Modul bab 1

Nama : Kelas : Pertemuan :

MUTIARA A’YUNI ALI 1

Definisi

Eksponen adalah bentuk perkalian dengan bilangan yang sama yang di ulang-ulang atau

singkatnya adalah perkalian yang diulang-ulang.

Jika a R dan 𝑛 > 1, n A maka didefinisikan :

𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × …… . .× 𝑎

Sebanyak 𝑛 faktor

dimana :

𝑎 disebut bilangan pokok (dasar)

𝑛 disebut eksponen (pangkat)

Sifat sifat bilangan berpangkat :

Jika a b R, , m A dan n A maka berlaku sifat-sifat eksponen sbb:

Contoh 1 : :

a) 22 × 21 = 2 × 2 × 2 = 8

b) 84

82= 84−2 = 82 = 8 × 8 = 64

c) (𝑝𝑞)5 = 𝑝5 × 𝑞5 = 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑝 × 𝑞 × 𝑞 × 𝑞 × 𝑞 × 𝑞

Contoh 2 : Nyatakan dalam bentuk pangkat bulat positif !

a. 2−5 =1

25

Contoh 3: Nyatakan dalam bentuk bulat negatif

a. 1

32= 3−2

Contoh 4 :

a. 61

2 = 6

b. b. 523= 5

2

3

Pangkat Bulat Positif,

Negatif, Nol dan Pecahan

1. 𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 4. 𝑎

𝑏 𝑚

=𝑎𝑚

𝑏𝑚 7. 𝑎1 = 1

2. 𝑎𝑚

𝑎𝑛= 𝑎𝑚−𝑛 5. (𝑎 × 𝑏)𝑚 = 𝑎𝑚 × 𝑏𝑚 8. 𝑎0 = 1

3. 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚×𝑛 6. 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛 𝑎𝑛 =

1

𝑎−𝑛 9. 𝑎𝑚𝑛

= 𝑎𝑚

𝑛



A. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk b

a dengan a. b

bilangan bulat dan b 0

Contoh :

1. Bilangan bulat, asli, dan pecahan

2. Bilangan desimal berulang

0.33333. . .=3

1

9

3

0,121212. . . .=33

4

99

12

3. Bilangan desimal terbatas

0.5 = 2

1 2,75 =

4

11

B. Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk b

a dengan

a,b bilangan bulat dan b 0

Contoh :

1. 2 =1,41423562… 2. 7 =1,64575131…

C. Bentuk Akar

Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan rasional yang hasilnya bukan merupakan

bilangan rasional.

Contoh :

1. ,...25,64,16 3 ( bukan bentuk akar )

2. ,...8,15,3 3 ( bentuk akar )

Bentuk Akar



Dengan menggunakan sifat pada bilangan real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya maka

kita dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar. Operasi aljabar yang dimaksud adalah

penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

Jika a , b, dan c anggota bilangan real, maka

Pembuktian sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan

menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real.

Sifat ini berlaku pada bilangan rasional atau irasional sebab kedua bilangan itu termasuk

bilangan real.

𝒂 𝒄 + 𝒃 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 𝒄 (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)

𝒂 𝒄 − 𝒃 𝒄 = 𝒂 − 𝒃 𝒄 (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)

Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah sebagai berikut:

1. 𝒂 𝒄 + 𝒃 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 𝒄

2. 𝒂 𝒄 − 𝒃 𝒄 = 𝒂 − 𝒃 𝒄

3. 𝒃 𝒂𝒏

× 𝒅 𝒄𝒏

= 𝒃𝒅 𝒂𝒄𝒏

4. 𝒃 𝒂𝒏

÷ 𝒅 𝒄𝒏

=𝒃

𝒅 𝒂𝒄𝒏

Contoh :

1. 8 3 + 11 3

Pembahasan : = 8 + 11 3 = 19 3

2. 6 7 − 2 7

Pembahasan : = 6 − 2 7 = 4 7

3. 4 2 + 3 2 − 2 2

Pembahasan: = 4 + 3 − 2 2 = 5 2

𝒂 𝒄 + 𝒃 𝒄 = (𝒂 + 𝒃) 𝒄

𝒂 𝒄 − 𝒃 𝒄 = (𝒂 − 𝒃) 𝒄

dan

Keterangan :

n√ a dan

n√ c ada nilainya dan n

bilangan bulat positif lebih dari satu

atau sama dengan dua.

