Pendinginan atom dengan Laser sampai ke limit Doppler

Phillip GouldDepartment of Physics, University of Connecticut.

Terjemahan: Wahyu Setyawan

I. Cakupan

Soal-soal berikut mengilustrasikan pendinginan atom dengan menggunakan laser. Untuk bisa mengerjakannya, siswa harus mengerti konsep osilasi teredam, efek Doppler, equipartition theorem, dan properti-properti dasar particle cahaya (photon). Solusi dari salah satu soal didapatkan dengan menggunakan properti-properti proses random walk.

II. Pendinginan atom dengan Laser

Para peneliti telah berhasil mendinginkan atom-atom sampai suhu di bawah 1 mK dengan menggunakan laser, dan kemudian memanfaatkan atom-atom yang telah dingin ini di berbagai aplikasi, mulai dari jam atom sampai pengamatan Bose-Einstein condensation. Pendinginan sampai suhu yang sangat rendah ini didapat dengan penyinaran laser yang frekuensinya diatur mendekati optical resonance dari atom yang bersangkutan, agar momentum laser dapat diserap dengan baik oleh atom, dan menghasilkan sebuah gaya yang bisa digunakan untuk mendinginkan (mengurangi laju gerak) atom. Dalam soal-soal berikut, Anda diminta untuk menganalisis: gaya yang dihasilkan dari resonance radiation ini, efeknya dalam meredam gerak atom, dan efek samping yang tidak diinginkan yang berupa pemanasan atom akibat photon yang terpental balik. Anda juga diminta untuk menghitung suhu equilibrium terendah, yang juga dikenal sebagai Doppler limit dari sebuah gas yang bergerak di satu dimensi.

III. Tekanan radiasi pada frekuensi resonansi

Sebuah atom yang berada pada kondisi yang mendekati resonansi cahaya dapat dimodelkan sebagai sebuah osilator harmonik, yaitu sebagai sebuah elektron dengan muatan q dan masa m pada sebuah pegas yang memiliki frekuensi resonansi dan laju redaman (damping rate), dibawah pengaruh gaya dari medan listrik . Perpindahan elektron dari posisi equilibrium adalah solusi dari persamaan gerak osilator harmonic yang teredam:

(1)

di mana adalah amplitude medan listrik dan adalah frekuensi sudutnya. Untuk solusi yang memiliki bentuk umum: dan dengan mengambil pendekatan dan

, amplitudo gerakan dan fasa adalah:

(2)

Soal-soal:

(1) Daya rata-rata yang terserap

Karena geraknya teredam, elektron menyerap daya dari setiap siklus medan listrik. Pada setiap saat, daya ini adalah , di mana adalah gaya yang dikerjakan oleh medan listrik pada elektron dan adalah kecepatan elektron. Tunjukkan bahwa daya rata-rata yang terserap dalam satu siklus dari medan listrik adalah:

(3)

(2) Gaya dari proses penyerapan Dapatkan persamaan gaya pada sebuah atom akibat penyerapan resonansi. Anda dapat melakukannya dengan menghitung laju penyerapan R (absorption rate) photon oleh atom dan kemudian mengalikannya dengan momentum sebuah photon. Tulis jawaban Anda dalam intensitas medan listrik I, yang merupakan hasil kali dari energi per volume dan kecepatan cahaya:

(4)

Agar jawaban Anda sesuai dengan jawaban yang biasanya ditemukan di literatur, nyatakan jawaban Anda dalam (saturation Intensity):

(5)

(3) Harga numerik percepatan Hitung harga numerik percepatan a dari sebuah atom sodium (Na) yang disinari dengan cahaya yang tepat ber-resonansi pada = 589 nm dengan intensitas I = (ingat bahwa penyinaran tepat pada panjang gelombang resonansi akan menghasilkan gaya yang maksimum). Karena laju redaman (damping rate) adalah berbanding terbalik dengan waktu hidup rata-rata (mean lifetime) dari suatu atom yang sebesar 16.2 ns, maka .

