mtkdiskrit-130727000138-phpapp02.docx

Di susun Oleh :

INDAH WIJAYANTI200813500172Yb. Matematika

BAB I

T E O R I G R A F

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKAFAKULTAS TEKNIK MATEMATIKA DAN IPA

UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI JAKARTAJl. Nangka No.58C Tanjung Barat (TB Simatupang)

Jagakarsa, Jakarta Selatan 12530Februari 2011

MATEMATIKA DISKRI

http://images.google.co.id/imgres?imgurl=http://bp0.blogger.com/_jhlgRFnmWBs/SBBDlDpC3wI/AAAAAAAAABU/VCg7YUdE9Fw/S692/LOGOUNINDRA.jpg&imgrefurl=http://langitke-7.blogspot.com/&h=472&w=472&sz=48&hl=id&start=1&usg=__mA6hC-afzmDwfLj0xPARsOuNrMM=&tbnid=se12CXYWXHzsjM:&tbnh=129&tbnw=129&prev=/images?q=%22logo+unindra%22&gbv=2&hl=id

Matematika Diskrit

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Graf didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (verticers atau node) = {v1, v2, v3,...} dan E himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul {e1, e2, e3, ...} atau dapat di tulis dengan notasi G = {V,E}.

Dengan definisi demikian graf dapat digunakan untuk berbagai objek diskrit, terutama graf sering digunakan untuk memodelkan berbagai persoalan untuk memudahkan penyelesaiannya yang sulit di selesaikan dengan perhitungan dan pertimbangan biasa. Misalnya seseorang ingin menggambarkan diagram hubungan relasi kerja seorang pimpinan dengan staf-stafnya, maka sang pimpinan dapat dijadikan suatu objek diskrit (simpul/vertex), demikian juga staf-stafnya, dan akan terdapat sisi-sisi (edges) yang menghubungkan satu dan lainnya untuk menggambarkan hubungan (relationship) antara objek-objek (simpul) tadi.

Seperti terlihat pada gambar 1, dimana seorang Pimpinan membawahi Staf1, dan Staf2 dibawahi Staf 1. Dari sini dapat dilihat kekuatan graf dalam mendeskripsikan objek-objek diskrit sehingga graf sampai saat ini banyak digunakan.

Dengan kekuatannya ini graf merupakan salah satu cabang penting dalam matematika yang terus dikembangkan terutama dalam ilmu komputer dimana dengan graf dapat merepresentasikan banyak sekali model persoalan.

A. Sejarah Graf

T E O R I G R A F 1

Gambar. 1 Relasi dengan Graf

Matematika Diskrit

Menurut catatan sejarah, graf pertama kali digunakan dalam menyelesaikan permasalahan jembatan Königsberg (1736).

Masalah jembatan Königsberg ini adalah : mungkinkah melalui ketujuh buah jembatan itu masing-masing tepar satu kali, dan kembali lagi ke tempat semula? Kemudian tahun 1736 seorang matematikawan Swiss, L.Euler, adalah orang pertama yang berhasil menemukan jawaban maslah itu dengan memodelkan masalah ini ke dalam graf. Daratan (titik-titik yang

dihubungkan oleh jembatan) dinyatakan sebagai titik (noktah) yang disebut simpul (vertex) dan jembatan dinyatakan sebgai garis-garis yang disebut sisi (edge). Setiap titik diberi label huruf A, B,

C, dan D. Graf yang dibuat Euler seperti tampak pada gambar 2.b.

Euler mengungkapkan bahwa tidak mungkin seseorang berjalan melewati tepat satu kali masing-masing jembatan dan kembali lagi ke tempat semula karena pada graf model jembatan Königsberg itu tidak semua simpul berderajat genap (derajat sebuah simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul yang bersangkutan).

Apabila sebuah graf dapat dilalui setiap sisinya masing-masing satu kali dan kembali lagi ke tempat semula, maka graf tersebut dikatakan memiliki sirkuit Euler.

1.2 Tujuan

Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut :

T E O R I G R A F 2

Gambar 2.a Jembatan Konigsberg

Gambar 2.bGraf yang merepresentasikan

Jembatan Konigsberg

Matematika Diskrit

Memenuhi salah satu Tugas mata kuliah Matematika Diskrit.

