OPERATIONS RESEARCH II -...

Fakultas Teknik

Universitas Pasundan

Jurusan Teknik Industri

OPERATIONS RESEARCH – II

MODEL PROBABILISTIK DAN

JARINGAN DISTRIBUSI

Jurusan Teknik Industri FT Unpas

TEORI ANTRIAN


Materi Kuliah

1. Struktur Dasar Model Antrian

2. Proses Kelahiran dan Kematian

3. Kondisi Steady State

4. Model-model Antrian

5. Parameter Model Antrian

6. Pengambilan Keputusan dengan Model Antrian


Tujuan Pembelajaran (1)

Di akhir perkuliahan mahasiswa mampu:

• Mendefinisikan elemen-elemen Sistem Antrian

• Merumuskan probabilitas terjadinya suatu event pada Sistem Antrian

Tjutju T. Dimyati


Tujuan Pembelajaran (2)

• Mampu merumuskan model-model antrian berdasarkan kondisi setiap elemen sistem antrian

• Mampu menentukan parameter model antrian

• Mampu menyelesaikan persoalan pengambilan keputusan berdasarkan nilai-nilai parameter model antrian yang sesuai

Tjutju T. Dimyati


Teori Antrian

• Teori yang berkaitan dengan studi matematis dari antrian (queue) atau baris penungguan (waiting line)

• Melibatkan:

Suatu fasilitas pelayanan dengan satu atau lebih “pelayan”

Sejumlah “konsumen” yang berasal dari suatu populasi

Mekanisme pelayanan


Teori Antrian

• Persoalan berkaitan dengan:

Meminimumkan waktu menunggu sebelum konsumen memperoleh layanan

Meminimumkan jumlah konsumen yang menunggu untuk memperoleh layanan

Mengoptimalkan waktu pelayanan

• Tujuannya adalah untuk mencapai keseimbangan antara ongkos pelayanan dengan ongkos atau risiko karena konsumen menunggu


Struktur Dasar Model Antrian

Terdiri dari:

1. Pelanggan/Konsumen yang membutuhkan pelayanan

2. Sistem Pelayanan yang berkaitan dengan:

a. Pelaksana pelayanan (pelayan/server)

b. Fasilitas pelayanan

c. Mekanisme pelayanan


Struktur Dasar Model Antrian

Sistem Pelayanan

Antrian Fasilitas

Pelayanan

Sumber

Input

© 1995 Corel Corp.


Contoh Kasus Antrian

Fasilitas Konsumen Pelayan Layanan

Bank Nasabah Teller Transfer dll

Klinik Pasien Dokter Pengobatan

Lampu Stopan

Kendaraan CahayaPengenda-lian

Lintas Perakitan

Komponen Pekerja Perakitan

Gudang Peralatan

Peminjam alat

Penjaga Gudang

Keluar / masuk alat


Contoh Sistem Antrian


Karakteristik Sistem Antrian

Ditentukan oleh:

1. Karakteristik kedatangan konsumen

2. Karakteristik antrian

3. Karakteristik fasilitas pelayanan


Karakteristik Kedatangan

1. Ukuran Populasia. Tidak terbatas

b. Terbatas

2. Pola Kedatangana. Random (berdistribusi tertentu)

b. Terjadwal

3. Sifat Konsumena. Sabar

b. Tidak sabar


Sumber Input

(Populasi)

Ukuran

Tidak

Terbatas




Sumber Input

(Populasi)

Ukuran

.

Sejumlah pesawat yang

akan diservis

Tidak

terbatas Terbatas



Pola Kedatangan Random

a. Distribusi Poisson/Eksponensial

b. Distribusi lainnya

Sifat Konsumen Tidak Sabar

a. Balking (batal memasuki sistem)

b. Reneging (keluar dari antrian)


Sumber

Fasilitas

Layanan

Antrian

Sistem Pelayanan

antriannya

panjang!

Balking


Reneging

Sumber

Input Fasilitas

Layanan

Antrian

Sistem Pelayanan

Menyerah!


