OPTIMISASI EKONOMI

n TRt - TCt

Nilai perusahaan = ∑ ≈ Present valuet =1 (1 + r)t

Memaksimumkan persamaan merupakan pekerjaan yang kompleks sebab mencakup faktor-faktor penentu penerimaan, biaya, & tingkat diskonto (discount rate) untuk setiap tahun pada masa yang akan datang. Dalam pembuatan keputusan manajerial, hal-hal penting yang harus diperhatikan adalah faktor yang mempengaruhi harga, kuantitas & saling keterkaitan antara faktor-faktor tersebut, a.l produk yang dirancang perusahaan, pengolahan, penjualan, strategi marketing yang digunakan, kebijakan harga yang ditetapkan, bentuk perekonomian yang sedang dihadapi, serta sifat persaingan yang dihadapinya di pasar → hubungan penerimaan yang mencakup permintaan & penawaran → kompleksitas dalam analisis pengambilan keputusan.

MODEL PERSAMAAN

TR= P x QTR = penerimaan totalP = harga tiap unit yang terjualQ = kuantitas unit yang terjual

Hubungan antara TR dengan Jumlah Unit yang Terjual (Q) :TR = Rp 150 x Q

GRAFIK HUBUNGAN ANTARA TR dengan Q

Penerimaan (Rp/t) 900

Jumlah unit Total penerimaanyang terjual (TR)

1 Rp1502 Rp3003 Rp4504 Rp6005 Rp7506 Rp900

750

600

450

300

150 Jumlah yang terjual 0 1 2 3 4 5 6 (unit/waktu)

HUBUNGAN ANTARA NILAI TOTAL, RATA-RATA DAN MARGINAL

→ Tujuan analisis ini adalah menentukan nilai dari variabel-variabel independen yang bisa mengoptimalkan fungsi tujuan dari para pembuat keputusan.

Dalam hal ini; Hubungan Marginal didefinisikan sebagai perubahan variabel dependen dari suatu fungsi yang disebabkan oleh perubahan salah satu variabel independen sebesar satu unit. Dalam fungsi TR, penerimaan marginal (MR) adalah perubahan penerimaan total yang disebabkan oleh perubahan satu unit barang yang terjual.

Oleh karena proses optimisasi mencakup analisis diferensi atau perubahan-perubahan, maka konsep marginal ini menjadi sangat penting yaitu menganalisis suatu fungsi tujuan dengan melihat perubahan berbagai variabel independen serta pengaruhnya terhadap variabel dependen → menyelidiki pengaruh marginal dari perubahan variabel-variabel independen tersebut terhadap variabel dependennya.

Hubungan antara Nilai Total, Marginal dan Rata-rataUntuk Sebuah Fungsi Laba

Hubungan antara Nilai Total, Marginal danRata-rata secara Geometris

(a) Laba Total

Laba (Rp/t)

e d

Laba total

c

93 Nba

0 T 3 output (unit/t)

(b) Laba Marginal dan Rata-rata

Laba (Rp/t)

Unit output yang Laba Laba Laba

terjual (Q) Total Marginal Rata-rata0 Rp- - -1 Rp19 Rp19 Rp19 2 Rp52 Rp33 Rp26 3 Rp93 Rp41 Rp31 4 Rp136 Rp43 Rp34 5 Rp175 Rp39 Rp35 6 Rp210 Rp35 Rp35 7 Rp217 Rp7 Rp31 8 Rp208 Rp-9 Rp26

Laba marginal C

D A B

Laba rata-rata

O Q1 Q2 Q3 output (unit/t)

