3. Transformasi LaplacePersamaan differensial mempunyai penyelesaian yang mengandung beberapa

konstanta integrasi yang tidak diketahui seperti A, B, C. Nilai dari konstanta-konstanta ini,

diperoleh dengan menerapkan syarat–syarat batas pada penyelesaiannya, suatu prosedur

yang seringkali cukup panjang. Salah satu tipe persamaan differensial tertentu dapat

diketahui dengan menghitung selama proses penyelesaian, yang lebih sederhana.

Metode ini bergantung pada transformasi Laplace (Laplace transform). Jika f(x)

adalah suatu fungsi pada x yang terdefinisi untuk x ≥ 0, maka transformasi Laplace dari

f(x), dinotasikan dengan L{f(x)}, :

L{f(x)} = dxf(x)e0x

sx∫∞

=

−

dengan s adalah suatu variabel yang nilai-nilainya dipilih sedemikian hingga integral semi-

infinitifnya selalu konvergen.

Contoh 51

Carilah transformasi Laplace dari f(x) = 1 ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{1} = dx(1)e0x

sx∫∞

=

− , untuk s = 0

Maka,

L{1} = dxe0x

sx∫∞

=

−

= dxe0x

(0)(x)∫∞

=

− = dx1limR

0xR ∫

=∞→

= R

0Rxlim

∞→ = Rlim

R ∞→ = ∞

∴Integralnya Divergen. Untuk s ≠ 0

dxe0x

sx∫∞

=

− = dxelimR

0x

sx

R ∫=

−

∞→

= R

0x

sx

Re

s1lim

=

−

∞→

− =

+− −

∞→ s1e

s1lim sR

R

6464

Untuk s < 0, –sR > 0; maka limitnya adalah ∞ dan integralnya menjadi divergen. Untuk

s > 0, – sR < 0; maka limitnya adalah s1

dan integralnya konvergen, maka L{1} = s1

, s>0.

Dengan cara yang sama, jika k adalah sembarang konstanta maka berlaku,

L{k} = sk

, s > 0.

Contoh 52

Tentukan transformasi Laplace dari f(x) = e-kx, x ≥ 0 dengan k adalah konstanta?

Penyelesaian

Diketahui,

L{f(x)} = f(x)dxe0x

sx∫∞

=

−

Maka,

L{ e-kx } = dxee0x

sx kx−∞

=

−∫

= dxeelimR

0x

kxsx

R ∫=

−−

∞→

= R

0x

k)x(s

R k)(selim

=

+−

∞→

+−

=

+−

−+−

∞→ k)(s1elim

k)R(s

R

= k)(s1+ , s + k > 0, jika s < – k integralnya menjadi divergen.

Contoh 53

Carilah transformasi Laplace dari f(x) = x2 ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{ x2} = dx)(xe 2

0x

sx∫∞

=

−

= dxexlimR

0x

sx2

R ∫=

−

∞→ =

R

0x

sx3

sx2

sx2

Re

s2e

s2xe

sxlim

=

−−−

∞→

−−−

=

+−−− −−−

∞→ 3sR

3sR

2sR

2

R s2e

s2e

s2Re

sRlim

6565

Untuk s < 0,

− −

∞→

sR2

Re

sRlim = ∞, dan bentuk integralnya divergen. Untuk s > 0, dengan

menggunakan aturan L’Hopital’s diketahui,

− −

∞→

sR2

Re

sRlim = sR

2

R seRlim −

∞→ = sR2

R es2Rlim −

∞→ = sR3

R es2lim −

∞→= 0

− −

∞→

sR

Re

s2Rlim = sR2

R es2Rlim −

∞→ = sR3

R es2lim −

∞→= 0

dengan cara yang sama diketahui,

− −

∞→

sR3R

es2lim = 0,

sehingga integral soal di atas konvergen dan F(s) = 3s2

.

Untuk s = 0,

dx)(xe 2

0x

sx∫∞

=

− = dx)(xe 2

0x

s(0)∫∞

=

− = dxxlimR

0x

2

R ∫=

∞→ = dx

3Rlim

3

R ∞→= ∞.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa L{ x2} = 3s2

, untuk s > 0.

