,333,33

45,1615,14-0,555,438,42

27,74

93,5132,152,795,43

40,0769,39

106 70 1338 2116 864 101,34 243,34

Dari data di atas dapat dihitung : ∑Xi = 106, ∑ Yi = 70, ∑ XiYi = 1338, ∑ Xi

2 = 2116, ∑ Yi

2 = 864, ∑ xiyi = 101,34, ∑ xi2 = 243,34, dan n = 6.

Maka rata-rata dapat dihitung :i

i

X 160X= = =17,67n 6Y 70Y= = =11,67

n 6

∑

∑

Dari data dan perhitungan di atas kita bisa menghitung nilai koefisien regresi a dan nilai koefisien regresi b dengan memakai rumus, diperoleh nilai a dan b sebagai berikut :

( )22

i i i i

i i

n X Y X Yb

n X X

−=

−

∑ ∑ ∑∑ ∑

( ) ( )( )( ) ( )2

6 1338 106 706 2116 106

b−

−=


608

1460b =

= 0,42

Atau:

i i2

i

X Yb=

X101,34b=243,34

∑∑

= 0,42Selanjutnya konstanta a dapat dihitung sebagai berikut:

a=Y-bX

=11,67 – 0,42 (17,67) = 11,67-7,42 = 4,25

Jadi persamaan regresinya : �Y = 4,25 + 0,42 X

2. interprestasi terhadap nilai koefisien regresi, b. dari persamaan regresi di atas ,dapat diketahui nilai b = 0,42. nilai b = 0,42, memiliki arti bahwa setiap kenaikan pendapatan sebesar satu juta rupiah, maka konsumsi akan meningkat sebesar 0,42 juta rupiah ( = Rp 420.000,00). Atau setiap penurunan pendapatan sebesar satu juta rupiah, maka konsumsi berkurang sebesar 0,42 juta rupiah ( = Rp 420.000,00)

3. menaksir besarnya konsumsi seorang karyawan yang memiliki pendapatan 23 juta rupiah. Dari persamaan regresi yang diperoleh pada (a) yaitu, Y = 4,25 + 0,42 X, akan dapat ditaksir nilai Y untuk X = 23, sebagai berikut:�Y = 4,25 + 0,42 X Untuk X = 23 maka :

Y = 4,25 + 0,42 (23) = 13,91Jadi konsumsi seorang ibu rumah tangga yang sekaligus karyawan

yang pendapatannya sebesar 23 juta rupiah di taksir konsumsinya sebesar 13,91 juta rupiah (= Rp 13.910.000,00)


D. Pengertian KorelasiSelain garis regresi yang harus dihitung, juga kekuatan antara variabel-

variabel itu berhubungan ukuran yang dipakai untuk menentukan derajat atau kekuatan korelasi antar variabel-variabel dinamakan koefisien korelasi dengan notasi r. Nilai r berkisar antara -1 sampai +1 (-1 ≤ r ≤ 1).

Arah Korelasi

1. Tanda r positif (0 ≤ r ≤ 1)Menyatakan bahwa antara variabel-variabel itu terdapat korelasi

positif atau korelasi langsung yang artinya nilai variabel x yang kecil berpasangan dengan nilai variabel y yang kecil, dan nilai variabel x yang besar berpasangan dengan nilai variabel y yang besar. Korelasi positif menyebabkan letak titik-titik sekitar garis lurus yang koefisien arahnya positif. Makin dekat letak titik-titik itu pada garis lurus, makin kuat korelasi positif itu dan nilainya pun makin dekat pada satu. Jika titik-titik itu terletak pada garis lurus yang arahnya positif akan diperoleh nilai r = 1.

2. Tanda r negatif (-1 ≤ r ≤ 0)Jika nilai variabel x yang besar berpasangan dengan nilai variabel y yang

kecil, dan jika nilai variabel x yang kecil berpasangan dengan nilai variabel y yang besar, akan diperoleh korelasi negatif atau korelasi invers, di mana letak titik-titik berada pada garis lurus (sekitar garis lurus) yang arahnya negatif. Makin dekat letak titik-titik itu pada garis lurus, makin dekap pula nilai r pada -1, dan jika titik-titik itu berada pada garis lurus maka nilai r = -1.

Dalam praktik jarang sekali terletak titik-titik itu pada garis lurus, jadi jarang ditemukan nilai r = 1 dan r = -1.

E. Koefisien KorelasiKoefisien korelasi dapat dihitung dengan beberapa cara yaitu :1. Least Squares2. Pearson Product Moment3. Rank Correlation

1. Metode Least SquaresUntuk menghitung koefisien korelasi (r) dengan metode Least Squares

dipergunakan rumus :


( )( )∑

∑−

−−= 2

i

2i

yy

y'y1r

2. Metode Pearson Product MomentCara lain untuk mencari koefisien korelasi yaitu dengan metode

Pearson Product Moment, rumus ini ditemukan oleh Karl Pearson, sehingga dinamakan : Pearson Product Moment, rumusnya sebagai berikut :

( )( )( ) ( )

i i i i

2 22 2i i i i

n X Y - X Yr =

n X - X n Y - Y

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑�

Perlu ditekankan di sini bahwa koefisien korelasi (r) adalah ukuran untuk menentukan kuatnya korelasi linear dan bukan menentukan ada tidaknya korelasi antara variabel-variabel.

Apabila koefisien korelasi (r) mendekati +1 atau -1 berarti terdapat hubungan yang kuat, sebaliknya apabila mendekati 0 berarti terdapat hubungan yang lemah atau tidak ada hubungan bila korelasi = 0.

Contoh soal:Bagian pemasaran sebuah perusahaan menyatakan bahwa tidak ada

hubungan antara produktivitas dengan umur perusahaan. Untuk menguji pernyataan tersebut, telah dipilih sampel acak 8 perusahaan, dan dari penelitian yang dilakukan memberikasn hasil sebagai berikut:

Umur Perusahaan (X) 2 3 4 5 4 7 6 8 Produktivitas (Y) 50 80 75 70 85 100 90 120

Berdasarkan data tersebut hitunglah : korelasinyaPenyelesaian;

Tabel 48. 8 Perusahaan yang Didata Mengenai Umur Perusahaan dan Produktivitas

Xi Yi Xi2 Yi

2 XiYi

2345

50807570

49

1625

2500640056254900

100240300350


4 768

85 10090

120

16 493664

7225 100008100

14400

340 700540960

∑ Xi = 39 ∑ Yi = 670 ∑ Xi2 = 219 ∑ Yi

2 = 59150 ∑ XiY = 3530

Dengan menggunakan rumus korelasi r maka diperoleh hasil sebagai berikut :

( )( )( ) ( )

[ ]

2 22 2

2 2

.

8(3530) (39)(670)8(219) (39) 8(59150) (670)

28240 26130(1752 1521)(473200 448900)

2110(231)(24300)

211056133000,00037589

n XiYi Xi Yir

n Xi Xi n Yi Yi

−=

− − −

= − −

−=

− −

=

=

=

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

3. Metode Rank (Pangkat) CorrelationRank Correlation dipergunakan untuk data diskrit dan disusun

menurut rangking tertentu. Berdasarkan rank inilah menentukan hubungan antara kedua variabel. Ukuran yang diperoleh dinamakan “Koefisien Korelasi Rank” dan diberi notasi r’. Koefisien korelasi rank disebut juga “Koefisien Korelasi Spearman”

Tahap-tahap yang perlu ditempuh :a. Memberi rank untuk x dan y berturut-turut dari yang terbesar

sampai yang terkecil atau sebaliknya.b. Menghitung perbedaan (d) antara rank x dengan rank y dan mencari

jumlah d2.c. Menghitung koefisien korelasi rank dengan rumus :

( )1nnd6

1r 2

2

−−= ∑


Contoh soal:Di bawah ini adalah data mengenai skor nilai 10 Bank nasional terbaik,

yang telah dinilai oleh sebuah badan independent, dengan laba bersih per tahun (satuan dalam miliar rupiah) sebagai berikut;

Nama A B C D E F G H I J Nilai 80 92 85 95 96 84 84 90 86 90Laba bersih 50 34 42 60 36 31 60 30 24 45(Miliar rupiah)

Berdasarkan data tersebut, hitunglah : Korelasi Rank / PeringkatPenyelesaian:Pemberian ranking, dimulai dari variabel dengan nilai terbesar. Variabel

dengan nilai terbesar diberi ranking 1 dan seterusnya. Pada variabel laba bersih ada data bernilai kembar/sama yaitu data dengan nomor urut 4 dan 7 dari kiri. Maka rankingnya haruslah sama, cara menghitungnya adalah jumlah skor ranking dibagi 2, yaitu (1+2)/2 =1,5. Jika ada tiga data bernilai sama, maka rankingnya sama dengan jumlah ranking di bagi tiga.

Nama Sekor Rank Laba Rank Selisih RankNilai (X) X (Y) Y di di

A 80 9 50 3 6 36B 92 4 34 7 -3 9C 85 7 42 5 2 4D 95 2 60 1,5 0,5 0,25E 96 1 36 6 -5 25F 84 8 31 8 0 0G 94 3 60 1,5 1,5 2,25H 90 5 30 9 -4 16I 86 6 24 10 -4 16J 80 10 25 4 6 36

Dari perhitungan diperoleh , ∑ di2 = 144,5 dan diketahui n = 10, maka

r = 1 - ( )2

2

61 id

n n∑−

= 1 - ( )( )2

6 144,510 10 1−

= 1 - 867990


= 1- 0,88 = 0,12

Jadi korelasi peringkatnya adalah 0,12

F. Koefisien DeterminasiKoefisien determinasi adalah salah satu alat untuk mengukur ketepatan

garis regresi terhadap sebaran datanya. Dengan kata lain koefisien determinasi menunjukkan variasi variabel terikat yang dapat diloloskan oleh variasi variabel bebas x.