Hubungan antara nilai total, marginal & rata-rata ditunjukkan sebuah grafik hubungan antara laba dengan output dimana setiap titik pada kurva tsb menunjukkan kombinasi output laba total(a); data laba marginal & laba rata-rata pada gambar (b).Secara geometris hubungan ini ditunjukkan oleh SLOPE (lereng) dari sebuah garis titik asal (origin) menuju titik potong pada sebuah kurva laba total. Slope yaitu suatu ukuran kemiringan dari sebuah garis, & didefinisikan sebagai tingginya kenaikan (atau penurunan) per unit barang sepanjang garis horisontal. Slope dari sebuah garis lurus yang melalui titik asal ditentukan dengan pembagian koordinat Y pada setiap titik pada garis tsb dengan koordinat X yang cocok → slope dari garis OB bisa dihitung lewat pembagian Rp. 93,- (koordinat Y pada titik B) dengan 3 (koordinat X pada titik B → laba total dibagi dengan jumlah total output yang ada → pengertian laba rata-rata. Setiap titik sepanjang sebuah nilai total, nilai rata-rata yang cocok ditunjukkan oleh slope dari sebuah garis lurus dari titik asal menuju titik tertentu (b); setiap titik pada kurva laba rata-rata adalah sama dengan laba total dibagi dengan kuantitas output.Slope-slope kurva non linier dapat diperoleh lewat penggambaran sebuah garis singgung pada kurva tsb lewat suatu titik yang diinginkan & kemudian menentukan slope dari garis singgung tsb. Laba marginal pada titik A adalah sama dengan slope pada kurva laba total pada titik tsb, yaitu sama dengan slope dari garis singgung TAN → gambar (a). Oleh karena itu, setiap titik sepanjang sebuah kurva total, nilai marginal yang sesuai ditunjukkan oleh sebuah garis yang digambarkan bersinggungan dengan kurva nilai total pada titik tsb.Kurva laba total naik dari titik asal menuju titik C; oleh karena garis-garis yang digambarkan yang bersinggungan dengan kurva laba total menjadi lebih curam jika titik singgung tsb mendekati titik C, maka laba marginal menaik sampai titik singgung tsb. Kurva laba marginal meningkat sampai pada tingkat output Q1, sama dengan titik C pada kurva laba total → gambar (b). Pada titik C tsb disebut titik belok (inflection point), slope kurva laba total adalah maksimum→ titik laba marginal juga maksimum. Antara titik C & E, laba total terus meningkat sebab laba marginal masih tetap positif walaupun sudah menurun.

Pada titik E kurva laba total ber-slope nol & hal tsb berarti tidak terjadi kenaikan maupun penurunan laba → laba marginal pada titik E tsb (output Q3) sama dengan nol & laba total menjadi maksimum. Setelah melampaui titik E kurva laba total ber-slope negatif & laba marginal menjadi negatif.Pada gambar (b), pada tingkat output yang rendah, dimana kurva laba marginal terletak diatas kurva laba rata-rata, maka kurva laba rata-rata sedang menaik; walaupun laba marginal mencapai titik maksimum pada output Q1 & kemudian menurun, tetapi kurva laba rata-rata terus meningkat sepanjang kurva laba marginal masih diatasnya. Pada tingkat output Q2, laba marginal sama dengan laba rata-rata & pada saat itu laba rata-rata mencapai nilai maksimumnya. Setelah melalui output Q2, kurva laba marginal terletak di bawah kurva laba rata-rata & kurva laba rata-rata tsb mulai menurun.

Penurunan Kurva Total dari Kurva Marginal atau Rata-Rata Pada gambar (b), Laba total adalah laba rata-rata dikalikan dengan jumlah output, laba total yang sesuai dengan output Q1; ex adalah laba rata-rata (A) dikalikan output (Q1), laba total tsb sama dengan luas bidang segi empat OABQ1. Hubungan ini berlaku untuk semua titik sepanjang kurva laba rata-rata.Hubungan yang sama terjadi antara laba marginal dengan laba total; mengingat bahwa laba total adalah sama dengan jumlah semua laba marginal, maka laba total untuk setiap tingkat output adalah sama dengan jumlah marginal sampai dengan tingkat output tsb. Secara geometris, laba total tsb ditunjukkan oleh daerah di bawah kurva laba marginal dari sumbu Y sampai kuantitas output yang ditentukan. Pada tingkat output Q1, laba total sama dengan bidang di bawah kurva laba marginal yaitu bidang OCQ1.Nilai rata-rata/marginal/total ini merupakan dasar bagi prinsip-prinsip penting ekonomi mikro; ex dalam maksimisasi laba jangka pendek kurva biaya marginal (marginal cost = MC) & kurva penerimaan marginal (marginal revenue = MR) diturunkan dari nilai rata-rata atau total. Laba akan maksimum jika laba marginal (MR-MC) sama dengan nol. Jadi, laba akan maksimum jika MR=MC.