Contoh 54

Carilah transformasi Laplace dari f(x) = xekx ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{xekx}= dxxee kx

0x

sx∫∞

=

− = dxxe0x

s)x∫∞

=

−k( =

−−

− ∫

==

−

∞→dx

ske

skxelim

R

0x

s)x-(kR

0x

s)x(k

R

= R

0x=

−

∞→

−

−

− 2

s)x-(ks)x(k

R s)(ke

skxelim

=

−

−−

−−

−

−

−−

∞→ 22

s)R(ks)R(k

R s)(k1

s)(ke

s)(k0

skRelim

= 2s)-(k1

+ sk

elimsk

Relims)R(k

R

s)R(k

R −−

−

−

∞→

−

∞→ = 2s)-(k

1, untuk s > k

6666

Contoh 55

Carilah L{sin kt}, k adalah konstanta?

Penyelesaian

Diketahui,

Dengan menggunakan rumus dan Integral parsil, maka

dtβt sine αt∫ = 22

αt

βαβt)cosββtsin(αe

+−

dan

dtβt cose αt∫ = 22

αt

βαβt)sinββtcos(αe

++

, sehingga

L{sin kt}= dtkt sine0t

st∫∞

=

− = dtktsinelimP

0t

st-

P ∫=

∞→=

P

022

-st

P kskt)coskktsins(elim

+−−

∞→

=

+

−−−+∞→ 22

sP

22P kskP)coskkPsins(e

ksklim

= 22 ksk+

, untuk s > 0.

Contoh 56

Carilah L{cos kt}, k adalah konstanta?

Penyelesaian

Diketahui,

L{cos kt}= dtkt cose0t

st∫∞

=

− = dtktcoselimP

0t

st-

P ∫=

∞→=

P

022

-st

P kskt)sinkktcoss(elim

++−

∞→

=

+

−−+∞→ 22

-sP

22P kskP)sinkkPcos(se

ksslim

= 22 kss

+, untuk s > 0.

Contoh 57

Carilah L{eiat}, ia adalah konstanta bilangan kompleks?

Penyelesaian

Diketahui dari penyelesaian contoh 52,

L{eiat}= dxee iat

0x

sx∫∞

=

− = ias

1−

= 22 asias

++

6767

Dari Formula Euler, diketahui bahwa eiat = cos at + i sin at,

Jadi,

L{eiat}= dxee iat

0x

sx∫∞

=

−

= dtat)siniat (cose0t

st +∫∞

=

−

= ∫∫∞

=

−∞

=

− +0t

st

0t

st dtatsineidtat cose

= L{cos at} + i L{sin at}

= 22 ass+

+ i 22 asa+

.

Contoh 58

Tentukan transformasi Laplace dari f(x) = e3x ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{e3x} = dxee0x

sx x3∫∞

=

−

= dxeelimR

0x

3xsx

R ∫=

−

∞→

= R

0x

3)x(s

R 3)(selim

=

−−

∞→

−−

=

−−

−−

∞→ 3)(s1elim

3)R-(s

R

= 3)(s1− . s > 3

Contoh 59

Tentukan transformasi Laplace dari f(x) = e-4x ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{ e-4x } = dxee0x

sx x4−∞

=

−∫

= dxeelimR

0x

4x-sx

R ∫=

−

∞→

6868

= R

0x

4)x(s

R 4)(selim

=

+−

∞→

+−

=

+−

−+−

∞→ 4)(s1elim

4)R(s

R

= 4)(s1+ . s < – 4.

Contoh 60

Carilah L{sin πt} ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{sin πt}= dtπt sine0t

st∫∞

=

− = 22 πsπ+

, untuk s > 0.

Contoh 61

Carilah L{cos 2x} ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{cos 2x}= dx 2xcose0t

sx∫∞

=

− = 4s

s2 +

, untuk s > 0.

Contoh 62

Carilah L{sin (–3x} ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{sin –3x}= dx3x)( sine0t

sx −∫∞

=

− = 9s

32 +−

, untuk s > 0

Contoh 63

Carilah L{cos (–5x} ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{cos (–5x)}= dx5x)( cose0t

sx −∫∞

=

− = 25s

s2 +

, untuk s > 0.

6969

Contoh 64

Carilah transformasi Laplace dari f(t) = te-4t ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{te-4t}= 2s) 4(1−− = 24)(s

1+

Contoh 65

Carilah L{f(t)} jika f(t) =

>≤−

4t 1 4t 1

?

Penyelesaian

Diketahui,

L{ f(t)} = dt(1)edt1)(e4

st4

0t

st ∫∫∞

−

=

− +−

= 4

0t =

−

se (s)t

+ ∫ −

∞→

R

4

st

Rdtelim =

se s4−

– s1

+ 4sRs

Re

s1e

s1-lim −−

∞→+

= s

2e s4−

– s1

untuk s > 0.