IV. Pendinginan Doppler

Untuk mendinginkan atom, gerakan atom harus diredam (laju redaman ini berbeda dengan laju redaman pada osilasi elektron dalam model yang digunakan untuk mendiskripsikan penyerapan cahaya seperti

di atas). Seperti halnya peradaman pada objek makroskopik (benda-benda besar), peredaman ini memerlukan sebuah gaya yang berubah sebagai fungsi dari kecepatan. Gaya yang demikian bisa dihasilkan dari pengaruh efek Doppler akibat interaksi atom dengan radiasi. Untuk kasus satu dimensi (x) dan dengan laser yang merambat ke arah +x, sebuah atom yang bergerak dengan kecepatan akan merasakan medan yang berosilasi dengan frekuensi sudut:

(8)

Soal-soal:

(4) Doppler shift Tunjukkan bahwa untuk kecepatan rendah (yang tentu saja benar untuk kasus pendinginan atom dengan laser), bahwa Doppler shift bisa dinyatakan sebagai: (9) Ini berarti bahwa dalam menghitung gaya pada persamaan (7), Anda bisa memperhitungkan efek Doppler shift pada sebuah atom yang bergerak dengan mengganti dengan .

(5) Gaya sebagai fungsi dari kecepatan Kiranya jelas bahwa dengan menyinari atom dengan satu berkas laser yang berlawanan arah dengan gerak atom akan memperlambatnya. Tetapi, kalau gaya radiasi ini terus bekerja, gaya ini akan membalikkan arah gerak atom dan kemudian mempercepatnya. Kita ingin agar atom tidak lagi merasakan gaya setelah berada dalam keadaan diam. Hal ini bisa terjadi jika kita menyinari atom dengan dua berkas laser yang identik (intensitas dan frekuensinya sama) yang merambat pada arah yang berlawanan, seperti pada gambar 1.

Gambar 1.

Anggap bahwa kedua berkas ini mengerjakan gaya pada atom secara terpisah, dan hitunglah gaya total pada sebuah atom yang bergerak dengan kecepatan ,(i) Tunjukkan bahwa untuk kecepatan rendah ( dan , gaya totalnya dapat ditulis sebagai

(perhatikan bahwa ini seperti sebuah gaya redaman).(ii) Hitunglah harga dari koefisien redaman

(6) Lama proses pendinginan Tunjukkan bahwa energi E dari sebuah atom di bawah pengaruh gaya redaman meluruh (decay) secara eksponensial terhadap waktu, dan hitunglah konstanta waktunya (time constant) . Ingat bahwa adalah waktu yang diperlukan agar energi menjadi 1/e dari harga awalnya (initial value). Ambil harga I = Is/10, , dan hitunglah untuk atom sodium.

V. Pemanasan akibat photon yang terpental balik

Atom berinteraksi dengan cahaya dengan cara menyerap photon, yang akan mengakibatkan transisi state dari keadaan dasar (ground state) (3s pada sodium) ke keadaan ter-eksitasi (excited state) (3p). Keadaan ter-eksitasi ini tidak stabil (waktu hidup atom sodium pada keadaan 3p adalah 16.2 ns), jadi atom akan kembali ke keadaan dasar dengan meng-emisikan photon secara spontan ke arah sembarang (random) yaitu + atau – dalam kasus satu dimensi. Dalam kedua kejadian di atas (penyerapan dan emisi spontan), momentum tidak ditransfer ke atom secara kontinyu, melainkan secara ter-kuantisasi per unit

. Hal ini akan mengakibatkan momentum atom berlaku seperti random walk dengan langkah . Dalam setiap interval waktu, jumlah langkah dalam random walk ditentukan oleh jumlah photon yang terserap dan ter-emisi. Menurut gambar 1, sebuah atom dapat menyerap photon yang merambat ke arah + atau -. Pada kecepatan mendekati nol, photon + dan photon – akan memiliki peluang yang sama untuk diserap. Setelah penyerapan, atom akan meng-emisikan photon ke arah + atau – dengan peluang yang juga sama. Jadi, setiap penyerapan (yang diikuti dengan emisi spontan) akan menghasilkan 2 langkah random walk, pertama adalah akibat randomness arah penyerapan, dan kedua adalah akibat randomness arah emisi. Sehingga, dalam interval waktu dt, atom akan melakukan sejumlah langkah random walk: dN = 2Rtotdt, di mana Rtot = R+ + R- adalah laju penyerapan total dari kedua berkas laser. Pada proses random walk satu dimensi dalam momentum space, momentum rata-ratanya adalah nol, tetapi rata-rata dari kuadrat momentum akan sama dengan jumlah langkah dikalikan kuadrat besar langkah (step size): (16)