Koefisien determinasi merupakan kuadrat dari koefisien korelasi, oleh karenanya koefisien determinasi tidak pernah bernilai negatif. Nilai koefisien determinasi berkisar antara 0 sampai 1 (0 ≤ r2 ≤ 1). Adapun rumus koefisien determinasi adalah sebagai berikut :

( ) ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]∑ ∑∑ ∑

∑ ∑∑−−

−= 2

i2i

2i

2i

2iiii2

YYnXXn

YXYXnr

Apabila semua titik-titik berada pada garis lurus regresi, maka r2 = 1 yang artinya 100% variasi variabel terikat dapat dijelaskan oleh variabel bebas. Dalam praktik jarang ditemui r2 bernilai 1 atau 0.

Contoh soal:Diketahui : a = -1,43, b = 1,75, ∑ Yi

2 = 2346,∑XiYi = 1449, ∑Yi = 138, Y = 13,8. Hitunglah : Koefisien DeterminasinyaPenyelesaian:

22

2 2

( )

( )

a Yi b XiYi n Yr

Yi n Y

+ −=

−∑ ∑

∑

= ( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

1, 43 138 1,75 1449 10 13,82346 10 13,8

− + −

−

= 197,34 2535,75 1904,42346 1904,4

− + −−

= 434,01441,60

Jadi koefisien determinasinya = 0,98Nilai r2 = 0,98, memiliki arti bahwa 98% variasi (naik-turunnya) tingkat


produksi dipengaruhi oleh upah tenaga kerja dan sisanya lagi 2% disebabkan oleh factor lain

G. KesimpulanAnalisis regresi mempelajari hubungan antara dua variabel atau lebih.

Satu variabel terikat dan satu atau lebih variabel bebas. Kegunaan analisis ini adalah untuk menaksir satu variabel apabila nilai variabel lain diketahui. Analisis regresi dan analisis runtun waktu mempunyai persamaan yaitu untuk peramalan atau prediksi. Bedanya analisis runtun waktu adalah menaksir dengan menggunakan data yang waktunya beruntun sedangkan analisis regresi menggunakan data cross section (data pada saat penelitian atau pengamatan dilakukan). Metode yang dipakai dalam analisis regresi adalah metode garis lurus yang dikenal dengan nama metode kuadrat terkecil.

Disamping analisis regresi juga dipelajari analisis korelasi. Analisis korelasi menunjukkan kuatnya hubungan antara variabel terikat dan variabel bebas. Nilai koefisien korelasi berkisar antara negatif 1 sampai positif 1 (–1 s/d 1). Arah korelasi ada yang positif dan ada yang negatif. Positif mendekati 1 artinya mempunyai hubungan yang sangat kuat antara variabel bebas dengan variavel terikat, demikian pula sebaliknya apabila koefisien korelasi mendekati negatif 1 mempunyai hubungan yang sangat kuat namun arahnya negatif. Apabila koefisien korelasi bernilai nol ini berarti hubungan antara variabel bebas dengan variabel terikat sangat lemah.

H. Latihan Soal1. Apakah yang dimaksud dengan :

a. korelasib. regresic. koefisien korelasid. koefisien determinasie. transformasi Fisher

f. korelasi parsil g. korelasi positifh. korelasi negativei. korelasi rankj. korelasi multiple

2. Berikanlah contoh masing-masing sebuah, dari penyelidikan di mana diperkirakan akan dapat korelasi:a. positifb. negatif


3. Sebuah sampel acak yang terdiri dari 7 (tujuh) pasangan data mengenai besarnya biaya iklan yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan dalam 7 tahun terakhir dan besar volume penjualannya adalah sebagai berikut (data hipotesis):

Biaya Iklan (jutaan rupiah) Volume Penjualan (ton)

235678

10

5468

109

11

Pertanyaan;a. dengan metode kuadrat terkecil, tentukanlah persamaan garis

regresinyab. berikanlah interpretasi nilai b dari persamaan regresi yang diperolehc. hitunglah koefisien korelasi dan koefisien determinasinya. Dan

beikanlah interpretasi terhadap nilai koefiesien determinasi tersebutd. coba saudara taksir volume penjualan perusahaan tersebut bila

biaya iklan yang dikeluarkan sebesar 7,5 juta rupiahe. Hitunglah kesalahan baku dari dugaan, dan berikan interpretasi

4. Dalam sebuah perumahan diambil sampel 10 orang secara acak untuk didata mengenai jumlah pendapatan dan pengeluaran rata-rata per bulan (juta rupiah).

Pendapatan (X) 5 7 8 12 8 13 15 17 20 22

Pengeluaran (Y) 4 5 5 8 6 9 8 10 14 15

Berdasarkan data di atas :a. Susunlah persamaan regresi dengan metode kuadrat terkecilb. Berikan interpretasi terhadap nilai koefisien regresinyac. Jika ada seseorang yang pendapatannya Rp 25.000.000, maka

taksirlah besar pengeluarannya5. Data berikut ini adalah data konsumsi beras setiap keluarga di suatu

desa per bulan dengan jumlah anggota keluarga berbeda-beda yang diambil dari 6 sampel keluarga.


Jumlah Anggota Keluarga Beras yang dikonsumsi/ Bulan (kg)

345

151720

78

10

253560

Berdasarkan data tersebut :a. Susunlah persaman regresinya menggunkan metode kuadrat

terkecilb. Berikan interpretasi terhadap nilai koefisien regresinyac. Jika ada keluarga yang memiliki 17 orang anggota keluarta,

tentukan banyaknya beras yang dikonsumsi/bulan6. Data di bawah ini adalah data biaya (juta rupiah) iklan yang dikeluarkan

sebuah perusahaan terhadap hasil penjualannya.

Biaya iklan 1 2 3 4 5 6 7

Hasil penjualan 6 8 10 9 13 15 18

Berdasarkan data di atas:a. Hitunglah koefisien korelasinya dengan metode Pearson (Product

Moment)b. Berikan interpretasi terhadap hasilnya

7. Berikut ini data pengalaman kerja 12 orang karyawan home industry kerajinan tangan yang diambil secara acak dengan banyaknya produk yang dapat dibuat per hari.

Pengalaman kerja (bulan)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Jumlah produk/hari

5 8 7 9 12 17 16 15 18 25 23 20

Berdasarkan data tersebut hitunglah koefisian korelasi peringkatnya !8. Untuk soal nomor 4, hitunglah koefisien determinasinya dan berikan

interpretasi !


9. Untuk soal nomor 6, hitunglah koefisien determinasinya dan berikan interpretasi !

10. Berikut ini data tarif “Ojek Online” berdasarkan jarak yang ditempuh.

Jarak Tempuh (km) Biaya (Ribu Rupiah)

1356

10

513242945

Berdasarkan data tersebut :a. Susunlah persamaan regresinya menggunkan metode kuadrat

terkecilb. Berikan interpretasi terhadap nilai koefisien regresinyac. Tentukan tarif untuk perjalanan sejauh 25 kmd. Hitunglah koefisien determinasi dan berikan interpretasi

11. Untuk soal nomor 10 , hitunglah koefisien korelasinya menggunaka metode Pearson (Product Moment) dan berikan interpretasi terhadap hasilnya !

12. Untuk soal nomor 5, hitunglah koefisien determinasinya dan berikan interpretasi !

13. Berikut ini adalah data lamanya 10 orang mahasiswa belajar statistika (jam/minggu)dan nilai yang diperoleh saat ujian. Data tersebut diambil secara acak dari sejumlah mahasiswa dalam satu kelas.

Mahasiswa Durasi Belajar (jam/minggu) Nilai ujian

123456789

10

52618743

109

80628165959078709790

Hitunglah koefisien korelasi peringkatnya !

159

BAB IX TEORI PROBABILITAS (TEORI PELUANG / KEMUNGKINAN)

A. PengantarBeberapa istilah yang dipakai untuk menyebut probabilitas dalam bahasa

Indonesia, antara lain : kemungkinan, kebolehjadian, kebarangkalian. Untuk mengukur derajad ketidakpastian dari suatu kejadian yang acak ini dipakai konsep probabilitas = peluang = kemungkinan.

Dalam metode statistik istilah probabilitas / kemungkinan / peluang dimaksud sebagai frekuensi relatif atau tepatnya sebagai limit daripada frekuensi relatif, apabila kita mengatakan “kemungkinan bahwa pengiriman barang-barang tiba tepat pada waktu adalah 0,20” ini berarti bahwa dalam jangka panjang 20% dari pengiriman barang-barang tiba tepat pada waktunya, dan frekuensi relatif yang terjadi untuk jangka panjang disebut : kemungkinan (peluang, probabilitas).

Teori Peluang-matematika ketidakpastian-merupakan landasan dari


stastistik inferensia. Oleh karena itu, agar dapat memahami dengan baik statistic inferensia, pengetahuan tentang teori peluang sebaiknya dikuasai dengan baik. Pemahaman tentang teori peluang terutama peluang suatu kejadian majemuk, akan menjadi sempurna bila didukung dengan pengetahuan tentang teori himpunan yang memadai.