3.1 Linieritas

Contoh 66

Carilah L{3 + 2x2}?

Penyelesaian

Diketahui,

L{3 + 2x2} = 3L{1} + 2L{x2}

= 3s1

+ 2 3s2

= s3

+ 3s4

.

Contoh 66

Carilah L{20x + 4x2}?

Penyelesaian

Diketahui,

L{20x + 4x2} = 20L{x} + 4L{x2} = 2s20

+ 3s8

.

7070

3. 2 Transformasi Menurut Fungsi Gamma

Definisi Fungsi Gamma Γ(p), dapat diturunkan dari persamaan Γ(p+1) = pΓ(p),

untuk kasus p > 0. Fungsi gamma dapat didefinisikan, bahwa untuk setiap bilangan riil p,

berlaku persamaan,

Γ(p) = ∫∞

−−

0

x1p dxex ,

dengan menggunakan integral parsil, maka

Γ(p+1) = ∫∞

−−+

0

x11)(p dxex = dxexlimr

0x

x-p

r ∫=

∞→

=

+− ∫ −−

∞→dxpxexlim

r

0

1pr

0xp

r

= ( )0erlim rp

r+− −

∞→ + ∫∞

−−

0

x1)(p dxexp

= pΓ(p)

Penyelesaian 0erlim rp

r=−

∞→ dimana rpe-r dapat ditulis sebagai rp/er sehingga dengan

mengunakan aturan L’Hopital’s akan didapatkan limit tersebut.

Contoh 67

Buktikan Γ(1) = 1!

Penyelesaian

Diketahui,

Γ(1) = ∫∞

−−

0

x11 dxex = dxelimr

0x

x-

r ∫=

∞→ = ( ) r

0x

relim −

∞→− = ( )1+− −

∞→

r

relim = 1.

Contoh 68

Buktikan Γ(n+1) = n!

Penyelesaian

Dengan aturan induksi matematika, maka diketahui

Untuk n = 1,

Γ(1) = ∫∞

−−

0

x11 dxex = dxelimr

0x

x-

r ∫=

∞→ = ( ) r

0x

relim −

∞→− = ( )1+− −

∞→

r

relim = 1.

7171

Γ(½) = √π

Dengan asumsi bahwa Γ(n+1) = n! untuk n = k maka akan dibuktikan bahwa n = k + 1

Sehingga dari contoh sebelumnya diketahui, p = k + 1,

Γ[(k+1)+1] = (k+1)Γ(k+1) = (k+1)(k!) = (k+1)!

Maka,

Γ(n+1) = n! benar berdasarkan matematika induksi.

Dapat dibuktikan bahwa 0! = Γ(0 + 1) = Γ(1) =1

Contoh 69

Buktikan Γ(p+k+1) = (p+k)(p+k – 1) …(p+2)(p+1) Γ(p+1).

Penyelesaian

Diketahui,

Γ(p+k+1) = Γ[(p+k)+1)] = (p+k) Γ(p+k)

= (p+k)Γ[(p+k–1)+1)] = (p+k)(p+k – 1)Γ(p+k–1) = …

= (p+k)(p+k – 1) … (p+2)(p+1)Γ(p+1)

Contoh 70

Selesaikanlah Γ(6)/2Γ(3) !

Penyelesaian

Diketahui,

(3)2ΓΓ(6)

= )2(2!5!

= 2(2)(1)2)(1)(5)(4)(3)(

= 30

Contoh 71

Selesaikanlah Γ(3/2)/Γ(1/2) !

Penyelesaian

Diketahui,

(1/2)ΓΓ(3/2)

= (1/2)Γ)(1/2)Γ1/2)

= 21

Contoh 72

Selesaikanlah ∫∞

−

0

xdxex6

Penyelesaian

∫∞

−

0

x dxex 6 = Γ(7) = 6! = 720

7272

Contoh 73

Selesaikanlah ∫∞

−

0

xdxex 23

Penyelesaian

Misalkan 2x = y,

∫∞

−

0

y3

2dye

2y

= ∫∞

−

0

y34 dyey

21

= 42Γ(4)

= 1624

= 23

3. 3 Transformasi Laplace Invers

Transformasi Laplace adalah suatu pernyataan dalam variabel s yang dinotasikan

dengan F(s). Dinyatakan bahwa f(x) dan F(s) = L{f(x} membentuk suatu pasangan

transformasi. Ini berarti bahwa F(s) adalah transformasi Laplace dari f(x). Sedangkan f(x)

adalah transformasi Laplace Invers dari F(s) atau dapat di tulis sebagai :

f(x) = L-1{F(s)}

sehingga jika f(x) = 4 maka transformasi Laplacenya adalah L{f(x} = F(s) = s4

,

dan sebaliknya jika F(s) = s4

, maka transformasi Laplace inversnya L-1{F(s)} = f(x) = 4.

