PEMROGRAMAN LINIER: MODEL TRANSPORTASI · Soal Memaksimumkan. Tulisan ini disusun secara runtun...

i

PEMROGRAMAN LINIER:

MODEL TRANSPORTASI

Oleh:

Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si, M.Si

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA

2015

ii

KATA PENGANTAR

Kebutuhan akan sumber belajar bagi mahasiswa di Jurusan Matematika yang

mengambil mata kuliah Pemrograman Linear, maupun yang akan dan sedang

mengerjakan Tugas Akhir mengenai Pemrograman Linear, khususnya kajian model

transportasi, merupakan pertimbangan disusunnya karya tulis ini. Pemanfaatan karya

tulis ini sebagai sumber belajar diharapkan dapat mengoptimalkan pembelajaran di

kelas, maupun memperlancar proses penyelesaian Tugas Akhir mahasiswa di Jurusan

Matematika, FMIPA Universitas Udayana.

Materi-materi yang disajikan dalam tulisan ini disusun dalam tiga bab, meliputi:

Kajian Transportasi, Pemecahan Masalah Transportasi, dan Kasus-kasus Masalah

Transportasi. Bab Kajian Transportasi membahas mengenai Definisi & Aplikasi Model

Transportasi dan Keseimbangan Model Transportasi. Bagian Pemecahan Masalah

Transportasi membahas tentang Langkah-langkah Dasar dari Teknik Transportasi yang

meliputi Penyelesaian Fisibel Awal dan Proses Menuju Solusi Optimal. Bagian ketiga

menyajikan Kasus-kasus Masalah Transportasi, meliputi: Masalah Transportasi Tidak

Seimbang; Ada jalan Rusak; Penalti Terhadap Permintaan yang Tidak Terpenuhi; dan

Soal Memaksimumkan. Tulisan ini disusun secara runtun bagian demi bagian, dengan

harapan dapat memudahkan pembaca untuk memahami isi materi. Akhir kata, tiada gading yang tak retak , keterbatasan dari isi tulisan ini memerlukan penyempuraan lebih lanjut di masa mendatang. Walaupun demikian,

diharapkan tulisan ini dapat memberikan manfaat yang sebesar-besarnya bagi

pengguna.

Bukit Jimbaran, 11 Desember 2015

Penyusun

iii

DAFTAR ISI

PENGANTAR …………………………………..………………………………………….............................. ii DAFTAR ISI ……………………………………...……………………………….…………………………. iii BAB I. MODEL TRANSPORTASI……….……………………..……………..…............................. 1

1.1 Definisi dan Aplikasi Model Transportasi ….………………………………..…..….. 1.2 Keseimbangan Model Transportasi …..………………………………………………...

1

3

BAB II. PEMECAHAN MASALAH TRANSPORTASI ………………………………………… 6 2.1 Langkah-langkah Dasar dari Teknik Transportasi …………………….….…..…

2.1.1 Penyelesaian Fisibel Awal ………………………….……………………………… 2.1.2 Proses Menuju Solusi Optimal ………………….………………………………..

6

6

15

DAFTAR PUSTAKA ……………………………….…….......…………………………………………….. 29

1

BAB I

MODEL TRANSPORTASI

Model transportasi merupakan salah satu kasus khusus dari persoalan

pemrograman linier. Model transportasi pada dasarnya merupakan sebuah

program linear yang dapat dipecahkan oleh metode simpleks yang biasa. Tetapi,

strukturnya yang khusus memungkinkan pengembangan sebuah prosedur

pemecahan, yang disebut teknik transportasi, yang lebih efisien dalam hal

perhitungan.

1.1 Model Transportasi dan Aplikasinya

Hal-hal yang dibahas dalam persoalan transportasi mencakup masalah

pendistribusian suatu komuditas dari sejumlah sumber (supply) ke sejumlah

tujuan (demand), yang ditujukan untuk meminimalkan terjadinya ongkos

pengangkutan.

Data yang digunakan dalam model meliputi data berikut: (1) Tingkat

penawaran di setiap sumber; (2) Jumlah permintaan di setiap tujuan; dan (3) Biaya

transportasi untuk setiap unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan.

Sebuah tujuan dapat menerima permintaan dari 1 sumber atau lebih dari satu

sumber (karena terdapat hanya satu barang). Model yang dibentuk bertujuan

untuk menentukan jumlah yang harus dikirimkan dari setiap sumber ke setiap

tujuan yang ditujukan untuk meminimalkan biaya transportasi total.