Pengertian PeluangDalam kehidupan sehari-hari setiap orang selalu berhadapan dnegan

maslah-maslah ketidak pastian. Sering kita tidak tahu dengan pasti mengenai suatu kejadian di masa yang akan dating. Bila sebuah uang logam dilantunkan sekali misalnya, kita tidak tahu dengan pasti sisi mana yang akan berada di atas, sisi Gambar (G) atau sisi Angka (A). Demikian juga bila dadu dilantunkan sekali kita tidak tahu dengan pasti sisi mana yang akan muncul di atas, sisi mata satu, sisi mata dua atau salah satu sisi mata lainnya. Seorang pengusaha akan dihadapkan pada masalah berhasil tidaknya usaha yang dilakukan. Seorang petani dihadapkan pada masalah berhasil atau tidaknya panen yang akan datang. Serorang tentara dihadapkan pada masalah hidup atau mati dalam medan perang.

Untuk menngukur derajat ketidak pastiaan dari suatu kejadian acak ini, dipakai suatu konsep peluang. Jadi peluang suatu kejadian adalah suatu ukuran tentang kemungkinan terjadinya suatu kejadian di masa yang akan datang.

B. Aturan Probabilitas/ Peluang1. Apabila kemungkinan terjadinya kejadian di tulis P(A) adalah jumlah

terjadinya peristiwa tersebut dibagi dengan seluruh kemungkinan terjadi peristiwa A tersebut.

Jadi : NnP(A) =

Keterangan :n = terjadinya peristiwaN = seluruh kemungkinan

1

Nn0 ≤≤

2. Aturan kedua mengatakan bahwa apabila kemungkinan terjadinya A


adalah P(A), maka kemungkinan bahwa A itu tidak terjadi adalah :

P(A) = 1 – P (A)

3. Dua kejadian dikatakan saling asing apabila terjadinya satu kejadian tidak memungkinkan terjadinya kejadian lainnya.

Apabila dua kejadian A dan B saling asing, maka kemungkinan bahwa A atau B terjadi mengikuti aturan sebagai berikut :

P(A atau B) = P(A) + P(B)

Rumus ini menyatakan bahwa apabila A dan B adalah kejadian saling asing, maka kemungkinan terjadinya A atau B adalah jumlah dari kemungkinan A dan kemungkinan B.

4. Apabila dua kejadian A dan B bebas, kemungkinan bahwa kejadian A dan B terjadi bersama-sama diberikan dengan rumus :

P(A dan B) = P(A) . P(B)

Rumus ini menyatakan bahwa apabila A dan B dua kejadian terjadi sekaligus sama dengan hasil kali dari kemungkinan masing-masing.

5. Kejadian bersyarat/terikat adalah kejadian timbulnya kejadian yang satu dijadikan syarat timbulnya kejadian yang lain.

Diberi rumus sebagai berikut :

P(A dan B) = P(A) . P(B/A)

P(B/A) = Peristiwa B terjadi asalkan A sudah terjadi6. Dua peristiwa dikatakan tidak saling apabila timbulnya kejadian yang

satu tidak melarang kejadian yang lain. Dengan kata lain : dua kejadian A dan B terjadi tidak saling asing di mana kejadian ini dapat terjadi sendiri-sendiri maupun terjadi bersama-sama, dirulis dengan rumus sebagai berikut :

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A) P(B)


Dalam rumus ini kita mengurangi P(A dan B) yaitu bagian-bagian daripada keadaan yang dihitung dua kali pada P(A) + P(B).

C. Teori PeluangMenurut pendekatan klasik, bahwa peluang terjadinya suatu kejadian (P)

adalah perbandingan dari kejadian yang menguntungkan terhadap seluruh kejadian yang menguntungkan terhadap seluruh kejadian yang mungkin, apabila setiap kejadian mempunyai kesempatan yang sama untuk terjadi. Yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

P = Banyak kejadian yang menguntungkan

Banyak seluruh kejadian yang mungkinContoh:Bila sebuah koin dilantunkan sekali, maka salah satu dari dua kejadian,

dapat terjadi, kejadian pertama, muncul sisi gambar, kejadian kedua, muncul sisi bukan gambar atau angka. Selanjutnya bila A=kejafian yang menguntung yaitu kejadian munculnya sisi angka. Ini berarti, banyaknya kejadian yang mungkin terkjadi = 2 kejaidna dnan banyaknya kejadian yang nmenguntungkan = 1 kejadian.

Sehingga peluang terjadinya kejadian A adalah:

P(A) = Banyak kejadian yang menguntungkan

Banyak seluruh kejadian yang mungkin

= 1

2

Bila suatu dadu dilantunkan sekali, maka salah satu dari 6 kejadian di bawah ini dapat terjadi.

1 Sisi mata 1 di atas 4 Sisi mata 4 di atas 2 Sisi mata 2 di atas 5 Sisi mata 5 di atas3 Sisi mata 3 di atas 6 Sisi mata 6 di atasBila, A = kejadian yang menguntungkan yaitu kejadian sisi mata 2 di atas,

maka peluang sisi mata 2 di atas adalah:




= 1

6

Bila B = kejadian yang menguntungkan yaitu kejadian sisi dengan nilai genap di atas, maka peluang sisi mata genap di atas adalah:



= 3

6

= 1

2

Peluang Suatu KejadianKejadian yang dihasilkan oleh suatu percobaan ada dua, yaitu kejadian

sederhana dan kejadian majemuk. Dalam praktiknya, untuk menghitung atau menaksir peluang suatu kejadian, umumnya dipakai peluang berdasarkan pendekatan frekuensi relatif yang menyatakan sebagai berikut:

Bila suatu percobaan dapat menghasilkan n hasil yang berbeda dan berkesempatan sama, dan bila m dari hasil tersebut membentuk kejadian A, maka peluang kejadian A adalah

P(A) = m

n

P (A) = kejadian a, m = banyaknya kejadian A

n = banyaknya pecobaan yang mungkinPersamaan dengan notasi himpunan dapat dinyatakan dengan:

P(A) = n(A)

n(S)

n (A) = banyak anggota kejadian An (S) = banyaknya anggota ruang sampleP (A) = peluang kejadian AKaitan antara peluang kejadian A dengan kejadian bukan A, ditunjukkan

oleh komplemen berikut:P (A) + P (A) = 1P (A) = Peluang kejadian A


P (A) = peluang kejadian bukan ANilai atau harga peluang kejadian A tersebut berkisar dari nol hingga dengan

satu, yaitu : 0≤P(A)≤1.

P(A) = 1, artinya kejadian A tersebut pasti akan terjadiP (A) = 0, artinya kejadian tersebut tidak mungkin atau mustahil

terjadi.Misalnya:A = kejadian setiap orang akan mati, maka P(A) = 1A = kejadian darah tetap megalir dalam tubuh orang mati, maka P(A) =0A = kejadian matahari terbit di timur, maka P(A) = 1A = kejadian setiap orang tidak akan mati, maka P(A) = 0A = kejadian bahwa benda akan jatuh ke bawah, maka P(A)=1A = kejadian bahwa prajurit akan mati di medan perang, maka 0≤P(A)≤1.A = kejadian bahwa tahun depan akan mengalami panen, maka 0≤P(A)≤1.A = kejadian bahwa petinju akan K.O dir one keempat, maka 0≤P(A)≤1.A = kejadian bahwa besok turun hujan, maka 0≤P(A)≤1.A = kejadian bahwa besok akan hujan, maka 0≤P(A)≤1.A = kejadian bahwa besok semua dagangan saya laku, maka 0≤P(A)≤1.A = kejadian bahwa lagi dua hari pesanan akan datang, maka 0≤P(A)≤1.

Banyak contoh kejadian lainnyaPeluang kejadian sederhanaContoh: Bila sebuah koin dilantunkan sekali. Hitunglah peluang muncul

sisi angka.Penyelesaian:Misalkan, B = kejadian munculnya sisi angka. Bila sebuah koin dilantunkan

sekali maka salah satu dari dua kejadian dapat terjadi yaitu muncul sisi Gambar (G) atau muncul sisi Angka (A).

Maka, Ruang sample, S ={G,A} Banyaknya anggota ruang sampel, n(S)=2 Kejadian B adalah B= {G} Banyaknya anggota kejaidan B, n(B)=1 Jadi peluang munculnya sisi angka di atas adalah;


P(B) = n(B)

n(S)

P(B) = 1

2

Dalam sebuah box bersi lampu seabnayak 200 buah, ada 10 bola lamu yang telah mati. Bila sebuah bola lampu diambil secara acak, hitung peluang terambilnya bola lampu mati.

Penyelesaian: Misalkan A= kejadian terambilnya bola lampu yang mati Banyaknya bola lampu yang telah mati adalah 10 buah, maka n

(A)=10 Jumlah bola lampu keseluruhan = 200, maka n (S) =200

P(A) = n(A)

n(S)

P(B) = 10

20 = 0,05

Contoh 1 Menurut catatan bagian produksi sebuah perusahaan, kualitas

sejenis barang yang diproduksinya, diklasifikasilkan atas tiga barang yaitu yaitu kualitas satu, barang kualitas dua, dan barang kualitas tiga. Dengan peluang masing-masing, 70%, 20% dan 10%. Bila sebiah barang diambil, berapa peluang bahwa barang tersebut kualitas satu atau kualitas dua?Penyelesaian

Misalkan, P(A) = peluang barang yang diambil kualitas Satu P(B) = peluang barang yang diambil kualitas duaMaka,

P(A) =70%=0,70P(B) = 20%=0,20P(A U B) = . . . ?P(A U B) = P(A)+P(B)


= 0,70+0,20 = 0,90.