Contoh 74

Tunjukkan transformasi Laplace Invers dari F(s) = 1-s

1 ?

Penyelesaian

Diketahui,

L-1{F(s)} = f(x) = e-kx,

maka,

L{e-kx} = ks

1+

, sehingga L-1

1-s1

= e-(-1)x = ex

Contoh 75

Tunjukkan transformasi Laplace invers dari F(s) = 1-s

1 ?

Penyelesaian

Diketahui,

L-1{F(s)} = f(x) = e-kx,

maka,

7373

L{e-kx} = ks

1+

, sehingga L-1

1-s1

= e-(-1)x = ex

Contoh 76

Tunjukkan transformasi Laplace invers dari F(s) = s1-

?

Penyelesaian

Diketahui,

L-1{sk

} = k, L-1{s1− } = L-1{

s1−

} = –1

Contoh 77

Tunjukkan transformasi Laplace invers dari F(s) = 5-s

1 ?

Penyelesaian

Diketahui,

L-1{F(s)} = f(x) = e-kx,

maka,

L{e-kx} = ks

1+

, sehingga L-1

5-s1

= e-(-5)x = e5x

Contoh 78

Tunjukkan transformasi Laplace invers dari F(s) = 2s

3+

?

Penyelesaian

Diketahui,

L-1{F(s)} = f(x) = e-kx,

maka,

L{e-2x} = 2s

1+

, dan L{3e-2x}= 3L{e-2x} = 2s

3+

dan,

L-1

+ 2s3

= 3e-2x

Contoh 79

Tunjukkan transformasi Laplace invers dari F(s) = 4s3− ?

7474

Penyelesaian

Diketahui,

F(s) = 4s3− =

s3/4)( −

, sehingga L-1

−

4s3

= L-1

−

s3/4

= –3/4

Contoh 80

Tunjukkan transformasi Laplace invers dari F(s) = 32s

1−

?

Penyelesaian

Diketahui,

F(s) = 32s

1−

= 23

21

s − , sehingga f(x) = L-1

− 32s1

= L-1

− 23

2

s

1

= x21 2

3

e

3. 4 Transformasi Laplace dari Suatu Turunan

Jika diketahui suatu fungsi f(x) memiliki transformasi Laplace L{f(x)} = F(s) maka

transformasi Laplace dari turunannya f′(x) adalah :

L{f′(x)} = ∫∞

=

− ′0x

x (x)dxfe s

Dengan integral parsil maka :

L{f′(x)} = ∫∞

=

− ′0x

x (x)dxfe s

= ∫∞

= 0x

u(x)dv(x) = [ ] ∫∞

=

∞= −

0x0x v(x)du(x)u(x)v(x)

dengan u(x) = e-sx maka du(x) = -se-sx dx dan dv(x) = f′(x)dx maka v(x) = f(x). Sehingga

L{f′(x)} = [ ] ∫∞

=

∞= +

0x

sx-0x

sx- f(x)dxesf(x) e

= [0 – f(0)] + s F(s) jika e-sxf(x)→ 0, x → ∞

dengan kata lain :

L{f′(x)} = sF(s) – f(0)

Dua Sifat Dari Transformasi Laplace

(1). Transformasi dari suatu jumlah (atau selisih) dari fungsi adalah jumlah (atau selisih)

dari masing-masing transformasi itu sendiri.

L{f(x) ± g(x)} = L{f(x)} ± L{g(x)}

7575

Dan L-1{F(s) ± G(s)} = L-1{F(s)} ± L-1{G(s)}

(2). Transformasi dari suatu fungsi dikalikan dengan suatu konstana adalah konstanta

tersebut dikalikan dengan transformasi dari fungsi tersebut.

L{kf(x) = kL{f(x)} dan L-1{kF(s)= kL-1{F(s)} dengan k adalah konstnta.

Contoh 81

Buktikan dengan menggunakan persamaan : L{f′(x)} = sF(s) – f(0) bahwa, transformasi

Laplace berlaku untuk :

f′(x)} + f(x) = 1 dimana f(0) = 0?