Model transportasi memiliki beberapa kegunaan untuk memecahkan

beberapa permasalahan, diantaranya: permasalahan distribusi (alokasi),

permasalahan bisnis lainnya (alokasi dana untuk investasi, analisis lokasi,

keseimbangan lini perakitan, perencanaan produksi, pengiklanan, dan

pembelanjaan modal).

Ciri- ciri khusus persoalan transportasi menurut Dimyati, et al (2003) adalah:

1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu.

2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber

dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.

3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan,

besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber.

4. Ongkos pengangkutan kapasitas dari suatu sumber ke suatu tujuan,

besarnya tertentu.

Model transportasi dari sebuah jaringan dengan m sumber dan n tujuan

disajikan pada gambar di bawah. Node mewakili sebuah sumber dan tujuan. Busur

mewakili rute pengiriman barang (yang menghubungkan sebuah sumber dan

sebuah tujuan). adalah jumlah penawaran di sumber dan . adalah permintaan di tujuan . adalah biaya unit transportasi antara sumber dan

2

tujuan dan mewakili jumlah barang yang dikirimkan dari sumber i ke tujuan j.

Model LP yang mewakili masalah transportasi, secara umum sebagai berikut:

ai = Jumlah supply pada sumber i

bj = Jumlah permintaan pada tujuan j

cij = Harga satuan transportasi antara sumber i dan tujuan j

Dengan demikian, maka formulasi program linearnya adalah sebagai berikut:

Minimumkan ∑∑ Dengan batasan ∑ ∑

Penetapan bahwa jumlah pengiriman dari sebuah sumber tidak dapat

melebihi penawarannya merupakan kelompok batasan yang pertama dan

kelompok batasan kedua mengharusan jumlah pengiriman ke sebuah tujuan harus

memenuhi permintaannya.

3

Dalam bentuk tabel dapat disajikan seperti berikut ini:

Tujuan

1 2 n Persediaan

Sumber

1

...

2

… … … … …

m

Permintaan

…

1.2 Keseimbangan Model Transportasi

Apabila total supply sama dengan total demand, maka suatu model

transportasi dikatakan seimbang, diwakili oleh persamaan berikut : ∑ ∑ Jika kondisi batasan ini tidak terpenuhi, atau mungkin jumlah supply yang

tersedia mungkin lebih besar atau lebih kecil daripada jumlah yang diminta,

dikatakan bahwa model persoalan disebut sebagai model yang tidak seimbang.

Untuk kondisi model yang tidak seimbang diatasi dengan membuat seimbang

dengan cara memasukkan variabel dummy.

Contoh 1 (Model Transportasi Standar)

MG Auto Company memiliki pabrik di Los Angeles, Detroit, dan New Orleans.

Pusat distribusinya terletak di Denver dan Miami. Kapasitas ketiga pabrik

tersebut selama kwartal berikutnya adalah 1000, 1500, dan 1200 mobil.

Permintaan kwartalan di kedua pusat distribusi adalah 2300 dan 1400 mobil.

Biaya transportasi darat per mobil per mil adalah sekitar 8 sen. Bagan jarak

antara pabrik dan pusat distribusi, sebagai berikut:

4

Denver Miami

Los Angeles 1000 2690

Detroit 1250 1350

New Orleans 1275 850

Bagan jarak di atas diidentifikasi menjadi biaya per mobil dengan tarif 8 sen

per mil, menghasilkan biaya yang mewakili dalam model umum:

Denver

(1)

Miami

(2)

Los Angeles

(1)

80 215

Detroit

(2)

100 108

New Orleans

(3)

102 68

Dari table diatas, karena penawaran total (=1000+1500+1200=3700) sama dengan permintaan total (=2300+1400=3700), maka model transportasi yang

dihasilkan berimbang. Sehingga model LP masalah ini memiliki batasan yang

semuanya berbentuk persamaan:

Minumumkan Dengan batasan

Sebuah metode yang lebih ringkas untuk mewakili model traansportasi ini

adalah menggunakan apa yang kita sebut tabel transportasi. Tabel ini adalah

bentuk matriks dengan baris-baris yang mewakili sumber dan kolom-kolom

5

mewakili tujuan. Unsur biaya diringkaskan dalam sudut timur laut sel matriks . Model MG dapat diringkas seperti diperlihatkan pada tabel.