KALKULUS DIFERENSIAL

Konsep TurunanPerubahan Y yaitu ΔY dibagi dengan perubahan X yaitu ΔX menunjukkan perubahan variabel dependen yang disebabkan oleh perubahan satu unit nilai X. Fungsi Y = f(X) menunjukkan perubahan nilai variabel independen (X) dengan notasi ΔX & perubahan variabel dependen (Y) dengan notasi ΔY.

ΔY

Marginal Y = ΔX

Y (variabel dependen)

Y4 D Y3 C

Y2 B

Y1 A

X (variabel 0 X1 X2 X3 X4 independen)

Nilai-nilai X yang dekat dengan titik asal; perubahan X yang relatif kecil akan menyebabkan perubahan Y yg cukup besar. Nilai ΔY/ΔX = (Y2-Y1)/(X2-X1), yang relatif besar menunjukkan bahwa suatu kenaikan kecil dari X akan menyebabkan kenaikan yang besar pada Y; keadaan ini terbalik jika nilai X semakin menjauhi titik asal sepanjang sumbu X. Suatu kenaikan besar dari X, ex : dari X3 ke X4 hanya akan menghasilkan suatu kenaikan kecil pada Y, dari Y3 ke Y4, maka ΔY/ΔX juga menjadi kecil.♛ Hubungan marginal antara X dengan Y selalu berubah pada setiap

titik yang berbeda pada kurva tsb; jika kurva tsb relatif curam, maka variabel dependen Y sangat responsif terhadap perubahan variabel independen; tetapi jika kurva tsb relatif datar, maka respon dari variabel dependen Y tidak begitu berarti terhadap perubahan X.

Secara konseptual, suatu turunan (derivative) merupakan suatu spesifikasi yang tepat dari hubungan marginal secara umum, ΔY/ΔX. Notasi matematis untuk sebuah turunan yaitu :

dY ΔY Notasi tsb dibaca : "turunan Y pada X = limit dari = lim ΔY/ΔX, jika X mendekati nol" dX X→0 ΔX

Konsep turunan sebagai limit dari suatu rasio adalah sama dengan slope dari sebuah kurva pada sebuah titik. Slope rata-rata dari kurva tsb antara titik A & D dihitung dengan cara berikut & yang ditunjukkan sebagai slope dari garis yang menghubungkan kedua titik tsb.

Slope rata-rata dari kurva tsb bisa dihitung sepanjang

ΔY Y4 - Y1 interval-interval X yg semakin mengecil & ditunjukkan = oleh garis-garis penghubung lainnya, ex: yang mengΔX X4 - X1 hubungkan titik B & C dengan D.

Pada limitnya, jika X mendekati nol, maka perbandingan ΔY/ΔX sama dengan slope dari sebuah garis yang bersinggungan dengan kurva tsb pada titik D. Slope dari garis singgung ini didefinisikan sebagai turunan (dY/dX) fungsi tsb pada titik D; slope tsb menunjukkan perubahan marginal Y yg disebabkan oleh suatu perubahan X yang sangat kecil pada titik tsb.

KAIDAH-KAIDAH PENURUNAN SUATU FUNGSI

Kaidah Konstanta

Turunan dari sebuah konstanta selalu nol, oleh karena itu jika Y sama dengan sebuah kosntanta, maka :

dY = 0dX

Kaidah Pangkat

Turunan dari fungsi pangkat seperti Y = aXb, dimana a & b merupakan konstanta adalah sama dengan pangkat (exponent) b dikalikan dengan koefisien a dikalikan dengan variabel X pangkat b-1.

dYY = aXb ≈ = b.a.X (b-1)

dXContoh : Y = 2X3, maka :

dY = 3.2X(3-1) → = 6X2

dX

Kaidah Penjumlahan & Selisih

U = g(X) : U adalah g fungsi XV = h(X) : V adalah h fungsi XTurunan dari suatu penjumlahan (atau selisih) sama dengan jumlah (atau selisih) dari turunan secara individual. OLeh karena itu, jika Y = U

