Contents

1 Turunan 11.1 Laju Perubahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Garis Singgung Suatu Kurva . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Kecepatan Sesaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Laju Perubahan Lainnya . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 De�nisi Turunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Fungsi Turunan Pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Turunan Pertama Fungsi di Satu Titik . . . . . . . . . 61.2.3 Hubungan Antara Turunan dengan Kekontinuan Di

Satu Titik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Rumus-rumus Turunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Turunan Fungsi Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Aturan Rantai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Turunan Ordo Lebih Tinggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7 Turunan Fungsi Implisit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Laju Yang Terkait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Penerapan Turunan 242.1 Nilai Ekstrim Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Kemonotonan, Kecekungan, dan Ekstrim Lokal Suatu Fungsi . 28

2.2.1 Kemonotonan Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2 Kecekungan Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3 Nilai Ekstrim Lokal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Menggambar Gra�k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.1 Limit Takterhingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3.2 Limit di Takhingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Masalah Pengoptimuman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.1 Teorema Nilai Rata-rata . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1

1 Turunan

Pokok Bahasan

1. Laju Perubahan

2. De�nisi Turunan

3. Rumus-rumus Turunan

4. Turunan Fungsi Trigonometri

5. Aturan Rantai

6. Turunan Implisit

7. Turunan Ordo Tinggi

8. Laju Yang Terkait

Prasyarat :

1. Fungsi : daerah de�nisi, daerah hasil, operasi aljabar fungsi, fungsikomposisi, gra�k fungsi

2. Limit suatu fungsi

Tujuan/sasaranMahasiswa dapat

1. merumuskankan de�nisi turunan dari masalah garis singgung, kecepatansesaat, dan laju perubahan lainnya.

2. menentukan turunan pertama suatu fungsi sederhana dengan menggu-nakan de�nisi, menentukan turunan pertama sutu fungsi di satu titikdengan de�nisi, menjelaskan kaitan antara turunan pertama dengankekontinuan fungsi di satu titik dengan memberikan contoh ilustrasi.

3. menentukan turunan pertama dan turunan tingkat tinggi suatu fungsieksplisit dan implisit dengan menggunakan rumus-rumus turunan.

4. merumuskan suatu model matematika dari masalah yang berkaitandengan laju perubahan waktu dan menyelesaikannya.

1

Untuk menguji daya ingat Anda tentang materi prasyarat tersebut, ker-jakan soal-soal pre-test berikut ini. Jika ada kesulitan, bahaslah bersama-sama dengan anggota kelompok belajar Anda, atau tanyakan ke dosen Anda.

Pre-test

1. Diketahui fungsi f dengan f(x) =px� 1:

(a) Tentukan f(2); f(c); dan f(c+ h):

(b) Tentukan limh�!0

f(c+ h)� f(c)h

2. Tentukan limx�!1+

�2x2 � 1 dan lim

x�!1��2x2 � 1

3. Diketahui fungsi f dengan

f(x) =

8<:x2 ; x � 12� x ; 1 < x < 3x+ 1 ; 3 � x � 5

Tentukan :

(a) daerah de�nisi dan daerah hasil fungsi f

(b) f(0); f(2); f(3); dan f(6)

(c) limx�!1

f(x) ; limx�!3

f(x) ; limx�!2

f(x) ; dan limx�!5

f(x)

(d) limx�!1+

f(px+ 1) dan lim

x�!2f(x+ 1)

1.1 Laju Perubahan

1.1.1 Garis Singgung Suatu Kurva

Misalkan titik P(c,f(c)) terletak pada gra�k fungsi f. Garis singgung gra�k fdi titik P dide�nisikan sebagai garis yang melalui titik P dengan kemiringan

m = limx�!c

f(x)� f(c)x� c (1:1)

asalkan limitnya ada

2

Misalkan h = x � c atau x = c + h; maka x �! c setara denganh �! 0 sehingga persamaan (1.1) dapat ditulis sebagai

m = limh�!0

f(c+ h)� f(c)h

(1:2)

Contoh 1.Tentukan kemiringan garis singgung kurva f dengan f(x) = x�x2

di titik (2; 0):

Contoh 2.Diketahui fungsi f dengan f(x) =

px� 1:

1. Tentukan kemiringan garis singgung kurva f di dititik (0;�1):

2. Tentukan persamaan garis singgung kurfa f di titik (0;�1):

1.1.2 Kecepatan Sesaat

Misalkan jarak tempuh suatu partikel teridenti�kasi fungsinya terhadap waktut yaitu s = s(t); kecepatan rata-rata partikel tersebut pada selang waktu[c; c+ h] dapat ditulis sebagai berikut.

vrata�rata =s(c+ h)� s(c)

h

Kecepatan rata-rata di atas tidak dapat mengidenti�kasi kecepatan bendapada suatu t tertentu. Kecepatan partikel pada suatu t tertentu dapatdijelaskan oleh konsep kecepatan sesaat. Perhatikan rumus vrata�rata diatas, jika h �! 0 maka kecepatan rata-rata menjadi kecepatan sesaatpada saat t = c , ditulis

v = limh�!0

s(c+ h)� s(c)h

3

Misalkan h = t � c ; maka h �! 0 setara dengan t �! c danc+h = t sehingga secara umum kecepatan sesaat gerak suatu partikel padasaat t = c dapat ditulis sebagai

v = limh�!0

s(t)� s(c)t� c

Contoh 3Sebuah benda bergerak menempuh jarak s(t) = 2t2+2 dalam waktu t:

Tentukan kecepatan sesaat saat t = 2:

1.1.3 Laju Perubahan Lainnya

Misalkan y adalah suatu besaran yang bergantung pada besaran lain x,atau y merupakan fungsi dari x, ditulis y = f(x): Jika x berubah darix1 ke x2; maka perubahan x adalah

�x = x2 � x1dan laju perubahan padanannya dalam y adalah

�y = f(x2)� f(x1)

Perubahan rata-rata y terhadap x pada selang [x1; x2] adalah�y

�x=f(x2)� f(x1)x2 � x1

Jika �x �! 0; maka perubahan rata-rata tersebut dikenal dengan lajuperubahan sesaat, ditulis

laju perubahan sesaat = lim�x�!0

�y

�x= lim

�x�!0

f(x2)� f(x1)x2 � x1

Contoh 4Batu dijatuhkan ke danau, menciptakan riak melingkar makin lamamakin

membesar lingkaran yang terbentuk.

1. Tentukan perubahan rata-rata dari luas lingkaran yang terbentuk ter-hadap jari-jarinya, r; pada selang [2; 3]

4

2. Tentukan perubahan rata-rata dari luas lingkaran yang terbentuk ter-hadap jari-jarinya, r; pada selang [2; 2:5]

3. Tentukan perubahan rata-rata dari luas lingkaran yang terbentuk ter-hadap jari-jarinya, r; pada selang [2; 2:1]

4. Tentukan laju perubahan sesaat pada waktu r = 2:

Setelah membaca materi tentang laju perubahan (kemiringan garis singgung,kecepatan sesaat, dan laju perubahan lainnya), bahas dan kerjakan soal-soalberikut untuk lebih mempertajam pengetahuan konsep yang telah Anda kua-sai.

Tugas 1

1. Jika berat suatu tumor yang membahayakan pada saat t adalah w(t).Tuliskan rumus laju pertumbuhan tumor tersebut pada saat t = c:

2. Tuliskan rumus persamaan garis singgung pada kurva f dengankemiringan m di titik P (xo; yo): Bagaimana rumus persamaan garissinggung, jika m tidak ada, dalam arti m =1: Dan bagaimana pulakasusnya jika m tidak ada, dalam arti limit kiri tidak sama denganlimit kanan. Berikan contoh masing-masing sebuah fungsi untuk setiapkasus tersebut.