Tujuan

Denver Miami

(1) ( 2)

Penawaran

Los Angeles (1) 1000

Sumber Detroit (2) 1500

New Orleans (3) 1200

Permintaan 2300 1400

x11

x12

x21

x22

x31

x32

80 215

100 108

102 68

6

BAB II

PEMECAHAN MASALAH TRANSPORTASI

2.1 Langkah-langkah Dasar dari Teknik Transportasi

Dalam bagian ini kami perkenalkan perincian untuk pemecahan model

transportasi. Metode ini menggunakan langkah-langkah metode simpleks secara

langsung dan hanya berbeda dalam perincian penerapan kondisi optimalitas dan

kelayakan.

Langkah-langkah dasar dari teknik transportasi adalah dengan

1. Langkah 1: Menentukan penyelesaian fisibel awal.

2. Langkah 2: Menentukan variabel masuk dari di antara variabel non dasar.

Untuk metode simplek, jika semua variabel masuk memenuhi kondisi

optimalitas, berhenti; jika tidak maka lanjutkan ke langkah 3

3. Langkah 3: Tentukan variabel keluar (menggunakan kondisi kelayakan)

dari di antara variabel-variabel dalam pemecahan dasar saat ini; lalu

temukan pemecahan dasar baru. Selanjutnya kembali ke langkah 2.

1.1.1 Penyelesaian Fisibel Awal

Untuk menentukan penyelesaian awal masalah transportasi dengan

penyelesaian fisibel awal. Beberapa metode yang biasa digunakan, dintaranya:

metode sudut barat laut, metode biaya terendah, dan metode pendekatan Vogel.

Masing-masing metode memiliki keuntungan yang berbeda. Metode sudut barat

laut merupakan metode yang paling mudah, akan tetapi biasanya dibutuhkan lebih

banyak iterasi untuk mencapai penyelesaian optimal dibandingkan dengan metode

biaya terendah atau metode pendekatan Vogel. Tidak ada teori yang akan

menjamin bahwa penyelesaian awal merupakan penyelesaian optimal.

Jika tabel transportasi terdiri dari m baris dan n kolom, maka penyelesaian

awal harus menghasilkan m + n – 1 buah variabel basis (sel yang terisi). Jika penyelesain awal berisi kurang dari m + n – 1 buah variabel basis maka harus ditambahkan variabel dummy agar proses pengecakan keoptimalan dan iterasi

dapat dilakukan.

Metode Sudut Barat Laut ( northwest-corner rule) Contoh :

Tiga pabrik barang dengan kapasitas 90 ton, 60 ton dan 50 ton hendak

mengirim barang ke tiga kota dengan kebutuhan masing – masing kota adalah 50 ton, 110 ton dan 40 ton.

7

Biaya pengiriman (ribuan) dari dari pabrik ke kota disajikan dalam tabel

berikut.

Pabrik Kota

A B C

1 20 5 8

2 15 20 10

3 25 10 19

Tentukan penyelesaian fisibel awal dengan metode sudut barat laut.

Penyelesaian :

Jumlah kapasitas yang dimiliki pabrik 1,2, dan 3 adalah 90 + 60 + 50 = 200

ton, sedangkan jumlah permintaan di setiap kota A,B, dan C adalah 50 + 110

+ 40 = 200 ton. Karena jumlah permintaan dan penawaran sama, proses

iterasi dapat dimulai. Biaya pengiriman perunit barang ditunjukkan pada

ujung kanan atas tiap sel. Disisi kanan merupakan jumlah persediaan

barang dari tiap pabrik, sedangkan sisi bawah tabel adalah jumlah

permintaan tiap kota.

Ujung barat laut dari tabel adalah sel c11 = 20. Sel ini diisi sebanyak

mungkin. Pabrik 1 mempunyai 90 ton barang sedangkan kota A

memerlukan 50 ton. Sehingga x11 diisi sebanyak mungkin, yaitu 50 ton.

Dengan mengisi x11 = 50 maka otomatis permintaan kota A sudah terpenuhi

sehingga x21 dan x31 tidak boleh diisi lagi.

8

Selanjutnya sel c12 = 5 akan diisi dengan barang sebanyak mungkin. Pabrik

1 hanya mempunyai 90 ton dan sudah dikirimkan ke kota A sebanyak 50

ton sehingga tersisa 40 ton. Di sisi lain, kota B membutuhkan sebanyak 110

ton. Maka x12 = 40. Sehingga pabrik 1 sudah kehabisan barang sehingga x13

tidak boleh diisi lagi.