+ V , maka :

dY dU dV = + dX dX dX

Contoh ;U = g(X) = 2X2, V = h(X) = -X3

Y = U + V = 2X2 - X3 → 2.2 X (2-1) - 1.3 X (3-1) dY = 4X - 3X2

dX

Kaidah Perkalian

Turunan dari perkalian antara dua fungsi adalah sama dengan fungsi yang pertama dikalikan dengan turunan fungsi yang kedua, ditambah dengan fungsi yang kedua dikalikan dengan turunan fungsi yang pertama. Oleh karena itu, jika Y = U x V, maka :

dY dV dU contoh : Y = 3X2 (3-X) ; berarti : = U + V U = 3X2 & V = (3-X)dX dX dX jadi :

dY dV dU = 3X2 ( ) + (3-X) ( )dX dX dX

= 3X2 (-1) + (3-X) (6X) = -3X2 + 18X - 6X2

= 18X - 9X2

Kaidah Hasil Bagi

Turunan dari hasil bagi dari suatu fungsi adalah sama dengan penyebut dikalikan dengan turunan pembilang, dikurangi dengan pembilang dikalikan dengan turunan penyebut, & kemudian semuanya dibagi dengan penyebut kuadrat. dU dV V. - U.dY dX dX = dX V2

Contoh : U = 2X - 3, & V = 6X2; maka :

2X - 3Y = 6X2

dY 6X2 . 2 - (2X-3) 12X 12X2 - 24X2 + 36X 36X - 12X2

= → →dX 36X4 36X4 36X4

→ 3 - X 3X3

Kaidah Rantai

Turunan sebuah fungsi dari sebuah fungsi diperoleh dengan cara; jika Y = f(U) dimana U = g(X), maka :

dY dY dU = x dX dU dX

Contoh : Y = 2U - U2, & U = 2X3, maka didapatkan persamaan dengan cara :

Langkah 1

dY = 2 - 2UdU

Dengan mensubstitusikan nilai U diperoleh :

dY = 2 - 2(2X3) → 2 - 4X3

dX

Langkah 2

dU = 6X2

dX

Langkah 3

dY dY dU = x → (2 - 4X3) 6X2 → 12X2 - 24X5

dX dU dX

Contoh 2 :

Y = √ X2 - 1 ; misalkan U = X2 - 1, maka Y = √U = U1/2

dY 1 1 = U-1/2 → dengan mensubstitusikan X2 - 1 ke dalam U dU 2 2 U1/2 pada turunan tsb, maka diperoleh :

dY 1 dU = → karena U = X2 - 1, maka = 2XdU 2(X2 - 1)1/2 dX

Dengan menggunakan kaidah rantai, maka :

dY dY dU 1 X = x = 2X = dX dU dX 2(X2 - 1)1/2 √ X2 - 1

Contoh 3 :

1Y = ; misalkan U = X2 - 2, maka Y = 1/U, dengan menggunakan X2 - 2 kaidah hasil bagi dapat diperoleh :

dY U.0 - 1.1 1 = = - dU U2 U2

Dengan mensubstitusikan (X2 - 2) ke dalam U dapat diperoleh :

dY 1 = - dU (X2 - 2)2

dUkarena U = X2 - 2, maka : = 2X dX

dY dY dU 1= x = - 2X

dX dU dX (X2 - 2)2

2X = - (X2 - 2)2

PENGGUNAAN TURUNAN UTK MEMAKSIMUMKAN/MEMINIMUMKAN FUNGSI

Proses optimisasi seringkali mengharuskan seseorang untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi. Jika suatu fungsi berada pada keadaan maksimum atau minimum, maka slope atau nilai marginalnya pasti nol. Turunan suatu fungsi ditunjukkan oleh slope atau nilai marginalnya pada suatu titik tertentu. Oleh karena itu, maksimisasi atau minimisasi dari suatu fungsi terjadi jika turunannya sama dengan nol.

Ex : ᄌ = -10.000 + 400Q + -2Q2

d ᄌLaba marginal (M) = = 400 - 4Q dQ = 400 - 4Q = 0 Q = 100 unit

PEMBEDAAN NILAI MAKSIMUM dengan NILAI MINIMUM

Konsep turunan kedua (second-order derivative) digunakan untuk membedakan nilai maksimum dengan nilai minimum dari suatu fungsi. Turunan ini merupakan turunan dari turunan pertama. Jika laba total ditunjukkan persamaan ᄌ = a - bQ + cQ2 - dQ3, maka turunan pertamanya yang merupakan fungsi laba marginal adalah :

d ᄌ = M ᄌ = -b + 2cQ - 3dQ2

dQ

Turunan kedua dari fungsi laba total adalah turunan dari suatu fungsi laba marginal diatas yaitu :

