JUDUL PERCOBAAN

MODUL 2Marcel Tirtakusumah (13210138)Asisten: Tresna Aglis Salawasna (13210090)Tanggal Percobaan: 18 Oktober 2013EL3216 Sistem KomunikasiSekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB

10

AbstrakPada praktikum ini dilakukan simulasi mengunakan MATLAB untuk teori probabilitas dan proses acak.Pada percobaan teori probabilitas dipelajari mengenai properties dari variabel acak diskrit dan kontinu, uniform dari veriabel normal yang dilihat dari pdf dan cdf juga pengukuran statistik seperti reataan, variansi, standar deviasi dan mean square. Pada percobaan proses acak dipelacari mengenai konsep dasar dari prroses acar seperti wide-sensse stationary dan ergociti daan memeriksa korelasi sebagai pengukuran hubungan antar proses-proses acak.Kata kunci: probabilitas, proses acak, pdf, cdf, ergocity, korelasi.

Dasar Teori

Teori Probabilitas

Distribusi peluang bagi suatu variabel acak X pada dasarnya merupakan distribusi dari suatu populasi. Untuk menjelaskan karakteristik dari distribusi tersebut digunakannilai rata-rata dan varian dari variabel acak X. Untuk menjelaskan pemusatan (rata-rata) dari distribusi tersebut digunakan (expected value), sedangkan untuk menjelaskan penyebarannya digunakan ukuran varian.

E(X) merupakan rata-rata distribusi peluang E(X) merupakan rata-rata tertimbang dari seluruh hasil yang mungkin Jika X adalah variabel acak diskret yang memiliki fungsi massa peluang p(xi), nilai harapan X didefinisikan sebagai :

Varian X merupakan ukuran sebaran suatu distribusi Var(X) merupakan nilai harapan dari kuadrat beda terhadap mean, sehingga :

Akar kuadrat Var(X) adalah standar deviasi X Misal X adalah suatu variabel acak yang bernilai x1, x2, , xn dengan peluang masing-masing adalah p(x1), p(x2), , p(xn ), sebagai alternatifnya, Var(X) dapat ditulis dalam bentuk jumlah tertimbang dari kuadrat deviasi, sebagai berikut : Proses AcakSebuah proses acak X (t) menggambarkan pemetaan dari percobaan acak dengan ruang sampel S ke sebuah ensemble fungsi sampel X (t, i). Untuk setiap titik waktu t1, X (t1) menjelaskan variabel acak.Ensemble Averages And Stationary

Untuk setiap kali instance dari sebuah proses acak, nilai rata-rata, variansi dll dapat dihitung dari semua fungsi sampel X (t, i).

Time Average and Ergocity

Sejauh ini, nilai rata-rata dan varians dari suatu proses acak X (t) dihitung berdasarkan probabilitas fungsi kepadatan fX (t). Namun, dalam eksperimen praktis fungsi kepadatan probabilitas dari suatu proses acak seringkali tidak diketahui. Juga, dalam banyak kasus, hanya ada satu fungsi sampel X (t, i) tersedia. Oleh karena itu, lebih menguntungkan untuk menghitung rata-rata berdasarkan waktu dibandingkan mengambil rata-rata ensemble

Perbedaan Ensemble average dan Time average

Hasil Simulasi dan Analisis Teori Probabilitasa. Variabel Acak Diskrit (a) (b)

Analisis:Gambar (a) menunjukan kurva probability density function(pdf ) dimana nilai probabilitas dari kemunculan keempat angka sama yaitu 0.25. Hal itu dikarenakan hasil pelempaaran fair yaitu memiliki probabilitas kemunculan yangsama. Sedangkan kurva (b) menunjukan kurva cumulative distribution function (cdf) untuk variabel acak diskrit. Kurva ini bebentuk tangga karena merupakan distribusi diskrit.

Hasil untuk sampel acak dadu 4 sisis yang dibuat biased, yakni probabilitas kemunculan setiap sisi tidak sama: (pdf)(cdf)Analisis :Perbedaan dengan percobaan sebelumnya adalah pada kurva pdf yang menunjukan probabilitas kemunculan setiap sisi yang tidak sama

b. Variabel Acak Kontinu Variabel Acak UniformHasil pdf dan cdf untuk sampel acak uniform (pdf)(cdf)

P(0 < U 3)P(3< U 5)P(U 5)

0.27200.46200.2660

mean1 = 3.9797var1 = 1.3886std1 = 1.1784

Analisis :Kurva pdf menunjukan nilai probabilitas yang sama, hal itu dikarenakan sampel acak terdistribusi uniform atau fair. Dan kurva cdf menunjukan bahwa sampel acak terdistribusi secara kontinu.Nilai rataan, variansi, dan standar deviasi tidak akan berbeda jauh untuk sampling dengan jumlah sampel yang banyak.

