1

PROBABILITAS DAN STATISTIK

SurayaJurusan Matematika

Program Manajemen Informatika

Evaluasi

• Komponen• Kehadiran dan partisipasi : 10 %• Tugas 1 : • Tugas 2 : 25% (+quiz)• Ujian Tengah Semester : 20%• Tugas 3 : • Tugas 4 : 25% (+quiz)• Ujian Akhir Semester : 20%

2

Lain-lain

• Mahasiswa harus aktif dalam proses pembelajaran

• Mahasiswa harus tepat waktu, toleransi keterlambatan 20 menit

• Dilarang keras berbuat curang dalam pengerjaan tugas maupun ujian

• Keterlambatan pengumpulan tugas tidak ditolerir

3

4

Pertemuan IPENGANTAR TEORI PROBABILITAS

Buku• Sri Haryatmi, Pengantar Teori Probabilitas, Karunika

Jakarta, 1985.• Blum, Julius R. & Rosenblat, Judah I, Probability and

Statistics, Philadelphia: W.B. Saunders Company, 1972

• Chang, Kai Lai, Elementary Probability Theory with Stochastic Processes New York: Springer Verlag, 1974.

PENGANTAR TEORI PROBABILITAS

Materi:•Himpunan•Permutasi dan Kombinasi•Sistem Probabilitas•Probabilitas Bersyarat•Variabel Random•Fungsi Distribusi•Independensi•Harga Harapan•Variansi, Kovariansi, dan Harga Harapan Bersyarat

5

PENGANTAR TEORI PROBABILITAS

Materi:•Distribusi-Distribusi Diskrit•Distribusi-Distribusi Kontinyu•Fungsi Pembangkit Momen•Kuantil•Distribusi Fungsi Variabel Random•Distribusi Fungsi Vektor Random•Distribusi Pendekatan

6

PENGANTAR TEORI PROBABILITAS

Statistik punya dua cabang yaitu:

1.Probabilitas (peluang)

2.Statistik Induktif (inferential statistics)

Probabilitas (peluang): sebuah metodologi yang mengizinkan uraian variasi random (acak) di dalam sistem.

Contoh : seorang menentukan jumlah saluran telepon yang dibutuhkan untuk memberikan sebuah tingkat pelayanan dengan memadai dalam melayani fasilitas komunikasi.

Saluran telepon tersebut dianggap sebagai sebuah cara random, dan pelayanan waktu telepon atau waktu pelayanan adalah tidak sama dari sebuah telepon dengan telepon lainnya

7

HimpunanUntuk menggambarkan konsep dasar teori probabilitas,

kita akan menggunakan beberapa ide dari teori himpunan. Sebuah himpunan adalah gabungan atau kumpulan objek. Himpunan biasanya dituliskan dengan huruf besar, A,B,C dan seterusnya. Anggota himpunan A disebut elemen A. Bila x elemen A kita tuliskan xA, dan jika x bukan elemen A kita tulis xA, dibaca “sebuah elemen dari” dan dibaca “bukan sebuah elemen dari”

Tanda kurung kurawal dipakai untuk menunjukkan sebuah himpunan, dan tanda titik dua dalam tanda kurung kurawal adalah kependekan untuk istilah “seperti/semacam itu”,

8

HimpunanContoh:

1. Jika ditulis V={a,e,I,o,u}, kita telah mendefinisikan himpunan huruf hidup di dalam abjad Inggris. Kita dapat menggunakan sebuah batasan tertentu dan menulisnya sebagai berikut:

V={* : * adalah huruf hidup dalam abjad Inggris}

2. Jika kita mengatakan bahwa A adalah himpunan semua bilangan riil antara 0 dan 1, kita juga menulis A dengan sebuah batasan tertentu sbb:

A={x : x R, 0x 1}, R sebagai himpunan bilangan riil.

3. Himpunan B={-3,+3} adalah sama dengan himpunan seperti:

B={x : x R, x2 = 9}, R sebagai himpunan bilangan riil.

9

HimpunanHimpunan universal/umum adalah himpunan semua

objek, dan biasanya ditulis dengan U. Himpunan khusus lainnya adalah himpunan nol atau himpunan kosong, biasanya ditulis dengan . Untuk menjelaskan konsep ini, perhatikan himpunan ini: A={x : x R, x2 = -1}

Himpunan universal ini adalah R, himpunan bilangan riil.

Himpunan A adalah himpunan kosong karena himpunan tersebut tidak ada bilangan riil yang dimiliki batasan tertentu x2 = -1. Kita dapat tunjukkan bahwa B={0}={ }

Jika himpunan A dan himpunan B, kita sebut A sebuah himpunan bagian dari B, ditulis AB, jika tiap-tiap elemen di dalam A juga elemen dari B. Himpunan A dan B dikatakan sama (A=B) jika dan hanya jika AB dan BA..

10

HimpunanHimpunan A dan B dikatakan sama (A=B) jika dan

hanya jika AB dan BA. sebagai akibat langsung, kita dapat menunjukkan:

1.Untuk setiap himpunan A, A

2.Untuk U tertentu, maka A dianggap dalam cakupan U yang memenuhi hubungan AU

3.Untuk suatu himpunan A tertentu, AA (sebuah hubungan refleksif)

4.Jika AB dan BC, maka AC (sebuah hubungan transitif)

Sebuah akibat yang menarik dari himpunan yang sama adalah urutan daftar elemen adalah tidak penting.