d2 ᄌ M ᄌ = = 2c - 6dQdQ2 dQ

P (Rp/t) B

B

inflection laba total (ᄌ) = a - bQ + cQ2 -dQ3 point

0 output (unit/t) QB

QA A

Rp/unit

0 output (unit)

d ᄌ= -b - 2cQ - 3dQ2

dQ Laba marginal

Jika turunan pertama menunjukkan slope fungsi laba total, maka turunan kedua tsb menunjukkan slope dari turunan pertama tsb yakni slope dari kurva laba marginal, kita menggunakan turunan kedua tsb untuk membedakan titik maksimum & minimum. Jika turunan kedua dari sebuah fungsi negatif, maka titik yang ditentukan adalah maksimum, demikian sebaliknya.negatif & karena itu menyebabkan laba total turun, tiba-tiba menjadi positif → slopenya positif. Keadaan yang berlawanan terjadi pada titik

maksimum; nilai laba marginal tsb adalah positif tetapi menurun hingga suatu titik dimana fungsi laba total mencapai maksimum, & negatif setelah titik tsb → slopenya negatif pada titik maksimum fungsi total.Ex : Laba total (ᄌ) = -3.000 -2.400Q + 350Q2 - 8.333Q3

Turunan pertama d ᄌLaba marginal (M ᄌ) = = -2.400 + 700Q - 25Q2

dQLaba total akan maksimum atau minimum pada titik-titik dimana turunan pertama tsb (laba marginal) sama dengan nol, maka :

d ᄌ = -2.400 + 700Q - 25Q2 = 0dQ

Dengan menggunakan faktorisasi persamaan maka di dapat :

= (-25Q + 100) (Q - 24) untuk pengecekan = -25Q2 + 600Q + 100Q - 2400

= -25Q2 + 700Q -2400

Q = 4 & Q = 24Atau dengan menggunakan rumus abc

-b ± √b2 - 4acabc =

2a

Dengan menggunakan rumus abc, maka didapatkan nilai-nilai output yang memenuhi persamaan kedua yaitu : 4 & 24 → titik-titik laba maksimum atau minimum. Turunan kedua dari fungsi laba total tsb didapat dari mencari turunan dari fungsi laba marginal :

d2 ᄌ dM ᄌ = = 700 - 50QdQ2 dQ

Pada tingkat output atau Q = 4; Pada tingkat output atau Q = 24;d2 ᄌ dM ᄌ = = 700 - 50.4 = 500 ♛» 700 - 50.24 = -500dQ2 dQ

Penggunaan Turunan untuk Memaksimumkan Selisih Antara Dua Fungsi

Salah satu kaidah dalam ekonomi mikro yaitu MR = MC agar laba maksimum dapat tercapai, sebenarnya timbul berdasarkan pada azas optimisasi kalkulus tsb. Azas tsb timbul dari adanya kenyataan bahwa jarak antara dua fungsi akan maksimum pada titik dimana slope kedua fungsi tsb adalah sama.

Rp/t TR, TC & Laba Maksimum

total cost

total revenueA marginal cost

Output (unit/t) QA QB marginal revenue

Laba total = TR - TC, & oleh karena itu sama dengan jarak vertikal antara kedua kurva tsb akan maksimum pada tingkat output QB dimana slope dari kurva TR & TC tsb adalah sama. Karena slope kurva TR & TC masing-masing menunjukkan MR & MC, maka MR = MC.Alasan bahwa QB merupakan tingkat output yang memaksimumkan laba bisa tampak dengan memperhatikan bentuk dari kurva TR & TC di sebelah akan titik A. Pada titik A, TR = TC, berarti disitu terjadi titik impas (BEP), & oleh sebab itu titik A tsb menunjukkan tingkat output yang menghasilkan laba sama dengan nol. Pada tingkat-tingkat output setelah QA, TR meningkat lebih cepat dari TC, dengan kata lain, MR > MC.Jika slope TR = slope TC, maka kedua kurva tsb akan sejajar. Keadaan tsb terjadi pada tingkat output QB. Setelah melampaui QB, slope kurva TC > TR (MC > MR), maka jarak antara kedua kurva tsb mengecil & laba total menurun.Ex :