Jadi peluang bahwa barang yang diambil tersebut adalah barang kualitas satu dan kualitas dua adalah 0,9.Contoh 2

Sebuah toko telah menerima 100 buah televise parabola dari sebuah pabrik. Tanpa diketahui oleh manajemen toko tersebut, 10 dari 100 televisi mengalami kerusakan. Jika dua televisi dipilih secara acak (satu persatu tanpa pemulihan) dari 100 televisi, kemudian dilakukan pemeriksaaan mutu secara sungguh, berapakah peluang bahwa kedua televisi yang dipilih rusak (pertama dan kedua)?Penyelesaian

Misalkan, A = kejadian bahwa terpilinya televisi pertama rusakB/A = kejadian bahwa terpilihnya televisi kedua rusak, setelah

televisi pertama juga rusak.Maka:

P(A) = 10

100

P(A) = 1

10

Karena 10 buah yang rusak dari 100 buah

P(BIA) = 9

99

Karena setelah yang pertama rusak, yang tinggal 99 buah, 9 diantaranya rusak.

P( A n B) =…..?P( A n B) = P(A) X P(BIA)

= 1

10x 9

199

= 1

110


Jadi peluang kedua televisi yang terpilih rusak adalah 1

110 = 0,90%

Aturan Kejadian BersyaratBila A dan B dua kejadian bersyarat (tidak independen), maka

peluang terjadi A dan B secara bersamaan adalah:P(A dan B)=P(A) X P(BIA)AtauP(A dan B)=P(B) XP(AIB)

Contoh 3Seorang calon Mahasiswa memiliki peluang bahwa ia lulus tes

masuk perguruan tinggi adalah 0,8. Jika ia lulus masuk perguruan tinggi, peluang dirinya menjadi sarjana adalah 0,7. Berapa peluang calon mahsiswa tersebut lulus masuk tes perguruan tinggi dan menjadi sarjana?Penyelesaian;

Misalkan:A = kejadian lulus di perguruan tinggiBIA = kejadian menjadi sarjana setelah lulus tes pergurusn tinggiMaka:

P(A) =0,8P(BIA) =0,7P(A n B) = …..?P(A n B) =P(A)XP(BIA) = 0,8X0,7 =0,56

D. Permutasi dan Kombinasi

1. PermutasiPermutasi adalah banyaknya cara untuk menyusun keseluruhan atau

sebagian dari sekumpulan objek yang berbeda dengan memperhatikan urutannya. Jadi dalam permutasi urutan letak objek sangat penting.

Jika obejek-objek tersebut sama atau tidak dapat dibedakan satu sama lain maka obejek tersebut tidak dapat dipermutasikan. Dalam permutasi ABC tidak sama dengan BCA juga tidak sama dengan CBA.a. Permutasi sebagian dari seluruh obyek. Permutasi r objek yang


diambil sekaligus dari sekelompok n obyek yang berbeda, tanpa pemulihan (dinyatakan nPr, r ≤n) adalah

n rP =(

n!n-r)!

Keterangan :

n = banyaknya suatu obyekr = banyaknya obyek yang dipermutasikan

b. Permutasi atas keseluruhan objek. Permutasi n obyek yang diambil sekaligus dari sekelompok n obyek yang berbeda, tanpa pemulihan (dinyatakan dengan nPn) adalah :

nPn = n!

n = banyaknya seluruh obyekContoh:

Berapa banyak data yang memiliki 2 huruf dapat disusun dari tiga huruf berlainan A,B, dan C. dan rincilah kata-kata tersebut.Penyelesaian

n = 3, r = 2

3P2 = . . .?

n rP =(

n!n-r)!

3 2P =(

3!3-2)!

= 6Jadi banyaknya kata yang tersusun oleh tiga huruf A, B dan C

adalah 6 kata dengan rincian AB BC CA AC BA CB

c. n! (dibaca: n faktorial) adalah perkalian n buah bilangan asli yang berurut. Yang dapat dinyatakan sebagai berikut:

n! = 1 x 2 x 3 x . . . x ndengan 1! = 1 dan 0! = 1


contoh :* 3! = . . . ? (dibaca: tiga faktorial) = 1 x 2 x 3 = 6* 10! = . . . ? (dibaca: sepuluh faktorial) = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3.628.800

* (10-6)! = . . . ? = 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

* 5! 1 2 3 4 51 2 3! 3

x x x xx x

=

= 20* ( ) ( )

( )5 2 ! 10 5 !

6 4 !?

− −−

=

( ) ( ) ( ) ( )( )

3! 5! 1 2 3 1 2 3 4 52! 1 2

x x x x x xx

=

= 360

2. KombinasiKombinasi adalah banyaknya cara untuk menyusun keseluruhan atau

sebagaian dari sekumpulan obyek yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya. Jadi kombinasi ABC sama dengan BCA dan CBA.

a. Kombinasi sebagain dari seluruh obyek. Kombinasi r obyek yang diambil sekaligus dari sekelompok n obyek berbeda, tanpa pemulihan dinyatakan

dengan nCr atau n( )

ndengan r< n adalah

nCr = n! r!(n-r)!


Keterangan : n = banyaknya seluruh obyek r = banyaknya obyek yang dikombinasikan

b. Kombinasi atas keseluruhan obyekKombinasi n obyek yang diambil sekaligus dari sekelompok n obyek

berbeda, tanpa pemulihan dinyatakan dengan nCn atau n

( )n

adalah

nCr = n( )

n = 1

Contoh 1Sebuah sepeda motor dapat dibeli dari empat took penyalur.

Dengan berapa cara dapat dipilih tiga took dari empat yang ada?Penyelesaianr = 3, n = 4

4C3 = . . . .?

nCr = n! r!(n-r)!

= 4! 3!(4-3)!

= 4! 3!(1)!

= 4Jadi banyaknya cara memilih took penyalur dari empat toko

yang ada adalah 4 cara.Contoh 2

Tentukanlah banyaknya cara yang anda dapat lakukan untuk memilih dua barang dari lima barang yang ada.

Penyelesaian:r = 2, n = 5

nCr = n! r!(n-r)!

5C2 = 5! 2!(5-2)!

= 10


Jadi banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk memilih dua barang dari 5 barang yang ada adalah 10 cara.

Contoh 3 Dari 6 pelamar pria dan 5 pelamar wanita akan diterima hanya

4 pelamar. Dari empat pelamar tersebut, 1 orang adalah wanita. Dengan berapa cara penerimaan dilakukan?

Penyelesaian4 pelamar yang akan diterima terdiri 1 orang wanita, berarti

sisanya yaitu 3 orang adalah pria.Banyaknya cara penerimaan pelamar pria merupakan kombinasi

3 dari 6

nCr = n! r!(n-r)!

6C3 = 6! 3!(6-3)!

= 1x2x3x4x5x6

1x2x3!(1x2x3)!

= 20Banyaknya cara penerimaan pelamar wanita, merupakan kombinasi 1

dari 5

5C1 = 5! 1!(5-1)!

= 1x2x3x4x5

1(1x2x3x4)!

= 5Oleh karena, setiap cara penerimaan untuk pelamar pria dapat

dipasangkan dengan setiap cara untuk penerimaan wanita, maka banyak cara penerimaan tersebut adalah :

6C3 x 5C1 = 20 x 5 = 100 cara.

c. Perbedaan Permutasi dan Kombinasi• Dalam permutasi, urutan diperhatikan• Dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan


• Banyaknya permutasi 4P3 dan kombinasi 4C3 dari empat huruf A, B, C

• 4P3 dan 4C3 dari empat huruf A, B, C dan D dapat dilihat dalam tabel :

Tabel 49. Perbedaan Kombinasi dengan Permutasi

Kombinasi Permutasi

ABCABDACDBCD

ABC, ACB, BAC, BCDA, CAB, CBAABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA

ACD, ADC, CAD, CDA, DAC, DCABCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB

E. RingkasanProbabilitas disebut juga kemungkinan, kebolehjadian, kebarangkalian,

Untuk mengukur derajad ketidakpastian dari suatu kejadian yang acak ini dipakai konsep probabilitas = peluang = kemungkinan

agar dapat memahami dengan baik, pengetahuan tentang teori peluang sebaiknya dikuasai dengan baik. Pemahaman tentang teori peluang terutama peluang suatu kejadian majemuk, akan menjadi sempurna bila didukung dengan pengetahuan tentang teori himpunan yang memadai.

F. Latihan Soal1. Peluang bahwa suatu indsutri milik orang Jakarta berlokasi di Denpasar

adalah 0,7, peluang bahwa industri itu berlokasi di Mataram adalah 0,4 dan peluang berlokasi di denpasar dan Mataram adalah 0,8. Berapa peluang industri itu berlokasia. di kedua kota tersebutb. tidak di kedua kota tersebut

2. Sebuah toko telah menerima 100 buah televisi portabel dari sebuah pabrik. Tanpa diketahui manajemen toko, 5 dari televisi tersebut mengalami kerusakan, jika 2 televisi dipilih scara acak dari 100, kemudian dilakukan pemeriksaan mutu secara sungguh-sungguh, berapa peluang kedua-duanya adalah rusak?

3. Seorang karyawan akan memilih bis atau kereta api untuk berangkat kerja, dengan peluang0,3 dan 0,7. Jika ia memilih bis, ia terlambat 30 % dari hari-hari kerjanya. Jika ia memialih kereta api, ia terlambat 20% dari ahri-hari kerjanya. Jika karyawan tersebut terlambat untuk bekerja apda suatu hari tertentu, berapa peluang bahwa ia naik bis?


