Pemetaan sifat sifat homomorfisme
-
Upload
dianto-irawan -
Category
Travel
-
view
808 -
download
8
description
Transcript of Pemetaan sifat sifat homomorfisme
PEMETAANSifat – Sifat Homomorfisme
Contoh 3:
B : {…, -2, -3, 0, 1, 2, …} dan (B, +) grup
Perhatikan pemetaan dengan
,
,
,
Berarti suatu homomorfisme, karena pemetaannya
dari B ke B, maka merupakan endomorfisme.
Perhatikan pementaan
, - x
, - y
, = - (x + y)
= (- x) + (- y)
= x
Berarti suatu homomorfisme, karena pemetaannya
dari B ke B dan merupakan pemetaan bijektif, maka
suatu automorfisme.
Teorema 8.1:
Misalakan dan adalah grup, sedangkan pemetaan
merupakan homomorfisme, maka:
i. (i) = , i elemen identitas dalam G dan adalah
elemen identitas dalam G
ii. (x-1) = (x)-1 untuk setiap .
(x)-1 ialah ()-1 yaitu invers dari (x) dalam
Sifat-Sifat Homomorfisme
Bukti:
Akan dibuktikan dengan I elemen identitas G dan
elemen identitas
i. adalah elemen identitas dalam maka (x-1)* .
Untuk dan maka , sehingga .
Jadi =
= karena homomorfisme
.
ii. Akan dibuktikan bahwa
untuk setiap .
Maka karena untuk setiap .
Teorema tersebut dapat dikatakan bahwa (i) peta
(bayangan) elemen identitas dalam G adalah
elemen identitias dan (ii) bayangan invers x
dalam G adalah invers bayangan x dalam .
Jadi apabila merupakan homomorfisme dan G
merupakan suatu grup, maka adalah grup. Tetapi
apabila suatu grup maka G belum tentu merupakan
grup.
Teorema 8.2:
Jika homomorfisme dan G merupakan grup
komulatif, maka merupakan grup komulatif.
Bukti:
Ambil a, b, dan dengan
Dan , serta dan
G grup komulatif,
Jadi memenuhi
yang berarti grup komulatif.
Teorema 8.3:
Misalkan dan adalah grup.
Jika pemetaan merupakan homomorfisme yang
surjektif, maka -1 adalah subgrup normal dari G.
Jadi merupakan subgrup normal dari G.
Dengan perkataan lain, himpunan semua yang
memenuhi , merupakan subgrup normal N dari G.
Bukti:
1) Akan dibuktikan bahwa N subgrup, yaitu jika ab
maka ab-1
Ambil maka dan
=
(ab-1) =(b-1)
=-1
= -1 =
Jadi ab-1 dan N merupakan subgrup.
2)Akan dibuktikan bahwa N subgrup normal, yaitu
jika g dan n maka g . n . g-1
-1) = -1)
= -1 =
Jadi g . n . g-1 dan N subgrup normal.
Himpunan disebut inti (kemel) dari pemetaan
tersebut, dan dinyatakan dengan ker.
Teorema 8.4:
Misalkan dan adalah grup, sedangkan adalah
homomorfisme dari G ke . Himpunan semua peta
(bayangan) anggota dari G dalam oleh
homomorfisme merupakan subgrup dari .
Teorema 8.5:
Misalkan G suatu grup dan N subgrup nrmal dari G.
Sedangkan G/N grup faktor.
Jika pemetaan didefinisikan oleh untuk setiap ,
maka suatu homomorfisme.
TERIMA KASIH
CREATED BY IKHWAN KOMPUTER