TR = 41,5Q - 1,1Q2

TC= 150 + 10Q - 0,5Q2 + 0,02Q3

ᄌ = TR - TC= 41,5Q - 1,1Q2 - (150 + 10Q - 0,5Q2 + 0,02Q3)= 41,5Q - 1,1Q2 - 150 - 10Q + 0,5Q2 - 0,02Q3

= -150 + 31,5Q - 0,6Q2 - 0,02Q3

Laba marginal atau turunan pertama dari fungsi laba tsb adalah :

d ᄌM ᄌ = = 31,5- 1,2Q - 0,06Q2

dQ

Dengan menentukan laba marginal sama dengan nol & menggunakan rumus abc, maka akar-akarnya adalah Q1 = -35 & Q2 = +15. Karena output yang negatif tidak mungkin terjadi, maka Q1 bukan merupakan tingkat output yang bisa digunakan.

Turunan kedua akan menentukan titik laba maksimum & titik laba minimum ;

d2 ᄌ dM ᄌ = = 1,2 - 0,12QdQ2 dQ

Hubungan MR = MC dengan maksimisasi laba, ᄌ = TR - TC, maka persamaan umum laba marginal adalah :

d ᄌ dTR dTCM ᄌ = = -

dQ dQ dQ

Jika dTR/dQ merupakan MR, & dTC/dQ merupakan MC, maka : M ᄌ = MR-MCKarena maksimisasi setiap fungsi mengharuskan turunan pertama sama dengan nol, maka maksimisasi laba akan terjadi jika ;

M ᄌ = MR - MC = 0 atau MR = MCDari contoh diatas maka MR & MC didapat dari turunan fungsi TR & TC ;

dTRMR = = 41,5 - 2,2Q

dQ

dTCMC = = 10 - Q + 0,06Q2

dQ

Pada tingkat output yang memaksimumkan laba, maka MR = MC ;

41,5 - 2,2Q = 10 - Q + 0,06Q2

-31,5 + 1,2Q + 0,06Q2 = 0

Akhirnya diperoleh Q1 = -35 & Q2 = 15

Rp/t 500 MR pada Q = 15

400 break event point atas BEP 300 bawah 200 MC pada Q = 15

MC 100 MR = MC pada Q = 15 MR 0 Output (unit/t) 6 12 15 18 24 30 Rp/t

Marginal profit = 0 pada Q = 15 200

total 100 profit

Output (unit/t) 6 12 15 18 24 30

OPTIMISASI FUNGSI DENGAN VARIABEL MAJEMUK

Konsep diferensiasi terhadap 3 variabel atau lebih; fungsi permintaan akan suatu produk dimana kuantitas yang diminta (Q) ditentukan oleh harga (P) yang telah ditetapkan, tingkat pengeluaran iklan (A), maka fungsi tsb adalah :

Q = f(P,A)

Dengan menggunakan fungsi permintaan diatas, maka dapat diperoleh dua turunan parsial, yaitu :

1. Turunan parsial Q pada harga (P) = δQ/δP2. Turunan parsial Q pada pengeluaran iklan (A) = δQ/δA

Kaidah untuk menentukan turunan parsial adalah sama dengan kaidah dalam turunan yang sederhana. Karena konsep turunan parsial menggunakan suatu asumsi bahwa semua variabel, kecuali satu variabel dimana turunan tsb diturunkan, tidak berubah. Ex ; Y = 10 - 4X + 3XZ - Z2 ; dalam fungsi tsb terdapat dua variabel independen yaitu X & Z, oleh karena itu dua turunan parsial dapat dihitung.

Y = 10 - 4X + 3XZ -Z2

Karena Z dianggap konstan, maka turunan parsial Y pada X adalah :

δY= 0 - 4 + 3Z - 0

δX= -4 + 3Z

Dalam menentukan turunan parsial Y & Z, X dianggap konstan, maka :

Y = 10 - 4X + (3X)Z -Z2

& turunan parsial Y pada Z adalah :

δY= 0 - 0 + 3X - 2Z → 3X - 2Z

δZ

Ex 2 : 2X + 4X2Z - 3XZ2 - 2Z3 ; maka turunan parsial Y pada X adalah :

δY= 2 + 8XZ - 3Z2 - 0

δX

& turunan parsial Y pada Z adalah :

δY= 0 + 4X2 - 6XZ - 6Z2

δX

Maksimisasi Fungsi dengan Variabel Majemuk

Syarat maksimisasi (atau minimisasi) dari fungsi dengan variabel majemuk merupakan perluasan secara langsung dari fungsi dengan variabel tunggal. Semua turunan parsial pertama harus sama dengan nol. Oleh karena itu, maksimisasi dari fungsi Y = f(X,Z) mensyaratkan :

δY δY = 0 dan = 0

δX δZ

Untuk menjelaskan prosedur ini, perhatikan fungsi di bawah ini :

Y = 4X + Z - X2 + XZ - Z2

Yang mempunyai turunan parsial :

δY δY = 4 - 2X + Z = 0 dan = 1 + X - 2Z = 0

δX δZ

Untuk memaksimumkan persamaan diatas, turunan-turunan parsial tsb harus sama dengan nol.