4. Sebuah perusahaan asuransi jiwa menaksir bahwa peluang seorang suami hidup 25 tahun mendatang adalah 0,45 sedangkan istrinya 0,30a. berapa peluang bahwa suami-istri itu masih hidup 25 tahun

mendatang?b. berapa peluang bahwa suami-istri itu meninggal 25 tahun

mendatang?5. Sebuah dadu bermata 6 dilempar satu kali. Tentukan peluang :

a. Munculnya mata dadu ganjilb. Munculnya mata dadu bilangan primac. Munculnya mata dadu factor prima dari angka 8

6. Peluang seorang pengusaha tidak memenangkan tender adalah 0,46. Hitunglah besarnya peluang pengusah tersebut memenangkan tender !

7. Seorang pedagang asongan menjual kelereng dalam satu kantong plastic. Di dalam kantong plastic terdapat 20 kelereng merah, 50 kelereng biru dan 30 kelereng kuning. Seorang anak ingin membeli dan ia mengambil sebuah kelereng tanpa melihat. Hitunglah peluang termbilnya kelereng merah atau biru !

8. Seorang anak mengocok seperangkat kartu bridge (tanpa joker). Jiak diambil satu kartu secara acak tanpa melihat, maka hitunglah peluang terambilnya kartu hitam atau Queen !

9. Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. Hitunglah peluang munculnya mata dadu genap pada dadu pertama dan mata dadu ganjil pada dadu kedua !

10. Terdapat sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 8 bola biru. Jika akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian, maka tentukan terambilnya kedua bola berwarna merah !

11. Tiga buah uang logam dan sebuah dadu dilempar secara bersamaan. Hitunglah peluang munculnya minimal satu angka pada uang logam dan peluang munculnya mata dadu bilangan prima !

12. Suatu kantong berisi 30 manik yang tediri dari 6 manik merah, 16 manik putih dan sisanya manik biru. Kemudian diambil satu manik secara acak. Hitunglah peluang terambilnya manik :a. Bukan manik putihb. Bukan manik merah


c. Bukan manik biru13. Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola berwarna merah dan 4 bola

berwarna hijau. Dari dalam kotak diambil dua bola secara acak. Hitunglah peluang terambilnya satu bola berwarna merah dan satu bola berwarna hijau, jika pengambilannya :a. Satu demi satu tanpa pengembalianb. Satu demi satu dengan pengembalian

14. Dua buah dadu dilempar satu kali secara bersamaan. Hitunglah peluang munculnya mata dadu berjumlah ganjil atau prima !

175

BAB X DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS

A. PengantarDalam bab ini akan dibahas mengenai pengertian dasar tentang Distribusi

peluang Teoritis, Distribusi peluang Diskrit, Distribusi Kontinyu, Distribusi Binomial, Ditrsibusi Poisson dan distribusi Normal, serta pendekatan antara Distribusi Normal dengan Poisson. Disamping pengertian dasar, juga akan dibahas perbedaan antar distribusi tersebut di atas.

Distribusi Peluang Teoritis atau distribusi Harapan, berdasarkan atas pengalaman atau pertimbangan untuk melukiskan arti penting distribusi harapan, yaitu dengan mengetahui atau memperhatikan misalnya : pemilik toko baju, harus mengetahui distribusi ukuran badan pada para pemakai baju. Para penerbit koran harus mengetahui distribusi kesukaan pembaca, manajer restaurant harus mengetahui distribusi kesukaan masyarakat terhadap makanan. Apabila tidak mengetahui dengan baik apa yang diharapkan masyarakat, pemilik toko baju mungkin menyediakan baju-baju yang tidak dapat dijual, pemimpin percetakan mungkin menyajikan berita-berita yang tidak disukai pembaca. Demikian pula halnya deng pemilik restaurant, mungkin menyajikan makanan yang tidak disukai masyarakat. Tiga contoh


distribusi harapan di atas berdasarkan atas pengalaman masa lalu.Di samping itu, ada banyak keadaan di mana distribusi harapan didasarkan

atas pertimbangan teoritis. Misalnya perhatikan permainan pelemparan mata uang, jika dilempar 100 kali. Berdasarkan teori munculnya gambar atau huruf itu seimbang yaitu ½. Maka beralasan kalau mengharapkan muncul gambar 50 kali dan huruf 50 kali, walaupaun yang sebenarnya tidak demikian hasilnya (misal : muncul gambar 43 kali dan huruf 57 kali). Tetapi, apabila kita mengulangi permainan ini berkali-kali, maka rata-rata akan mendapat gambar mendekati 50 kali dan huruf mendekati 50 kali.

B. Distribusi Peluang TeoritisDistribusi Peluang dari suatu kejadian adalah suatu daftar atau rumus

yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu variabel acak beserta peluangnya. Bila frekuensinya diturunkan secara matematis, maka distribusi peluangnya disebut Distribusi Peluang Teoritis, dan bila frekuensinya diperoleh berdasarkan hasil-hasil percobaan atau hasil observasi, maka distribusi peluang disebut distribusi peluang frekuensi.

Untuk dapat memahami Distribusi Peluang Teoritis, diperlukan pengertian yang cukup mengenai Teori Peluang, kombinasi, dan fungsi matematis.

Variabel AcakVariabel acak adalah suatu variabel yang nilainya merupakan bilangan

yang ditentukan oleh hasil suatu percobaan. Notasi variable acak biasanya diberi huruf capital. Variabel acak dibagi menjadi 2 macam yaitu : (a) variabel acak diskrit dan (b) variabel acak kontinyu.

1. Variabel acak DiskritVariabel diskrit adalah variabel yang nilainya dapat dihitung dan

bilangannya berupa satuan bulat positif. Contoh : 1, 2, 3, ………. Biasanya variable diskrit terdiri dari hasil perhitungan yang sederhana.

Misalnya : - Jumlah mahasiswa Ekonomi yang memiliki Indek Prestasi 4- Jumlah Fakultas yang ada di UNJ- Jumlah Dosen Luar Biasa di Fakultas Ekonomi.

2. Variabel Acak Kontinyu.Variabel Acak Kontinyu adalah variabel yang bilangannya tidak

terhingga yang berkaitan dengan titik-titik dalam suatu interval garis.


Dalam praktiknya nilai-nilai dari variable kontinyu terdiri dari hasil pengukuran karakteristik suatu unsur populasi atas dasar skala yang kontinyu. Hasil pengukuran tersebut bisa berupa pecahan.

Misalnya :- Jumlah waktu yang diperlukan untuk menenun kain songket.- Jumlah beras yang terjual di pasar tradisional setiap minggunya.- Volume tanah yang dipakai untuk menimbun suatu areal tanah

untuk pemukiman.- Jarak kota Jakarta dengan kota Sukabumi.Variabel Acak Diskrit dengan variabel acak kontinyu perlu dibedakan,

karena kedua macam variabel tersebut memerlukan model peluang yang berbeda. Perbedaan ini akan dibahas dalam sub bab berikut ini.

C. Distribusi Peluang DiskritDistribusi peluang diskrit adalah sebuah tabel atau rumus yang

mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu variabel acak diskrit beserta peluangnya.

Contoh :Sebuah percobaan tiga keping mata uang logam dilantunkan sekaligus. Bila

muncul sisi gambar (G) yang kita harapkan, tentukanlah: variabel acaknya, buat distribusi peluang serta grafik distribusi peluangnya.

Penyelesaiannya :

Tabel 50. Titik Sampel dan Peluang dari Hasil Pelantunan 3 Uang Logam

Titik Sampel Banyak Sisi Gambar Peluang

G G GG G AG A GA G G G A AA G AA A GA A A

32221110

1/81/81/81/81/81/81/81/8

• Variabel AcakBilangan-bilangan 0, 1, 2, atau 3 yang mungkin muncul dari hasil

percobaan itu (pada kolom 2) disebut Variabel Acak Diskrit.


• Distribusi peluangBerdasarkan tabel di atas bila dibuat distribusi peluangnya maka

bentuknya sebagai berikut :

Tabel 51. Distribusi Peluang dari Sisi Gambar Hasil Pelantunan 3 Keping Uang Logam

Banyak Sisi Gambar (X) 0 1 2 3

Peluang P(X=x) 1/8 1/8 1/8 1/8

Peluang tepat dua sisi gambar (x = 2) diperoleh dengan menjumlahkan peluang GGA, GAG, AGG yaitu : 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8. Demikian pula peluang tepat satu sisis gambar : GAA, AGA, AAG yaitu : 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8. • Grafik Distribusi Peluang

3/8

0 0 0 0 0 x

P(x)

2/8

1/8

Distribusi Peluang Sisi Gambar Pelantunan Tiga Buah Koin

3/8

0 0 0 0 0 x

P(x)

2/8

1/8

Distribusi Peluang Komulatif Sisi Gambar


Fungsi Peluang DisktritFungsi peluang dari variabel acak X adalah fungsi f yang harganya bagi

setiap bilangan riil diberi oleh :

f (X) = P (X = x)f (X) > atau sama dengan 0 dan penjumlahan X = 1 Dari percobaan pelantunan 3 mata uang logam di atas, diperoleh nilai f (X) = P (X =x) sebagai berikut :

f ( 0 ) = P( X=0 ) = 1/8f ( 1 ) = P( X=1 ) = 3/8f ( 2 ) = P( X=2 ) = 3/8f ( 3 ) = P( X=3 ) = 1/8

Penjumlahan dari f(x) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 8/8 = 1Ada 3 Jenis distribusi peluang diskrit :a. Distribusi Binominalb. Distribusi Poissonc. Distribusi HypergeometrisKetiga jenis Distribusi peluang diskrit ini akan dibahas dalam subbab

di bawah ini

D. Distribusi Peluang KontinyuDistribusi peluang variabel acak kontinyu tidak dapat disajikan dalam

bentuk tabel, melainkan dapat dinyatakan dalam bentuk rumus. Rumus itu merupakan fungsi nilai-nilai variabel acak kontinyu X sehingga dapat digambarkan sebagai suatu kurva kontinyu. Fungsi peluang yang digambarkan dalam kurva ini disebut Fungsi Kepekaan Peluang. Untuk variabel kontinyu, peluang tepat untuk salah satu dari nilai variabelnya (peluang nilai tunggal dari suatu titik) tidak dapat dihitung oleh karena peluang salah satu nilai varibel kontinyu adalah nol. Kita hanya dapat menghitung peluang variabel kontinyu pada suatu selang atau interval tertentu dari nilai-nilainya.