Mahasiswa dapat menggunakan Teori Graf ini untuk memodelkan

berbagai persoalan untuk memudahkan penyelesaiannya yang sulit di

selesaikan dengan perhitungan dan pertimbangan biasa

Mahasiswa dapat mengembangkan serta mengaplikasikan Materi graf ini dalam kehidupan sehari-hari.

BAB II

T E O R I G R A F 3

Matematika Diskrit

PEMBAHASAN

Graf di simbolkan G. Graf adalah himpunan yang terdiri dari (V,E) atau G = (V,E) dengan :

V : Himpunan titik / simpul / noktah danE : Himpunan sisi / edge yang menghubungkan 2 simpul.

Contoh :

Simbol1. Simpul (V) : Huruf, angka atau gabung huruf dan angka2. Edge (E) : e1, e2, e3, ...... n dengan :

e1 : Sisi yang menghubungkan simpul 1 & 2 e2 : Sisi yang menghubungkan simpul 2 & 3.

Contoh Bentuk Graf

A. ISTILAH dalam GRAF1. Sisi Paralel / Ganda yaitu Sisi yang terdiri 2 garis dari 2 simpul

T E O R I G R A F 4

BaliJakarta

Sragen

Sisi / edgeSimpul

V = {Jakarta, Sragen, Bali}

E = { (Jakarta, Sragen), (Sragen, Bali), (Jakarta, Bali)}

e3

e2e1

1

2

3

4

e1 e3

e7

e6

e4

e2

e5 5

e8

V = {1, 2, 3, 4, 5}E = { e1, e2, e3, e4, e5, e6,

e7, e8}

Gambar 2.1. a

TEORI GRAF

Titik UjungTitik terminal

2

3

1

1

2

4

3

1

2

4

3

Sisi Tunggal

1

23

Loop

Matematika Diskrit

Contoh ( pada gambar 1) :e2 = ( 1, 4 ) e6 = ( 3, 4 )e3 = ( 1, 4 ) e7 = ( 3, 4 )

2. Loop / Gelang / Kalang yaitu Sisi yang hanya berhubungan dengan 1 simpul Contoh : e8 = { 4 }

3. Simpul / Titik terasing yaitu simpul yang tidak mempunyai sisiContoh : { 5 }

4. Titik Ujung yaitu simpul yang mempunyai sisi dengan titik simpul lainContoh : e1 = ( 1, 2 )

Buatlah Graf jika di ketahui :

1. V = {1, 2, 3} dan E = { (1,2), (2,2), (3,2), (1,3) }Jawab :

2. V = { 1, 2, 3, 4 } dan E = { (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4) }3. V = { 1, 2, 3, 4 } dan E = { (1,2), (2,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4) }

Jawab:

4. V = { 1, 2, 3, 4 }E = { (1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4), (3,3) }Jawab

T E O R I G R A F 5

Note : Dalam pembuatan graf letak titik simpulnya boleh di buat sembarang

Contoh

Gambar. No 2 Gambar. No 3

Sisi Ganda

Matematika Diskrit

Berdasarkan Sisi ganda dan Loop jenis Graf terdiri dari :

1. Graf Sederhana adalah Graf yang tidak memiliki sisi ganda dan LoopContoh : Gambar no. 2

2. Graf tidak Sederhana terbagi dua (2) yaitu :

a. Graf Ganda yaitu graf yang memiliki sisi gandaContoh: Gambar No 3

b. Graf Semu yaitu graf yang memiliki Loop Contoh : Gambar No 4

A. MENGGAMBAR GRAF SEDERHANA

Contoh : Gambarlah graf jika di ketahui 4 titik (simpul) dengan 2 garisJawab :a. Langkah 1 : Cari banyaknya kemungkinan garis yang dapat di buat dari

4 titik dengan Combinasi: (nr ) = n!r ! (n−r )! Maka

(42) = 4 !

