Mohammad Fal Sadikin

Dari 40 siswa dalam kelas, terdapat 32 siswa gemar pelajaran Matematika dan 27 siswa gemar pelajaran fisika. Jika 4 siswa tidak gemar dengan kedua pelajaran tersebut, maka berapakah banyaknya siswa yang gemar dengan kedua pelajaran tersebut?

Contoh 4:Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya.a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay?b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?

Jawab: N(S) = 60Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(A) = 20

B = {sisawa suka siomay} n(B) = 46

Maka A ∩B = {suka keduanya}(A ∪B)c = {tidak suka keduanya} n((A ∪ B)c) = 5

n(A ∩B) = x{siswa suka bakso saja} = 20 - x{siswa suka siomay saja} = 46 - x

Perhatikan Diagram Venn berikut

xA B20 - x 46 - x

S

5

n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+560 = 71 - x

X = 71 – 60 = 11a. Yang suka keduanya adalah x

= 11 orangb. Yang suka bakso saja adalah

20-x = 20-11= 9 orangc. Yang suka siomay saja adalah

46-x = 46-11= 35 orang

10

U ntuk dua h im punan A dan B : ⏐A ∪ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐ – ⏐A ∩ B⏐ ⏐A ⊕ B⏐ = ⏐A⏐ +⏐B⏐ – 2⏐A ∩ B⏐

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C|- |A ∩ B| - |A ∩C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

|A ∪ B ∪ C ∪ D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |A ∩ D| - |B ∩ C| - |B ∩ D| -|C ∩ D| + |A ∩ B ∩ C| +|A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C ∩ D| - |A ∩ B ∩ C ∩ D|

12

Contoh 24. Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5? Penyelesaian: A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3, B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5, A ∩ B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu

himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK – Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),

Yang ditanyakan adalah ⏐A ∪ B⏐.

⏐A⏐ = ⎣100/3⎦ = 33, ⏐B⏐ = ⎣100/5⎦ = 20, ⏐A ∩ B⏐ = ⎣100/15⎦ = 6

⏐A ∪ B⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐ – ⏐A ∩ B⏐ = 33 + 20 – 6 = 47 Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.

13

Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku

⏐A ∪ B ∪ C⏐ = ⏐A⏐ + ⏐B⏐ + ⏐C⏐ – ⏐A ∩ B⏐ – ⏐A ∩ C⏐ – ⏐B ∩ C⏐ + ⏐A ∩ B ∩ C⏐

Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku: ⏐A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ar⏐ = ∑

i⏐Ai⏐ – ∑

≤≤≤ rji1⏐Ai ∩ Aj⏐ +

∑≤≤≤≤ rkji1⏐Ai ∩ Aj ∩ Ak⏐ + … +

(-1)r-1 ⏐A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ar⏐

14

Latihan:Di antara bilangan bulat antara 101 – 600 (termasuk 101 dan 600 itu sendiri), berapa banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4 atau 5 namun tidak keduanya?

15

Penyelesaian: Diketahui:

⎥ U⎥ = 500 ⎥ A⎥ = ⎣600/4⎦ – ⎣100/4⎦ = 150 – 25 = 125 ⎥ B⎥ = ⎣600/5⎦ – ⎣100/5⎦ = 120 – 20 = 100 ⎥ A ∩ B ⎥ = ⎣600/20⎦ – ⎣100/20⎦ = 30 – 5 = 25 yang ditanyakan ⎥ BA⊕ ⎥ = ? Hitung terlebih dahulu

⎥ A ⊕ B⎥ = ⎥ A⎥ + ⎥ B⎥ – 2⎥ A ∩ B ⎥ = 125 + 100 – 50 = 175 untuk mendapatkan

⎥ BA⊕ ⎥ = U –⎥ A ⊕ B⎥ = 500 – 175 = 325

Dari survei terhadap 270 orang didapatkan hasil sbb.:

64 suka brussels sprouts, 94 suka broccoli, 58 suka cauliflower, 26 suka brussels sprouts dan broccoli, 28 suka brussels sprouts dan cauliflower, 22 suka broccoli dan cauliflower,14 suka ketiga jenis sayur tersebut.

Berapa orang tidak suka makan semua jenis sayur yang disebutkan di atas ?

A = {orang yang suka brussels sprouts }B = {orang yang suka broccoli }C = {orang yang suka cauliflower }|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 64 + 94 + 58 – 26 – 28 – 22 + 14 = 154

Jadi mereka yang tidak suka ketiga jenis sayur tersebut ada sebanyak 270 – 154 = 116 orang

ab c

d

ef

g

brussels sprouts broccoli

cauliflower

64 suka brussels sprouts, 94 suka broccoli, 58 suka cauliflower,

26 suka brussels sprouts

& broccoli, 28 suka brussels sprouts

& cauliflower, 22 suka broccoli

&cauliflower,

14 suka ketiga jenis sayur tsb

a = 24 b = 12 c = 60

d = 14

e = 14f = 8

g = 22

brussels sprouts broccoli

cauliflower

64 suka brussels sprouts, 94 suka broccoli, 58 suka cauliflower,

26 suka brussels sprouts& broccoli,

28 suka brussels sprouts& cauliflower,

22 suka broccoli& cauliflower,

14 suka ketiga jenis sayur tsb

a + b + d + e = 64

b + c + e + f = 94

d + e + f + g = 58

b + e = 26

d + e = 28

e + f = 22

e = 14yang tidak suka sayur = 270-24-12-60-14-14-8-22 = 116