9

Karena barang pabrik 1 sudah habis, selanjutnya ujung barat lautanya

adalah sel c22 = 20. Pabrik 2 memiliki 60 ton barang sedangkan kota B

tinggal membutuhkan 70 ton barang lagi. Maka x22 = 60 dan x23 tidak boleh

diisi lagi. Sehingga semua barang sudah tersalurkan.

Penyelesaian fisibel awal dengan metode sudut barat laut adalah sebagai

berikut:

Biaya total pendistribusian sebesar 50(20) + 40(5) + 60(20) + 10(10) +

40(19) = 3.260 (ribuan).

Jumlah sel basis (sel terisi) = 5 sel, yaitu sama dengan jumlah baris + jumlah

kolom – 1 = 3 + 3 - 1 = 5. Sehingga jumlah basisnya mencukupi dan tidak perlu variabel basis dummy.

Metode Biaya Terendah Metode Biaya Terendah menggunakan cara yang hampir sama

dengan metode sudut barat laut, namun pengisian sel tidak dilakukan dari

sisi barat laut, tetapi dari sel yang biaya pengirimannya terendah. Sel

dengan biaya terendah diisi dengan barang semaksimal mungkin. Sel-sel

yang biaya terendahnya sama, dapat dipilih dengan cara sembarang.

Contoh :

Pertimbangkan soal sebelumnya yang menggunakan metode biaya

terendah.

Penyelesaian :

Biaya terkecil adalah pengiriman dari pabrik 1 ke kota B dengan c12 = 5

sel ini diisi semaksimal mungkin, yaitu sebesar x12 = 90. Sehingga dari

10

sini pabrik 1 sudah kehabisan barang sehingga x11 dan x13 tidak bisa

terisi lagi.

Dari sisa sel yang masih bisa diisi pengiriman dengan biaya terendah adalah

dari pabrik 3 ke kota B dengan biaya c32 = 10. x32 diisi sebanyak 20 untuk

memenuhi permintaan kota b yaitu 110 ton.

Dengan cara yang sama dilakukan untuk sel yang belum terarsir.

Penyelesaian fisibel awal dengan metode biaya terendah adalah sebagai

berikut: Biaya total pendistribusian sebesar 90(5) + 20(15) + 40(10) +

30(25) + 20(10) = 2.100 (ribuan).

11

Kota

A B C Persediaan

1 90

Pabrik

2 60

3 50

Permintaan 50 110 40

90

20

40

30

20

20 8

15 20 10

25 10 19

5

Metode Pendekatan Vogel Metode Pendekatan Vogel menggunakan cara yang lebih kompleks

dibandingkan dengan metode-metode sebelumnya. Tetapi umumnya lebih

mendekati solusi optimalnya.

Langkah-langkah mendapatkan solusi awal dengan Metode Pendekatan

Vogel adalah sebagai berikut :

1. hitunglah selisih dua sel dengan biaya terkecil pada setiap baris dan

kolom

2. Tetukan baris/kolom berdasarkan (1) yang selisihnya terbesar. Jika ada

lebih dari 1, pilihlah secara sembarang.

3. Dari hasil langkah (2), sel dengan biaya terkecil diisi sebanyak

banyaknya. Kemudian hilangkan baris/kolom yang dihabiskan karena

pengisian tersebut pada perhitungan berikutnya. Jika baris dan kolom

terhapus secara bersamaan, maka ditambahkan variabel

buatan/dummy.

4. Ulangi langkah satu sampai tiga hingga semua permintaan/persediaan

habis.

12

Contoh :

Selesaikan contoh sebelumnya dengan metode Pendekatan Vogel.

Penyelesaian :

Perhatikan baris 1, sel yang biayanya terkecil berturut-turut adalah c12

= 5 dan c13 = 8. Selisihnya = 8 – 5 = 3. Dengan cara yang sama dihitung selisih 2 sel dengan biaya terkecil pada

tiap baris dan kolom. Hasilnya sebagai berikut.

Baris atau Kolom 2 Sel dengan Biaya

Terkecil

Selisih

Baris-1 c12 = 5 dan c13 = 8 8 – 5 = 3 Baris-2 c21 = 15 dan c23 = 10 15 – 10 = 5 Baris-3 c32 = 10 dan c33 = 19 19 – 10 = 9* Kolom-1 c11 = 20 dan c21 = 15 20 – 15 = 5 Kolom-2 c12 = 5 dan c32 = 10 10 – 5 = 5 Kolom-3 c13 = 8 dan c23 = 10 10 – 8 = 2