2! ( 4−2 )! = 6 buah garis kemungkinan.

b. Langkah 2 : Cari banyak kemungkinan graf yang di buat dari 6 garis di

pilih 2 garis dengan (62) = 6 !2! (6−2 ) ! = 15 buah

kemungkinan grafSoal : Gambarlah graf dengan semua kemungkinan yang di buat dari 5

titik dan 4 garis

Jawab : a. Langkah 1 : (52) = 5!2! (5−2 )! = 10 Kemungkinan

T E O R I G R A F 6

3

Gambar. No 4

JENIS-JENIS GRAF

1

5 43

2 1

43

2 1

3

4

2

55

d (1) = 2

4

2

1 3

d (2) = 3

d (4) = 2

d (3) = 3

b)

1

2

4

3

d (V1) = 1

d (V2) = 2

d (V3) =2

d (V4) = 3

a)1

4

32

d (V1) = 1

d (V3) = 3

d (V2) = 1d (V4) = 3

c)1

3

2

4

d (V4) = 4

d (V1) = 2

d (V2) = 3

d (V3) = 3

Matematika Diskrit

b. Langkah 2 : (104 ) = 10!

4 ! (10−4 ) ! = 210 buah kemungkinan graf

Gambar graf :

... dst

B. DERAJAT (Degree)Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah banyaknya sisi

yang bersisian dengan simpul tersebut.Simbol : d (V) jika simpulnya V

Contoh

a. 1, 1, 3, 3 b. 1, 2, 2, 3 c. 2, 3, 3, 4

Jawab :

T E O R I G R A F 7

Catatan : 1. Jika pada loop maka

jumlah derajat = 22. Total jumlah semua

derajat = Genap

Contoh Gambarlah graf jika di ketahui 4 titik dengan derajat :

2, 3, 3, 4

V1

V2 V4

V3V1V2

V3V4

R2

AL

R1

Te4

e2

e1

e5

e3e6

Matematika Diskrit

Graf G ( V1, V2 ) di sebut graf bipartit jika Graf G (V,E) pada himpunan simpul G (V) dapat di bagi menjadi himpunan V1 dan V2 serta sisi E (G) dapat menghubungkan antara V1 dan V2

Syarat Umum graf Bipartit :1. Terdapat 2 himpunan V1 dan V2

2. Masing-masing simpul pada V1 menghubungkan ke simpul pada V2

3. Tidak ada Relasi antar simpul pada suatu V1 dan V2 4. Jika setiap simpul di V1 menghubungkan semua simpul di V2 di sebut

Graf Bipartit Lengkap.

Simbol Bipartit lengkap : Kn, mKet : n = banyaknya simpul pada V1

m = banyaknya simpul pada V2

Banyaknya sisi yang dapat di hubungkan = n . m

T E O R I G R A F 8

Contoh Tunjukkan mana yang di sebut Graf Bipartit dan Bipartit lengkap

1.) Jawab :

Karena V1 = { V1, V2 } dan V2 = { V3, V4 }

Maka Graf tersebut adalah Graf Bipartit2.)

Karena V1 = { R1, R2 } dan V2 = { L, A, T }

Maka Graf tersebut adalah Graf Bipartit Lengkap

dengan : Kn.m = K 2.3 = 6 sisi / garis

GRAF BIPARTIT dan SUB GRAF

b

c

f

ed

g

a

a b c

c e f g

V1

V3V2

V4

V2

V1

V4

V3G (V,E) G (V,E)

V1

V2 V5

V3 V4 V3

V2

V4

V1

V5

Matematika Diskrit

.

A. KOMPLEMEN dan SUB GRAF

Komplemen Graf artinya Selain atau kecuali

Simbol Komplemen Graf G (V,E)

B. SUB GRAF ( Simbol : Bagian)Misalkan G (V,E), suatu graf H di katakan Sub graf dari G { H, (V,E) } G (V,E) jika memenuhi syarat sebagai berikut :

1. V (H) V (G) Himpunan simpul di H simpul di G2. E (H) E (G) Himpunan sisi pada H sisi pada G

T E O R I G R A F 9

3.) V1 = { a, b, d } dan V2 = { c, e, f, g }

Maka Graf tersebut adalah Graf Bipartit

Karena tidak semua anggota V2 di pasangkan dengan V1

Contoh 1.)

2.)

G (V,E) G (V,E)

V1 V3

V2

V4

e1 e2

e5 e3

e4

V1

e1

e4V2

V1

e1

V2

e4

Graf G2

Matematika Diskrit

3. Setiap sisi pada H harus mempunyai titik ujung pada graf G

C. PATH dan SIRKUIT Path ( Lintasan)

Path yang panjangnya n adalah suatu jalan dari awal V0 ke simpul akhir Vn dengan barisan berselang-seling antara simpul dan Sisi.