Variabel Acak NormalHasil pdf dan cdf untuk sampel acak normal

(Input sampel acak) (pdf) (cdf)P(0 < U 3)P(3< U 5)P(U 5)

0.27600.45200.2720

Analisis :Kurva pdf menunjukan nilai rata-rata dan standar deviasi dari input sampel acak,

Hasil untuk nilai tetap dan 2 ={ 0.5, 1, 2, 5, 10}; (pdf) (cdf)Analisis:Hasil plot menunjukan semakin kecil nilai standar deviasi maka kurva pdf akan semakin landai.

Hasil untuk N(,2), dengan 2 tetap dan ={-4,-1,2,5} Analisis:Perbedaan nilai mean memperngaruhi pada posisi kurva pdfc. Mean, Variance, Power100 nilai acak dengan distribusi normal dengan nilai = 1 ; {-5,0,5} Analisis:Perbedaan nilai mean memperngaruhi pada posisi kurva pdf

100 nilai acak dengan distribusi normal dengan nilai = {2,1,0.5,0.01} ; = 0 Analisis:Hasil plot menunjukan semakin kecil nilai standar deviasi maka kurva pdf akan semakin landai.

d. Dart

(pdf)(cdf)Proses Acak

T (msec)

0.00.51.252.23.4

X(1,t)5.0622.0624.0625.2980.0169

X(2,t)4.0624.0621.0620.25781.1231

X(3,t)3.0626.0624.0622.82598.1071

X(4,t)4.0624.0627.0627.86627.0009

E[X(,t)]4.0624.0624.0624.0624.062

E[X2(,t)]2.06152.15062.29132.47492.6926

Tabel 4

t1/t20.00.71.92.6

0.0(Kurva)(Kurva)(Kurva)(Kurva)

0.7(Kurva)(Kurva)(Kurva)(Kurva)

1.9(Kurva)(Kurva)(Kurva)(Kurva)

2.6(Kurva)(Kurva)(Kurva)(Kurva)

Tabel 5Fungsi autocorrelation Rx(t1,t2), dengan nilai t1 dan t2

Tabel diisikan fungsi diatas dan seluruhnya memiliki gambar yang sama.Garis biru pada gambar menunkukan nilai mean.

E[X(,t)]E[X2(,t)]

12.02921.0299

22.02921.0299

32.02921.0299

42.02921.0299

Tabel 6

Perbandingan nilai pada tabel 4 dan 6 berbeda karena ensemble average hanya menghitung rata-rata dan variansipada satu waktu, sedangkan time average menghitung rata-rata dan variansi pad suatu rentang waktu

KesimpulanDari Hasil percobaan mengenai teori probabilitas dan proses acak yang telh dilaksanakan dapat disimpulkan bahwa: Distribusi uniform memberika probabilitas keluaran suatu nilai bernilai sama karena pada distribusi uniform nilai terdistribusi fair atau sama Nilai rata-rata dan variansi mempengaruhi pada prose acak Untuk Proses acak stationari, pdf tidak bergantung pada waktu sedangkan unruk proses acak ergositi, pdf bergantung pada waktu(t) Daftar Pustaka

[1]Carlson, A. B. 1986, Communication Systems. 3rd Ed. New York. McGraw Hill, Inc.[2]Couch II, L. W. 1990, Communication Systems. 3rd ED. New York. MacMilan Publishing, Co.[3]Haykin, Sion. 2009. Communication Systems. 5th Ed. New York. John Wiley & Sons, Inc.

LAMPIRANKode MATLAB2.1 Teori Probabilitasa. Variabel Acak Diskrit %variabel acak diskritclearclc x = randi([1,4],2000,1); y = pdf('chi2',x,4);z = cdf('chi2',x,4);plot(y),title('Probability Density Function');;axis([0 5 0 1]);figure, cdfplot(z);grid on;

b. Variabel Acak Kontinu

Variabel acak uniform

% variabel acak kontinu distribusi uniformclearclc x = random('unif',2,6,500,1); max1 = max(x);min1 = min(x);y = pdf('unif',x,min1,max1);z = cdf('unif',x,min1,max1); t=[1:length(x)]; plot(y),title('Probability Density Function');axis([0 5 0 1]);figure,plot(t,x),title('nilai input');figure,cdfplot(z);grid on; % variable mean, var, std mean1 = mean(x)var1 = var(x)std1 = std(x)

untuk distribusi biased y dan z digan ti 'chi2'y = pdf('chi2',x,min1,max1);z = cdf('chi2',x,min1,max1);

