Pemrograman Linier (3)Metode Big-M

Ahmad Sabri

Universitas Gunadarma, Indonesia

1

2

Pada model PL di mana semua kendala memiliki relasi ≤, variabel basispada solusi awal (tabel simpleks awal) adalah Z dan semua variabel slack.

Namun tidak demikian halnya untuk model PL yang memiliki kendala =atau ≥.

Prosedur simpleks untuk menyelesaikan model PL yang memiliki kendala= atau ≥ dapat menggunakan salah satu metode di bawah ini:

Metode Big M, atau

Metode dua fase

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 2 / 19

2

Pada model PL di mana semua kendala memiliki relasi ≤, variabel basispada solusi awal (tabel simpleks awal) adalah Z dan semua variabel slack.

Namun tidak demikian halnya untuk model PL yang memiliki kendala =atau ≥.

Prosedur simpleks untuk menyelesaikan model PL yang memiliki kendala= atau ≥ dapat menggunakan salah satu metode di bawah ini:

Metode Big M, atau

Metode dua fase

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 2 / 19

2

Pada model PL di mana semua kendala memiliki relasi ≤, variabel basispada solusi awal (tabel simpleks awal) adalah Z dan semua variabel slack.

Namun tidak demikian halnya untuk model PL yang memiliki kendala =atau ≥.

Prosedur simpleks untuk menyelesaikan model PL yang memiliki kendala= atau ≥ dapat menggunakan salah satu metode di bawah ini:

Metode Big M, atau

Metode dua fase

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 2 / 19

3

Metode Big M : gambaran umum

Dalam bentuk baku, pada kendala dengan relasi ≥ atau = tidak terdapatvariabel slack.

Pada kedua jenis kendala tersebut, digunakan variabel yang berfungsiseolah-olah sebagai slack. Variabel ini dinamakan variabel artifisial(umumnya dilambangkan sebagai R).

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 3 / 19

3

Metode Big M : gambaran umum

Dalam bentuk baku, pada kendala dengan relasi ≥ atau = tidak terdapatvariabel slack.

Pada kedua jenis kendala tersebut, digunakan variabel yang berfungsiseolah-olah sebagai slack. Variabel ini dinamakan variabel artifisial(umumnya dilambangkan sebagai R).

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 3 / 19

4

Metode Big M : gambaran umum

Pada tabel awal simpleks, variabel artifisial terdapat pada basis. Namunpada tabel akhir (solusi optimal), semua variabel artifisial harus keluar daribasis (dengan kata lain, harus bernilai 0). (Catatan: hal ini terjadi jikaproblem memiliki solusi layak.)

Untuk ‘memaksa’nya keluar dari basis, setiap variabel artifisial diberipenalti pada fungsi objektif,

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 4 / 19

4

Metode Big M : gambaran umum

Pada tabel awal simpleks, variabel artifisial terdapat pada basis. Namunpada tabel akhir (solusi optimal), semua variabel artifisial harus keluar daribasis (dengan kata lain, harus bernilai 0). (Catatan: hal ini terjadi jikaproblem memiliki solusi layak.)

Untuk ‘memaksa’nya keluar dari basis, setiap variabel artifisial diberipenalti pada fungsi objektif,

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 4 / 19

5

Aturan penalti untuk variabel artifisial

Diberikan M sebagai nilai yang sangat besar (secara matematis,M →∞). Setiap variabel artifisial diberi penalti pada fungsi objektif,dengan memberinya koefisien sebesar:

−M pada masalah maksimisasi, atau

+M pada masalah minimisasi

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 5 / 19

6

Contoh

Min Z = 4x1 + x2

Dengan kendala:3x1 + x2 = 34x1 + 3x2 ≥ 6x1 + 2x2 ≤ 4x1, x2 ≥ 0

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 6 / 19

7

Bentuk baku:

Min Z = 4x1 + x2

Dengan kendala:3x1 + x2 = 34x1 + 3x2−s1 = 6x1 + 2x2 +s2 = 4

x1, x2, s1, s2 ≥ 0

Keterangan:s1: variabel surplus, s2: variabel slack

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 7 / 19

8

Bentuk baku:

Min Z = 4x1 + x2 +MR1 +MR2

Dengan kendala:3x1 + x2 +R1 = 34x1 + 3x2 − s1 +R2 = 6x1 + 2x2 + s2 = 4

x1, x2, s1, s2, R1, R2 ≥ 0

Keterangan:R1 dan R2 adalah variabel artifisial.M adalah penalti untuk R1 dan R2 pada fungsi objektif.

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 8 / 19

9

Untuk memudahkan proses komputasi pada komputer, M umumnyadisubstitusi dengan bilangan yang sangat besar.

Namun pada prakteknya, M tidak perlu sangat besar; namun cukup besarjika dibandingkan dengan koefisien variabel keputusan pada fungsi objektif.

