Pada bab ini kita akan belajar:Mempresentasikan bilangan ke dalam garis bilangan.Menggunakan simbol Melakukan operasi berhitung dengan menggunakan whole number.

, , , , ,

A. Sistem Angka (Numeral System)Kita menggunakan angka setiap hari.

Sistem angka yang kita pakai tersebut

merupakan sistem angka Hindu-Arabic,

yaitu berdasarkan 10 simbol yang disebut

digit :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, and 9

Digit tersebut jugalah yang merupakan 10

angka terkecil dari whole numbers. Angka

lainnya dapat dituliskan dengan menggunakan

10 digit tersebut dan dengan memperhatikan nilai

tempat.

10, 11, … 20, 21, …, 98, 99, 100, 101, …998.

Berikut merupakan contoh nilai tempat dari 7 digit angka populasi penduduk Singapura.

3 396 924 3 3 9 6 9 42

=(3 x 1 000 000)+(3 x 100 000)+(9 x 10 000)

X 10 X 10

+(6 x 1 000)+(9 x 100) +(2 x 10)+(4 x 1)

X 10 X 10 X 10

Dalam 3 396 924, dari kanan ke kiri:

9 mewakili ___________ atau _______

2 mewakili 2 puluhan atau 2 x 10

4 mewakili 4 satuan atau 4 x 1

6 mewakili 6 ribuan atau 6 x 1000

9 mewakili ___________ atau _______

3 mewakili ___________ atau _______

3 mewakili 3 jutaan atau _______

Sadarkah kalian bahwa sistem angka

Hindu-Arabic dibangun dari grup angka 10

10=10 x 1, 100=10x10, 1000=10x100, and so on.

Oleh karena itu, sistem ini juga disebut

basis sepuluh atau sistem desimal.

Ordering of Whole Numbers

Semua whole number dapat disusun

berdasarkan urutan besar kecilnya.

Jika kita mengetahui angka, kita pasti

mengetahui angka selanjutnya. Misalnya

ketika kita melihat angka 2, kita tahu

bahwa angka selanjutnya adalah 3.

PERHATIAN!!!!

Kita telah mengetahui bahwa 0, 1, 2, 3 ,…. adalah bilangan whole number dari yang terkecil.

Jika demikian adakah nilai whole number yang terbesar????

Dalam matematika digunakan simbol :

= menyatakan sama dengan

menyatakan tidak sama dengan

< menyatakan kurang dari

> Menyatakan lebih dari

< menyatakan kurang dari sama dengan

> Menyatakan lebih dari sama dengan

4 = 4

20 = 20

23

40

8a

a bisa 8, 7, 6, 5, …

8a

a bisa 8, 9,10,11,…

8a

a bisa 9,10,11, …

8a

a bisa 7, 6, 5, …

Bilangan Asli, Genap dan Ganjil

• 1, 2, 3, 4, 5, 6, … adalah bilangan asli

• 0, 2, 4, 6, 8, 10, … adalah bilangan genap

yaitu bilangan yang dapat dibagi 2

• 1, 3, 5, 7, 9, 11, … adalah bilangan ganjil

yaitu bilangan yang tidak dapat dibagi 2

Garis Bilangan

Dalam matematika, adalah sangat

berguna jika kita dapat merepresentasikan

whole number ke dalam point-point dalam

garis bilangan.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

• Buatlah sebuah garis. Pilih sebuah titik dan tulis angka 0. Mulai dengan 0 dan lanjutkan 1, 2, 3, 4,… seperti gambar.

• Panah pada garis bilangan tersebut menunjukkan bahwa angka dapat diteruskan.

Suatu bilangan dalam garis bilangan PASTI lebih besar dari bilangan lain yang berada di sebelah kirinya dan lebih kecil dari bilangan lain yang berada di sebelah kanannya

4 < 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

3 > 4Example: dan

Garis bilangan di bawah menunjukkan bahwa a < b < c

a b c

Contoh Soal1. Gambar sebuah garis bilangan yang

merepresentasikan whole number:

a. 2, 4, 6, dan 8 b. > 4

Penyelesaiana. Kita gunakan dot (titik) untuk menandai

whole number 2, 4, 6, dan 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

b. Kita gunakan dot (titik) untuk menandai whole number > 4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Menunjukkan bahwa seterusnya merupakan bilangan > 4

2. Dengan menggunakan garis bilangan,

selesaikan 3 + 4!

Penyelesaian

0 1 2 3 4 5 6 7

4 unit

+1 +1 +1 +1

+4

Jadi, 3 + 4 = 7

Penjumlahan dan Pengurangan Whole Number

Banyak cara yang dapat dilakukan untuk

melakukan operasi penjumlahan dan

pengurangan bilangan. Berikut merupakan

cara umum yang disebut “paper-and-

pencil”.

Ketika kita menjumlahkan atau

mengurangi, kita menuliskannya ke dalam

kolom vertikal, menyusunnya berdasarkan

nilai tempat.