Tjutju T. Dimyati

Sumber Input

(Populasi)

Ukuran SifatPola

Kedatangan

TerbatasTdk Terbatas Random Terjadwal Sabar Tdk Sabar

Balk RenegePoisson Lainnya

Resume Karakteristik Input


Karakteristik Antrian

Panjang Antrian

– Tidak Terbatas

– Terbatas

Disiplin Antrian

– FCFS

– Random

– Prioritas


Panjang Antrian

• Tidak Terbatas • Terbatas


Tjutju T. Dimyati

Resume Karakteristik Antrian

Antrian

Panjang AntrianDisiplin

TerbatasTdk Terbatas FIFO(FCFS) Random Prioritas


Karakteristik Pelayanan

1. Satu Saluran Pelayanan Satu Tahap

Beberapa Tahap

2. Multi Saluran Pelayanan (Paralel) Satu Tahap

Beberapa Tahap

3. Waktu Pelayanan Konstan

Berdistribusi


Sistem Satu Saluran Satu Tahap

Dok

Antrian Kapal

Kapal di

Laut

Sistem Bongkar Muat Kapal

Kosong

Kedatangan

Unit

TerlayaniFasilitas

Layanan

Antrian

Sistem Pelayanan


Sistem Satu Saluran Multi Tahap

Mobil

Bersih

Cuci

Antrian Mobil

Mobil di

Jalan

Perawatan Mobil

Ganti

Oli

Kedatangan

Unit

TerlayaniFasilitas

Layanan

Antrian

Sistem Pelayanan

Fasilitas

Layanan


Kedatangan

Unit

TerlayaniFasilitas

LayananAntrian

Sistem Pelayanan

Fasilitas

Layanan

Contoh: Nasabah Bank menunggu di depan

salah satu dari sejumlah teller

Sistem Multi Saluran, Satu Tahap


Contoh: Di tempat foto copy, dokumen diproses di

salah satu mesin kemudian dijilid di salah satu meja

penjilidan

Fasilitas

Layanan

Kedatangan

Unit

TerlayaniFasilitas

LayananAntrian

Sistem Pelayanan

Fasilitas

Layanan

Fasilitas

Layanan

Sistem Multi Saluran, Multi Tahap


Tjutju T. Dimyati

Resume Karakteristik Pelayanan

Konfigurasi

Pelayanan

Satu Saluran

Multi TahapSatu Tahap

Multi Saluran

Satu Tahap Multi Tahap


Proses Kedatangan• Diasumsikan bahwa paling banyak hanya satu

kedatangan yang dapat terjadi pada satu waktu tertentu

• Jika ti adalah saat terjadinya kedatangan konsumen ke-i maka untuk i ≥1 waktu antar kedatangan ke-i dapat dinyatakan sebagai : Ti = ti+1 - ti

• Jika rata-rata waktu antar kedatangan dinyatakan sebagai 1/ maka adalah tingkat kedatangan, yaitu rata-ratajumlah kedatangan per satuan waktu


Proses Kedatangan (Kelahiran)

• Jika waktu antar kedatangan eksponensial maka distribusi probabilitas dari jumlah kedatangan yang terjadi pada selang waktu takan mengikuti distribusi Poisson dengan parameter t

• Jika N adalah variabel acak Poisson dan Nt

adalah jumlah kedatangan yang terjadi selama selang waktu t maka:


Proses Kepergian (Kematian)

• Konsumen yang telah selesai dilayani akan pergi meninggalkan sistem

• Jika waktu antar pelayanan eksponensial dengan density s(t) = μe –μt maka rata-rata waktu pelayanan konsumen adalah 1/μdimana μ adalah tingkat pelayanan, yaitu rata-rata jumlah konsumen yang selesai dilayani per satuan waktu


Proses Kelahiran dan Kematian(1)

• Proses kelahiran berkaitan dengan kedatangan calling unit atau pelanggan yang baru ke dalam sistem antrian

• Proses kematian berkaitan dengan keberangkatan calling unit atau pelanggan yang telah selesai dilayani

• Proses kelahiran dan kematian terjadi secara random tergantung pada keadaan yang sedang berlangsung. Keduanya bersifat independen


Proses Kelahiran dan Kematian(2)

• Kelahiran terjadi di antara waktu t dan (t+∆t ) dengan probabilitas λj ∆t + 0(∆t )

• Kelahiran akan meningkatkan status sistem dari jmenjadi (j +1)

