6.4.4 Energi Getaran Senar

Pada bab 6.3 kita telah mempertimbangkan getaran senar pada mode tunggal,

diberikan oleh

Dan kita tlah menurunkan energy En dari getaran senar pada mode dibawah ini:

Sekarang kita tau untuk memperoleh energy E dari getaran senar ketika ada beberapa

mode yang hadir, normal mode dari superposisi umum diberikan oleh

Dan kita harus menggunakan ungkapan ini, daripada pers. 6.10, untuk menghitung

energy E dari gelombang dari persamaan (5.37):

Pernyataan untuk turunan ∂y/∂t dan ∂y/∂x diperlukan pada persamaan (5.37) sekarang

tidak hanya terdiri dari rumus tunggal pada persamaan (6.23) untuk mode tunggal,

tetapi rata-rata rumus selama n mode:

Dengan penjumlahan yang sama untuk mode ∂y/∂x. berikut adalah kuadrat dari

turunan pers (5.37):

Dengan menggunakan cross-product menghasilkan

Dengan m n. [[rumus cross yang mengandung produk dari cosinus berasal dari (∂y

/ ∂x)2.] Akibatnya,ekspresi untuk energi E akan berisi integral atas hal produk

tersebut, Persamaan (6.40), di samping rumus kuadrat yang terjadi pada Persamaan

(6.24) untuk kasus single-mode. Namun, integral yang melibatkan istilah cross

memiliki nilai 0, karena untuk m n

Yang pertama dari hasil ini diperoleh pada Persamaan (6.34), dan yang kedua berasal

dengan cara yang persis sama dengan menggunakan identitas trigonometri

bukannya Persamaan (6.35). Oleh karena itu rumus cross dengan m n lenyap

dalam integrasi dan energi total E diberikan oleh sejumlah rumus seperti Persamaan

(6.27):

Fitur yang paling menarik dari hasil ini adalah bahwa setiap mode normal kontribusi

energi

cukup independen dari mode normal lainnya. Hal ini cukup khas mode normal seperti

kita bahas dalam Bab 4. Mereka independen satu sama lain dan tidak ada coupling

antara mereka. Akibatnya energi mereka aditif. [secara Matematis, ini hasil

independen dari Persamaan (6.41) yang menjamin bahwa produk tidak 'silang istilah'

melibatkan amplitudo AmAn, dengan m n, bertahan.] Sebuah hasil serupa diperoleh

di Bagian 4.3 untuk energi dua pendulum sederhana digabungkan oleh pegas. Dalam

hal posisi mereka koordinat xa dan xb, gerakan mereka digabungkan, tetapi dalam hal

mereka q1 koordinat normal dan q2 mereka melakukan SHM independen satu sama

lain.