Sebagai contoh, koefisien untuk x1 dan x2 pada fungsi objektif adalah 4dan 1. Oleh karena itu, cukup wajar jika M bernilai 100 (relatif besarterhadap 4 dan 1).

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 9 / 19

9

Untuk memudahkan proses komputasi pada komputer, M umumnyadisubstitusi dengan bilangan yang sangat besar.

Namun pada prakteknya, M tidak perlu sangat besar; namun cukup besarjika dibandingkan dengan koefisien variabel keputusan pada fungsi objektif.

Sebagai contoh, koefisien untuk x1 dan x2 pada fungsi objektif adalah 4dan 1. Oleh karena itu, cukup wajar jika M bernilai 100 (relatif besarterhadap 4 dan 1).

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 9 / 19

9

Untuk memudahkan proses komputasi pada komputer, M umumnyadisubstitusi dengan bilangan yang sangat besar.

Namun pada prakteknya, M tidak perlu sangat besar; namun cukup besarjika dibandingkan dengan koefisien variabel keputusan pada fungsi objektif.

Sebagai contoh, koefisien untuk x1 dan x2 pada fungsi objektif adalah 4dan 1. Oleh karena itu, cukup wajar jika M bernilai 100 (relatif besarterhadap 4 dan 1).

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 9 / 19

10

Iterasi ke-0: tabel simpleks awal

Itr. No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 -4 -1 0 -100 -100 0 0(1) R1 0 3 1 0 1 0 0 3

0 (2) R2 0 4 3 -1 0 1 0 6(3) s2 0 1 2 0 0 0 1 4

Perhatikan bahwa x1 = 0, x2 = 0, R1 = 3, R2 = 6, sehinggaZ = 4(0) + (0) + 100(3) + 100(6) = 900.

Padahal, dari tabel diperoleh Z = 0 (terdapat inkonsistensi).

Untuk mengatasinya, koefisien R1 dan R2 pada baris 0 (baris Z) harus dijadikan0, dengan cara:

(0)baru = (0)lama + (100× (1) + 100× (2))

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 10 / 19

10

Iterasi ke-0: tabel simpleks awal

Itr. No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 -4 -1 0 -100 -100 0 0(1) R1 0 3 1 0 1 0 0 3

0 (2) R2 0 4 3 -1 0 1 0 6(3) s2 0 1 2 0 0 0 1 4

Perhatikan bahwa x1 = 0, x2 = 0, R1 = 3, R2 = 6, sehinggaZ = 4(0) + (0) + 100(3) + 100(6) = 900.

Padahal, dari tabel diperoleh Z = 0 (terdapat inkonsistensi).

Untuk mengatasinya, koefisien R1 dan R2 pada baris 0 (baris Z) harus dijadikan0, dengan cara:

(0)baru = (0)lama + (100× (1) + 100× (2))

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 10 / 19

10

Iterasi ke-0: tabel simpleks awal

Itr. No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 -4 -1 0 -100 -100 0 0(1) R1 0 3 1 0 1 0 0 3

0 (2) R2 0 4 3 -1 0 1 0 6(3) s2 0 1 2 0 0 0 1 4

Perhatikan bahwa x1 = 0, x2 = 0, R1 = 3, R2 = 6, sehinggaZ = 4(0) + (0) + 100(3) + 100(6) = 900.

Padahal, dari tabel diperoleh Z = 0 (terdapat inkonsistensi).

Untuk mengatasinya, koefisien R1 dan R2 pada baris 0 (baris Z) harus dijadikan0, dengan cara:

(0)baru = (0)lama + (100× (1) + 100× (2))

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 10 / 19

10

Iterasi ke-0: tabel simpleks awal

Itr. No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 -4 -1 0 -100 -100 0 0(1) R1 0 3 1 0 1 0 0 3

0 (2) R2 0 4 3 -1 0 1 0 6(3) s2 0 1 2 0 0 0 1 4

Perhatikan bahwa x1 = 0, x2 = 0, R1 = 3, R2 = 6, sehinggaZ = 4(0) + (0) + 100(3) + 100(6) = 900.

Padahal, dari tabel diperoleh Z = 0 (terdapat inkonsistensi).

Untuk mengatasinya, koefisien R1 dan R2 pada baris 0 (baris Z) harus dijadikan0, dengan cara:

(0)baru = (0)lama + (100× (1) + 100× (2))

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 10 / 19

11

Iterasi ke-0: tabel simpleks awal termodifikasi

Itr. No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 696 399 -100 0 0 0 900(1) R1 0 3 1 0 1 0 0 3

0 (2) R2 0 4 3 -1 0 1 0 6(3) s2 0 1 2 0 0 0 1 4

Solusi dasar awal:x1 = 0, x2 = 0, R1 = 3, R2 = 6, Z = 900.

