LINEAR PROGRAMMINGModel umum suatu pemecahan masalah pengalokasian sumber terbatas secara optimal. Suatu hasil yang mencerminkan tercapainya sasaran tertentu yang paling baik (menurut model matematis) diantara alternatif alternatif yang mungkin dengan menggunakan fungsi linear.

METODE

1. GRAFIK

2. SIMPLEX

LANGKAH PENGGUNAAN METODE

1. Menentukan fungsi tujuan dan memformulasikan dalam bentuk matematis

2. Identifikasi batasan-batasan yang berlaku dalam bentuk matematis

3. Gambar fungsi batasan dalam satu salib sumbu

4. Mencari titik paling optimal (menguntungkan) bila dihubungkan dengan fungsi batasan dan fungsi tujuan.

FUNGSI TUJUAN (OBJECTIVE FUNCTION)

Maksimumkan / minimumkan nilai Z

Z = C1X1 + C2X2 + C3X3 + + CnXn

FUNGSI BATASAN ( CONSTRAIN FUNCTION )

1. a 11 + a 12 + + a 1n b 12. a 21 + a 22 + ....+ a 2n b2

.

.

.

. m. a m1 + a m2 + + amn bm

dan X1 0 , X2 0 .... Xn 0KETERANGAN dalam FUNGSI BATASAN

a. Fungsional

Sebanyak m ( a 11 X1 + a 12 X2 + + a 1m Xn )

b. Non negative, tanda 0 untuk Xj 0

c. Variabel Xj , Decision Variablesd. aij , bi, cj, input variables konstan , Parameter ModelMASUKKAN DALAM MATRIX LP

KegiatanPemakaian Sumber / Unit Kegiatan (Keluaran)Kapasitas Sumber

Sumber

1a11 a12 .a1nb1

2a21 a22 .a2nb2

mam1 am2 .amnBm

Z / unitC1 C2 . Cn

Tingkat Kegiatan

X1 X2 . Xn

Keterangan :

m = batasan sumber / fasilitas tersedia

n = kegiatan yang menggunkan sumber / fasilitas

i= nomor sumber

j = nomor kegiatan

bi = banyak sumber ( fas ) ke i yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan

( i = 1,2,3,m )

a ij = banyak sumber i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit keluaran kegiatan

ke i ( i = 1,2,..m ) ( j = 1,2,n )

Xj= tingkat kegiatan ke j ( 1,2,n )

Z= nilai yang dioptimalkan ( maksimum atau minimum )Cj= kenaikan nilai Z bila ada penambahan tingkat kegiatan ( Xj) sebanyak 1 unit atau merupakan sumbangan setiap keluaran kegiatan ke j terhadap nilai Z

SOAL LP GRAFIK SOLVED

PT. RAI Gedex memproduksi lumpia basah dan kering menggunakan 3 mesin / alat proses. Setiap 100 buah lumpia basah menggunakan mesin I selama 2 jam, kemudian mesin III selama 6 jam. Setiap 100 buah lumpia kering menggunakan mesin II selama 3 jam kemudian mesin III 5 jam. Jam kerja maksimum/ hari mesin I = 8 jam , mesin II = 15 jam, mesin III = 30 jam.

Sumbangan laba per 100 buah 1 basah = Rp 30.000,- , 1 kering = Rp 50.000,- . Berapa bauh sebaiknya memproduksi lumpia basah dan lumpia kering agar laba maksimum.1. Fungsi Tujuan

Z = 3X1 + 5X2

2. Fungsi Batasan

(1) 2X1

8

(2) 3X2 15

(3) 6X1 + 5X2 303. Matrix persamaan Jenis LumpiaBKKapasitas Maksimum

MesinX1X2

1208

20315

36530

Sumbangan terhadap laba (1:Rp.10.000)35

4. Mencari nilai Z maksimum

Feasible Solution Area = OABCD

Titik O, dimana X1 = 0, X2 = 0

Z = 3 X1 + 5 X2

= 3 (0) + 5 (0) = 0

Titik A, dimana X1 = 4, X2 = 0

Z = 3 (4) + 5 (0)