Variabel acak normal

% variabel acak kontinu nomor 8 (distribusi normal)clear;clc; x = random('unif',2,6,500,1); mean1 = mean(x);std1 = std(x);a=random('norm',mean1,std1,500,1);max2 = max(a);min2 = min(a);step2 = (max2-min2)/1000;std2 = std(a);mean2 = mean(a);pdf2 = pdf('norm',min2:step2:max2,mean2,std2);cdf2 = cdf('norm',min2:step2:max2,mean2,std2); figure,plot(pdf2),title('Probability Density Function');figure,plot(a),title('nilai input');figure,cdfplot(cdf2);grid on;

% variabel acak kontinu nomor 10 (distribusi normal)clear;clc; b=random('norm',1,sqrt(0.5),500,1);c=random('norm',1,sqrt(1),500,1);d=random('norm',1,sqrt(2),500,1);e=random('norm',1,sqrt(5),500,1);f=random('norm',1,sqrt(10),500,1);maxb=max(b);minb=min(b);stepb=(maxb-minb)/1000;stdb=std(b);meanb=mean(b);pdfb=pdf('norm',minb:stepb:maxb,meanb,stdb);cdfb=cdf('norm',minb:stepb:maxb,meanb,stdb); maxc=max(c);minc=min(c);stepc=(maxc-minc)/1000;stdc=std(c);meanc=mean(c);pdfc=pdf('norm',minc:stepc:maxc,meanc,stdc);cdfc=cdf('norm',minc:stepc:maxc,meanc,stdc); maxd=max(d);mind=min(d);stepd=(maxd-mind)/1000;stdd=std(d);meand=mean(d);pdfd=pdf('norm',mind:stepd:maxd,meand,stdd);cdfd=cdf('norm',mind:stepd:maxd,meand,stdd); maxe=max(e);mine=min(e);stepe=(maxe-mine)/1000;stde=std(e);meane=mean(e);pdfe=pdf('norm',mine:stepe:maxe,meane,stde);cdfe=cdf('norm',mine:stepe:maxe,meane,stde); maxf=max(f);minf=min(f);stepf=(maxf-minf)/1000;stdf=std(f);meanf=mean(f);pdff=pdf('norm',minf:stepf:maxf,meanf,stdf);cdff=cdf('norm',minf:stepf:maxf,meanf,stdf); plot(pdfb);hold allplot(pdfc);hold allplot(pdfd);hold allplot(pdfe);hold allplot(pdff); figure,cdfplot(cdfb);hold allcdfplot(cdfc);hold allcdfplot(cdfd);hold allcdfplot(cdfe);hold allcdfplot(cdff);

% variabel acak kontinu nomor 11 (distribusi normal)clear;clc; b=random('norm',-100,sqrt(1),500,1);c=random('norm',-1,sqrt(1),500,1);d=random('norm',2,sqrt(1),500,1);e=random('norm',5,sqrt(1),500,1); maxb=max(b);minb=min(b);stepb=(maxb-minb)/1000;stdb=std(b);meanb=mean(b);pdfb=pdf('norm',minb:stepb:maxb,meanb,stdb);cdfb=cdf('norm',minb:stepb:maxb,meanb,stdb); maxc=max(c);minc=min(c);stepc=(maxc-minc)/1000;stdc=std(c);meanc=mean(c);pdfc=pdf('norm',minc:stepc:maxc,meanc,stdc);cdfc=cdf('norm',minc:stepc:maxc,meanc,stdc); maxd=max(d);mind=min(d);stepd=(maxd-mind)/1000;stdd=std(d);meand=mean(d);pdfd=pdf('norm',mind:stepd:maxd,meand,stdd);cdfd=cdf('norm',mind:stepd:maxd,meand,stdd); maxe=max(e);mine=min(e);stepe=(maxe-mine)/1000;stde=std(e);meane=mean(e);pdfe=pdf('norm',mine:stepe:maxe,meane,stde);cdfe=cdf('norm',mine:stepe:maxe,meane,stde); plot(pdfb);hold allplot(pdfc);hold allplot(pdfd);hold allplot(pdfe); figure,cdfplot(cdfb);hold allcdfplot(cdfc);hold allcdfplot(cdfd);hold allcdfplot(cdfe);