T E O R I G R A F 10

Contoh Tunjukkan bentuk Sub graf dari G !

1.)G (V, E)V = { V1, V2 V3, V4 } E = { e1, e2, e3, e4, e5 }

Misal a. H = (V, E) V = { V1, V2} E = { e1, e2 }

e1 = Titik Ujung di H = G1

e4 = Titik Ujung di H ≠ G1

Maka Gambar di samping Bukan Sub graf



Maka Gambar di samping Bukan Sub graf

Graf G1

Misal b. H = (V, E) V = { V1, V2, V4 } E = { e1, e4 }

V1

e1

e4V4

Gambar di samping merupakan Sub graf karena e1 dan e4 titik ujung di H = G

Syarat Suatu Path / Lintasan :1. Ujung-ujungnya berbeda2. Garisnya berbeda dan simpul boleh sama

Jika garis dan titik simpul berbeda = Path Sederhana Jika pada Path sederhana, titik ujungnya sama maka di sebut Sirkuit

V1

e5

e3

e1

e4e2

V3

V2

Matematika Diskrit

Nama Simpul Sisi / Garis Titik Ujung

Walk beda / sama Sama Ujung Beda

Path Sama Beda Ujung beda

Path Sederhana Sama Beda Ujung beda

Sirkuit Sama Beda Ujung sama

Sirkuit Sederhana Beda Beda Ujung sama

Catatan : = Ada / beberapa = Semua / Setiap


Contoh

Jawab:

Path ( Lintasan) Sepanjang 3: V1 e1, V2 e4, V3 e5, V3

Sirkuit : V1 e1, V2 e4, V3 e3, V1

1. Tunjukkan bentuk Path dan Sirkuit dari Graf berikut !

2. Tunjukkan apakah barisan di bawah ini Walk, Path, Sirkuit atau Sirkuit Sederhana!a. V1 e1 V2 e3 V3 e5 V4 e5 V3 e6 V5

Jawab :Titik Ujung : beda (V1 dan V5 )Sisi : Sama ( e5 yang sama)Simpul : Sama ( V2 yang sama) Deretan baris di atas di sebut Walk

b. V2 e3 V3 e5 V4 e10 V5 e6 V3 e7 V6 e8 V2 Jawab :Titik Ujung : Sama ( V2 )Sisi : Beda ( sisi beda)Simpul : Sama ( V3 yang sama) Deretan baris di atas di sebut Sirkuit.

c. V2 e3 V3 e5 V4 e10 V5 e9 V6 e8 V2

Ingat : Cara Menentukannya : Lihat Titik Ujung Sisi / garis Simpul

Matematika Diskrit


a. V1 e1 V2 e3 V3 e5 V4 e5 V3 e6 V5

Jawab :Titik Ujung : beda (V1 dan V5 )Sisi : Sama ( e5 yang sama)Simpul : Sama ( V2 yang sama) Deretan baris di atas di sebut Walk

b. V2 e3 V3 e5 V4 e10 V5 e6 V3 e7 V6 e8 V2 Jawab :Titik Ujung : Sama ( V2 )Sisi : Beda ( sisi beda)Simpul : Sama ( V3 yang sama) Deretan baris di atas di sebut Sirkuit.

c. V2 e3 V3 e5 V4 e10 V5 e9 V6 e8 V2

3. Tunjukkan apakah barisan di bawah ini Walk, Path, Sirkuit atau Sirkuit Sederhana!a. V1 e1 V2 e3 V3 e4 V3 e5 V4

Jawab :Titik Ujung : beda (V1 dan V4 )Sisi : beda ( sisi beda)Simpul : Sama ( V3 yang sama) Deretan baris di atas di sebut Path

b. V2 e3 V3 e5 V10 e6 V3 e7 V2 Jawab :Titik Ujung : Sama ( V2 )Sisi : Beda ( sisi beda)Simpul : Sama ( V3 yang sama) Deretan baris di atas di sebut Sirkuit

c. V2 e3 V4 e4 V5 e5 V2

Jawab :Titik Ujung : Sama (V2 )Sisi : Beda ( sisi beda)Simpul : Beda ( simpul beda) Deretan baris di atas di sebut Sirkuit Sederhana

d. V1 e1 V2 e3 V3 e5 V4 e5 V3 e6 V5

Jawab :Titik Ujung : Beda (V1 dan V5 )Sisi : Sama ( e5 yang sama)Simpul : Sama ( V3 yang sama) Deretan baris di atas di sebut Walk