Operasi Bentuk

Akar



2. Perkalian Bentuk Akar

Operasi Perkalian bentuk akar

Jika x , y anggota bilangan real positif, maka:

Sederhanakanlah !

Contoh Pembahasan

1. 1

2× 50 =

1

2× 50

= 50

2

= 25 = 5

2. 3 7 × 7 3 = 3 × 7 7 × 3

= 3 × 7 7 × 3

= 21 21

3. 5 + 3 2 + 7 = 5 × 2 + 3 × 2 + 5 × 7 + 3 × 7

= (5 × 2) + (3 × 2) + (5 × 7) + 3 × 7)

= 10 + 6 + 35 + 21

4. 5 × 43

= 51

2 × 41

3

= 53

6 × 42

6

= 53+1

6 × 42+1

6

= 53 × 42 1

6

= (125 × 16)1

6

= 20001

6

= 20006

i. 𝒙 . 𝒚 = 𝒙𝒚

ii. 𝒂 𝒙 .𝒃 𝒚 = 𝒂𝒃 𝒙𝒚

iii. 𝒂 ± 𝒃 𝒄 ± 𝒅 = 𝒂𝒄 ± 𝒃𝒄 ± 𝒂𝒅 ± 𝒃𝒅



3. Pembagian Bentuk Akar

Operasi Pembagian Bentuk Akar

Jika x , y anggota bilangan real positif, maka

Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.

Contoh Pembahasan

a. 10

5 =

10

5

= 2

b. 125

5 =

125

5

= 25

= 5

c. 20 21

4 3 =

20

4

21

3

= 5 7

d. 53

64 =

513

614

=5

412

63

14

=5

4+12

63+

112

= 54

63

1

2

= 625

216

1

2=

625

216

12

i. 𝒙

𝒚=

𝒙

𝒚 dengan;

ii. 𝒙

𝒚

𝒏=

𝒙𝒏

𝒚𝒏 𝑥 ≠ 0



𝒑 + 𝒒 ± 𝟐 𝒑𝒒 = 𝒑 ± 𝒒

𝑝 ± 𝑞 𝑟 = 𝑝 + 𝑛

2±

𝑝 − 𝑛

2

Dimana :

𝒑 + 𝒒 + 𝟐 𝒑𝒒 = 𝒑 + 𝒒

𝒑 + 𝒒 − 𝟐 𝒑𝒒 = 𝒑− 𝒒

Contoh :

a. 8 + 2 15

Pembahasan :

= 5 + 3 + 2 5 × 3

= 5 + 3

Dimana :

𝑝 + 𝑞 𝑟 = 𝑝+𝑛

2+

𝑝−𝑛

2

𝑝 − 𝑞 𝑟 = 𝑝+𝑛

2−

𝑝−𝑛

2

Dengan :

𝑝 > 𝑞

𝑛 = 𝑝2 − 𝑞 𝑟 2

Menyederhanakan

Bentuk Akar



Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian. Apalagi

operasi pembagian dengan bentuk akar.

Ada 3 cara merasionalkan penyebut bentuk bentuk akar, yaitu :

1. Pecahan Bentuk

Diselesaikan dengan mengalikan b

b

Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan :

a. 2

3=

2

3×

3

3=

2 3

3

2. Pecahan Bentuk

Diselesaikan dengan mengalikan b c

b c

Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan 6

6− 6

Jawab

=6

6 − 6×

6 + 6

6 + 6=

6(6 + 6)

36 − 6=

6(6 + 6)

30=

1(6 + 6)

5

3. Pecahan Bentuk

Diselesaikan dengan mengalikan cb

cb

Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan 6

5+ 2

Jawab :

=6

5+ 2×

5− 2

5− 2=

6( 5− 2)

5−2=

6( 5− 2)

3= 2( 5 − 2)

𝒂

𝒃

𝒂

𝒃 + 𝒄

𝒂

𝒃 − 𝒄

Merasionalkan

Penyebut Bentuk

Akar



Operasi logaritma dapat diartikan sebagai operasi kebalikan dari menentukan nilai

pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya.