Contoh

1. Hitunglah :

a. 68 + 27 b. 523 + 268 + 95

a. tens units

Penyelesaian

6 82 7

8 + 7 = 15

60 + 20 = 80+1 58 09 5

Jadi, 68 + 27 = 95

a. tens units 6 82 7+9 5

b. hundreds tens units 5 2 3

2 6 8+ 9 5

8 8 6

Jadi, 523 + 268 + 95 = 886

Sifat komutatif dan asosiatif dalam penjumlahan

A. Sifat Komutatif3 + 5 = 8 5 + 3 = 8

Jadi, 3+5 = 5+3

Kita juga dapat membuktikan sifat ini dengan menggunakan garis bilangan.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

5 unit

0 1 2 3 4 5 6 7 8

3 unit

Sifat komutatif penjumlahan : x + y = y + x

A. Sifat AsosiatifKita tahu bahwa 2 + 3 + 5 = (2+3) + 5 = 5 + 5 = 10dan juga 2 + 3 + 5 = 2 + (3+5) = 2 + 8 = 10Jadi, (2+3) + 5 = 2 + (3+5)

Hal ini menunjukkan bahwa penjumahan bersifat asosiatif.

Sifat asosiatif penjumlahan : (x+y)+z = x+(y+z)

Perkalian dan Pembagian dalam Whole Number

• Dari gambar di samping, kita dapat melihat bahwa:

4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 204 kotak

5 kotak

3 kotak

6 kotak

• Dari gambar di samping, kita dapat melihat bahwa:

3 x 6 = 6 + 6 + 6 = 18

Perkalian merupakan penjumlahan berulang-ulang bilangan yang sama

Dari contoh perkalian diatas kita dapatkan

20 : 4 = 5 or 20 : 5 = 4

18 : 6 = 3 or 18 : 3 = 6

Pembagian adalah pengurangan berulang-ulang bilangan yang

sama

Berikut merupakan contoh metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan perkalian dan pembagian

318509x

28620000

159000+161862

(509=500+0+9)

(9x318)

(0x318)

(500x318)

64 : 4

2 puluhan ditambahkan 4

4 6 4

1 6

- 42 4

- 2 40

Turunkan angka 4

Pembagian cara panjang:

Pembagian cara pendek:

4 6 41 6

2Angka 2 di sini sama dengan 2 yang dilingkari di atas

Sifat Perkalian Whole NumberA. Sifat Komutatif

Dengan menggunakan garis bilangan, hasil dari 3 x 4 dan 4 x 3 adalah:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 unit 4 unit 4 unit

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 unit 3 unit 3 unit 3 unit

Dari diagram di atas kita dapat mengilustrasikan Sifat Komutatif Perkalian : 3 x 4 = 4 x 3

Sifat komutatif perkalian : x x y = y x x

(2 x 3) x 4 = 6 x 4 = 24

2 x (3 x 4) = 2 x 12 = 24

Jadi, (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4)

B. Sifat AsosiatifHasil 2 x 3 x 4 dapat kita cari dengan beberapa cara:

Secara umum, sifat seperti ini kita sebut sifat asosiatif perkalian

Sifat asosiatif perkalian: (x x y) x z = y x (x x z)

Coba hitung (9 : 3) : 3 dan 9 : (3 : 3)!Apakah (9 : 3) : 3 sama dengan 9 : (3 : 3)? Apakah sifat ini berlaku?

• John mengerjakan 5 jam dan 9 jam community work dalam ½ tahun pertama dan keduanya. Dia mendapatkan 4 point tiap jam dari community work-nya. Mari kita cari total point yang John dapatkan tiap tahunnya.

B. Sifat Distributif

Kita dapat mengitung point John dengan 2 cara:

1. 4 x (5 + 9) = 4 x 14 = 56

2. (4 x 5) + (4 x 9) = 20 x 36 = 56

jelas bahwa 4 x (5 + 9) = (4 x 5) + (4 x 9)

Secara umum, sifat seperti ini kita sebut sifat distributif perkalian

Sifat distributif perkalian:x x (y+z) = x x y + x x z

Urutan Pengerjaan Dalam Operasi Matematika

1. Kurung

2. Pangkat

3. Kali / Bagi

4. + / -Contoh :

2 + (4 – 1) x 3 : (1 + 2) = ….

= 2 + 3 x 9 : 3

= 2 + 27 : 3

= 2 + 9

= 11

2

Pembulatan dalam Whole Number

Dalam pembahasan awal, kita ketahui bahwa

jumlah populasi penduduk di Singapura pada

July 1996 adalah 3 396 924.

Terkadang tidak kita tidak perlu menampilkan angka secara detail. Kita dapat membulatkannya ke atas atau ke bawah. Jadi, kita dapat mengatakan bahwa jumlah populasi tersebut adalah 3,4 juta atau 3 400 000. Ini akan lebih mudh dibayangkan seberapa padat populasi penduduk Singapura.

Aturan dalam pembulatan:

• Apabila < 5 maka dibulatkan ke bawah.• Apabila = atau > dari 5 maka dibulatkan ke atas.• Contoh:

3 245 dibulatkan menjadi 3 250 (Jika dibulatkan mendekati puluhan)

3 245 dibulatkan menjadi 3 200 (Jika dibulatkan mendekai ratusan)

3 745 dibulatkan menjadi 4 000 (Jika dibulatkan mendekati ribuan)