Partikel dalam kotakDalam mekanika kuantum , partikel dalam model kotak (juga dikenal sebagai sumur potensial tak terbatas atau alun-alun yang tak terbatas juga) menjelaskan partikel bebas bergerak dalam ruang kecil yang dikelilingi oleh hambatan yang tak tertembus. Model ini terutama digunakan sebagai contoh hipotetis untuk menggambarkan perbedaan antara klasik dan sistem kuantum. Dalam sistem klasik, misalnya bola terperangkap di dalam sebuah kotak besar, partikel dapat bergerak dengan kecepatan apapun dalam kotak dan itu tidak lebih mungkin ditemukan pada satu posisi daripada yang lain. Namun, ketika sumur menjadi sangat sempit (pada skala dari beberapa nanometer ), efek kuantum menjadi penting. Partikel hanya dapat menempati positif tertentu tingkat energi . Demikian juga, tidak pernah dapat memiliki energi nol, yang berarti bahwa partikel tidak dapat "duduk diam". Selain itu, adalah lebih mungkin ditemukan pada posisi tertentu dari pada yang lain, tergantung pada tingkat energi. Partikel mungkin tidak pernah dideteksi pada posisi tertentu, yang dikenal sebagai node spasial.

Partikel dalam model box menyediakan salah satu dari sedikit masalah dalam mekanika kuantum yang dapat diselesaikan secara analitis, tanpa perkiraan. Ini berarti bahwa sifat diamati dari partikel (seperti energi dan posisi) terkait dengan massa partikel dan lebar sumur dengan ekspresi matematika sederhana. Karena kesederhanaannya, model ini memungkinkan wawasan efek kuantum tanpa perlu matematika yang rumit. Ini adalah salah satu yang pertama mekanika kuantum masalah diajarkan dalam kursus fisika sarjana, dan umumnya digunakan sebagai pendekatan untuk sistem kuantum yang lebih rumit. Lihat juga: the history mekanika kuantum .

Beberapa lintasan partikel dalam kotak sesuai denganhukum Newton tentang mekanika klasik (A), dan menurutpersamaan

Schrödinger dari mekanika kuantum (BF). Dalam (BF), sumbu horisontal posisi, dan sumbu vertikal adalah bagian nyata

(biru) dan bagian imajiner (merah) dari fungsi gelombang . Negara-negara (B, C, D) adalah eigenstates energi , tapi (E, F)

tidak.

Solusi satu-dimensi [ sunting ]

Hambatan luar kotak satu dimensi memiliki potensi besar tak berhingga, sementara interior kotak memiliki konstanta, nol

potensial.

Bentuk paling sederhana dari partikel dalam model kotak menganggap sistem satu dimensi. Di sini, partikel hanya bisa bergerak mundur dan maju sepanjang garis lurus dengan hambatan ditembus di kedua ujung. [1] Dinding kotak satu dimensi dapat digambarkan sebagai daerah ruang dengan besar tak berhingga energi potensial . Sebaliknya, interior kotak memiliki nol, energi potensial yang konstan. [2] Ini berarti bahwa tidak ada kekuatan bertindak atas partikel dalam kotak dan dapat bergerak bebas di wilayah itu. Namun, besar tak berhingga pasukan mengusir partikel jika menyentuh dinding kotak, mencegah dari melarikan diri. Energi potensial dalam model ini diberikan sebagai

dimana   adalah panjang kotak dan   adalah posisi partikel dalam kotak.

Fungsi gelombang [ sunting ]

Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang memberikan gambaran paling mendasar dari perilaku partikel, sifat terukur dari partikel (seperti posisi, momentum dan energi) semua dapat berasal dari fungsi

gelombang. [3] fungsi gelombang tersebut   dapat ditemukan dengan memecahkan persamaan Schrödinger untuk sistem

dimana   adalah konstanta Planck tereduksi ,   adalah massa partikel,   adalah satuan imajiner dan   adalah waktu.

Di dalam kotak itu, ada kekuatan bertindak atas partikel, yang berarti bahwa bagian dari fungsi gelombang dalam kotak berosilasi melalui ruang dan waktu dengan bentuk yang sama sebagai partikel bebas : [1] [4]

dimana   dan   sewenang-wenang bilangan kompleks . Frekuensi osilasi melalui ruang dan waktu yang diberikan oleh wavenumber   dan frekuensi sudut   masing-masing. Kedua hal ini adalah terkait dengan energi total partikel dengan ekspresi

yang dikenal sebagai relasi dispersi untuk partikel bebas. [1]

Fungsi gelombang awal untuk pertama empat negara dalam partikel satu dimensi dalam kotak