V1

e5

e4 V4V3

V2

e1

e2

e3

45

6 7

32

1

1

4 2

35

Matematika Diskrit

2.4 SIRKUIT EULER dan SIRKUIT HAMILTON

Lintasan Euler : Path yang melalui sisi tepat 1x

Sirkuit Euler : Lintasan yang ujung awal = ujung akhir


SIRKUIT EULER

Ciri-ciri Sirkuit Euler :1. Sirkuit yang tepat melewati sisi 1x2. Simpul awal = Simpul akhir3. Sisi wajib beda 4. Simpul boleh berulang5. Graf terhubung yang setiap simpulnya memiliki derajat genap

Contoh 1. Tentukan Lintasan Euler yang di awali V3 !

Jawab :

Lintasan : V3 e1 V1 e2 V2 e3 V3 e4 V4 e5 V1

Sirkuit : V3 e1 V1 e2 V2 e3 V3

2. Tentukan Lintasan Euler dan Sirkuit Euler !

Jawab :

Graf di samping memiliki Sirkuit euler karena graf terhubung dan simpul berderajat genap.

Sirkuit : 1 2 3 4 7 3 5 7 6 5 2 6 1

3. Tentukan bentuk Lintasan Sirkuit Euler berikut!

Jawab : Sirkuit Euler : a. 1 2 6 3 2 4 1 3 5 6 4 5 1 ataub. 1 2 6 3 2 4 5 3 1 5 6 4 1 atauc. 1 2 3 6 2 4 6 5 3 1 5 4 1

2

3

1

4

V315

V5V6

V2

V1 V4

20 30

10

2025

Matematika Diskrit

Adalah Sirkuit yang melewati Simpul tepat 1x kecuali titik awal = titik akhir.

A. REPRESENTASI GRAF dalam MatriksIstilah Graf1. Graf Berbobot yaitu graf yang sisinya mempunyai nilai tertentu

Contoh:

2. Graf Teratur yaitu graf yang setiap simpul mempunyai derajat sama


SIRKUIT HAMILTON

Ciri-ciri Sirkuit Hamilton :1. Sirkuit yang tepat melewati simpul 1x2. Simpul awal = Simpul akhir3. Tidak harus melewati semua sisi

ContohTentukan Lintasan Hamilton dari graf di samping! Serta Sirkuit Hamilton pada graf soal no. 3!Jawab : Lintasan Hamilton : 3 1 2 4Sirkuit Hamilton (no.3) :

a. 1 2 3 6 5 4 1 atau b. 1 3 6 2 4 5 1 atau c. 4 6 2 3 1 5 4.

V1

V3V4

V2

V1V3

V2

V2V1

1

4 2

3

3

2

4

1

Matematika Diskrit

Contoh :

Matriks Ketetanggaan Misalkan G (V,E) dengan simpul n maka G dapat di nyatakan

M = [ aij ] dengan jumlah ordo n

Aturan aij = elemen Matrik a) aij = 1 jika Simpul i dan j bertetangga / terhubungb) aij = 0 jika Simpul i dan j tidak bertetanggac) aij = 1 jika ada sisi gelang pada simpul yang mengakibatkan

diagonal = 1

Matriks = [0 1 01 0 10 1 0

0

0 0]d) aij = 2 yaitu aij = Jumlah sisi yang berhubungan pada simpul 2

Matriks = [0 1 21 0 02 0 1

1

1 0]

Definisi : 2 buah Graf G1 dan G2 di katakan Isomorfik jika Korespondensi satu-satu antara simpul di G1 dan G2 dan antara sisi-sisi di G1 dan G2