Cari fungsi F(s)nya ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{f′(x) + f(x)} = L{1}

atau,

L{f′(x)} + L{f(x)} = L{1}

[sF(s) – f(0)] + F(s) = s1

sehingga

(s + 1)F(s) – f(0) = s1

dengan syarat f(0) = 0, maka

(s + 1)F(s) = s1

, sehingga F(s) = 1)s(s1+ atau F(s) =

1s1

s1

+−

dengan menggunakan pecahan parsial 1)s(s1+ =

1sB

sA

++ , maka, 1 = A(s+1) + Bs

sehingga A = 1 dan B = -1. ∴ F(s) = 1s

1s1

+− .

Sebaliknya f(x) = L-1{F(s)}

= L-1

+−

1s1

s1

=

+−

−−

1s1L

s1L 11

= 1 – e-x

7676

Contoh 82

Cari : L{e2t} ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{e2t} = 2s

1−

, L{te2t} =

−−

2s1

dsd

= ( ) 22s1

−

Contoh 83

Cari : L{t2e2t} ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{e2t} = 2s

1−

, L{t2e2t} =

−−

2s1

dsd

2

2

= ( ) 32s2

−

Contoh 84

Cari : L{x5e-3x} ?

Penyelesaian

Diketahui,

L{e-3x} = 3s

1+

, L{x5e-3x} =

+−

2s1

dsd

5

5

= ( ) 63s120+

Contoh 85

Buktikan bahwa jika L{f(t)} = F(s) maka L{tnf(t)} = (– 1)n F(s)dsd

n

n

= (–1)nF(n)(s), dengan

n = 1, 2, …

Penyelesaian

Diketahui,

F(s) = ∫∞

=

−

0t

f(t)dte st , berdasarkan aturan Leibnitz’s untuk turunan pada integral

bertanda,

dsdF

= F′(s)= ∫∞

=

−

0t

tx f(t)dtedsd

= ∫∞

=

−

∂∂

0t

tx f(t)dtes

= ∫∞

=

−−0t

tx f(t)dtte = ∫∞

=

−−0t

tx {tf(t)}dte = –L{tf(t)}

Jadi L{tf(t)} = dsdF− = –F′(s), selanjutnya dengan metode induksi dapat dibuktikan untuk

turunan ke – n.

7777

Tabel Transformasi Laplace

f(x) = L-1{f(s)} F(s) = L{f(x)}

ksk

, s > 0

x 2s1

, s > 0

√x ½√π s-3/2 s > 0

e-kx

ks1+

s > –k

x e-kx2k)(s

1+ s > –k

sin kx 22 ksk+

s > 0

cos kx 22 kss

+ s > 0

sinh kx 22 ksk−

s > 0

cosh kx 22 kss−

s > 0

x sin kx 222 )k(s2ks+ s > 0

x cos kx 222

22

)k(sks

+−

s > 0

e-mx sin nx 22 nm)(sn

++ s > 0

e-mx cos nx 22 nm)(sm-s

++ s > 0

sin kx–kx cox kx 222

3

)k(s2k+

s > 0

k1

e-x/k

ks11

+

k1

(e-xk – 1) k)s(s1−

1 - e-x/k

ks)s(11+

2k1

xe-x/k

( ) 2ks11

+

mkee mxkx

−−

m)k)(s(s1

−−

f(x) = L-1{f(s)} F(s) = L{f(x)}

7878

mkee -x/m-x/k

−−

ms)ks)(1(11

++

(1 + kx)ekx2k)(s

s−

3k1

(k – x)e-x/k2ks)(1

s+

mkmeke x/mx/k

−−

m)k)(s(ss

−−

2k1

(ekx– 1 – kx) k)(ss1

2 −

sin2 kx)4 22

2

ks(s2k

+

sinh2 kx)4 22

2

ks(s2k

−

cos kx cosh kx 44

3

4kss

+

½(sin kx+kx cos kx) ( ) 222

2

ksks+

cos kx – 2

kxsin kx ( ) 222

3

kss

+

½(sinh kx – sin kx) 44

3

ksk−

½(cosh kx – cos kx) 44

2

kssk

−

xn-1 (n = 1, 2, …) ns1)!(n −

s > 0

1/√x √π s-1/2

xn–1/2 (n = 1, 2, …) 1/2nsn2

π1)!..(2n(1)(3)(5). −−−

xn-1ekx (n = 1, 2, …) nk)(s1)!(n

−−

s > k

cos 2

kx cosh

2kx

44

3

kss+

sin 2

kx sinh

2kx

44

2

ksk

+s

I. Latihan

1. Tentukan Transformasi Laplace dari :a. f(x) = –3 b. ec. f(x) = –5 e-3x d. e2x e. f(x) = 2e7x – 2

2. Tentukan Transformasi Laplace invers dari

a. F(s) = s1− b. F(s) =

5s1−

c. F(s) = 2s

3+

d. F(s) = 4s3− e.