Distribusi kontinyu memegang peranan yang sangat penting pada metode statistik. Ia merupakan pendekatan yang sangat baik terhadap berbagai distribusi, yang lebih penting lagi ia merupakan dasar dari kebanyakan teori yang dipakai pada penaksiran, peramalan, dan pengujian hipotesis. Seperti yang dikatakan di atas bahwa distribusinya kontinyu sehingga grafiknya juga tidak terputus-putus. Grafik yang mungkin akan tergambar adalah sebagai


berikut :Jenis-Jenis Grafik Kontinyu

Fungsi kepekatan peluang dibuat sedemikian rupa sehingga luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu X sama dengan satu bagian luas. Fungsi kepekatan peluang kontinyu dapat dinyatakan dalam kurva berikut ini.

Luas daerah di bawah lengkungan kurva dan di atas sumbu X dengan batas

bawah x = a dan batas atas x = bDistribusi ini dapat dinyatakan dalam bentuk rumus. Rumus ini dapat

merupakan fungsi nilai-nilai variabel acak kontinyu x, sehingga dapat sebagai suatu kurva yang kontinyu.

Ada 4 jenis Distribusi Variabel Kontinyu :1. Distribusi Normal2. Distribusi t3. Distribusi X4. Distribusi FDistribusi Normal akan dibahas secara garis besar saja, secara mendetail

akan dibahas pada Statistik Lanjutan. Demikian pula halnya dengan distribusi t, distribusi X, dan distribusi F akan dibahas dalam statistik lanjutan.


E. Distribusi Binomial, Poisson, Hypergeometrik dan Normal

1. Distribusi BinomialAdalah salah satu distribusi kemungkinan teoritis dan bervariabel

random diskrit di mana nilai x nya berupa bilangan bulat positif sajaSeperti dalam rumus berikut ini :

x = { x | 0, 1, 2, 3, … n | }

Distribusi Binomial ini sering dipakai pada masalah yang mempunyai sampel dalam jumlah kecil (n ≤ 30).

Sifat-sifat Distribusi Binomial :• Oleh karena bervariabel diskrit, maka grafiknya terputus-putus• Bentuknya ditentukan oleh nilai p dan nCiri-ciri Percobaan Binomial :• Tiap percobaan hanya memiliki 2 hasil kerja saja, yaitu peluang

sukses atau peluang gagal, peluang rusak atau peluang tidak rusak

Jika : p = Sukses

Maka : q = Gagal = 1 – p

• Setiap percobaan harus bersifat bebas (independent)• Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen harus

tertentuSecara matematika aturan-aturan peristiwa bebas dapat diturunkan

bahwa probabilitas peristiwa itu tetpat terjadi x kali di antara n kali percobaan, ditentukan dengan rumus :

a. Rumus Distribusi Binomial

xnqpx xn

P(x) −

=

xn

= n!x!(n-x)!

Keterangan :


P = Peluang terjadinya suatu kejadianx = Jumlah kejadian yang diharapkan

n = Jumlah seluruh percobaan

xn = Koefisien Binominal yang menunjukkan x kali sukses

dari n percobaan

b. Rumus rata-rata Distribusi Binomial

µ =np

c. Rumus Standar Deviasi /simpangan baku Distribusi Binomonal

( )1n p p n p qσ = ⋅ − = ⋅ ⋅

d. Rumus Varians (ragam) Distribusi Binomonal

2 npq σ = atau ( )2 n.p 1-p σ =

Keterangan :µ = rata-rata populasi

2σ = varians = kuadrat dari standar deviasin = jumlah seluruh percobaanp = jumlah kejadianq = nilai dari selisih 1 – pContoh soal :

Dari sejenis barang yang dihasilkan oleh sebuah mesn ternyata 5% rusak. Diambil 20 produk dari hasil produksi mesin tersebut secara acak.

Berapa peluang dari barang yang diambil tersebut :1) Tidak ada barang yang rusak2) Terdapat satu barang yang rusak3) Terdapat lima barang yang rusak


4) Paling sedikit satu barang yang rusak.5) Paling banyak satu barang yang rusak.

Jawabannya :N = 20 p = 5% = 0,05q = 1 - p = 1 - 0,05 = 0,95X = jumlah barang yang rusak

a. Tidak ada barang yang rusakP (0) = ............?Dengan memakai rumus a maka diperoleh nilai sebagai berikut ;

P(0) = ( ) ( )20 0020! 1

0! 20 0 !p p −−

−�

= ( ) ( ) ( )0 20 020! 0,05 1 0,950! 20 0 !

−−−

�

= 0 2020!(0,5) (0,95)20!

=

= 0,3585 atau 35,85%

Jadi, peluang tidak ada barang rusak dari 20 barang yang diambil adalah 35,85%.

b. Terdapat satu barang yang rusak, ini berarti x = 1P(1) = .........?

= ( ) ( )20 1120! p 1 p1! 20 1 !

−−−

�

= ( ) ( ) ( )1 20 120! 0,05 1 0,95

1! 20 1 !−−

−�

= ( )( )1920! 0,5 1 0,9519!

−�( )( )1920! 0,5 1 0,9519!

−�

= 0,3773 atau 37,73%Jadi, peluang terdapat satu barang yang rusak dari 20 barang yang

diambil adalah 37,73%.

c. Terdapat lima barang yang rusak, ini berarti x = 5P(5) = .........?


= ( ) ( )20 5520! P 1 p5! 20 5 !

−−−

�

= ( ) ( )20 5520! (0,05) 1 0,95

5! 20 5 !−−

−�

= ( ) ( )15520! (0,5) 0,95

5! 15 !�

= 1504.(3125.10-10).(0,4633) = 0,0002 atau 0,02%Jadi, peluang 5 barang yang rusak dari 20 barang yang diambil adalah

0,02%

d. Paling sedikit satu barang yang rusak, ini berarti x≥1, atau jumlah yang rusak x =1, atau 2 atau 3 … atau 20P(X≥1) = .........? = P(1)+P(2)+P(3)+…+P(20) = 1-P(0) = 1-0,3585

= 0,6415 atau 64,15%

Jadi, peluang paling sedikit satu barang rusak dari 20 barang yang diambil adalah 64,15%.

e. Paling banyak satu barang yang rusak, ini berarti x≤1, atau barang yang rusak 0, atau satu yaitu x = 0 atau x =1P(X≤1) = …? = P(0)+P(1) = 0,3585+0,3773 = 0,7358 atau 73,58%

Jadi, peluang banyak satu barang rusak dari 20 barang yang diambil adalah 73,58%.

2. Distribusi PoissonAdalah merupakan salah satu distribusi kemungkinan teoritis dengan

bervariabel diskrit. Distribusi ini dianggap sama dengan pendekatan Distribusi Binomial.

Distribusi ini digunakan untuk mendekati masalah binomial bila :• n sangat besar atau tidak diketahui


• p sangat kecil, p ≤ 0,1 sehingga µ = n.p menjadi sangat kecil

a. Rumus Distribusi Poisson

- eP(x)x!

x µµ= atau eP(x)

x!

xτ −∧

=

b. Rumus rata-rata Distribusi Poisson

µ = n.p

c. Rumus Standar Deviasi (simpangan baku) Distribusi Poisson

npσ µ= =

d. Rumus Varians Distribusi Poisson

2 n pσ µ= ⋅ =

Keterangan :m = rata-rata populasiσ2 = varians = kuadrat dari standar deviasin = jumlah seluruh percobaanp = jumlah kejadianq = nilai dari selisih 1 – p

Contoh :Dalam satu kantor milik seorang pengusaha, rata-rata dering telepon

tiap jam adalah 6 kali. Hitunglah probabilitas telepon berdering 5 kali dalam satu jam tertentu ?


Penyelesaian :χ = 6 , X = 5

( )

( )

( )

( )

-

5 – 6

6

!

6 2.718285 !