Dari table terlihat bahwa selisih terbesar yaitu 9 terletak pada baris ke

3. Dengan biaya terkecil pada baris ke 3 yaitu c32 = 10. Pada sel ini

dimasukan barang semaksimal mungkin yaitu sebesar 50 ton. Sehingga x32

= 50 ton. Sel lain pada baris 3 tidak diikutkan pada iterasi berikutnya.,

13

karena sudah kehabisan barang. Dengan cara yang sama diperoleh (tentu

saja tanpa melibatkan baris 3) :

Baris atau Kolom 2 Sel dengan Biaya

Terkecil

Selisih

Baris-1 c12 = 5 , c13 = 8 8 – 5 = 3 Baris-2 c21 = 15 , c23 = 10 15 – 10 = 5 Kolom-1 c11 = 20 , c21 = 15 20 – 15 = 5 Kolom-2 c12 = 5 , c22 = 20 20 – 5 = 15* Kolom-3 C13 = 8 , c23 = 10 10 – 8 = 2

Selisih terbesar ada pada kolom 2 yaitu 15, dengan biaya terkecilnya

terletak pada baris 1 yaitu c21 = 5. sel ini diisi barang sebanyak mungkin,

sebesar 110 ton, tetapi karena kolom 2 sudah terpenuhi 50 ton pada iterasi

sebelumnya maka x12 = 60, sel lain pada kolom 2 tidak dapat diisi lagi,

karena sudah terpenuhi

Begitu seterusnya, selisih 2 sel dengan biaya terkecil pada baris 1 dan 2

berturut-turut adalah 12 dan 5. Selisih pada kolom 1 dan 3 adalah 5 dan 2.

Nilai maksimum terjadi pada baris 1, maka x13 = 30 dan baris 1 tidak boleh

diisi lagi.

14

Kota

A B C

selisih

1 90 3 3

12*

Pabrik

2 60 5 5 5

3 50 9* - -

50 110 40

Selisih 5 5 2

5 15* 2

5 - 2

60

30

50

20 8

15 20 10

25 10 19

5

sisanya tinggal sel pada baris yang sama sehingga diisi mulai dari sel yang

biayanya terkecil, yaitu x23 = 10 dan x21 = 50.

Biaya total pendistribusian sebesar 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) +

50(10) = 1.890 (ribuan).

15

Kota

A B C

selisih

1 90 3 3

12*

Pabrik

2 60 5 5 5

3 50 9* - -

50 110 40

Selisih 5 5 2

5 15* 2

5 - 2

60

30

50

10

50

20 8

15 20 10

25 10 19

5

1.1.2 Proses Menuju Solusi Optimal

Solusi Optimal akan diperoleh setelah penentuan solusi awal tadi, dan

langkah berikutnya adalah mengecek apakah solusi tersebut sudah optimal.

Menentukan entering dan leaving variable adalah tahap berikutnya dari

pemecahan persoalan transportasi, setelah solusi fisible awal diperoleh. Cara

menentukan entering dan leaving variable yaitu dengan menggunakan metode

stepping stone dan metode Modified Distribution Method (MODI).

1. Metode Stepping Stone

Syarat : Jumlah rute atau sel yang mendapat alokasi harus sebanyak Jumlah

Kolom + Jumlah Baris – 1 Langkah – langkahnya : i. Memilih salah satu sel kosong (yang tidak mendapatkan alokasi).

16

ii. Mulai dari sel ini, kita membuat jalur tertutup melalui sel-sel yang

mendapatkan alokasi menuju sel kosong terpilih kembali. Jalur tertutup

ini bergerak secara horizontal dan vertikal saja.

iii. Mulai dengan tanda (+) pada sel kosong terpilih, kita menempatkan

tanda (-) dan (+) secara bergantian pada setiap sudut jalur tertutup.

iv. Menghitung indeks perbaikan dengan cara menjumlahkan biaya

transportasi pada sel bertanda (+) dan mengurangkan biaya

transportasi pada sel bertanda (-).

v. Mengulangi tahap 1 sampai 4 hingga indeks perbaikan untuk semua sel

kosong telah terhitung. Jika indeks perbaikan dari sel-sel kosong lebih

besar atau sama dengan nol, solusi optimal telah tercapai.

Contoh :

1) Tiga pabrik barang dengan kapasitas 90 ton, 60 ton dan 50 ton hendak

mengirim barang ke tiga kota dengan kebutuhan masing – masing kota adalah 50 ton, 110 ton dan 40 ton.

Biaya pengiriman (ribuan) dari dari pabrik ke kota disajikan dalam tabel

berikut.