Ukuran (atau amplitudo ) dari fungsi gelombang pada posisi tertentu yang terkait dengan probabilitas

untuk menemukan partikel di sana oleh   . Oleh karena itu fungsi gelombang harus lenyap di mana-mana di luar tepi kotak. [1] [4]Juga, amplitudo fungsi gelombang mungkin tidak "melompat" tiba-tiba dari satu titik ke titik berikutnya. [1] Kedua kondisi hanya puas dengan fungsi gelombang dengan bentuk

dimana   adalah bilangan bulat positif. Wavenumber dibatasi untuk tertentu, nilai-nilai tertentu yang diberikan oleh [5]

dimana   adalah ukuran kotak. [7] Nilai negatif dari   diabaikan, karena mereka memberikan fungsi gelombang identik dengan positif   solusi kecuali untuk perubahan tanda fisik tidak penting. [6]

Akhirnya, konstanta yang tidak diketahui   dapat ditemukan dengan normalisasi fungsi gelombang sehingga kepadatan probabilitas total menemukan partikel dalam sistem adalah 1. Oleh karena itu

Dengan demikian, A dapat berupa bilangan kompleks dengan nilai absolut √ (2 / L); nilai-nilai yang berbeda dari A yield keadaan fisik yang sama, sehingga A = √ (2 / L) dapat dipilih untuk menyederhanakan.

Solusi di atas adalah untuk kasus tertentu dari sebuah kotak yang terletak di antara   dan   . Diharapkan bahwa eigenvalues, yaitu, energi   kotak harus sama terlepas dari posisinya dalam

ruang, tetapi   perubahan. Hal ini diwakili oleh kasus yang lebih umum   :

Dimana   adalah posisi awal. Perhatikan bahwa   merupakan pergeseran fase dalam fungsi

gelombang, dan   disederhanakan menjadi kasus di atas ketika   . Selain itu, pergeseran fasa tidak berpengaruh ketika memecahkan persamaan Schrödinger, sehingga tidak mempengaruhi nilai eigen tersebut.

Momentum fungsi gelombang sebanding dengan Transformasi Fourier dari fungsi gelombang

posisi. Dengan   dan   ,

Posisi dan momentum [ sunting ]

Dalam fisika klasik, partikel dapat dideteksi di mana saja di dalam kotak dengan probabilitas yang sama. Dalam mekanika kuantum, bagaimanapun, kepadatan probabilitas untuk menemukan sebuah

partikel pada posisi tertentu berasal dari fungsi gelombang sebagai  Untuk partikel dalam kotak, kepadatan probabilitas untuk menemukan partikel pada posisi tertentu tergantung pada keadaan, dan diberikan oleh

Dengan demikian, untuk setiap nilai n lebih besar dari satu, ada daerah dalam kotak yang   , Menunjukkan bahwa node spasial ada di mana partikel tidak dapat ditemukan.

Dalam mekanika kuantum, rata-rata, atau nilai harapan dari posisi partikel diberikan oleh

Untuk partikel steady state dalam kotak, dapat ditunjukkan bahwa posisi rata-rata selalu   , Terlepas dari keadaan partikel. Untuk superposisi negara, nilai harapan posisi akan berubah berdasarkan

salib istilah yang sebanding dengan   .

Varians dalam posisi adalah ukuran dari ketidakpastian dalam posisi partikel:

Kepadatan probabilitas untuk menemukan sebuah partikel dengan momentum yang diberikan berasal

dari fungsi gelombang sebagai   . Seperti posisi, kepadatan probabilitas untuk menemukan partikel pada momentum tertentu tergantung pada keadaan, dan diberikan oleh

di mana, sekali lagi,   . Nilai ekspektasi momentum tersebut kemudian dihitung menjadi nol, dan varians dalam momentum dihitung menjadi:

Ketidakpastian dalam posisi dan momentum (   dan   ) Didefinisikan sebagai sama dengan akar kuadrat dari varians masing-masing, sehingga:

Produk ini meningkat dengan meningkatnya n, memiliki nilai minimum untuk n = 1. Nilai produk ini untuk n = 1 adalah sama dengan 0.568   yang mematuhi prinsip ketidakpastian Heisenberg , yang menyatakan

bahwa produk tersebut akan lebih besar dari atau sama dengan 

Tingkat energi [ sunting ]

Energi dari partikel dalam kotak (lingkaran hitam) dan partikel bebas (garis abu-abu) keduanya tergantung pada bilangan

gelombang dengan cara yang sama. Namun, partikel dalam kotak hanya mungkin memiliki tertentu, tingkat energi

diskrit.

Energi yang sesuai dengan masing-masing wavenumbers diizinkan dapat ditulis sebagai [5]

.