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 11 / 19

11

Iterasi ke-0: tabel simpleks awal termodifikasi

Itr. No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 696 399 -100 0 0 0 900(1) R1 0 3 1 0 1 0 0 3

0 (2) R2 0 4 3 -1 0 1 0 6(3) s2 0 1 2 0 0 0 1 4

Solusi dasar awal:x1 = 0, x2 = 0, R1 = 3, R2 = 6, Z = 900.

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 11 / 19

12

Update tabel: kolom pivot (variabel masuk basis)

Problem minimisasi: kolom pivot adalah kolom dengan koefisien paling positifpada baris (0).

No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 696 399 -100 0 0 0 900(1) R1 0 3 1 0 1 0 0 3(2) R2 0 4 3 -1 0 1 0 6(3) s2 0 1 2 0 0 0 1 4

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 12 / 19

13

Update tabel: menghitung rasio

No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 696 399 -100 0 0 0 900(1) R1 0 3 1 0 1 0 0 3 1(2) R2 0 4 3 -1 0 1 0 6 1,5(3) s2 0 1 2 0 0 0 1 4 4

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 13 / 19

14

Update tabel: baris pivot (variabel keluar basis)

No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 696 399 -100 0 0 0 900(1) R1 0 3 1 0 1 0 0 3 1(2) R2 0 4 3 -1 0 1 0 6 1,5(3) s2 0 1 2 0 0 0 1 4 4

Elemen pivot = 3Masuk basis: x1

Keluar basis: R1

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 14 / 19

15

Iterasi ke-1

Itr. No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 0 167 -100 -232 0 0 204(1) x1 0 1 1

3 0 13 0 0 1

1 (2) R2 0 0 53 -1 - 43 1 0 2

(3) s2 0 0 53 0 - 13 0 1 3

x1 = 1, x2 = 0, Z = 204 (Belum optimal)

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 15 / 19

16

Update tabel: kolom pivot

No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 0 167 -100 -232 0 0 204(1) x1 0 1 1

3 0 13 0 0 1

(2) R2 0 0 53 -1 - 43 1 0 2

(3) s2 0 0 53 0 - 13 0 1 3

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 16 / 19

17

Update tabel: menghitung rasio

No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 0 167 -100 -232 0 0 204(1) x1 0 1 1

3 0 13 0 0 1 3

(2) R2 0 0 53 -1 - 43 1 0 2 6

5(3) s2 0 0 5

3 0 - 13 0 1 3 95

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 17 / 19

18

Update tabel: baris pivot

No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 0 167 -100 -232 0 0 204(1) x1 0 1 1

3 0 13 0 0 1 3

(2) R2 0 0 53 -1 - 43 1 0 2 6

5(3) s2 0 0 5

3 0 - 13 0 1 3 95

Elemen pivot = 53

Variabel masuk: x2

Variabel keluar: R2

Perhatikan bahwa pada tahap ini, variabel artifisial R1 dan R2 sudah keluar daribasis.

Dibutuhkan dua iterasi lagi untuk mencapai optimal, yaitu:x1 = 2

5 , x2 = 95 , dan Z = 17

5 (Harap diperiksa!!)

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 18 / 19

18

Update tabel: baris pivot

No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 0 167 -100 -232 0 0 204(1) x1 0 1 1

3 0 13 0 0 1 3

(2) R2 0 0 53 -1 - 43 1 0 2 6

5(3) s2 0 0 5

3 0 - 13 0 1 3 95

Elemen pivot = 53

Variabel masuk: x2

Variabel keluar: R2

Perhatikan bahwa pada tahap ini, variabel artifisial R1 dan R2 sudah keluar daribasis.

Dibutuhkan dua iterasi lagi untuk mencapai optimal, yaitu:x1 = 2

5 , x2 = 95 , dan Z = 17

5 (Harap diperiksa!!)

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 18 / 19

18

Update tabel: baris pivot

No. Basis Z x1 x2 s1 R1 R2 s2 Solusi Rasio(0) Z 1 0 167 -100 -232 0 0 204(1) x1 0 1 1

3 0 13 0 0 1 3

(2) R2 0 0 53 -1 - 43 1 0 2 6

5(3) s2 0 0 5

3 0 - 13 0 1 3 95

Elemen pivot = 53

Variabel masuk: x2

Variabel keluar: R2

Perhatikan bahwa pada tahap ini, variabel artifisial R1 dan R2 sudah keluar daribasis.

Dibutuhkan dua iterasi lagi untuk mencapai optimal, yaitu:x1 = 2

5 , x2 = 95 , dan Z = 17

5 (Harap diperiksa!!)

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 18 / 19

19

Contoh

Min Z = 4x1 + 5x2

Dengan kendala:3x1 + x2 ≤ 275x1 + 5x2 = 66x1 + 4x2 ≥ 6x1, x2 ≥ 0

Temukan solusi optimalnya dengan menggunakan metode simpleks Big M.

Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (3) 19 / 19