Soal-soal

(7) Laju pemanasan Hitunglah laju peningkatan energi

akibat pemanasan. Anggap kecepatan atom sangat rendah.

(8) Suhu kesetimbangan Dalam keadaan kesetimbangan, laju pengurangan energi oleh pendinginan Doppler harus sama dengan laju peningkatannya akibat pemanasan:

(17)

Gunakan equipartition theorem dalam satu dimensi (one degree of freedom), dan carilah suhu akibat gerakan atom.

(9) Harga minimum suhu Tunjukkan bahwa suhu akan minimum ketika , dan besarnya adalah:

(18)

Ini dikenal sebagai “Doppler limit” dari pendinginan laser.

(10) Tmin untuk atom Na Untuk atom Na, hitunglah Tmin dan juga harga rms (root-mean-square) dari kecepatan.

Jawaban

(1) Daya rata-rata yang terserap Daya adalah hasil kali dari gaya F dan kecepatan elektron . Dengan menurunkan : dan gayanya adalah: Sehingga dayanya adalah:

Ketika kita ambil harga rata-ratanya, , hanya suku yang mengandung yang memberi kontribusi, jadi:

Dengan menggunakan persamaan (2) dan identitas trigonometri

,

Anda dapatkan

Kemudian karena penyinarannya adalah pada frekuensi resonansi, maka dan akan kita dapatkan persamaan (3).

(2) Gaya dari proses penyerapan Gaya adalah perubahan momentum per waktu. Ini sama dengan momentum dikalikan dengan R (laju penyerapan photon), yaitu sama dengan persamaan (3) dibagi dengan energi per photon. Kalau ditulis dalam I dan , R menjadi:

(6)

yang kalau dikalikan dengan momentum per photon ( , di mana adalah the wave number) akan menjadi gaya

(7)

(3) Harga numerik percepatan Ketika , gaya akan menjadi , yang kalau dibagi dengan masa atom sodium akan menjadi percepatan atom tersebut:

Harga ini hampir 105 kali percepatan gravitasi. Harga di atas sebenarnya adalah percepatan maksimum sebuah atom sodium yang terdorong oleh cahaya. Persamaan (7) memberi prakiraan bahwa gaya akan terus semakin besar tanpa batas. Tetapi, model yang kita pakai hanya benar untuk intensitas rendah,

= 12.1 mW/cm2. Pada intensitas tinggi, kita harus memperhitungkan emisi terstimulasi yang mana akan membatasi gaya pada harga .

(4) Doppler shift Dengan mengambil ekspansi binomial persamaan (8) sampai order pertama (to the first order), akan kita dapatkan persamaan (9).

(5) Gaya sebagai fungsi dari percepatan Gaya dari laser yang merambat ke arah + dan – dapat ditulis sebagai:

(10)Jadi gaya totalnya:

Gambar 2 memperlihatkan gaya + dan – (garis putus-putus) serta gaya totalnya dengan mengambil harga dan . Pada kecepatan rendah, ekspansi binomial penyebut (denominators)

menghasilkan:

(12)

Ini merupakan bagian linier dari kurva di sekitaro pada gambar 2. Jadi, persamaan 12 bisa ditulis sebagai di mana:

(13)

Perhatikan bahwa kita hanya akan mendapatkan redaman ( ) ketika frekuensi laser diset (tuned) di bawah resonansi atom ( ). Ini bisa diartikan sebagai berikut. Laser yang berlawanan dengan arah gerak atom akan terlihat memiliki frekuensi lebih tinggi (Doppler shifted up). Ketika laser diset di bawah resonansi, laser yang berlawanan dengan arah gerak atom ini akan lebih dekat ke resonansi sehingga menghasilkan gaya yang lebih besar dibandingkan dengan laser yang merambat searah gerak atom. Sehingga gaya totalnya akan selalu terlihat sebagai gaya yang memperlambat gerak atom. Sebaliknya, kalau frekuensi laser diset di atas resonansi, maka gaya totalnya akan selalu searah dengan gerak atom dan akan mempercepatnya.