Tingkat energi meningkat dengan   , Yang berarti bahwa tingkat energi yang tinggi dipisahkan dari satu sama lain dengan jumlah yang lebih besar dari tingkat energi yang rendah. Energi serendah mungkin untuk partikel (yang energi titik nol ) ditemukan dalam keadaan 1, yang diberikan oleh [8]

Partikel, oleh karena itu, selalu memiliki energi positif. Ini berbeda dengan sistem klasik, di mana partikel dapat memiliki nol energi dengan beristirahat bergerak di bagian bawah kotak. Hal ini dapat dijelaskan dalam hal prinsip ketidakpastian , yang menyatakan bahwa produk dari ketidakpastian dalam posisi dan momentum partikel dibatasi oleh

Hal ini dapat menunjukkan bahwa ketidakpastian dalam posisi partikel sebanding dengan lebar kotak. [9] Dengan demikian, ketidakpastian dalam momentum kira-kira berbanding terbalik dengan lebar

kotak. [8] Energi kinetik dari partikel diberikan oleh   , Dan karenanya energi kinetik minimum dari partikel dalam kotak berbanding terbalik dengan massa dan kuadrat lebar sumur, dalam perjanjian kualitatif dengan perhitungan di atas. [8]

Kotak-dimensi yang lebih tinggi [ sunting ]

Fungsi gelombang dari 2D baik dengan n x = 4 dan y = 4 n

Jika sebuah partikel yang terperangkap dalam kotak dua dimensi, mungkin bebas bergerak di   dan   -

Arah, antara hambatan dipisahkan oleh panjang   dan   masing-masing. Menggunakan pendekatan yang sama dengan yang ada pada kotak satu dimensi, dapat ditunjukkan bahwa fungsi gelombang dan energi yang diberikan masing-masing oleh

,

,

di mana dua dimensi wavevector diberikan oleh

.

Untuk kotak tiga dimensi, solusi yang

,

,

dimana wavevector tiga dimensi diberikan oleh

.

Secara umum untuk kotak n-dimensi, solusi yang

Sebuah fitur menarik dari solusi di atas adalah bahwa ketika dua atau lebih dari panjang yang sama

(misalnya   ), Ada beberapa fungsi gelombang sesuai dengan energi total yang

sama. Misalnya fungsi gelombang dengan   memiliki energi yang sama seperti fungsi

gelombang dengan   . Situasi ini disebut degenerasi dan untuk kasus di mana tepatnya dua fungsi gelombang merosot memiliki energi yang sama bahwa tingkat energi dikatakan dua kali lipat merosot. Degenerasi hasil dari simetri dalam sistem. Untuk kasus di atas dua dari panjang yang sama sehingga sistem ini simetris terhadap rotasi 90 °.

Aplikasi [ sunting ]

Karena kesederhanaan matematika, partikel dalam model box digunakan untuk mencari solusi perkiraan untuk sistem fisik yang lebih kompleks di mana sebuah partikel yang terperangkap di daerah sempit rendah potensial listrik antara dua hambatan potensial tinggi. Ini kuantum sistem yang sangat penting dalam Optoelektronik , dan digunakan dalam perangkat seperti laser yang juga kuantum , yang kuantum photodetektor inframerah dengan baik dan kuantum terbatas efek Stark modulator. Hal ini juga digunakan untuk model kisi dalam model Kronig-Penny dan logam terbatas dengan pendekatan elektron bebas

Efek relativistik [ sunting ]

Kepadatan probabilitas tidak pergi ke nol pada node jika efek relativitas diperhitungkan. [10]

Referensi [ sunting ]

1. ^ Jump up to:a b c d e Davies, hal.4

2. ^ Sebenarnya, setiap konstan, potensi terbatas   dapat ditentukan dalam kotak. Ini hanya menggeser

energi dari negara-negara dengan   .

3. ^ Davies, p. 1

4. ^ Jump up to:a b Bransden dan Joachain, p. 157

5. ^ Jump up to:a b Davies p. 5

6. ^ Jump up to:a b Bransden dan Joachain, hal.158

7. ^ Solusi paling sederhana,   atau   keduanya menghasilkan fungsi gelombang

sepele   , Yang menggambarkan partikel yang tidak ada di mana saja di sistem. [6]

8. ^ Jump up to:a b c Bransden dan Joachain, p. 159

9. ^ Davies, p. 15

10. ^ . Alberto, P, Fiolhais, C, Gil, VMS (1996) "partikel relativistik dalam kotak" .. (PDF) European Journal of

Physics 17: 19-24 Bibcode : 1996EJPh ... 17 ... 19A . doi : 10.1088/0143-0807/17/1/004 .

Bibliografi [ sunting ]

Bransden, BH,. Joachain, CJ (2000) Mekanika kuantum (2nd ed.). Essex: Pendidikan Pearson. ISBN 0-582-35691-1 .

Davies, John H. (2006) Fisika Semikonduktor Low-Dimensional:. Sebuah Pengantar (6th ed cetak ulang.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-48491-X .

Griffiths, David J. (2004). Pengantar Mekanika Quantum (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7 .

Pranala luar [ sunting ]

Scienceworld  (Tak Terbatas Potensi Yah)

1-D mekanika kuantum java applet  mensimulasikan partikel dalam kotak, serta kasus 1-dimensi lainnya.

2-D partikel dalam kotak applet