• Variabel λj disebut sebagai tingkat kelahiran pada status j

• Kematian terjadi di antara waktu t dan (t+∆t ) dengan probabilitas μj ∆t + 0(∆t )

• Kematian akan menurunkan status sistem dari jmenjadi (j - 1)

• Variabel μj disebut sebagai tingkat kematian pada status j dengan μ0 = 0


Dinyatakan dengan notasi Kendall-Lee yang terdiri dari 6 digit 1/2/3/4/5/6

• Digit 1 menyatakan distribusi kedatangan

• Digit 2 menyatakan distribusi pelayanan

• Digit 3 menyatakan jumlah pelayan

• Digit 4 menyatakan mekanisme pelayanan

• Digit 5 menyatakan kapasitas sistem

• Digit 6 menyatakan ukuran populasi sumber

Model Antrian


Kondisi Steady State

• Adalah kondisi dimana probabilitas Pn (t) menjadi konstan dan bersifat independen terhadap waktu

• Menghasilkan hubungan antar parameter model antrian


Tipe-Tipe Model Antrian

• Satu saluran (M/M/1)

– Contoh: Meja informasi di Mall

• Multi saluran (M/M/S)

– Contoh: counter tiket pesawat

• Pelayanan Konstan (M/D/1)

– Contoh: Pencucian mobil otomatis

• Limited Population

– Contoh: Bengkel dengan 7 mesin


• Rata-rata waktu antri, Wq

• Rata-rata panjang antrian, Lq

• Rata-rata waktu di dalam sistem, Ws

• Rata-rata panjang di dalam sistem, Ls

• Probabilitas fasilitas menganggur, P0

• Utilisasi sistem,

• Probabilitas ada n unit di dalam sistem Pn

• Probabilitas ada lebih dari k unit di dalam sistem, Pn > k

Parameter Model Antrian


• Tipe: Satu saluran, satu tahap

• Sumber Input : Tidak terbatas; tidak terjadi balking, tidak terjadi reneging

• Distribusi Kedatangan : Poisson

• Antrian: Tidak terbatas; satu baris

• Disiplin Antrian: FIFO (FCFS)

• Distribusi Pelayanan : Negative exponential

• Hubungan pelayanan & kedatngan : Independen

• Tingkat Pelayanan > Tingkat Kedatangan

Karakteristik Model (M/M/1)


Persamaan Model (M/M/1)

Utilisasi sistem =

s

Rata-rata waktu antri W q=

( - )

Rata-rata panjang antrian L q=

2

( - )

Rata-rata waktu di dalam sistem

W s=

1

-

Rata-rata panjang di dalam sistem

L s=

-


Persamaan Model (M/M/1)

)(P 10

nn )(P 1

Probabilitas fasilitas menganggur

Probabilitas ada n unit di dalam sistem

n adalah banyaknya unit di dalam sistem

Probabilitas ada lebih dari k unit di dalam sistem

1 k

knP


• Tipe: Sistem Multi-saluran



• Antrian: Tidak terbatas; multi-baris





Karakteristik Model (M/M/S)


Persamaan Model B (M/M/S)

λMμ

Mμ

μ

λ

M!

1

μ

λ

n!

1

1P

M1M

0n

n0

Probabilitas sistem kosong

PM!M

L

M

s

Rata-rata jumlah konsumen di dalam sistem

1

!102

PMM

W

M

s



Persamaan Model B (M/M/S)

1

sq

sq

WW

LLRata-rata jumlah

konsumen menunggu

Rata-rata waktu

konsumen menunggu


• Tipe: Satu saluran, Satu tahap



• Antrian: Tidak terbatas; satu baris





Karakteristik Model Tingkat Pelayanan Konstan (M/D/1)


Persamaan Model C (M/D/1)

Rata-rata jumlah konsumen di dalam sistem


q

q

W

LRata-rata jumlah konsumen menunggu

Rata-rata waktu konsumen menunggu

qs

qs

WW

LL


• Tipe: Satu saluran, Satu tahap

• Sumber Input : Terbatas; tidak terjadi balking, tidak terjadi reneging


• Antrian: Terbatas; satu baris





Karakteristik Model Populasi Terbatas (Model D)

OPERATIONS RESEARCH II -...

Documents

Transcript of OPERATIONS RESEARCH II -...