(Ingat : m = limx�!c

f(x)� f(c)x� c )

1.2 De�nisi Turunan

1.2.1 Fungsi Turunan Pertama

De�nition 1 Misalkan f terde�nisi pada selang buka I yang memuat x.Turunan pertama fungsi f adalah fungsi lain f 0 yang nilainya pada se-barang nilai x adalah

f 0(x) = limh�!0

f(x+ h)� f(x)h

asalkan limitnya ada.

Jika limitnya ada, dikatakan f terdiferensialkan (terturunkan) di x danjika limitnya tidak ada dikatakan bahwa f tidak terdiferensialkan (tidakterturunkan) di x

5

Catatan : Notasi lain untuk fungsi turunan pertama adalah

y0 , Dxy , Dxf(x),df(x)

dx, dan

dy

dxKedua notasi terakhir disebut notasi Leibniz

1.2.2 Turunan Pertama Fungsi di Satu Titik

Perhatikan De�nisi 2 di atas, dikatakan x sebarang bilangan, berarti xdapat diganti dengan suatu bilangan tertentu x = c: Jadi De�nisi 2 menjadide�nisi turunan di satu titik, yaitu sebagai berikut.

De�nition 2 Misalkan f terde�nisi pada selang buka I yang memuat c.Turunan pertama fungsi f yang nilainya pada sebarang nilai c adalah

f 0(c) = limh�!0

f(c+ h)� f(c)h

asalkan limitnya ada.

Catatan : Dengan memperhatikan De�nisi 1 dan De�nisi 3, ternyata

kemiringan garis singgung kurva f di titik P (c; f(c)) adalah turunanpertama fungsi f di x = c:

Contoh 5Dengan menggunakan de�nisi turunan, tentukan turunan pertama fungsi

f dengan f(x) = 1� 4x di x = 1:

Contoh 6Diketahui fungsi f dengan f(x) =

px+ 2: Tentukan (jika ada) f 0(2):

Contoh 7Diketahui fungsi f dengan f(x) = jxj�1: Periksa apakah f mempunyai

turunan di x = 0:

Contoh 8Dengan menggunakan de�nisi turunan, tentukan fungsi turunan pertama

dari f dan daerah de�nisi f 0 jika diketahui

1. f(x) = ax+ b , a; b konstanta.

2. f(x) =�x2 + 1 ; x � 2�2x ; x > 2

6

3. f(x) = x jx� 1j

4. f(x) =p9� x2

1.2.3 Hubungan Antara Turunan dengan Kekontinuan Di SatuTitik

Theorem 3 Misalkan fungsi f terde�nisi pada selang buka I yang memuatc:Jika f 0(c) ada, maka f kontinu di c:

Catatan

1. Kontrapositif Teorema 4 juga berlaku (lihat Contoh 9)

Misalkan fungsi f terde�nisi pada selang buka I yang memuat c.Jika fungsi f tidak kontinu di x = c , maka f 0(c) tidak ada.

2. Konvers dari Teorema 4 tidak berlaku, artinya jika f kontinu di cmaka tidak dijamin f 0(c) ada.(lihat Contoh 10 dan Contoh 11)

Contoh 9

Diketahui fungsi f dengan f(x) =

�x2 ; x � 11� x ; x < 1

Periksa apakah f 0(1) ada.(Kerjakan soal ini, perlihatkan bahwa f tidak kontinu di x = 1, jadi

f 0(1) tidak ada)

Kerjakan soal Contoh 10 dan soal Contoh 11, kedua fungsi berikut yaituf dan g kontinu pada x = 1 , f 0(1) ada tetapi g0(1) tidak ada. Inimaksud dari jika f kontinu di x = c, maka tidak ada jaminan f 0(c) ada.

Contoh 10

Diketahui fungsi f dengan f(x) =

�x2 + 1 ; x � 12x ; x < 1

Periksa apakah f 0(1) ada.(Kerjakan soal ini, perlihatkan bahwa f kontinu di x = 1 dan f 0(1)

ada)Contoh 11

Diketahui fungsi g dengan g(x) =

�x2 + 2 ; x � 13x ; x < 1

7

Periksa apakah g(1) ada.(Kerjakan soal ini, perlihatkan bahwa g kontinu di x = 1, tetapi g0(1)

tidak ada)Contoh 12

Diketahui fungsi f dengan f(x) =

( a

x; 0 < x � 1

bx2 � x ; x > 1Tentukan konstanta a dan b agar f 0(1) ada.(Kerjakan soal ini, dengan memperlihatkan syarat perlu bahwa f kontinu

di x = 1, barulah memperlihatkan f 0(1) ada)

Setelah mengerjakan soal-soal Contoh 1 sampai dengan Contoh 12, Andadiharapkan sudah lebih siap mengerjakan soal-soal latihan berikut.

Latihan Terbimbing 1.1 dan 1.2

1. Diketahui fungsi f dengan f(x) = 1� 2x2

(a) Apakah titik A(1;�1) merupakan titik singgung gra�k fungsi f(b) Tentukan kemiringan garis singgung pada kurva fungsi f di titk

A:

(c) Tentukan persamaan garis singgung tersebut.

2. Diketahui fungsi f dengan f(x) = 4x� x2

(a) Apakah titik B(2; 5) merupakan titik singgung gra�k fungsi f

(b) Jika tidak, carilah titik singgung kurva (xo; yo) dari garis singgungyang melalui titik B tersebut.

(c) Tentukan kemiringan garis singgung pada kurva fungsi f di titiksinggung (xo; yo)

(d) Tentukan persamaan garis singgung pada kurva fungsi f yangmelalui titik B.

3. Sebuah benda bergerak sehingga posisinya setelah t detik ditentukanoleh s(t) = t2 + 1:

(a) Berapa kecepatan rata-rata pada selang [1; 2]

(b) Berapa kecepatan rata-rata pada selang [1; 1:5]

8

(c) Berapa kecepatan rata-rata pada selang [1; 1:01]

(d) Berapa kecepatan rata-rata pada selang [1; h]

(e) Berapa kecepatan sesaat pada t = 1(Petunjuk : gunakan konsep limit untuk menentukan kecepatansesaat. Coba cermati hubungan antara kecepatan sesaat dan ke-cepatan rata-rata)

4. Gunakan de�nisi turunan

(a) Tentukan f 0(c) jika diketahui f(x) = mx2+ b ; a;m konstanta.

(b) Tentukan g0(2) jika diketahui g(x) = � 1

x+ 1; x 6= �1

(c) Tentukan h0(x) jika diketahui h(x) =p4� x2

5. Diberikan fungsi H dengan H(t) = t(jtj� 2). Tentukan H 0(0) (jikaada).

(Petunjuk : gunakan konsep limit dan periksa limitnya ada ataukahtidak ada)

6. Untuk soal berikut,

� Tentukan limx�!c�

f(x)

� Tentukan limx�!c+

f(x)

� Tentukan f(c)

� Apakah f kontinu di c

� Tentukan limx�!c�

f(x)� f(c)x� c

� Tentukan limx�!c+

f(x)� f(c)x� c

� Apakah f terturunkan di c:

untuk fungsi f dan nilai c yang diberikan berikut :

(a) f(x) =�x� 2 ; x � 22� x ; x < 2

dan c = 2

(b) f(x) =�

x2 + 5x� 3 ; x � 1�x2 + x+ 3 ; x > 1

dan c = 1

9

(c) f(x) =�

x2 � 5x� 3 ; x � 6px+ 3 ; x > 6

dan c = 6

7. Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f mempunyai turunan dix = 1; dengan

f(x) =

�apx+ 3 ; 0 < x < 1

x2 � bx ; x � 1(Petunjuk : Jika f 0(c) ada maka f kontinu di x = c; gunakanpernyataan tersebut untuk menghitung konstanta a dan b)

Setelah Anda menyelesaikan semua soal di atas, kerjakan soal-soal berikutdengan mengikuti tahapan penyelesaian soal latihan terbimbing di atas. Jikaada kesulitan segera didiskusikan dengan anggota kelompok belajar Andaatau diskusikan dengan dosen Anda.