Pabrik Kota

A B C

1 20 5 8

2 15 20 10

3 25 10 19

Berapakan total biaya optimal yang harus dikeluarkan perusahaan

dalam memenuhi kebutuhan ketiga kota tersebut ?

Penyelesaian :

Tabel Transportasi

17

Dengan metode sudut barat laut diperoleh table fisible awal sebagai berikut :

Tabel Alokasi Pertama dengan metode Stepping Stone

Biaya pengiriman untuk alokasi tahap pertama :

50(20) + 40(5) + 60(20) + 10(10) + 40(19) = 3260

Menguji sel–sel yang masih kosong, apakah masih bisa memiliki nilai negatif atau tidak, artinya masih bisa menurunkan biaya transportasi

atau tidak. Sel yang diuji adalah : Sel . Pengujian dilakukan pada setiap sel kosong tersebut dengan menggunakan metode

Stepping Stone. Pada metode ini, pengujian dilakukan mulai dari sel

1

2

3

18

kosong tersebut, selanjutnya bergerak (boleh searah jarum jam dan

boleh berlawanan) secara lurus/tidak boleh diagonal, ke arah sel yang

telah terisi dengan alokasi, begitu seterusnya sampai kembali ke sel

kosong tersebut. Setiap pergerakan ini akan mengurangi dan menambah

secara bergantian biaya pada sel kosong tersebut. Perhatikan tanda

panah dan tanda (+) atau (-) nya.

Pengujian

Sel = 8 – 19 + 10 – 5 = - 6 Sel = 15 – 20 + 5 -20 = - 20 Sel = 10 – 19 + 10 – 20 = - 19 Sel = 25 – 20 + 5 – 10 = 0

Merubah alokasi pengiriman ke sel , yang pengujian sebelumnya memiliki pergerakan :

Dari pergerakan dan tanda (+)/(-) yang ada, perhatikan sel yang

bertanda minus saja, yakni sel dan sel . Dari kedua sel bertanda pergerakan minus ini, pilih sel yang alokasi pengiriman sebelumnya

memiliki alokasi paling kecil. Dan ternyata sel , dengan alokasi sebelumnya 50 ton, dan ini lebih kecil dari alokasi sel yang 60 ton. Selanjutnya angka 50 ton di sel tersebut digunakan untuk mengurangi atau menambah alokasi yang ada selama pengujian (sesuai

tanda pada pergerakan pengujian). Dengan demikian dapat dihasilkan

tabel transportasi sebagai berikut:

19

Sel menjadi 0 karena 50 – 50 = 0 Sel menjadi 90 karena 40 + 50 = 90 Sel menjadi 10 karena 60 – 50 = 10 Sel menjadi 50 karena 0 + 50 = 50

Pengujian : Sel = 20 – 5 + 20 – 15 = 20 (menjadi lebih mahal 20/ton) Sel = 8 – 19 + 10 – 5 = - 6 Sel = 10 – 19 + 10 – 20 = -19 Sel = 25 – 15 + 20 – 10 = 20 (menjadi lebih mahal 20/ton) Dari hasil pengujian tersebut, ternyata sel masih dapat memberikan penurunan biaya sebesar RP 19/ton. Dengan demikian memang perlu

dilakukan perubahan alokasi pengiriman, dengan mencoba

mengalokasikan pengiriman ke sel dengan langkah :





tabel transportasi sebagai berikut :

20

Sel menjadi 0 karena 10 – 10 = 0 Sel menjadi 10 karena 0 + 10 = 10 Sel menjadi 20 karena 10 + 10 = 20 Sel menjadi 50 karena 40 - 10 = 30

Pengujian Sel = 20 – 5 + 10 – 19 + 10 - 15 = 1 (menjadi lebih mahal 1/ton) Sel = 8 – 19 + 10 – 5 = - 6 Sel = 20 – 10 + 19 – 10 = 19 (lebih mahal 19/ton) Sel = 25 – 15 + 10 – 19 = 1 (menjadi lebih mahal 1/ton) Dari hasil pengujian tersebut, ternyata sel masih dapat memberikan penurunan biaya sebesar 6/ton. Dengan demikian memang perlu

dilakukan perubahan alokasi pengiriman, dengan mencoba

mengalokasikan pengiriman ke sel dengan langkah :





tabel transportasi sebagai berikut :

21

Sel menjadi 60 karena 90 – 30 = 60 Sel menjadi 30 karena 0 + 30 = 30 Sel menjadi 50 karena 20 + 30 = 50 Sel menjadi 0 karena 30 - 30 = 0 Nilai alokasi pada sel dan tidak mengalami perubahan karena tidak termasuk dalam pergerakan pengujian sel tersebut.