3 2s1−

3. Tentukan penyelesaian soal berikut dengan menggunakan fungsi gamma :

a. dxex x

0

3 −∞

∫ b. dxex x

0

6 3/1−∞

∫

c. ∫∞

−

0

x dxe2

d. dyey3y

0

−∞

∫

e. dx30∫∞

− 2z4 f. ( )∫∞

−0 x lndx

4. Tentukan :a. L{3 + 2x} b. L{x + 2x2} c. L{-15x2 + 3x}d. L{2x2 – 3x + 4} e. L{19x3 – 40√x } f. L{14x3/2 +13x – 10x1/2}

7979

g. L {5 sin x + 10 cos x} h. L {f(x)} jika f(x) = sin 3x + x3 – 25x

5. Tentukan :

a. L-1

+ 2s)s(11

b. L-1

− 49) (s6

c. L-1

+ 4s2s

4 d. L-1

+ 9 s1

2

e. L-1

− 3 2s6

f. L-1

++

5 s3s

2

g. L-1

−+

51) (s23s

h. L-1

+− 92ss1

2

i. L-1

+++

168ss124s

2 j. L-1

+−−

204ss46s

2

Jawaban :

1. a. L{–3} = s3− b. L{e} =

se

c. L{e-kx} = ks

1+

d. L{–5e-3x} = 3s

5+

− e. L{2e7x – 2} = 7 s

2e -2

−

2. a. L-1{sk

}= k, L-1{s1− }= L-1{

s1−

}= –1

b. L-1{ks

1+

}= e-kx, L-1{5s

1−

}= e-(-5)x = e5x

c. L-1{2s

1+

}= e-2x, dan L{3e-2x }= 3L{e-2x }= 2s

3+

, ∴ L-1{2s

3+

}= 3e-2x

d. F(s) = 4s3− =

( )s

43− sehingga L-1{

4s3− }= L-1{

s3/4−

}= –3/4

e. F(s) = 32s

1−

= 23

21

s − sehingga f(x) = L-1{32s

1−

}= L-1{23

21

s − }= 21

e3/2x

3. a. Γ (p) = dxex x

0

1-p −∞

∫ ⇒ dxex x

0

3 −∞

∫ = Γ (4) = 3! = 6

b. dxex x

0

6 3/1−∞

∫ = 37Γ(7) = 376! = 1574640 c. 21

21Γ =

21

π

d. 31

21Γ =

3π e. 3ln42

Γ(1/2) =

3ln4)Γ( π

f.

21Γ = π

4. a. L{3 + 2x} = s3

+ 2s4

b. L{x + x2} = 2s1

+ 3s2

c. L{–15x2 + 3x} = 2s3

– 3s30

d. L{2x2 – 3x + 4} = 3s4

– 2s3

+ s4

e. L{19x3 – 40√x } = 4s114

– 3/2sπ20 f. L{5 sin x + 10 cos x} =

1++2s

10s5

8080

g. L{14x3/2 +13x – 10x1/2}= 5/22sπ21 + 2s

13 –

3/22sπ10

h. L{f(x)} jika f(x) = sin 3x + x3 – 25x ∴ L{f(x)} = 9s

33 +

+ 4s3!

- s

25

5. a. L-1

+ 2s)s(11

= 1 – e-t/2 b. L-1

− 49) (s6

= t3e9t

c. L-1

+ 4s2s

4 = ½ (cosh√2t - cos√2 t d. L-1

+ 9 s1

2 = 31

sin 3t

e. L-1

− 3 2s6

= 3e3t/2 f. L-1

++

5 s3s

2 = cos√5 x+5

3sin√5 x

g. L-1

−+

51) (s23s

= ½t3et + 245

t4et h. L-1

+− 92ss1

2 = 8

1exsin√8x

i. L-1

+++

168ss124s

2 = 4e-4t(1 – t)

j. L-1

+−−

204ss46s

2 = 2e2t(3 cos 4t + sin 4t)

8181