Latihan Mandiri 1.1 dan 1.2

1. Diketahui fungsi f dengan f(x) =1

x+ 1

(a) Tentukan kemiringan garis singgung kurva f di titik (1; 12)

(b) Tentukan persamaan garis singgung kurva f di titik (1; 12)

2. Suatu partikel bergerak menurut waktu t yang dide�nisikan s(t) =t2 � t: Tentukan

(a) kecepatan rata-rata pada selang waktu [1; 2]

(b) kecepatan sesaat saat t = 1

3. Tentukan konstanta c , jika garis y = 3x + c menyinggung gra�k fdengan f(x) = 2x2:

4. Tentukan konstanta a dan b; jika kemiringan kurva f denganf(x) = ax2 + bx di titik P (1; 5) adalah 8.

5. Diketahui fungsi f dengan f(x) = jxj (x+4): Dengan menggunakande�nisi turunan, tentukan turunan pertama fungsi f di x = 0:

6. Dengan mengggunakan de�nisi turunan, tentukan turunan pertamafungsi-fungsi f berikut

10

(a) f(x) = x3 + 2x

(b) f(x) =1p5� x

(c) f(x) =3

x+ 2

(d) f(x) = jx� 2j

(e) f(x) =�x2 + 1 ; x � 1px ; _x > 1

7. Misalkan

f(x) =

�ax+ b ; x > 2x2 ; x � 2

Tentukan konstanta a dan b yang membuat fungsi f diferensiabelpada R

8. Suatu kultur bakteri tertentu berkembang sehingga mempunyai massa

sebesar M(t) =1

2t2 + 1 gram setelah t jam.

(a) Seberapa banyak kultur ini berkembang selama selang 2 � t �2:01

(b) Berapa laju perkembangan rata-rata selama selang 2 � t � 2:01(c) Berapa laju perkembangan pada t = 2:

1.3 Rumus-rumus Turunan

Teorema-teorema berikut diperoleh berdasarkan De�nisi 2.

Theorem 4 (Aturan Fungsi Konstan dan Aturan Pangkat)

1. Jika f(x) = k; dengan k suatu konstanta, maka f 0(x) = 0

2. Jika f(x) = xn, dengan n bilangan asli, maka f 0(x) = nxn�1

Theorem 5 (Aturan Jumlah, Selisih, Hasil kali, dan Hasil bagi)

1. Jika f dan g mempunyai turunan pada selang I dan k suatukonstanta, maka fungsi kf; f + g; f � g; dan fg juga mempunyaiturunan pada selang I yang ditentukan oleh aturan

11

(a) (kf)0(x) = kf 0(x)

(b) (f + g)0(x) = f 0(x) + g0(x)

(c) (f � g)0(x) = f 0(x)� g0(x)(d) (fg)0(x) = f 0(x)g(x) + f(x)g0(x)

2. Jika fungsi f dan g mempunyai turunan pada selang I dan g(x) 6= 0pada selang I , maka fungsi

f

gjuga mempunyai turunan pada selang

I yang ditentukan oleh aturan�f

g

�0(x) =

f 0(x)g(x)� f(x)g0(x)(g(x))2

Catatan : Dapat dibuktikan bahwa Aturan pangkat Dx(xn) = nxn�1;

berlaku juga untuk n bilangan rasionalBaca dengan cermat Teorema 5 dan Teorema 6, kemudian pakailah rumus-

rumus di atas untuk menjawab soal-soal di bawah ini.

Contoh 13Buktikan bahwa Dx(x

m) = mxm�1; m bilangan bulat.(Petunjuk : gunakan aturan hasil bagi)

Contoh 14Gunakan Teorema 5 dan Teorema 6 untuk menentukan turunan pertama

fungsi h berikut

1. h(x) = (x4 +1

x)(x2

3+ 5)

2. h(x) =x3 � 24x

Bahan DiskusiTentukan turunan pertama fungsi f berikut. Aturan pencarian turunan

apa saja yang dapat digunakan dan diantara aturan-aturan tersebut manayang lebih mudah digunakan?

1. f(x) =2

x

12

2. f(x) =x3

2

3. f(x) = (1 + x2)�1

x2+ x

�4. f(x) = �3

5. f(x) =x2 + 1

3x

1.4 Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan fungsi trigonometri diturunkan dari teorema limit berikut.

Theorem 6 (Teorema limit fungsi trigonometri)

1. limx�!0

sin x

x= 1

2. limx�!0

1� cosxx

= 0

Dengan menggunakan Teorema 7, diperoleh turunan dari fungsi sinus dankosinus yang dinyatakan dalam teorema berikut ini.

Theorem 7 (Aturan Sinus dan Kosinus)

1. Dx(sinx) = cosx

2. Dx(cosx) = � sin x

Dengan menggunakan Teorema 8 dan rumus-rumus turunan, diperolehturunan untuk fungsi trigonometri lainnya yang dinyatakan dalam teoremaberikut.

Theorem 8 (Aturan Tangen, Cotangen, Secan, dan Cosecan)

13

1. Dx(tan x) = sec2 x

2. Dx(cotx) = � csc2 x

3. Dx(sec x) = sec x tan x

4. Dx(csc x) = � csc x cotx

Tugas 2

1. Buktikan Teorema 8.2 dengan menggunakan Teorema 7 dan meng-gunakan persamaan trigonometri lainnya yang telah Anda pelajari diSMU.

2. Buktikan Teorema 9.2 dan Teorema 9.3 dengan menggunakan Teorema8. dan menggunakan aturan hasil bagi.

Contoh 15Tentukan turunan pertama fungsi f berikut

1. f(x) = (x2 � 2x) cos x

2. f(x) =tan x

x3 + sinx

3. f(x) = 3 cscx� cotx

1.5 Aturan Rantai

Theorem 9 (Aturan Rantai/Turunan Fungsi Komposisi)Misalkan f dan g dua fungsi sehingga fungsi komposisi f � g terde�n-

isi pada Df�g: Jika fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi fmempunyai turunan di g(x) maka fungsi f � g mempunyai turunan di xyang aturannya ditentukan oleh

( f � g)0(x) = f 0(g(x))g0(x)

Catatan

14

1. Aturan rantai dapat ditulis dalam notasi Leibniz yang lebih singkat.

Misalkan y = f(u); u = g(x);dy

duada , dan

du

dxada, maka

dy

dx=dy

du

du

dx

2. Aturan rantai dapat diperluas untuk lebih dari dua fungsi yang mem-punyai turunan.

Misalkan y = f(u); u = g(v); v = h(x);dy

du;du

dvdan

dv

dxada, maka

dy

dx=dy

du

du

dv

dv

dx

Contoh 16Tentukan fungsi turunan pertama dari f jika f(x) = (5� 3x2)7(Petunjuk : Tentukan dulu f(x) dan g(x); kemudian gunakan aturan

( f � g)0(x) = f 0(g(x))g0(x))

Contoh 17Tentukan

dy

dxjika y = sin3(x2 + 1)

(Petunjuk : Misalkan y = u3; u = sin v; dan v = x2 + 1; kemudiangunakan notasi Leibniz.)

Contoh 18Diketahui fungsi g dengan g(x) = xf(x2) dan f(1) = f 0(1) = 1:

Tentukan

1. g0(x)

2. g0(1)

15

1.6 Turunan Ordo Lebih Tinggi

Fungsi turunan kedua dalah turunan dari fungsi turunan pertama, fungsiturunan ketiga adalah turunan dari fungsi turunan kedua, dan seterusnya,ditulis dalam notasi Leibniz sebagai berikut.

d2y

dx2=d

dx

�dy

dx

�d3y

dx3=d

dx

�d2y

dx2

�...