Seperti telah kita ketahui bahwa :

Jika maka 5 = 2log 25

Pada , bagaimana menyatakan 3 dengan 2 dan 8?

Untuk itu diperlukan notasi yang disebut Logaritma untuk menyatakan pangkat dengan

bilangan pokok (basis) dengan hasil pangkat (numerus).

Jadi jika maka dibaca “2 log 8”

Sehingga logaritma merupakan invers dari perpangkatan.

Secara umum dapat dinyatakan :

dimana :

𝑎 : basis logaritma ; 𝑦 : numerus ; 𝑥 : hasil logaritma

Khusus untuk bilangan pokok 10, bisa dituliskan bisa juga tidak.

Jadi jika log 5 maksudnya .

Contoh 1: Nyatakan dalam bentuk logaritma dari perpangkatan :

a. 4 =……………………………………..........................................

b. 𝑛 = ………………………………………………………………

Contoh 2 : Nyatakan dalam perpangkatan dari bentuk logaritma :

a. log 100 = 2 …………………………………………………………………

b. ………………………………………………………………….

Contoh 3: Hitunglah :

a. = x ………………..= 64 x = …………………………..

b. = x …………………= ………… x = …………….................

c. log 1000 = x …………….…= ………… x = ……………..................

2552

823

823 8log3 2

5log10

8134

1282 n

rqp log

64log2

8

1log2

Jika 𝑎𝑥 = 𝑦

Maka:

𝒙 =a𝐥𝐨𝐠𝒚

Syarat : 𝑎 > 0,𝑎 ≠ 1 𝑑𝑎𝑛 𝑦 > 0

Logaritma

http://rumusdasarmatematika.blogspot.com/



Ada beberapa sifat pada logaritma ini yang akan membantu kamu dalam memecahkan masalah

yang berkaitan dengan logaritma yaitu :

Sifat Logaritma Contoh

1. Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:

alog a = 1

alog 1 = 0

log 10 = 1

2log 2 = 1

3log 1 = 0

2. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta

a, x, dan y ∈ R berlaku:

𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙+𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒚=𝒂𝐥𝐨𝐠 (𝒙.𝒚)

Sederhanakanlah!

2log 4 +2log 8

Pembahasan :

= 2log 4 . 8

= 2log 32 = 5

3. Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta

a,x, dan y ∈ R, berlaku:

𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙−𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒚=𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙𝒚

Sederhanakanlah!

2log 16 +2log 8

Pembahasan :

= 2log 16 ÷ 8

= 2log 2 = 1

4. Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R maka

berlaku:

𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙𝒏=𝒏 .𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙

Sederhanakanlah!

3log 38

Pembahasan :

= 8 . 3log 3

= 8 .1 = 8

5. Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R,

berlaku:

𝒂𝒎𝐥𝐨𝐠𝒙𝒏 =

𝒏𝒎

𝐥𝐨𝐠𝒙

Hitunglah!

4log 32

Pembahasan :

22log 25 =

5

2 log 2=

5

2

Sifat-Sifat

Logaritma



6. Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p,

dan x ∈ R, maka berlaku:

𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙 =

𝒑 𝐥𝐨𝐠 𝒙

𝒑 𝐥𝐨𝐠𝒂 =

𝟏𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝒂

Contoh :

3log 7 . 7log 81

Pembahasan :

=log 7

log 3 .

log 81

log 7

=log 34

log 3

=4 log 3

log 3= 4

7. Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R

berlaku:

𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙 . 𝒙𝐥𝐨𝐠 𝒃 =𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒃

Contoh : 3log 7 . 7log 81

Pembahasan :

= 3log 81

= 3log 34

= 4 . 3log 3

= 4 . 1 = 4

8. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:

𝒂𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙 = 𝒙

Contoh :

5 5log 8 = 8

9. Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:

𝒂𝒏 𝒂𝐥𝐨𝐠 𝒙 = 𝒙

Modul bab 1

Education

Transcript of Modul bab 1