c. Mean, Variance, Power

% variabel acak kontinu MEAN, variance, powerclear;clc; b=random('norm',-5,1,100,1);c=random('norm',0,1,100,1);d=random('norm',5,1,100,1); maxb=max(b);minb=min(b);stepb=(maxb-minb)/1000;stdb=std(b);meanb=mean(b);pdfb=pdf('norm',minb:stepb:maxb,meanb,stdb);cdfb=cdf('norm',minb:stepb:maxb,meanb,stdb); maxc=max(c);minc=min(c);stepc=(maxc-minc)/1000;stdc=std(c);meanc=mean(c);pdfc=pdf('norm',minc:stepc:maxc,meanc,stdc);cdfc=cdf('norm',minc:stepc:maxc,meanc,stdc); maxd=max(d);mind=min(d);stepd=(maxd-mind)/1000;stdd=std(d);meand=mean(d);pdfd=pdf('norm',mind:stepd:maxd,meand,stdd);cdfd=cdf('norm',mind:stepd:maxd,meand,stdd); plot(pdfb),title('Probability Density Function');hold allplot(pdfc);hold allplot(pdfd); figure,cdfplot(cdfb);hold allcdfplot(cdfc);hold allcdfplot(cdfd);

d. DART

% variabel acak kontinu DARTclear;clc; mean_x = 0.2;mean_y = 0.2;var_x = 0.1;var_y = 0.1;no_dart = 20; a1 = random('norm',mean_x,var_x,no_dart,1);a2 = random('norm',mean_y,var_y,no_dart,1); t=[0:(2*length(a1))]; max21 = max(a1);min21 = min(a1);step21 = (max21-min21)/40;std21 = std(a1);mean21 = mean(a1);pdf21 = pdf('norm',min21:step21:max21,mean21,std21);cdf21 = cdf('norm',min21:step21:max21,mean21,std21); max22 = max(a2);min22 = min(a2);step22 = (max22-min22)/40;std22 = std(a2);mean22 = mean(a2);pdf22 = pdf('norm',min22:step22:max22,mean22,std22);cdf22 = cdf('norm',min22:step22:max22,mean22,std22); figure,plot(t,pdf21),hold all; plot(t,pdf22),title('Probability Density Function');figure,cdfplot(cdf21),hold all; cdfplot(cdf22);grid on;

2.2Proses Acak%wss dan ergodicityclear;clc; sudut1 = 0;sudut2 = pi/2;sudut3 = pi;sudut4 = 3*pi/2; t = [0,0.5,1.25,2.2,3.4]*10^(-3); t1 = [0 0.7 1.9 2.6]*10^(-3);t2 = [0 0.7 1.9 2.6]*10^(-3); noise = random('unif',2,6,400,1); for n = 1:400 for T = 1 : 5 X1(n,T) = T*cos(2*pi*1000*t(T) + sudut1) + noise(n); X2(n,T) = T*cos(2*pi*1000*t(T) + sudut2) + noise(n); X3(n,T) = T*cos(2*pi*1000*t(T) + sudut3) + noise(n); X4(n,T) = T*cos(2*pi*1000*t(T) + sudut4) + noise(n); endend mean_X1 = mean(X1)mean_X2 = mean(X2)mean_X3 = mean(X3)mean_X4 = mean(X4) mean_1 = (mean_X1 + mean_X2 + mean_X3 + mean_X4) / 4mean_2 = sqrt(mean_X1.^2 + mean_X2.^2 + mean_X3.^2 + mean_X4.^2) / 4 for n = 1:400 for T = 1 : 4 corr_X1_11(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(1)) + sudut1) + noise(n))/2; corr_X2_11(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(1)) + sudut2) + noise(n))/2; corr_X3_11(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(1)) + sudut3) + noise(n))/2; corr_X4_11(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(1)) + sudut4) + noise(n))/2; endend for n = 1:400 for T = 1 : 4 corr_X1_12(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(2)) + sudut1) + noise(n))/2; corr_X2_12(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(2)) + sudut2) + noise(n))/2; corr_X3_12(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(2)) + sudut3) + noise(n))/2; corr_X4_12(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(2)) + sudut4) + noise(n))/2; endend for n = 1:400 for T = 1 : 4 corr_X1_13(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(3)) + sudut1) + noise(n))/2; corr_X2_13(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(3)) + sudut2) + noise(n))/2; corr_X3_13(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(3)) + sudut3) + noise(n))/2; corr_X4_13(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(3)) + sudut4) + noise(n))/2; endend for n = 1:400 for T = 1 : 4 corr_X1_14(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(4)) + sudut1) + noise(n))/2; corr_X2_14(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(4)) + sudut2) + noise(n))/2; corr_X3_14(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(4)) + sudut3) + noise(n))/2; corr_X4_14(n,T) = (cos(2*pi*1000*(t1(T)-t2(4)) + sudut4) + noise(n))/2; endend