Secara umum fungsi turunan ke-n , ditulisdny

dxn=d

dx

�dn�1y

dxn�1

�

Notasi lain dari turunan ke-n adalah f (n)(x); y(n); dan Dnxy

Contoh 19Diketahui fungsi f dengan f(x) = x5+2x3+1: Tentukan fungsi turunan

ketiga dari f:

Contoh 20Diketahui fungsi f dengan f(x) =

1

ax+ b; x 6= � b

a

1. Tentukan f 0; f 00; dan f 000

2. Tentukan f (n)

16

1.7 Turunan Fungsi Implisit

Pada sub-sub bab sebelumnya membahas turunan fungsi f yang dapatditulis dalam bentuk

y = f(x) (1)Fungsi yang dapat dituliskan dalam bentuk (1) disebut fungsi eksplisit.

Pada sub bab ini akan dibahas turunan dari fungsi implisit yang mempunyaibentuk

f(x; y) = C (2)dengan C suatu konstanta. Sebagai contoh fungsi implisit

sin(xy) = 1sec(x2) + 5xy2 = 1

Misalkanf(x; y) = g(x; y)

menyatakan bahwa y fungsi dari x secara implisit. Untuk menentukandy

dx; gunakan aturan rantai pada kedua ruas :

d

dx(f(x; y)) =

d

dx(g(x; y))

kemudian nyatakandy

dxdalam x dan y:

Contoh 21Tentukan fungsi turunan pertama dari fungsi implisit

1. xy = 1

2. cos(xy) = y2 + 2x

Contoh 22

Tentukandy

dxdan

d2y

dx2fungsi implisit sin(y) = x di titik (

1

2;�

6)

Tugas 3

Buktikan bahwad

dx(xn) = nxn�1; berlaku untuk n bilangan rasional.

(Petunjuk : gunakan aturan fungsi implisit)

Setelah Anda pelajari dengan cermat semua aturan menentukan turunanpartama dan turunan ordo lebih tinggi suatu fungsi eksplisit maupun fungsiimplisit pada sub bab 1.3 sampai dengan 1.7 di atas, serta telah Anda ker-jakan semua soal contoh, selanjutnya kerjakan soal-soal latihan terbimbingberikut dengan mengikuti petunjuk yang diberikan.

17

Latihan Terbimbing 1.3-1.7

1. Diketahui fungsi f dan g dengan

f(x) =

�x2 ; x � 01� 3x ; x < 0

dan g(x) =

�x2 + 1 ; x < 12x ; x � 1

Tentukan :

(a) f 0(x) dan g0(x)

(b) (g � f)0(�1); (fg)0(2); (fg)0(1

2); dan (f � g)0(1)

2. Tentukan

(a)d

dt(16t2)

(b)dc

dr; jika c = 2�r4

(c)ds

dt; jika s =

t

t2 + 7

(d)d

dx(2 cosx� 3 sin x)

(e)d

dx

�� + tan x

x sin(x2)

�3. Misalkan fungsi f , g , dan h mempunyai turunan di x: Denganmenggunakan aturan perkalian, tunjukkan bahwa perkalian fungsi fghjuga mempunyai turunan di x dan

(fgh)0(x) = f(x)g(x)h0(x) + f(x)g0(x)h(x) + f 0(x)g(x)h(x)

(Petunjuk: kerjakan bertahap, ((fg)h)0 = (fg)0h + (fg)h0 kemudiankerjakan (fg)0:)

4. Gunakan jawaban soal nomor 3, untuk menentukan

(a)d

dx

�(2x+ 1)

�1 +

1

x

��1

x3+ 7

��(b)

d

dx((2x5 + 3x� 1)3)

5. Tentukan persamaan garis singgung kurva f dengan

18

(a) f(x) = tan x di x =�

4:

(Petunjuk: tentukan kemiringan garis singgung m = f 0(�

4) den-

gan aturan tangen)

(b) y = f(x) dan x2 + y2 = 2; di titik (1; 1)

(Petunjuk: tentukan kemiringan garis singgung m =dy

dx

��(1;1)

dengan aturan fungsi implisit)

(c) f(x) =jxjp2� x2

di titik (1; 1)

(Petunjuk: tentukan kemiringan garis singgung m = f 0(1) den-gan aturan hasil bagi dan aturan rantai)

6. Jika diketahui fungsi f , g , dan h dengan f 0(x) =1

x2 + 1; g(x) =

f(sinx) dan h(x) = f

�x

x3 + 1

�; maka tentukan g0(x) dan h0(x):

7. Tentukandy

dxjika

(a) x = 5t+ 2; y = t2

(b) x =1

u; y = 3 sin3 u

(c) x =�

1� � ; y = (1 + �)5

(Petunjuk: gunakan aturan rantai dengan notasi Leibniz)

8. Gunakan aturan ( f � g)0(x) = f 0(g(x))g0(x) dan pengembangannya( f � g � h)0(x) = f 0((g � h)(x))g0(h(x))h0(x) untuk menentukan f 0(x)serta rumus-rumus turunan jika diketahui

(a) f(x) = (x3 + 2x)10

(b) f(x) = (1 + x2

1� x2 )5

(c) f(x) = x5 sec2(1

x)

(d) f(x) = sin3(cos(1 + x3))(Petunjuk: terlebih dulu identi�kasi fungsi f , g , h , atau k)

19

9. Tentukand3y

dx3dari

(a) y = sin2 x

(b) y = cos(3x)

10. Tentukandy

dxdan

d2y

dx2di titik yang diberikan

(a) x3y + y3x = 10; (1; 2)

(b) sin(xy) = y; (�

2; 3)

Setelah mengerjakan semua soal latihan terbimbing, kerjakan sebanyakmungkin soal-soal latihan mandiri untuk lebih terampil menyelesaikan soal.

Latihan Mandiri 1.3-1.7

1. Jika diketahui fungsi f merupakan fungsi genap dan g merupakanfungsi ganjil, maka apakah fungsi berikut merupakan fungsi genap,fungsi ganjil, ataukah bukan fungsi genap maupun ganjil.

(a) f + g

(b) f � g(c) g � f(d) g � g(e) f � f

2. Tentkandy

dxdari y =

p1 + sin(x3)

x2 tan(x)

3. Tentukan turunan ke-n dari fungsi f dan g dengan f(x) =p1� x:

dan g(x) = cos(ax+ b)

4. Diketahui f(0) = 0; f 0(0) = 2; g(0) = 0 dan g0(0) = 3: Tentukan(f � g)0(0)

5. Suatu pertikel bergerak sepanjang koordinat (x; y) menurut waktu tyang dide�nisikan sebagai y = tan(t) dan t = cos(2x): Tentukan

laju perubahan y terhadap x saat x =�

4

20

6. Tentukan f 0(x) jika f(x) = sin(px3 + 2):

7. Tentukan f 0(�

2) jika f(x) = cot(

px2 + 1) + tan(x2)

8. Tentukan f 0(x2) jika Dx(f(x2)) = x2

9. Tentukan fungsi polinom berderajat 2 yang memenuhi : f(1) = 5;f 0(1) = 3; dan f 00(1) = �4:

10. Dari persamaan x3 + y3 = 5x + 4; dide�nisikan fungsi f dengany = f (x)memiliki turunan tingkat 3. Tentukan nilai turunan pertama,kedua dan ketiga di titik (1; 2):

1.8 Laju Yang Terkait

Seringkali kita dihadapkan pada masalah yang melibatkan beberapa peubah,misalnya peubah x dan .y: Sedangkan peubah x dan .y sendiri merupakanfungsi dari waktu t yang tidak diekspresikan secara eksplisit (tetapi secara

implisit/tersembunyi). Turunandy

dtdan

dx

dtberturut-turut merupakan laju

perubahan sesaat peubah y terhadap t dan laju perubahan sesaat peubahx terhadap t: Tanda positif menyatakan perubahan yang berbanding lurusdengan perubahan waktu (y membesar jika t membesar). Tanda negatifmenyatakan sebaliknya (y mengecil jika t membesar). Dalam hal ini, atu-ran turunan fungsi implisit berperan dalam menyelesaikan masalah-masalahlaju yang terkait.