Pengujian Sel = 20 – 8 + 10 – 15 = 7 → menjadi lebih mahal 7/ton Sel = 20 – 5 + 8 – 10 = 13 → menjadi lebih mahal 13/ton Sel = 25 – 15 + 10 – 8 + 5 - 10 = 7 → lebih mahal 7/ton Sel = 19 – 10 + 5 – 8 = 6 → menjadi lebih mahal 6/ton) Dari hasil pengujian tersebut, ternyata semua sel sudah tidak ada yang

bernilai negatif lagi, atau dengan kata lain semua sel sudah tidak dapat

memberikan penurunan biaya lagi, sehingga dengan demikian dapat

dikatakan kasus telah optimal, dengan total biaya :

Biaya mengirim 60 ton dari P1 ke kota B = 60 x 5 = 300

Biaya mengirim 30 ton dari P1 ke kota C = 30 x 8 = 240

Biaya mengirim 50 ton dari P2 ke kota A = 50 x 15 = 750

Biaya mengirim 10 ton dari P2 ke kota C = 10 x 10 = 100

Biaya mengirim 50 ton dari P3 ke kota B = 50 x 10 = 500

-----------------------------------------------------------------------------+

Total biaya pengirimannya = 1890

Kesimpulan :

Jadi, total biaya optimal yang harus dikeluarkan perusahaan dalam

memenuhi kebutuhan ketiga kota tersebut adalah Rp. 1.890.000,00.

2. Modified Distribution Method (Metode MODI)

Metode MODI menghitung indeks perbaikan untuk setiap sel kosong

tanpa menggunakan jalur tertutup. Indeks perbaikan dihitung dengan

terlebih dahulu menentukan nilai baris dan kolom. Notasi dalam metode

MODI terdiri dari:

22

Ri = nilai yang ditetapkan untuk baris i

Kj = nilai yang ditetapkan untuk kolom j

cij = biaya transportasi dari sumber i ke tujuan j

Ada lima langkah dalam aplikasi metode MODI, yaitu :

1) Menghitung nilai setiap baris dan kolom, dengan menetapkan Ri +Kj

= cij

Formula tersebut berlaku untuk sel yang mendapat alokasi saja.

2) Setelah semua persamaan telah tertulis, tetapkan R1 = 0

3) Mencari solusi untuk semua R dan K.

4) Menghitung indeks perbaikan dengan menggunakan formula cij - Ri -

Kj

5) Mengaplikasikan kriteria optimalitas sebagaimana pada metode

stepping stone.

Contoh :

Dengan kasus yang sama seperti contoh pada metode stepping stone.

Berapakan total biaya optimal yang harus dikeluarkan perusahaan dalam

memenuhi kebutuhan ketiga kota tersebut?

Penyelesaian :

Langkah-langkah:

Tabel awal yang digunakan adalah tabel NWC

Perubahan Alokasi 1 a) Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom.

b) Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan

rumus:

Nilai baris 1 = R1 = 0

Mencari nilai kolom A :

0 + KA = 20, nilai kolom A = 20

Mencari nilai kolom dan baris yang lain :

; 0 + KB = 5 ; KB = 5

23

; R2 + 5 = 20 ; R2 = 15 ; R3 + 5 = 10 ; R3 = 5 ; 5 + KC = 19 ; KC = 14

Nilai–nilai ini kemudian diletakkan pada baris/kolom yang bersangkutan, seperti terlihat pada tabel berikut :

c) Menghitung index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus:

Index perbaikan = Sel Indeks Perbaikan

2 – A 15 – 15 – 20 -20 3 – A 25 – 5 – 20 0 1 – C 8 – 0 – 14 -6 2 – C 10 – 15 – 14 -19

d) Memilih titik tolak perubahan

Sel yang mempunyai indeks perbaikan negatif berarti bila diberi

alokasi akan dapat mengurangi jumlah biaya pengangkutan. Bila

nilainya positif berarti pengisian akan menyebabkan kenaikan biaya

pengangkutan.

Sel yang merupakan titik tolak perubahan adalah sel yang indeksnya bertanda negatif , dan angkanya terbesar . Dalam tabel diatas ternyata yang memenuhi syarat adalah sel 2 – A. Oleh karena itu sel ini dipilih sebagai sel yang akan diisi.

e) Memperbaiki alokasi

Buat jalur tertutup.