Keterangan: Untuk menunjukan 2 graf Isomorfik di tunjukkan dengan:

a). Simpul di G1 berkorespondensi satu-satu dengan simpul di G2

b). Sisi- sisi di G1 berkorespondensi satu-satu dengan sisi di G2

c). Jumlah derajat masing-masing simpul di G1 = G2


Ingat : Cara Membuat Matriks di lihat dari simpulnya dan jumlah ordo sesuai dengan jumlah simpul

GRAF ISOMORFIK

Syarat 2 graf Isomorfik :1. Mempunyai Jumlah Simpul sama2. Mempunyai Jumlah sisi sama3. Mempunyai jumlah derajat sama

3

214

G1a

d

b

c

d

a

c

bG2

25

4

3

1

G1

Matematika Diskrit


Contoh Tunjukkan G1 dan G2 Isomorfik !

1.

G2

Jawab : A. Untuk Menentukan apakah G1 & G2 Isomorfik di jawab dengan syarat 2 graf Isomorfik , yaitu :

G1 : Simpul = 4 G2 : Simpul = 4 Sisi = 6 Sisi = 6

Derajat = 12 Derajat = 12 Semua syarat terpenuhi maka Kedua graf di atas Isomorfik

B. Untuk Menunjukkan apakah G1 & G2 Isomorfik di jawab dengan menunjukan korespondensinya sebanyak simpul, sisi dan derajatnya

Simpulnya : Sisinya: Derajatnya :

1 a2 b3 c4 d

(1,2) (a,b)(2,3) (b,c)(3,1) (c,a)(3,4) (c,d)(4,1) (d,a)(4,2) (d,b)

d (1) : 3 = d (a)d (2) : 3 = d (b)d (3) : 3 = d (c)d (4) : 3 = d (d)

2.e

Jawab : Korespondensi satu-satu dari G1 & G2 di tulis sebanyak simpul, sisi dan derajatnya


2

4. 5.

3.

1.

Matematika Diskrit

Adalah graf yang tidak berarah terhubung yang tidak memiliki sirkuit. Jadi, Ada 2 Syarat Graf Pohon :


Jawab : Korespondensi satu-satu dari G1 & G2 di tulis sebanyak simpul, sisi dan derajatnya


1 a atau 2 b3 c4 d5 e

1 c 2 b3 a4 d5 e

(1,2) (a,b)(1,3) (a,c)(2,3) (b,c)(1,4) (a,d)(3,4) (c,d)(4,5) (d,e)

d (1) : 3 = d (a)d (2) : 2 = d (b)d (3) : 3 = d (c)d (4) : 3 = d (d)d (5) : 1 = d (e)

GRAF POHON (Tree)

Syarat Graf pohon :1. Terhubung2. Tidak memiliki Sirkuit

Contoh

1.

Tentukan apakah Graf berikut merupakan Graf Pohon !

Jawab :

Graf di samping merupakan graf Pohon karena graf terhubung dan tidak memiliki sirkuit

2.

V7

V8 V9

V6

V4 V5

V3

V2

V1

Jawab :

Graf di samping bukan graf Pohon karena graf tidak terhubung (V5 dan V6)

3.2

1Jawab :

Graf di samping bukan merupakan graf Pohon karena terdapat sirkuit yang menghubungkan V1 , V2 dan V3

Anak (akar)

c

b

x

x

a42

x

vz

+

x

y

:

u-

x

Matematika Diskrit

A. POHON BINERAdalah pohon yang setiap titiknya hanya memiliki paling banyak 2

anak (akar).Ekspresi Aljabar dalam bentuk Pohon


3

45 6

Langkah-langkahnya :1. Perhatikan Operator Utama (+, -, x, : ) sehingga

operasinya membagi 2 persamaan kanan dan kiri2. Kerjakan persamaan kiri dan kanan seperti langkah 1

Contoh Nyatakan Operasi berikut dalam bentuk pohon !

2. 2 x 4 1. (a – b) + c

3. (x-y) x 2 + uv

4. (x−z )4

- (x+y) v

v4

-

:

z

x

-

x

+

Matematika Diskrit

BAB III


x

v4

+

:

w

-

5x

y

y5. (4+ y )4

x w + (5 - v)

+

4

Latihan Soal

Matematika Diskrit


mtkdiskrit-130727000138-phpapp02.docx

Documents

Transcript of mtkdiskrit-130727000138-phpapp02.docx