Tugas 4Dengan bahasa yang mudah dimengerti, tuliskan tahapan menyelesaikan

masalah laju yang terkait. Beri contoh permasalahan dan gunakan tahapanyang Anda tulis tersebut.

Setelah mengerjakan Tugas 4, sekarang Anda siap untuk mengerjakansoal-soal latihan terbimbing dengan mengikuti petunjuk yang diberikan.

Latihan Terbimbing

1. Jari-jari tumpahan minyak yang berbentuk lingkaran, membesar den-gan laju tetap 2 km per hari. Pada laju berapakah daerah tumpahanminyak itu membesar 3 hari setelah tumpahan itu terjadi?

Petunjuk :

21

� Buat diagram permasalahan (jika dibutuhkan)

� Tahap pertama, misalkan semua peubah yang ada dalam permasala-han dengan hurufMisal : r = jari-jari lingkaran tumpahan minyak.

L = luas daerah tumpahan minyak

� Tahap kedua, tuliskan laju yang diketahui dr

dtdan laju yang di-

tanyakandL

dt� Tahap ketiga, tulis persamaan matematika yang melibatkan semuapeubah L = �r2; L = L(t); r = r(t)

� Tahap keempat, diferensialkan persamaan pada tahap 3 secara im-plisit terhadap waktu t; kemudian selesaikan.

2. Tangki air berbentuk kerucut terbalik beralas lingkaran dengan jari-jari alas 2 m dan tinggi 4 m. Jika air dipompakan ke dalam tangkipada laju 2 m3/menit, carilah laju pertambahan tinggi air pada waktukedalaman 3 m.

(Petunjuk : gunakan seperti pola penyelesaian soal 1)

3. Tinggi sebuah segitiga bertambah pada laju 1 cm/menit sedangkan luassegi tiga bertambah dengan laju 2 cm2/menit. Pada laju berapakahalas segitiga berubah pada waktu tinggi 10 cm dan luas 100 cm.

(Petunjuk : gunakan seperti pola penyelesaian soal 1. Perhatikan adaperbedaan yang sangat penting antara soal 2 dan soal 3 yaitu menen-tukan saat kapan turunan implisit sudah boleh dilakukan. Coba ker-jakan dengan cermat)

4. Lampu bolam L berada di ujung atas sebuah kap lampu berbentukkerucut. Tinggi kerucut h cm, garis tengah alas 2a cm. Bila padamulanya alas kerucut menempel di lantai, kemudian diangkat secaravertikal ke atas dengan kecepatan kt2 cm/detik.

(a) Buat diagram permasalahan

(b) Buat arah gerak pinggir bayangan kap lampu pada lantai

(c) Berapa laju perubahan gerak pinggir bayangan kap lampu padalantai

22

Latihan Mandiri

1. Dua orang berangkat dari titik yang sama. Seorang berjalan ke timurdengan kecepatan 3 mil/jam dan lainnya berjalan ke timur laut dengankecepatan 2 mil/jam. Berapa perubahan jarak antara kedua orangtersebut setelah 15 menit?

2. Timbunan lemak membentuk ketebalan tertentu secara merata padadinding pembuluh darah yang berjari-jari 1.5 cm, dengan laju 0.01cm/tahun. Berapa laju luas rongga pembuluh darah, saat ketebalanlemak mencapai 0.5 cm.

3. Suatu pertikel bergerak sepanjang kurva dengan persamaanxy3

1 + y2=

8

5. Diketahui bahwa x menaik dengan laju perubahan sebesar 6

unit/detik ketika partikel pada titik (1; 2) , tentukan laju perubahany:

4. Sebuah balok pejal dari baja dengan alas bertambah pada laju 1 mmper menit dan tinggi balok bertambah dengan laju 0.1 mm per menit.Berapa laju bertambahnya volume balok pada saat panjang sisi balok2 mm dan tinggi balok 1 mm.

5. Sejumlah pasir ditumpahkan dari truk, jatuh membentuk kerucut den-gan laju 10 dm2/menit . Jari-jari dasar tumpukan selalu sama dengansetengan dari tingginya. Berapa cepatkah laju pertambahan tinggitumpukan pasir ketika tinggi mencapai 5 dm.

6. Sebuah tangga yang panjangnya 18 m bersandar pada dinding vertikalyang tingginya 12 m sehingga ujung atas tangga melewati dinding.

(a) Tentukan panjang tangga yang tidak melewati dinding pada saattangga membentuk sudut 60o terhadap tanah.

(b) Jika ujung bawah tangga ditarik mendatar menjauhi dinding den-gan laju 2 m per detik, tentukan laju perubahan sudut pada saattangga tersebut membentuk sudut 60o terhadap tanah.

23

2 Penerapan Turunan

Pokok Bahasan

1. Nilai Ekstrim Global

2. Kemonotonan, Kecekungan, dan Nilai Ekstrim lokal

3. Limit Tak Hingga dan Asimtot Datar

4. Menggambar Gra�k

5. Masalah Pengoptimuman

6. Teorema Nilai Rata-rata

Prasyarat :

1. Limit di ketakhinggaan

2. Fungsi dan daerah de�nisi fungsi

3. Turunan Fungsi

Tujuan/sasaranMahasiswa dapat

1. menjelaskan masalah maksimum-minimum global/lokal dengan beber-apa contoh ilustrasi.

2. memeriksa eksistensi maksimum-minimum global dari fungsi yang diberikandengan menggunakan teorema eksistensi maksimum-minimum global.

3. menentukan ekstrim lokal dari suatu fungsi yang diberikan denganmenggunakan uji turunan pertama dan uji turunan kedua.

4. menentukan ekstrim global dengan menentukan ekstrim lokacamenen-tukan ekstrim lokara membandingkan nilai-nilai fungsi di titik-titik kri-tis.

5. menentukan selang kemonotonan suatu fungsi dengan menggunakanteorema kemonotonan.

24

6. menentukan selang kecekungan dan titik balik suatu fungsi denganmenggunakan uji turunan kedua.

7. menyelesaikan masalah-masalah praktis, yang berkaitan dengan masalahnilai ekstrim

8. Menentukan limit tak hingga dan menggunakannya untuk menentukanasimtot suatu fungsi

9. membuat sketsa gra�k fungsi dari informasi maksimum-minimum, ke-monotonan, kecekungan, dan asimtot fungsi.

10. menjelaskan teorema nilai rata-rata dengan menggunakan contoh ilus-trasi.

Untuk menguji daya ingat Anda tentang materi prasyarat tersebut, ker-jakan soal-soal pre-test berikut ini. Jika ada kesulitan, bahaslah bersama-sama dengan anggota kelompok belajar Anda, atau tanyakan ke dosen Anda.

Pre-test

1. Diketahui fungsi f dengan f(x) =px2 � 1:

(a) Tentukan daerah de�nisi fungsi f

(b) Jika ada, tentukan f 0(�1) dan f 0(2)

2. Tentukan limx�!1+

�2x2 � 1 dan lim

x�!1��2x2 � 1

3. Diketahui fungsi f dengan

f(x) = x4 � csc(2x+ �)Tentukan turunan pertama dan turunan kedua fungsi f:

4. Diketahui fungsi f dengan

y4 � cos(2x+ �) = x2y2 + 1Tentukan turunan pertama fungsi f:

25

2.1 Nilai Ekstrim Global

Pada daerah de�nisinya suatu fungsi dapat mencapai nilai terbesar atauterkecil (disebut nilai ekstrim fungsi tersebut). Ekstrim ini ada yang bersifatlokal (berlaku di sebagian daerah de�nisi), atau bersifat global, yaitu berlakupada seluruh daerah de�nisinya. Pada su bab ini akan dibahas ekstrimglobal, pembahasan ekstrim lokal pada sub bab berikutnya.