Biaya transportasi = 90 (5) + 50 (15) + 10 (20) + 10 (10) + 40 (19) =

2260

f) Ulangi langkah – langkah tersebut sampai diperoleh biaya terendah.

Perubahan Alokasi ke-2 a) Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom.

24


rumus : Nilai baris 1 = R1 = 0

Mencari nilai kolom B :

0 + KB = 5, nilai kolom B = 5


; R2 + 5 = 20 ; R2 = 15 ; 15 + KA = 15 ; KA = 0 ; R3 + 5 = 10 ; R3 = 5 ; 5 + KC = 19 ; KC = 14



Index perbaikan = Sel

Indeks Perbaikan

1 – A 20 – 0 – 0 20 1 – C 8 – 0 – 14 -6 2 – C 10 – 15 – 14 -19 3 – A 25 – 5 – 0 20


Sel yang merupakan titik tolak perubahan adalah sel 2 – C. e) Memperbaiki alokasi

25

Biaya transportasi = 90 (50) + 50 (15) + 10 (10) + 20 (10) + 30 (19)

= 2070

Perubahan Alokasi ke-3 a) Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom.


rumus: Nilai baris 1 = R1 = 0

Mencari nilai kolom B :

0 + KB = 5, nilai kolom B = 5


; R3 + 5 = 10 ; R3 = 5 ; 5 + KC = 19 ; KC = 14 ; R2 + 14 = 10 ; R2 = -4 ; -4 + KA = 15 ; KC = 19


26



1 – A 20 – 0 – 19 1 1 – C 8 – 0 – 14 -6 2 – B 20 + 4 – 5 19 3 – A 25 – 5 – 19 1


Sel yang merupakan titik tolak perubahan adalah sel 1 – C. e) Memperbaiki alokasi

Buat jalur tertutup.

Biaya transportasi = 60 (5) + 30 (8) + 50 (15) + 10 (10) + 50 (10) =

1890

Perubahan Alokasi ke -4 a) Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom.


rumus :

Nilai baris 1 = R1 = 0

Mencari nilai kolom B : 0 + KB = 5, nilai kolom B = 5

Mencari nilai kolom dan baris yang lain : ; 0 + KC = 8 ; KC = 8 ; R2 + 8 = 10 ; R2 = 2 ; 2 + KA = 15 ; KA = 13 ; R3 + 5 = 10 ; R3 = 5

27

Nilai – nilai ini kemudian diletakkan pada baris/kolom yang bersangkutan, seperti terlihat pada tabel berikut :



1– A 20 – 0 – 13 7 2 – B 20 – 2 – 5 13 3 – A 25 – 5 – 5 15 3 – C 19 – 5 – 8 6

Karena indeks perbaikan pada setiap sel sudah tidak ada yang

negatif, maka tabel pada perubahan alokasi ke-3 sudah optimal.

Kesimpulan Jadi, total biaya optimal yang harus dikeluarkan perusahaan dalam

memenuhi kebutuhan ketiga kota tersebut adalah Rp. 1.890.000,00

28

DAFTAR PUSTAKA

Taha, Hamdy A. 1982. Riset Operasi Jilid 1. Tanggerang : Binarupa Aksara.

Siang, Jong Jek. 2011. Riset Operasi dalam Pendekatan Algoritma. Yogyakarta: ANDI.

Dimyati, Tjutju Tarliah dan Akhmad Dimyati. 2003. Operations Research Model– model Pengambilan Keputusan. Bandung: Sinar Baru Algensindo.

Subagyo, Pangestu dkk. 2000. Dasar – dasar Operations Research. Yogyakarta : BPFE Yogyakarta.

PEMROGRAMAN LINIER:

MODEL TRANSPORTASIby Ni Ketut Tari Tastrawati

FILE

TIME SUBMITTED 07-FEB-2016 07:09PM

SUBMISSION ID 628713855

WORD COUNT 4377

CHARACTER COUNT 23667

MODEL_TRANSPORTASI_NILA_EDIT.PDF (1.34M)

16%SIMILARITY INDEX

16%INTERNET SOURCES

0%PUBLICATIONS

0%STUDENT PAPERS

1 8%

2 5%

3 2%

4 1%

5

PEMROGRAMAN LINIER: MODEL TRANSPORTASI · Soal Memaksimumkan. Tulisan ini disusun secara runtun...

Documents

Transcript of PEMROGRAMAN LINIER: MODEL TRANSPORTASI · Soal Memaksimumkan. Tulisan ini disusun secara runtun...