Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan Pemangkatan•Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos + i sin ).

•Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin

2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya

sebagai berikut :

z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin

2)]

z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +

i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]

z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2

Pertanyaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan z z z z … z = zn ?

Jika diketahui:z1 = r1(cos 1 + i sin 1)z2 = r2(cos 2 + i sin 2)

zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,

maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos

(1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] .

Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka zn = rn (cos n + i sin n). . . . . . . . . . .1

Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre

(cos + i sin )n = cos n + i sin n, n asli.

Pembagian:Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai

berikut:

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan

sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka

diperoleh :

Dari rumus di atas diperoleh:

1 11 2 1 2

2 2

cos sinz r

iz r

11 2 1 2

2

arg arg argz

z zz

)sini(cosr)sini(cosr

zz

222

111

2

1

Akibat lain jika z = r(cos + i sin ),

maka:

Untuk: .

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan

sekawan

penyebut, maka didapat :

. . . .

. . . 2

Note:

1 1cos sin

1 1

cos sinn n

iz r

z r n i n

)nsin(i)ncos(r1

z1

nn

cos cos , sin sin

Dari 1 dan 2 diperoleh:

, Dalil

De-Moivre

berlaku untuk semua n bilangan bulat.

)nsin(i)ncos(rz nn

Contoh:Hitunglah :

Jawab :Misalkan maka

karena z di kuadran IV, maka dipilih

jadi

31tan

213zr

,i3z

6

6

oo66

oo

2

)01(2

180sini180cos2i3

30sini30cos2i3

o30

6i3

Akar Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n

dari bilangan kompleks w, jika zn = w, dan

ditulis .

Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari

bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka

dari zn = w diperoleh: n(cos(n) +i sin(n)) =

r(cos+i sin), sehingga n = r dan n=

+2k , k bulat.

Akibatnya dan

Jadi . . .

n1

rn

k2

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks

w = r(cos+i sin) adalah:

z = [cos( ) + i sin ( )],

k bulat dan n bilangan asli.

Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu.

Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);

0 < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,

…,zn sebagai akar ke-n dari z.

nk2

nk2

nk2

Contoh :

Hitunglah (-81)1/4

Jawab :

Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian

persamaan z4 = -81.

Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),

sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800),

diperoleh 4 = 81, atau = 3 dan .

Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]

Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan

mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.

4k2

4k2

4k2