Gambar 2

Perhatikan juga bahwa menurut gambar 2, gaya redaman akan lebih efektif dalam internal kecepatan antara dan . Untuk atom sodium, ~ 3 m/s, yang mengindikasikan bahwa atom harus bergerak agak lambat agar pendinginan Doppler menjadi efektif. Ketika gaya redaman ini bekerja, gaya ini menurunkan energi kinetik atom. Karena proses pendinginan ini memanfaatkan efek Doppler, maka disebut sebagai pendinginan Doppler (Doppler cooling).

(6) Lama proses pendinginan Dengan menyatakan laju pengurangan energi terhadap waktu dalam bentuk gaya dan kecepatan, akan kita dapatkan persamaan diferensial berikut:

(14)

di mana M adalah masa atom. Ini menggambarkan peluruhan eksponensial dengan konstanta waktu:

(15)

dengan memasukkan semua harga, akan didapat .

(7) Laju pemanasan Untuk kecepatan rendah,

(19)

Sehingga,

(20)

(8) Suhu kesetimbangan Gunakan persamaan (20), (14), dan (15) untuk mendapatkan energi pada keadaan kesetimbangan:

(21)

Perhatikan bahwa kita telah menggunakan , karena ini adalah satu-satunya kondisi agar pendinginan terjadi. Menurut equipartition theorem, setiap degree of freedom memiliki energi kBT/2. Jadi, suhu kesetimbangannya:

(22)

(9) Suhu minimum Suhu minimum bisa didapat dengan mengambil turunan T terhadap .

(10) Tmin untuk atom Na

Dengan memasukkan harga-harga yang sesuai untuk atom na, kita dapatkan dan harga rms kecepatan yang bersesuaian .

AFMAFM (Atomic Force Microscopy) adalah suatu alat untuk melihat atom. Alat ini menggunakan sebuah cantilever untuk men’scan” permukaan. Ketika scan dimulai, ujung (tip) alat ini menyentuh permukaan dan menggambar permukaan.

a) Pada gambar diatas sebuah cantilever gaya F bekerja pada sebuah cantilever yang panjangnya l. Buktikan bahwa simpangan dari ujung cantilever:

I adalah momen inersia dari cantilever. E adalah modulus Young.

b) Jika AFM beroperasi pada udara yang mengandung uap air. Maka ujung cantilever akan ditutup oleh uap air. Ujung ini akan mengalami gaya kapiler (gaya adhesi).

Anggap suatu gelembung sabun jari-jari r dengan tegangan permukaan Gelembung ini tidak pecah karena tekanan didalam gelembung diimbangi dengan tegangan permukaan.Buktikan bahwa perbedaan tekanan dibagian dalam dan bagian luar gelembung (dinamakan tekanan Laplace) adalah

Tegangan Laplace ini juga bertanggung jawab pada kenaikan cairan dalam pipa kapiler.

Jika > 0 buktikan bahwa

dimana R = r/cos.

Secara umum kita bisa turunkan rumus tekanan Laplace ini:Pada gambar diatas, suatu bidang mempunyai jari-jari kelengkungan R1 dan R2.Jika bagian pada gambar diatas itu kecil kita bisa anggap R1 dan R2 constant.Buktikan bahwa usaha yang diperlukan untuk membentuk tambahan luas adalahW = (xdy + ydx)Dari gambar juga kita peroleh hubungan berikut (buktikan)

Buktikan bahwa tekanan Laplace adalah

dan jika untuk lingkaran (R1 = R2) , kita peroleh P = 2/r.

Pada gambar diatas buktikan bahwa yang bekerja pada bidang seluas x2 adalah F = 4 R cos

dan jika untuk lingkaran (R1 = R2) , kita peroleh P = 2/r.