=12 + 0

= 12

Titik B, dimana X1 = 4, X2 = 6/5

Z = 3 (4) + 5 (6/5)

=12 + 6

= 18

Titik C, dimana X1 = 5/6, X2 = 5

Z = 3 (5/6) + 5 (5)

= 2 1/2 + 25 = 27 __________ nilai Z nya terbesarTitik D, dimana X1 = 0, X2 = 5

Z = 3 (0) + 5 (5)

= 0 +25

= 25

Kesimpulan:

Kombinasi di titik C pada Feasible Solution Area paling baik yaitu memproduksi 5/6 x 100 lumpia basah dan 5 x 100 lumpia kering perhari, akan mendapat laba 27 x Rp 10.000,- = Rp 275.000,-/ perhari.

LP Metode Simplex

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Merubah Fungsi Tujuan dan Batasan dan Variable Slack

Fs. Tujuan, Z = Cj Xij (Fs. Explisit) menjadi fungsi implicit, Z - Cj Xij.

Misal: perusahaan lumpia.

Z = 3X1 + 5X2

Z 3X1 5X2 = 0Variabel Slack (variable tambahan yang mewakili tingkat penggangguran atau kapasitas yang merupakan batasan).

1.1. Sehingga fungsi batasan awal adalah:

a. 2 X1 < 8

b. 3 X2 < 15

c. 6 X1 + 5 X2 < 30

1. 2. Diubah menjadi: a. 2 X1 + X3 = 8

b. 3 X2 + X4 = 15

c. 6 X1 + 5 X2 + X5 = 30 1.3. Menyusun persamaan dalam table

Variabel dasarZX1 X2 Xn Xn +1 Xn +2 Xn+mNK

Z1-C1 -C2 -Cn 0 0 00

Xn +1 0a11 a12 a1n 1 0 0 b1

Xn +20a21 a22 a2n 0 1 0b2

Xn+m0am1 am2 amn 0 0 1 bm

Variabel dasarZX1 X2 X3 X4 X5NK

Z2-3 -5 0 0 0 0

X3 0 2 0 1 0 0 8

X40 0 3 0 1 015

X50 6 5 0 0 130

8/10

15/3=5

30/5=6

Variabel Dasar: Variabel yang mempunyai nilai = NK

NK = Nilai dibelakang tanda =

2. Memilih Kolom Kunci

Dipilih pada saat nilai z mempunyai nilai (-) negative terbesar yaitu -5

3. Memilih Baris Kunci

i. Mencari index tiap baris yaitu , index yang mempunyai nilai positif terkecil (dipilih)

4. Merubah Nilai Baris Kunci

, Angka kunci = titik bertemunya kolom kunci dengan baris kunci (3)

5. Merubah Nilai Baris Lain

Baris baru = ()

(1) Baris Baru = X2 (Pada Tabel Z)

0/33/30/31/30/315/3

0101/305

(2) Baris Baru pada Z (Tabel Z)

( -3-50000)

(-5)(0101/305) ()

-3005/3025

(3) Baris Baru pada X3 (Tabel 2)

(201008)

(0)(0101/305) ()

201008

(4) Baris Baru pada X5 (Tabel 2)

(6500130)

(5)(0101/305) ()

6005/315Variabel DasarZX1X2X3X4X5NKKeterangan

Z1-3-50000

X302010088/0 =

X40030101515/3 = 5

X50650013030/5 = 6

Z1-3005/3025

X302010088/2 = 4

X200101/3055/0 =

X50600-5/3155/6 = 5/6

Z10005/61/227,5

X300015/91/36 1/3

X200101/305

X10600-5/181/65/6

Jawab:

Jenis LumpiaBKKapasitas Maksimum

MesinX1X2

1208

20315

36530

Sumbangan terhadap laba (1:Rp.10.000)35

1. Fungsi Tujuan

Z = 3X1 + 5X2

2. Fungsi Batasan

(1) 2X1

8

(2)3X2 15

(3) 6X1 + 5X2 30

3. Gambar