7765 1 / 2.718285 4 3 2 1

7765 0.002479 0.1604120

( )

( )

( )

x eP XX

P X

P Xx x x x

P X

χχ=

=

=

= =

3. Distribusi HipergeometrikDistribusi hipergeometri adalah salah satu jenis distribusi variabel

rendom diskrit yang digunakan untuk mencari probalilitas sukses pada situasi-situasi seperti berikut :

• Terdapat n penyampelan dari N populasi• Hanya terdapat dua peristiwa yaitu peristiwa sukses atau peristiwa

gagal• Jumlah sukses total adalah S• Sampel yang telah diambil tidak dikembalikan (dengan kata

lainpenyampelan satu dengan yang lain adalah dependen atau saling bergantung)

Pada dasarnya proses yang berlaku pada hipergeometric adalah proses binomial, tetapi antara satu aktivitas dengan lainnya tidak independen. Rumus probabilitas hipergeometric adalah sebagai berikut:

( ) ( ) ( )- - S r N S n r

N n

C CP r

C=

Keterangan : P(r) = Probabilitas hipergeometric dengan kejadian r suksesN = Jumlah populasi s = Jumlah sukses dalam populasi r = jumlah sukses yang menjadi perhatian n = jumlah sample dari populasiC = simbol kombinasiContoh Soal :

. . . .


Dalam suatu perusahaan terdapat 8 orang manajer yang terdiri dari 4 orang manajer pria dan 4 orang manajer wanita. Suatu tim khusus akan dibentuk oleh perusahaan yang akan terdiri dari 3 orang manajer. Berapakah kemungkinan bahwa dari 3 anggota tim tersebut, dua orang diantaranya adalah manajer wanita ?

PenyelesaianN = 8 , r = 2 orang manajer wanita , s = 4 orang manajer wanita , n

(jumlah sample) = 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

- -

4 2 8 - 4 3- 2 2

8 3(4!/ 2!2! 4!/1!3!

28!/ 3!5!

4.3 2! / 2.1 2! 4 3! / 1.3! 26 7 8 5!/ 3 2 1 5!

0.4

)

) ( )

6 42

336 / 6286

S r N S n r

N n

C CP r

CC C

PC

xP

xPx x x

xx

P

=

=

=

=

= =

Rumus probabilitas hipergeometric

( ) ( ) ( )- - S r N S n r

N n

C CP r

C=

4. Distribusi NormalDistribusi Normal disebut juga distribusi gauss

Adalah salah satu distribusi kemungkinan teoritik dengan variabel random kontinyu. Distribusi Normal memegang peranan yang sangat penting dalam metode statistik, kurvanya (kurva normal) berbentuk bel atau disebut juga genta dengan ujung tidak terhingga pada kedua sisinya, makin lama makin mendekati sumbu datar tetapi tidak pernah sampai memotong; kedua ujungnya tidak perlu digambar sampai begitu jauh karena luas daerahnya menjadi tidak berarti setelah melampaui 4 dan 5 standar deviasi dari rata-ratanya.

Ciri-Ciri Distribusi Normal :• Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk bel

(genta)• Simetris terhadap rata-ratanya (µ)• Kedua ujungnya mendekati sumbu datar tetapi tidak pernah sampai

. . . .


memotong• Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama

dengan σ (standar deviasi)• Luas di bawah lengkungan kurva tersebut dari - sampai + = 1 atau

100%Karena persamaan kurva di atas tergantung dari nilai rata-ratanya

(µ) dan standar deviasi (σ), maka akan dijumpai macam-macam bentuk kurva tergantung dari nilai rata-rata atau standar deviasi. Untuk menyederhanakan kemudian dibuat kurva normal standar. Apabila kita mempunyai kurva normal dengan rata-rata µ dan standar deviasi σ, kita selalu dapat merubah skalanya seperti ditunjukkan dalam gambar di bawah ini.

Kurva NormalPada skala semula (skala x) rata-rata dan standar deviasi masing masing

adalah m dan s. Pada skala baru (skala z) deviasi standar adalah satu (sebagai tempat dalam gambar). Dengan demikian rumus untuk skala z manjadi :

xz µσ−

=

Keterangan :Z = skala baru ZX = jumlah kejadianµ = rata-rata populasi

σ = standar deviasi F. Pendekatan Distribusi Normal untuk Distribusi Binomial

Variabel-variabel dari distribusi binomial adalah variabel diskrit, sedangkan variabel-variabel distribusi normal adalah variabel kontinyu.


Untuk bisa memecahkan persoalan distribusi binomial dengan pendekatan distribusi normal, maka perlu diadakan koreksi kesinambungan dengan cara batas bawah atau nilai kiri dari variabel diskrit yang akan dihitung peluangnya dikurangi 0,5 dan batas atas atau nilai kanannya ditambah 0,5. Pendekatan Ditribusi Normal untuk distribusi Binomial digunakan rumus sebagai berikut:

Rumus Distribusi Normal :

xz µσ−

= Z=x n pn p q− ⋅⋅ ⋅

G. RingkasanMateri dalam bab ini adalah tentang Distribusi peluang Teoritis, Distribusi

peluang Diskrit, Distribusi Kontinyu, Distribusi Binomial, Ditrsibusi Poisson dan distribusi Normal, serta pendekatan antara Distribusi Normal dengan Poisson. Disamping pengertian dasar, juga akan dibahas perbedaan antar distribusi , cara perhitungan dengan menggunakan rumus-rumus.

Dalam perhitungan kita harus bisa membedakan dahula antara Variabel acak Diskrit dengan variabel acak Kontinyu. Variabel ini nantinya akan sering dipakai dalam perhitungan Distribusi Binomial, Poisson dan distribusi normal. Dalam praktiknya nilai-nilai dari variabel kontinyu terdiri dari hasil pengukuran karakteristik suatu unsur populasi atas dasar skala yang kontinyu. Hasil pengukuran tersebut bisa berupa pecahan.

H. Latihan Soal1. Jelaskan arti distribusi Peluang Teoritis, berikan sebuah contoh dari

distribusi tersebut !2. Apa beda variabel acak diskrit dengan variabel acak kontinyu!3. Apa beda Distribusi Binomial, Distribusi Poisson, dan Distribusi

Hypergeometris?4. Dalam kondisi bagaimana kita bisa menggunakan distribusi Poisson

untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa ? 5. Dari 15 rumah tangga sebuah perkampungan, 10 keluarga memiliki

rumah sendiri dan 5 keluarga tidak memiliki rumah sendiri. 4 keluarga akan dipilih untuk mengikuti umroh ketanah suci. Tentukan probabilitas bahwa dari 4 keluarga yang akan dipilih tersebut yang


mempunyai rumah adalah : a. 3 keluarga b. Paling banyak satu keluargac. 4 keluarga

6. Tahun ini FE UNJ mengadakan penerimaan tenaga kerja baru. Dari 200 pelamar yang terdiri dari 100 orang wanita dan 100 orang pria hendak diambil 10 orang sebagai pegawai baru, tentukan probabilitas bahwa dari 10 orang tersebut 7 diantaranya adalah wanita.

7. Dari 10 meter lembaran kain yang diproduksi oleh suatu pabrik,rata-rata terdapat 2 meter yang cacat atau risak. Jika kita membeli 15 M kain dari pabrik tsb :a. tentukan probabilitas bahwa 5 meter akan cacatb. tentukan probabilitas bahwa paling banyak 5 meter akan cacatc. tentukan varian dan standar deviasinya

8. Sebuah dadu dilempar 10 kali. Berapa peluang muncul mata dadu 5 sebanyak 4 kali ?

9. Tiga buah uang logam dilempar 9 kali. Berapa peluang munculnya 2 angka dan 1 gambar sebanyak 7 kali ?

10. Rata-rata pengunjung sebuah kedai ko[pi tiap jam ada 6 pengunjung. Hitunglah peluang akan ada 4 pengunjung dalam satu jam tertentu !

11. Berdasarkan soal nomor 1, hitunglah :a. Rata-rata distribusi binomialnyab. Standar deviasic. Varians

12. Berdasarkan soal nomor 2, hitunglah :a. Rata-rata distribusi binomialnyab. Standar deviasic. Varians

13. Dari penelitian terhadap 200 orang yang berumur 30-50 tahun, diukur rata-rata kadar gula darahnya 100 mg/dL dengan simpangan baku 30. Hitunglah :a. Peluang mendapatkan seseorang yang kadar gulanya < 90 mg/dLb. Kemungkinan jumlah orang yang kadar gulanya < 90 mg/dL


14. Dari 80 pengusaha di suatu kota, rata-rata laba bersih per bulan yang didapatkan 250 juta rupiah dengan simpangan baku 40. Hitunglah :a. Peluang adanya pengusaha yang laba bersihnya > 280 juta rupiahb. Kemungkinan jumlah pengusaha yang laba bersihnya > 280 juta

rupiah15. Berdasarkan hasil diagnose dokter, peluang seorang pasien dapat

sembuh dari suatu penyakit adalah 0,55. Jika ada 200 orang menderita penyakit yang sama, berapa peluang bahwa kurang dari separuhnya akan sembuh ?

16. Dari data survei tahun 2000 di USA setidaknya ada 2 orang albino per 200 populasi. jika ada 1000 orang diambil sebagai sampel, hitunglah peluang dari sampel tersebut :a. Tidak ada yang albino b. Terdapat orang yang albino

17. Sebuah dadu dilempar sebanyak 30 kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu 1 atau 3 sebanyak 10 kali !


DAFTAR PUSTAKA

Abdurrahman, Maman. Dasar – Dasar Metode Statistika untuk Penelitian. Bandung : Pustaka Setia, 2011.

Abuzar Azra dan Slamet Sutomo. Pengantar Statistika 2 Panduan bagi Pengajar dan Mahasiswa. Banjarmasin : Rajawali Press, 2014.

Barenson, Mark L., dan David M. Levine. Basic Business Statistics: Concepts and Application. Edisi ke-13 New Jersey : Prentice Hall Inc., 2015.