OPTIMISASI TERKENDALA

Masalah optimisasi terkendala dibagi menjadi 2 kelompok yaitu :

1. Masalah Maksimisasi ; laba, penerimaan atau outputTunduk kepada ; kendala sumber daya

2. Masalah minimisasi ; biayaTunduk kepada ; kendala kuantitas atau kualitas output

Masalah optimisasi terkendala dapat dipecahkan dengan berbagai cara, dalam beberapa kasus, jika persamaan kendala tidak terlampau rumit → persamaan kendala dipecahkan untuk salah satu variabel-variabel pengambilan keputusan dulu, kemudian mensubsititusikan variabel tsb ke dalam fungsi tujuan; apakah perusahaan tsb bertujuan memaksimumkan atau meminimumkan.

Ex :Perusahaan memproduksi produknya dengan menggunakan dua pabriknya & bekerja dengan fungsi biaya total (TC) sbb :

TC = 3X2 + 6Y2 - XY

Dimana X merupakan output dari pabrik yang I & Y merupakan output dari pabrik II. Manajemen akan menentukan kombinasi biaya terendah

(least - cost combination) antara X & Y, dengan tunduk kepada kendala bahwa produk total harus 20 unit. Masalah optimisasi terkendala tsb adalah :

Minimumkan : TC = 3X2 + 6Y2 - XYDengan kendala X + Y = 20

Dengan menyelesaikan kendala X & mensubstitusikan nilai tsb ke dalam fungsi tujuan, maka :

X = 20 - Y , dan

TC = 3(20 - Y)2 + 6Y2 - (20 - Y)Y= 3(400 - 40Y + Y2) + 6Y2 - (20Y - Y2)= 1.200 - 120Y + 3Y2 + 6Y2 -20Y + Y2

= 1.200 - 140Y + 10Y2

Cara selanjutya; cari turunan persamaan fungsi tsb & sama dengan nol;

dTC= -140 + 20Y = 0

dY

Y = 7

Suatu pengujian terhadap tanda dari turunan kedua yang ditaksir pada titik tsb akan membuktikan bahwa titik minimum ditemukan :dTC

= -140 + 20Y = 0dY

d2TC= + 20Y

dY2

Karena turunan kedua tsb adalah positif, maka Y = 7 merupakan titik minimum. Dengan memasukkan 7 ke dalam Y di dalam persamaan kendala, memungkinkan untuk menentukan kuantitas optimum yang diproduksikan oleh pabrik X.

X + Y = 20 → X + 7 = 20X = 13

Oleh karena itu, produksi output 13 unit pada pabrik X & 7 unit pada pabrik Y adalah kombinasi biaya terendah dalam menghasilkan 20 unit produk dari perusahaan tsb. Biaya total (TC) tsb adalah ;

TC = 3X2 + 6Y2 - XY → 3(13)2 + 6(7)2 - (13).(7)= 710

ANGKA PENGGANDA LAGRANGE

Teknik Lagrange untuk memecahkan masalah-masalah optimisasi terkendala merupakan suatu cara yang digunakan untuk mengoptimisasikan sebuah fungsi dengan cara menggabungkan fungsi tujuan mula-mula dengan persyaratan kendala. Persamaan gabungan ini fungsi lagrange. Fungsi ini dibuat untuk memastikan :1. Bahwa jika fungsi mencapai nilai maksimum (atau minimum), fungsi

tujuan mula-mula juga akan maksimum (atau minimum)2. Bahwa semua persyaratan kendala terpenuhi

Ex : perusahaan berusaha meminimumkan fungsi TC = 3X2 + 6Y2 - XY, dengan tunduk kepada kendala X + Y = 20. Persamaan kendala tsb akan diubah sbb:

0 = 20 - X - Y → merupakan langkah I dalam membentuk suatu fungsi Lagrange, dengan mengalikan kendala tsb dengan sebuah faktor yang tidak diketahui "λ" & menambahkan hasil tsb pada fungsi tujuan mula-mula menghasilkan persamaan Lagrange, misalnya :

LTC= 3X2 + 6Y2 - XY + λ (20 - X - Y)

LTC didefiniskan sebagai fungsi Lagrange untuk optimisasi terkendala. OLeh karena fungsi Lagrange tsb memasukkan kendala ke dalam fungsi tujuan, maka fungsi Lagrange bisa dianggap sebagai masalah optimisasi tak terkendala, & penyelesaiannya identik dengan penyelesaian masalah optimisasi terkendala mula-mula.

Ex : pada suatu titik minimum dari fungsi yang menggunakan variabel majemuk, semua turunan parsial harus sama dengan nol. Turunan-turunan parsial persamaan fungsi diatas dapat dicari untuk variabel X, Y & λ, sbb :

δLTC= 6X - Y - λ

δX

δLTC= 12Y - X - 1

δY

δLTC= 20 - X - Y

δλ

Dengan menentukan ketiga turunan parsial tsb sama dengan nol, maka didapatkan persamaan sbb :

6X - Y - λ = 0 X + 12Y - λ = 0 20 - X - Y = 0

Turunan parsial fungsi Lagrange pada λ1, merupakan kendala pada optimisasi mula-mula, selama turunan tsb sama dengan nol, artinya ia berada pada keadaan ekstrim (maksimum atau minimum), maka persyaratan kendala optimisasi mula-mula tsb akan terpenuhi. Selain itu, jika pada persyaratan seperti itu suku terakhir dari persamaan Lagrange harus sama dengan nol yaitu 0 = 20 - X - Y, maka fungsi Lagrange tsb akan tetap pada fungsi tujuan mula-mula, & oleh karena itu penyelesaian untuk masalah optimisasi tak terkendala (Lagrange) akan selalu merupakan penyelesaian bagi masalah optimisasi terkendala mula-mula. Masukkan persamaan sbb :

6X - Y - λ = X + 12Y - λ 6X - Y - λ - X - 12Y + λ = 0

Jadi ; 7X - 13Y = 0

Kemudian mengalikan persamaan 20 - X - Y = 0 dengan angka 7, lalu menambahkan persamaan tsb dengan hasil tsb, sbb :

140 - 7X - 7Y = 0 7X - 13Y = 0 + 140 - 20Y = 0 Y = 7

Titik minimum fungsi Lagrange adalah sbb :

20 - X - Y = 0 → 20 - X - (7) = 0 X = 13

Oleh karena penyelesaian fungsi Lagrange tsb juga merupakan penyelesaian masalah optimisasi terkendala dari perusahaan tsb, maka 13 unit dari pabrik X & 7 unit dari pabrik Y akan merupakan kombinasi output yang bisa dihasilkan dengan jumlah pengeluaran biaya terendah, dengan tunduk pada kendala dimana output total

harus sama dengan nol.

Teknik Lagrange merupakan teknik yang lebih kuat untuk memecahkan masalah optimisasi terkendala ketimbang metode substitusi. Teknik ini lebih mudah untuk diterapkan pada masalah dengan kendala majemuk, & teknik ini memberikan tambahan informasi yang sangat berarti bagi para pembuat keputusan, hal ini disebabkan oleh angka pengganda Lagrange (λ) memiliki suatu interpretasi ekonomis yang sangat penting.

Angka λ dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai X & Y pada persamaan fungsi :

δLTC= 6X - Y - λ → 6.(13) - 7 - λ = 0

δX λ = +71

Disini kita dapat menginterpretasikan λ sebagai MC pada tingkat output sebesar 20 unit. Ini menunjukkan bahwa jika perusahaan tsb diharuskan memproduksi hanya 19 unit output, maka TC akan turun sebesar 71. Sama juga halnya jika output diharuskan sebesar 21 unit, maka biaya akan naik sejumlah itu (71).Secara lebih umum, setiap angka pengganda Lagrange (λ) menunjukkan pengaruh marginal terhadap penyelesaian fungsi tujuan mula-mula oleh penurunan atau kenaikan persyaratan kendala sebesar 1 unit.