Diberikan suatu fungsi f dengan daerah de�nisi I . Beberapa per-tanyaan dapat diajukan berkaitan dengan ekstrim global, yaitu

1. Apakah f memiliki nilai ekstrim global pada I

2. Jika f memiliki nilai ekstrim global, di titik manakah pada I dicapainilai tersebut

3. Bagaimana cara menentukan nilai ekstrim global

De�nition 10 Misalkan fungsi f terde�nisi pada selang I yang memuatc

1. f(c) dikatakan nilai maksimum global fungsi f pada I jika f(c) �f(x);8x 2 I

2. f(c) dikatakan nilai minimum global fungsi f pada I jika f(c) �f(x);8x 2 I

Bahan Diskusi

1. Apakah setiap fungsi dijamin memiliki nilai ekstrim global? Berkancontoh ilustrasi.

2. Dengan memperhatikan de�nisi ekstrim global di atas, apakah fungsikonstan memiliki ekstrim global, beri contohnya

Tugas 4Gambar gra�k fungsi berikut dan tentukan nilai maksimum dan/atau

nilai minimum fungsi f berikut

1. f(x) = �1 + 2x� x2 ; x 2 (�2; 2]

26

2. f(x) = 2x+ 1 ; x 2 (�2; 3)

3. f(x) =�x2 ; �1

2� x < 1

2� x ; 1 � x � 32

Apa yang dapat disimpulkan dari jawaban Anda

Teorema berikut menunjukkan syarat cukup bagi suatu fungsi agar memi-liki maksimum dan minimum global.

Theorem 11 Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a; b]; maka fmempunyai maksimum dan minimum global pada [a; b]:

Meski dijamin bahwa f yang kontinu pada selang tertutup mempunyainilai maksimum dan minimum global, perlu juga ditentukan di titik-titikmanakah pada selang daerah de�nisi suatu fungsi dicapai nilai maksimumatau nilai minimum. Untuk itu dibutuhkan de�nisi berikut.

De�nition 12 Misalkan fungsi f terde�nisi pada selang tertutup I yangmemuat c: Titik c disebut titik kritis fungsi f jika

1. f 0(c) = 0; c disebut titik stasioner

2. f 0(c) tidak ada; c disebut titik singular

Theorem 13 Misalkan fungsi f terde�nisi pada selang tertutup I yangmemuat c: Jika f(c) nilai ekstrim, maka c adalah titik kritis.

Perhatikan bahwa kontrapositif dari Teorema 14, yaitu "jika cbukan titik kritis maka f(c) bukan nilai ekstrim fungsi f". Jadi, langkahawal untuk menentukan nilai ekstrim global adalah mencari titik-titik kritisfungsi f: Prosedur menentukan nilai ekstrim global fungsi f pada selangtertutup [a; b] yang dikenal dengan Metode Selang Tertutup sebagaiberikut.

1. Tentukan semua titik kritis pada selang terbuka (a; b)

2. Tentukan nilai fungsi f pada titik-titik kritis pada selang terbuka(a; b)

27

3. Tentukan nilai fungsi f pada titik ujung selang

4. nilai fungsi terbesar adalah nilai maksimum global, dan nilai fungsiterkecil adalah nilai minimum global.

Bahan Diskusi

Bagaimana menentukan nilai ekstrim global jika fungsi f terde�nisi padaselang terbuka.

Contoh 1Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi-fungsi f (jika ada)

pada selang yang diberikan, berikut ini

1. f(x) = x3 � 3x+ 1; x 2 [�32; 3]

2. f(x) = 2x+ 3px; x 2 (�1; 8]

3. f(x) =x

x2 + 2; x 2 [�1; 4]

2.2 Kemonotonan, Kecekungan, dan Ekstrim Lokal Su-atu Fungsi

2.2.1 Kemonotonan Fungsi

De�nition 14 Misalkan fungsi f terde�nisi pada selang I:

1. Fungsi f dikatakan naik pada I jika untuk setiap pasang x1; x2 2 Ix1 < x2 =) f(x1) < f(x2)

2. Fungsi f dikatakan turun pada I jika untuk setiap pasang x1; x2 2 Ix1 < x2 =) f(x1) > f(x2)

3. Fungsi f dikatakan monoton murni pada I jika f naik pada Iatau f turun pada I .

Teorema berikut ini menunjukkan kaitan antara kemonotonan suatu fungsidengan turunan pertamanya.

28

Theorem 15 Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tertutup[a; b] dan f mempunyai turunan pada selang buka (a; b):

1. Jika f 0(x) > 0 untuk setiap x 2 (a; b); maka fungsi f naik pada[a; b].

2. Jika f 0(x) < 0 untuk setiap x 2 (a; b); maka fungsi f turun pada[a; b].

Contoh 2Diketahui fungsi f dengan f(x) = x2 + x+ 1: Tentukan selang fungsi

f naik dan selang fungsi f turun.

2.2.2 Kecekungan Fungsi

De�nition 16 Misalkan fungsi f mempunyai turunan pertama pada selangbuka I

1. Jika f 0 naik pada I, maka gra�k fungsi f dikatakan cekung ke ataspada I:

2. Jika f 0 turun pada I, maka gra�k fungsi f dikatakan cekung kebawah pada I:

Theorem 17 Misalkan fungsi f mempunyai turunan kedua pada selangbuka I

1. Jika f"(x) > 0 untuk setiap x 2 I, maka gra�k fungsi f cekung keatas pada I:

2. Jika f"(x) < 0 untuk setiap x 2 I, maka gra�k fungsi f cekung kebawah pada I:

Contoh 3Diketahui fungsi f dengan f(x) = x3+1: Tentukan selang kecekungan

fungsi f .

29

De�nition 18 Misalkan fungsi f kontinu pada selang buka I yang memuatc: Titik (c; f(c)) disebut titik balik fungsi f; jika terjadi perubahan kecekun-gan dari gra�k fungsi f di sekitar x = c:

Dari de�nisi titik balik tersebut, dapat dibuat prosedur menentukan titikbalik dari fungsi f sebagai berikut

1. Tentukan f"(x):

2. Tentukan semua bilangan c sehingga f"(c) = 0 atau f"(c) tidakada.

3. Periksa kecekungan gra�k f di sekitar x = c:

Contoh 4

Diketahui fungsi f dengan f(x) = (x�1) 15 : Tentukan selang kecekunganfungsi f dan titik baliknya.

2.2.3 Nilai Ekstrim Lokal

De�nition 19 Misalkan fungsi f terde�nisi pada selang buka I yangmemuat c:

1. f(c) dikatakan nilai maksimum lokal fungsi f jika ada selang buka(a; b) � I yang memuat c sehingga f(c) � f(x);8x 2 (a; b):

2. f(c) dikatakan nilai minimum lokal fungsi f jika ada selang buka(a; b) � I yang memuat c sehingga f(c) � f(x);8x 2 (a; b):

3. f(c) dikatakan nilai ekstrim lokal fungsi f jika ia berupa nilai mak-simum lokal atau nilai minimum lokal.

Dalam situasi bagaimanakah suatu titik kritis xo yang nilai fungsinyaf(xo) menjadi nilai ekstrim lokal, diterangkan oleh teorema berikut.

Theorem 20 (Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal) Misalkanf adalah fungsi yang kontinu pada selang buka (a; b) yang memuat c danf mempunyai turunan pada (a; b) kecuali mungkin di c:

30

1. Jika f 0(x) > 0 untuk setiap x 2 (a; c) dan f 0(x) < 0 untuk setiapx 2 (c; b) ; maka f(c) nilai maksimum lokal fungsi f:

2. Jika f 0(x) < 0 untuk setiap x 2 (a; c) dan f 0(x) > 0 untuk setiapx 2 (c; b) ; maka f(c) nilai minimum lokal fungsi f:

3. Jika f 0(x) bertanda sama pada (a; c) dan (c; b) ; maka f(c) bukannilai ekstrim lokal fungsi f:

Berdasarkan uji turunan pertama untuk ekstrim lokal tersebut, dapatdibuat prosedur untuk menentukan nilai ekstrim lokal fungsi f sebagaiberikut.