Black, Ken. Applied Business Statistics: Making Better Business Decisions. Edisi keenam. New York : John Wiley, 2011.

Budiyono. Statistika untuk Penelitian. Edisi kedua. Solo : Sebelas Maret University Press, 2015.

Dajan, Anto. Analisis Statistik Deskriptif. Jakarta : Graha Ilmu, 2013.

David V. Huntsberger, dan Patrick Billingsley. Elemen of Statistical Inference. Iowa State University, 2010.

Djarwanto PS., dan Pangestu Subagyo. Statistik Induktif. Yogyakarta: BPFE, 2012.

Djarwanto. t.t. Statistik Sosial Ekonomi. Yogyakarta: BPFE


Douglas A. Lind, William G. Marchal, dan Samuel A. Wathen. Teknik-Teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi Menggunakan Kelompok Data Global. Edisi ke- 13. Jakarta : Salemba Empat, 2012.

Elame, Mc Elroy. Applied Business Statistics. San Fransisco : Holden-Day Inc., 2011.

Frederick, J. Gravetter, dan Larry B. Wallnau. Statistics of the Behavioral Sciences. Edisi ke-8. Jakarta : Salemba Empat, 2014.

Freund, John E., dan Frank J. William’s. Modern Business Statistics. Tokyo : Charles E. Tuttle Company, 2003.

Guilford J.P., dan Benyamin Frutcher. Fundamental Statistics in Psychology and Education. Edisi kelima. New York : McGraw – Hill, 1978.

Gunawan, Imam. Pengantar Statistika Inferensial. Banjarmasin : Rajawali Pers, 2016.

Gunawan, Muhammad Ali. Statistik untuk Penelitian Pendidikan. Jakarta : Parama Publishing, 2013.

Jackson, Sherri. L. Research Methods and Statistics a Critical Thinking Approach International Edition. Canada : Wadsworth Cengange Learning, 2012.

Lawrence, W. Neuman. Metodologi Penelitian Sosial: Pendekatan Kualitatif dan Kuantitatif. Edisi ketujuh. Jakarta : Indeks, 2016.

Lee, Hang. Foundation of Applied Statistical Methods. Switzerland : Springer, 2014.

Lind, Marchal dan Wathen. Statistical Techniques in Business and Economics in Global Data Sets. Edisi ke-13. New York : McGraw – Hill, 2008.

Lulup Endah Tripalupi dan Kadek Rai Suwena. Statistika Dasar. Yogyakarta : Graha Ilmu, 2015.

Mc Clave, Benson, dan Sincich. Statistics for Business and Economics. Edisi ke-10. New Jersey : Pearson Perentice Hall, 2010.

Misbahudin, Iqbal Hasan. Analisis Data Penelitian dengan Statistik. Yogyakarta : Bumi Aksara, 2013.

Nurgiyantoro, Burhan : Statistika Terapan Untuk Penelitian Ilmu-Ilmu Sosial. Yogayakarta : Gajah Mada University Press, 2017.

Pasaribu, Amudi. t.t Pengantar Statistik. Ghalia


Purwanto. Metode Penelitian Kuantitatif untuk Pendidikan. Yogyakarta : Pustaka Setia, 2010.

Purwanto. Statistika untuk Penelitian. Yogyakarta : Pustaka Pelajar, 2011.

Riduwan. Pengantar Statistika. Bandung : Alfabeta, 2013.

Riduwan. Rumus dan Data dalam Analisis Penelitian. Bandung : Alfabeta, 2010.

Saleh, Samsubar. t.t. Statistik Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta.BPFE.

Salvatore, Dominick. Theory and Problems of Statistics and Econometrics. New York : Mc Graw Hill Book Company, 2011.

Spiegel, Murray R. Theory and Problem of Statistics. Edisi SI Matrik. New York : McGraw – Hill, 1972.

Subagyo, Pangestu. Statistika Deksriptif. Yogyakarta : BPFE, 2012.

Subana, Moersetyo Rahadi, dan Sudrajat. Statistik Pendidikan. Bandung : Pustaka Setia, 2015.

Sudjana. Statistika Untuk Ekonomi dan Niaga. Bandung : Tarsito, 2005.

Sugiono. Metode Penelitian Kualitatif, Kuantitatif, dan R&D. Bandung : Alfabeta, 2013.

Sugiyono. Statistika untuk Penelitian. Bandung : Alfabeta, 2016.

Sukestiyarno. Statistika Dasar. Yogyakarta : Andi, 2014.

Supranto. Statistik Teori dan Aplikasi. Jakarta : Erlangga, 2016.

Wirawan, Nata. Cara Mudah Memahami Statistika Ekonomi dan Bisnis (Statistika Inferensi). Edisi ketiga. Denpasar : Keraras Emas, 2014.

Zanzawi, Soejoeti. Statistik Bagian II. Yogyakarta : Yayasan Fakultas Psychologi UGM, 2010.


INDEKS

AAggregatif 116Amplitudo 126Angka Indek Harga 105, 106, 110, 116Angka Indek Harga Relatif 106Angka Indek Jumlah 105, 106, 116Angka Indek Nilai 105, 106, 116

DData Diskrit 4Data Eksternal 4, 5Data Internal 4Data Kontinyu 4Deflasi 114Desil 40, 58, 59, 60, 61, 62, 65, 67Determinasi 153Deviasi 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 79,

80, 81, 82, 84, 85, 182, 185Diagram pencar 144Diskriminasi pasar 2Distribusi Gauss 187

EEfektivitas 2

FFrekuensi 15, 22, 24, 42

GGerak regular 122

HHistogram 19, 28, 29

IIndek Biaya Hidup 114Indek Drobish 110Indek Drobish Bowley 117Indek Harga Konsumen 114, 115Indek Irving Fisher 104, 108, 117Indek Laspeyres 104, 107, 117Indek Marshall Edgeworth 104, 108,

117Indek Paasche 108, 110Inflasi 3Intercept 127, 130interpretasi 2, 98, 138, 155, 156, 157

KKatagorikal 25


Kelas Boundreis 19, 22Koefisien Korelasi Rank 151Koefisien moment ketiga 90Koefisien skewness 90, 91Korelasi negatif 149Korelasi positif 149Kuartil 40, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 65,

66, 67

LLeptokurtis 96

MMesokurtis 96Metode kuadrat terkecil 132, 133, 139,

140, 145, 146, 154, 155, 156, 157

Metode Least Squares 149Metode Pearson Product Moment 150Mid point 42, 44, 53Modus 40, 48, 49, 50, 63, 65, 90, 91Moment Coeficient of Curtosis 94, 97

OOgive 30, 31

PPeluang 159, 160, 162, 163, 164, 172,

173, 175, 176, 177, 178, 179, 182, 189, 190, 191

Persentil 40, 61, 62, 65, 67, 91Platykurtis 95, 96Polygon 29Populasi 41, 73, 76, 79Probabilitas 159Produktivitas 150

RRange 21, 70, 82Rata-rata Geometrik 40, 50Rata-rata Harmonis 40, 50, 52, 53Rata-rata Tertimbang 40, 54Regresi 141, 143, 146, 147, 148, 149,

153, 154, 155Regresi Linier Positif 143Rentang 21, 32, 70, 71

SSampel 6, 41, 73, 74, 76, 78, 79, 177,

186Sampling 5Sensus 5Siklis 122, 126Slope 127Standar Deviasi 73, 74, 75, 76, 78, 79,

80, 81, 82, 182, 185Statistik Deskriptif 3, 193Statistik Induktif 3, 193Statistik Inferensia 3

TTahun dasar 102, 104, 105, 107, 110,

112, 113, 115, 116, 117, 118, 135

Time Series 121Trend Exponensial 132, 136Trend Linier 126, 127Trend Non Linier 132Trend sekuler 124

UU-coding 44, 65, 92, 93

VVariabel acak 176, 189Variabel acak diskrit 176, 177, 189Variabel acak kontinyu 176, 177, 179,

180, 189Varians 182, 185, 190


TENTANG PENULIS

Tuty Sariwulan merupakan penulis dan dosen pengajar di Fakultas Ekonomi Universitas Negeri Jakarta kelahiran Sukabumi tahun 1958. Beliau mendapat Gelar Sarjana Ekonomi Jurusan Ilmu Ekonomi dan Studi Pembangunan di Universitas Negeri Jakarta tahun 1985, Gelar Master Perencanaan Pembangunan Wilayah dan Pedesaan di Institut Pertanian Bogor tahun 2000 serta gelar Doktor diperoleh di Universitas Negeri Jakarta tahun 2017.

Buku Pengantar Statistika Ekonomi dan Bisnis ini terdiri dari sepuluh bab yang membahas tentang:

1. Frekuensi Distrbusi2. Ukuran Lokasi3. Ukuran Variasi dan Ukuran Lainnya4. Angka Indek5. Analisis Runtun Waktu, Regresi dan Korelasi6. Teori Probabilitas serta Distribusi TeoritisDi dalam setiap bab disajikan contoh soal dan kasus, serta beberapa soal

latihan. Buku ini sangat berguna bagi mahasiswa sebagai langkah awal dalam menganalisis data serta memprediksinya.

PENGANTAR BISNIS - sipeg.unj.ac.idsipeg.unj.ac.id/repository/upload/buku/UPLOAD_HKI.pdfPengantar...

Documents

Transcript of PENGANTAR BISNIS - sipeg.unj.ac.idsipeg.unj.ac.id/repository/upload/buku/UPLOAD_HKI.pdfPengantar...