11

HimpunanJika batasan tertentu dipakai, himpunan itu mungkin sama, meskipun batasan tersebut menunjukkan perbedaan arah.

Contoh: misal A={x:xR, x adalah sebuah bilangan genap, bilangan prima}, dan B = {x:xR, x+3=5}, dan karena bilangan 2 merupakan bilangan prima yang genap, A=B.

Kita perhatikan beberapa operasi himpunan. Misalkan A dan B merupakan himpunan bagian dari himpunan universal U. Maka :

1.Komplemen dari A; yaitu: Ac={x:xU,xA}

2.Irisan/interseksi A dan B; yaitu: AB={x:xA dan xB}

3.Gabungan/union dari A dan B; yaitu: AB={x:x A atau xB (atau keduanya)}

12

HimpunanOperasi himpunan yaitu: jumlah, kali, bagi dan sebagainya.

Menghasilkan bilangan lain yaitu hasil jumlah, hasil kali, hasil bagi bilangan-bilangan yang dijumlah, dikalikan, dibagi.

Seperti halnya operasi bilangan, operasi himpunan menghasilkan himpunan lain.

1.Complemen

Complemen dari A ditulis dengan notasi Ac, adalah himpunan titik-titik yang tidak berada di dalam A.

Ac = { A}

Apabila operasi komplemen dikenakan dua kali pada himpunan A, maka akan mendapatkan nilai A

13

Himpunan

2. Union

A B (baca A union B) adalah himpunan titik-titik yang paling sedikit terletak dalam satu diantaranya/gabungan

A B = { A atau B}

3. Interseksi

AB = (baca A interseksi B) adalah himpunan titik-titik yang terletak dalam A dan sekaligus dalam B.

AB = { A dan B}

14

HimpunanContoh:

S = {1,2,3,4,5,6}

A = {1,3,4}

Ac = {2,5,6}

(Ac)c = {1,3,4}

Daerah yang tidak diarsir adalah Ac

A = {5,6,7,8}

B = {1,3,5,7,9}

AB={1,3,5,6,7,8,9}

Daerah yang diarsir adalah AB15

Ac

A

A

B

Himpunan

A = {5,6,7,8}

B = {1,3,5,7,9}

AB={5,7}

Daerah yang

diarsir adalah AB

Operasi irisan dan gabungan dapat diperluas dengan cara yang lebih baik dengan menyediakan sejumlah bilangan yang terbatas dari himpuna-himpunan.

16

AB

BA

HimpunanHumuk dan sifat yang digunakan dalam himpunan:

Hukum identitas: A=A AU=A

AU=U A=Hukum idempoten: AA=A AA=A

Hukum komplemen: AAc=U AAc=; Acc=A

Hukum komutatif: AB=BA AB=BA

Hukum De Morgan: (AB)c=AcBc (AB)c=AcBc

Hukum asosiatif : A(BC)=(AB)C

A(BC)=(AB)C

Hukum distributif : A(BC)=(AB)(AC)

A(BC)=(AB)(AC)17

Percobaan dan Ruang SampelPercobaan-percobaan Random

Percobaan-percobaan mempunyai sifat umum:

1.Percobaan tidak mungkin menyatakan sebuah hasil yang khusus, tetapi kita dapat mendefinisikan himpunan untuk semua hasil-hasil yang mungkin.

2.Percobaan dapat diulang berkali kali tanpa terbatas dengan kondisi tidak berubah.

3.Hasil percobaan yang diulang-ulang itu terjadi dengan cara random atau kebetulan.

Himpunan semua hasil-hasil kejadian dalam percobaan disebut ruang sampel. Dengan simbol menunjukkan percobaan dan simbol menunjukkan ruang sampel

18

Percobaan dan Ruang SampelContoh:

i = Pelemparan ke atas sepasang dadu dan memper-hatikan permukaan yang muncul.

i = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

i = Sebuah pintu mobil dirakit dengan sejumlah noda/bintik pengelasan. Setelah dirakit, setiap las diperiksa dan jumlah kerusakan dihitung.

i = {0,1,2,…,K}, dimana K = jumlah seluruh las pada pintu19

Probabilitas

20

Definisi Probabilitas

Sebuah pendekatan aksioma dilakukan untuk mendefinisikan probabilita sebagai suatu fungsi himpunan dimana elemen-elemen daerah asal adalah himpunan-himpunan dan elemen-elemen dari range bilangan riil.

Jika kejadian A adalah sebuah elemen pada daerah asal fungsi ini, kita pergunakan notasi fungsi P(A), f(A), dst. untuk menunjukkan elemen-elemen yang berkaitan dalam range-nya.

Definisi

Jika sebuah percobaan mempunyai ruang sampel dan sebuah kejadian A didefinisikan pada .

Probabilitas

Definisi

Jika sebuah percobaan mempunyai ruang sampel S dan sebuah kejadian A didefinisikan pada S , maka P(A) adalah suatu angka riil yang disebut probabilita dari peristiwa A, atau probabilita A, dan fungsi P(.) mempunyai syarat-syarat sbb:

1.0P(A) 1 untuk tiap kejadian A dari S .2.P(S )=1

3.Untuk tiap bilangan yang terbatas k dari kejadian-kejadian yang saling meniadakan didefinisikan atas S

21