1. Tentukan f 0(x):

2. Tentukan titik kritis f:

3. Lakukan uji turunan pertama untuk ekstrim lokal.

Theorem 21 (Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal) Misalkanf 0 dan f" ada di setiap titik pada selang buka I yang memuat c; danf 0(c) = 0:

1. Jika f"(c) < 0 maka f(c) nilai maksimum lokal.

2. Jika f"(c) > 0 maka f(c) nilai minimum lokal.

3. Jika f"(c) = 0 maka tidak dapat diambil kesimpulan.

Contoh 5

1. Diketahui fungsi f dengan f(x) = x3� 6x2+9x+1: Tentukan nilaiekstrim lokal fungsi f dengan menggunakan uji turunan pertama.

2. Diketahui fungsi f dengan f(x) = 2x3 + 3x2 � 12x + 7: Tentukannilai ekstrim lokal fungsi f dengan menggunakan uji turunan kedua.

Contoh 6

Diketahui fungsi f dengan f(x) = x3 � 2x2 + 1: Tentukan

31

1. Selang fungsi naik dan selang fungsi turun.

2. Nilai ekstrim lokal

3. Selang kecekungan dan titik balik.

Latihan Terbimbing 2.1 dan 2.2

1. Diketahui fungsi h dengan h(x) = 2x3 � 3x2 � 12x; [�2; 3]:

(a) Periksa apakah persyaratan teorema eksistensi maksimum-minimumglobal terpenuhi?

(b) Tentukan semua titik kritis pada selang yang diberikan.

(c) Tentukan nilai fungsi pada semua titik kritis dan nilai fungsi padatitik ujung selang, kemudian tentukan maksimum dan minimumglobal.

2. Diketahui fungsi h dengan h(x) = x3 � 92x2 + 6x+ 2; (�1; 3

2]:

(a) Periksa apakah persyaratan teorema eksistensi maksimum-minimumglobal terpenuhi?

(b) Tentukan semua titik kritis pada selang yang diberikan.

(c) Tentukan nilai fungsi pada semua titik kritis dan nilai fungsi padatitik ujung selang, kemudian tentukan maksimum dan minimumglobal.

3. Diketahui fungsi f dengan f(x) = x13 (x+ 3)

12 : Tentukan

(a) f 0(x)

(b) semua titik kritis

(c) selang fungsi naik dan selang fungsi turun

(d) nilai ekstrim lokal

4. Diketahui fungsi g dengan g(x) =

8<:2� x2 ; �2 < x < 0(x� 1)2 ; 0 � x < 3�32(x� 5) ; 3 < x < 5

(a) Periksa apakah persyaratan teorema uji turunan pertama untukekstrim lokal terpenuhi?

32

(b) Tentukan semua titik kritis

(c) Tentukan selang fungsi naik dan selang fungsi turun

(d) Tentukan (jika ada) nilai ekstrim lokal.

5. Diberikan fungsi f dengan f(x) = 6x2 � 6x: Tentukan

(a) Daerah asal fungsi

(b) Turunan kedua f"(x)

(c) Semua x sehingga f"(x) = 0 atau f"(x) tidak ada

(d) Selang fungsi cekung ke atas dan selang fungsi cekung ke bawah(Petunjuk : gunakan teorema kecekungan)

6. Diberikan fungsi f dengan f(x) = 2� x 13 : Tentukan

(a) Daerah asal fungsi

(b) Turunan kedua f"(x)

(c) Semua x sehingga f"(x) = 0 atau f"(x) tidak ada

(d) Selang fungsi cekung ke atas dan selang fungsi cekung ke bawah(Petunjuk : gunakan teorema kecekungan)

Latihan Mandiri 2.1 dan 2.2

1. Tentukan nilai ekstrim global untuk fungsi-fungsi yang diberikan

(a) f(x) = 3x2 � 10x+ 7 pada [�1; 3](b) f(x) = 1� x 2

3 pada [�1; 8]

(c) f(x) =2� xx2

pada (0; 6]

2. Tentukan nilai ekstrim lokal untuk fungsi-fungsi yang diberikan

(a) f(x) = 2� 12x+ 2x3

(b) f(x) = jx2 � 4j+ jx� 1j

(c) f(x) =

8<:�x ; x � 01� x2 ; 0 < x < 2px� 2 ; x � 2

33

3. Diberikan fungsi f dengan f(x) = x2 � 1

x: Tentukan selang fungsi

cekung ke atas dan selang fungsi cekung ke bawah serta tentukan titikbaliknya

4. Tentukan maksimum dari x2y3; jika x+ y = 1:

5. Jika f(x) = ax3 + bx2 + cx + d; tentukan konstanta a; b; c; dan dagar fungsi f memiliki ekstrim lokal di titik (0; 3) dan memiliki titikbalik di titik (1;�1):

2.3 Menggambar Gra�k

Beberapa konsep yang telah dipelajari pada subbab-subbab sebelumnya,seperti : kemonotonan, kecekungan, titik balik, dan nilai ekstrim fungsi akanmembantu dalammenggambarkan gra�k suatu fungsi. Satu konsep lagi yangperlu dipelajari adalah asimtot gra�k. Sebelum membahas asimtot, terlebihdahulu dipelajari limit takterhingga dan limit di takhingga.

2.3.1 Limit Takterhingga

Perhatikan fungsi f dengan f(x) =1

x� 1; x 6= 1:

Secara intuisi, jika x mendekati 1 dari arah kanan, maka nilai f(x)membesar tanpa batas (+1): Jika x mendekati 1 dari arah kiri, makanilai f(x) mengecil tanpa batas (-1): Situasi ini dilambangkan oleh

limx�!1+

f(x) = +1

limx�!1�

f(x) = �1

Contoh 7Tentukan lim

x�!1�x+ 2

(x� 1)(x+ 1)

34

2.3.2 Limit di Takhingga

Perhatikan fungsi f dengan f(x) =x

1� x ; x 6= 1:

Jika x membesar tanpa batas (+1), maka f(x) mendekati nilai -1.Jika x mengecil tanpa batas (-1), maka f(x) mendekati nilai -1. Situasiini dilambangkan oleh

limx�!+1

f(x) = �1 dan limx�!�1

f(x) = �1

Theorem 22 1. limx�!+1

1

xn= 0 ; dengan n 2 Z

2. limx�!�1

1

xn= 0 ; dengan n 2 Z

Contoh 8Hitung limit berikut

1. limx�!+1

x2 + 2x

5� 2x2

2. limx�!�1

1 + 3x

x� 1

De�nition 23 1. Garis x = c dikatakan asimtot tegak dari gra�kfungsi f jika salah satu dari pernyataan berikut berlaku :

(a) limx�!c+

f(x) = +1

(b) limx�!c+

f(x) = �1

(c) limx�!c�

f(x) = +1

(d) limx�!c�

f(x) = �1

2. Garis y = k dikatakan asimtot datar dari gra�k fungsi f jikaberlaku :

limx�!+1

f(x) = k atau limx�!�1

f(x) = k

35

3. Garis y = ax+ b ; a 6= 0; b 2 R dikatakan asimtot miring dari gra�kfungsi f jika berlaku :

limx�!+1

(f(x)� (ax+ b)) = 0 atau limx�!�1

(f(x)� (ax+ b)) =0

Contoh 9

1. Tentukan asimtot datar dan asimtot tegak dari gra�k fungsi f denganf(x) =

x

1� x:

2. Tentukan asimtot miring dan asimtot tegak dari gra�k fungsi f dengan

f(x) =x2 + 1

x:

Setelah mempelajari asimtot, maka kita siap untuk menggambar gra�ksuatu fungsi. Berikut ini adalah prosedur untuk menggambar gra�k suatufungsi, yaitu :

1. Tentukan daerah asal.

2. Tentukan selang fungsi naik, selang fungsi turun, dan nilai ekstrimlokal.

3. Tentukan selang fungsi cekung ke atas, selang fungsi cekung ke bawah,dan titik balik.

4. Jika ada, tentukan asimtot-asimtotnya.

5. Tentukan beberapa titik pada gra�k sebagai pembentu/pelengkap, jikadibutuhkan.

Contoh 10

Gambarkan gra�k fungsi f dengan f(x) =x2 + 1

x; x 6= 0

36

2.4 Masalah Pengoptimuman

Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dirumuskan dalammodel matematika yang berbentuk penentuan nilai ekstrim dari suatu fungsiyang kontinu. Berikut ini adalah prosedur yang dapat membantu menyele-saikan masalah pengoptimuman, yaitu:

1. Lambangkan dengan huruf semua faktor yang terdapat dalah masalah.

2. Tentukan faktor yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan.

3. Rumuskan semua faktor ke dalam suatu persamaan matematik.

4. Nyatakan faktor yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan seba-gai fungsi dari satu peubah saja.

5. Lakukan pengujian nilai ekstrim terhadap fungsi yang diperoleh padalangkah (4) di atas.

Contoh 11Besarnya biaya bahan bakar untuk menjalankan sebuah lokomotif seband-

ing dengan kuadrat kecepatannya. Besarnya biaya bahan bakar pada ke-cepatan 40 km per jam adalah Rp. 25.000,- per jam. Diketahui jugabahwa besarnya biaya operasi per jam perjalanan ialah Rp.100.000. Ten-tukan pada kecepatan berapa lokomotif tersebut harus dijalankan agar biayatotal setiap kilometer menjadi semurah mungkin.

2.4.1 Teorema Nilai Rata-rata

Theorem 24 Jika f kontinu pada selang tertutup [a; b] dan f mempun-yai turunan pada selang buka (a; b); maka dijamin ada c 2 (a; b) sehingga

f 0(c) =f(b)� f(a)b� a

Contoh 12Periksa apakah syarat Teorema Nilai Rata-rata terpenuhi pada selang

tutup [a; b] yang diberikan? Jika terpenuhi, tentukan nilai c sehingga

f 0(c) =f(b)� f(a)b� a

37

1. f(x) = x2 � 2x pada [0; 3]

2. f(x) =1

x+ x pada [�1; 2]

3. f(x) = x23 + 1 pada [�1; 8]

Latihan Terbimbing 2.3, 2.4, dan 2.5

1. Diketahui fungsi f dengan f(x) =x� 2x2

; x 6= 0:

(a) Tentukan daerah asal fungsi f

(b) Tentukan titik kritis

(c) Tentukan selang fungsi naik, selang fungsi turun, dan nilai ekstrimlokal

(d) Tentukan semua titik c sehingga f "(c) = 0 atau f "(c) tidakada.

(e) Tentukan selang fungsi cekung ke atas, selang fungsi cekung kebawah, dan titik balik.

(f) Tentukan asimtot datar, asimtot tegak dan asimtot miring (jikaada)

(g) Gambar gra�k fungsi f .

2. Diketahui fungsi f dengan f(x) =x3

x2 � 12 :

(a) Tentukan daerah asal fungsi f

(b) Tentukan titik kritis

(c) Tentukan selang fungsi naik, selang fungsi turun, dan nilai ekstrimlokal

(d) Tentukan semua titik c sehingga f "(c) = 0 atau f "(c) tidakada.

(e) Tentukan selang fungsi cekung ke atas, selang fungsi cekung kebawah, dan titik balik.

(f) Tentukan asimtot datar, asimtot tegak dan asimtot miring (jikaada)

38

(g) Gambar gra�k fungsi f .

3. Sebuah palung air dari baja tipis dengan ujung-ujungnya berbentuksetengah lingkaran dan sebelah atasnya terbuka mempunyai kapasitas128� m3: Tentukan jari-jari dan panjang palung jika disyaratkan palungdibuat dengan bahan sesedikit mungkin.

Petunjuk :

(a) Buat gambar ilustrasi permasalahan dan notasikan dengan hurufsemua faktor yang ada dalam permasalahan tersebut.

(b) Rumuskan persamaan matematik dari permasalahan di atas

(c) Nyatakan besaran yang akan dioptimumkan sebagai fungsi darisatu peubah saja.

(d) Tentukan turunan pertama

(e) Tentukan semua titik kritis.

(f) Lakukan uji maksimum-minimum.

4. Diketahui fungsi f dengan f(x) = x3 � x2 � x + 1 pada selangtertutup [�2; 1]:

(a) Tunjukkan bahwa syarat Teorema Nilai Rata-rata dipenuhi.

(b) Tentukan c 2 (�2; 1) sehingga

f 0(c) =f(1)� f(�2)1� (�2)

5. Diketahui fungsi f dengan f(x) = 3px2 pada selang tertutup [�1; 1]:

(a) Periksa apakah syarat Teorema Nilai Rata-rata dipenuhi.

(b) Jika ya, tentukan c 2 (�1; 1) sehingga

f 0(c) =f(1)� f(�1)1� (�1)

Latihan Mandiri 2.3, 2.4, dan 2.5

1. Hitung limit berikut

39

(a) limx�!2+

x+ 3

(2� x)(x+ 1)

(b) limx�!+1

x2 + 2

(3x� 1)(x+ 1)

2. Tentukan (jika ada) semua asimtot gra�k fungsi f dan jenisnya, jika

(a) f(x) =x2

(x+ 2)2

(b) f(x) =x3 � x2 + 3x2 � 1

3. Gambarkan gra�k fungsi f berikut jika

(a) f(x) =1

1� x2

(b) f(x) =x2 � x+ 1x� 1

4. Gambarkan gra�k fungsi h yang mempunyai sifat-sifat

� h kontinu dengan h"(x) > 0 untuk setiap x 2 Rnf0g� h(�2) = h(2) = 3� limx�!�1

h(x) = 2

� limx�!+1

[h(x)� x] = 0

� limx�!0+

h(x) = limx�!0�

h(x) = +1

5. Seseorang akan membuat sebuah akuarium dengan persediaan kacayang terbatas. Kaca yang tersedia memiliki panjang 24 dm danlebar 9 dm . Bagian dasar, dinding kiri dan kanan, dinding depandan belakang akuarium semuanya terbuat dari kaca. Bagian atasdibiarkan terbuka. Berapa ukuran panjang, lebar dan tinggi akuariumagar volume akuarium maksimum.

6. Banyaknya bahan bakar yang dihabiskan oleh suatu kendaraan bergan-tung pada kecepatannya. Dari suatu penelitian diketahui bahwa kendaraan

truk tertentu menghabiskan bahan bakar sebanyak�3 +

x2

600

�liter

per jam jika berjalan dengan kecepatan x km per jam. Harga bahan

40

bakar 1250 per liter, upah mengemudi adalah 10.000 per jam. Ten-tukan kecepatan kendaraan yang menghasilkan total biaya minimumuntuk perjalanan sepanjang 600 km (kecepatan konstan dari awalsampai akhir tujuan)

7. Periksa apakah syarat Teorema Nilai Rata-rata terpenuhi pada selangtertutup [a; b] yang diberikan. Jika terpenuhi, tentukan c sehingga

f 0(c) =f(b)� f(a)b� a

(a) f(x) = x2 � 4x+ 1; pada [0; 4]

(b) f(x) = jx� 1j ; pada [0; 3]

(c) f(x) =x

x� 1; pada [�1; 2]

8. Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan bahwa

jsin x� sin yj � jx� yj

41