MODUL 12

MODUL 12

FUNGSI ALIH DAN PERSAMAAN KEADAAN DENGAN

TRANSFORMASI Z

12.1. Sistem waktu Diskrit

Sistem waktu diskrit atau sistem data tercacah adalah sistem dinamik dimana

satu atau lebih variabel-variabelnya hanya dapat berubah pada saat-saat diskrit. Saat-

saat diskrit ini biasanya dinyatakan dengan kT ( k = 0,1,2,… ) dan T merupakan

periode cacah, yakni waktu dimana pengukuran fisis dilakukan atau saat memori dalam

komputer digital dibaca dan sebagainya. Bentuk sinyal keluaran dari sistem ini adalah

berupa data tercacah (sampled-data).[4]

Dibawah ini, diperlihatkan diagram blok pada sistem kendali digital yang

menerapkan sistem waktu diskrit atau sistem data tercacah.

Dalam hal ini, peranan transformasi z dalam sistem waktu diskrit adalah untuk

menganalisis sistem waktu diskrit linier parameter konstan sama seperti halnya

transformasi Laplace yang dipergunakan untuk menganalisis sistem kontinyu linier.

Analisis system waktu diskrit dapat dilakukan secara mudah dengan dua

pendekatan:

a. Dengan pendekatan metode transformasi-z

b. Dengan pendekatan ruang keadaan

Dibawah ini dijelaskan dasar-dasar dari metode transformasi-z dan ruang keadaan

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Kartika Sekar Sari, ST., MT.

PEMODELAN DAN SIMULASI 90

12.2. Transformasi-Z dari Suatu Barisan Bilangan x(k)

Transformasi –z dari suatu barisan bilangan x(k) didefinisikan sebagai suatu

deret pangkat dalam z-k dengan koefisien-koefisien sama dengan nilai x(k). Transformasi

ini biasanya dituliskan dalam bentuk: [2a]

X ( z )=Ζ [ x (k )]=x (0)+x (1) z−1+x (2) z−2+. ..dimana Ζ [ . ] menyatakan transformasi –z. Persamaan diatas dapat dituliskan kembali

sebagai bentuk: [2a]

X ( z )=Ζ [ x (k )]=∑k=0

∞

x (k )z−k

12.3. Persamaan Differensial dengan Metode Transformasi Z

Pada sistem diskrit yang linier time-invariant, persamaan differensialnya dapat

juga diselesaikan dengan metode transformasi z. Berikut ini, di asumsikan bahwa

barisan masukan x(k) diketahui: [6]

x (k )+a1 x (k−1)+. ..+an x (k−n)=bo u(k )+b1u(k−1)+. ..+bnu( k−n ) dimana, u(k) dan x (k) masing-masing merupakan input dan output sistem. Dengan

menerapkan transformasi Z pada setiap suku yang terdapat pada persamaan tersebut

diatas, maka persamaan akan dapat di tuliskan kembali dalam bentuk:

X ( z )+a1 z−1X ( z )+. . .an z

−nX ( z )=boU ( z )+b1 z−1U ( z )+.. .+bn z

−nU ( z )

atau dapat dituliskan sebagai:[6]

(1+a1 z−1+ .. .+an z

−n)X ( z )=(bo+b1 z−1+. ..+bn z

−n )U ( z )

X ( z )U ( z )

=b0+b1 z

−1+. ..+bn z−1

1+a1 z−1+. ..+an z

−n

12.4. Transformasi Z Invers

Untuk mencari transformasi z invers, kita anggap bahwa deret waktu x (kT) atau

x(k) adalah nol untuk k< 0. Seperti terlihat pada persamaan berikut, pencarian

transformasi z invers adalah dengan menguraikan X(z) menjadi suatu deret pangkat tak

terhingga.



X ( z )=∑k=0

∞

x (kT )z−k=x (0 )+x (T ) z−1+x (2T ) z−2+⋯+x (kT ) z−k+⋯

dalam hal ini, harga-harga x(kT) dapat ditentukan dengan pemeriksaan.

12.5. Fungsi Alih dengan transformasi Z

Fungsi alih dengan transformasi –z (G(z)) dikenal sebagai fungsi alih pulsa

(pulse transfer function) dan merupakan fungsi alih antara masukan tercuplik dan fungsi

keluaran pada saat pencuplikan. Di perlihatkan pada diagram blok berikut ini.

Gambar 12-2 Diagram blok fungsi alih dengan data yang dicuplik

Pada blok diagram diatas fungsi alih proses adalah Gp(s). Sedangkan, masukan

dan keluaran fungsi alih tersebut masing-masing adalah R(s) dan C(s). Seperti yang

diperlihatkan pada blok diagram tersebut bahwa secara umum fungsi alih data hold akan

selalu di kombinasikan dengan fungsi alih proses yang merupakan bagian dari suatu

sistem yang mengikuti data hold.

Tujuan dari suatu data hold adalah untuk melakukan rekonstruksi dari pencuplikan ideal

ke bentuk pendekatan tertentu dari suatu sinyal masukan tercuplik, juga untuk

mengurangi hilangnya informasi dari sinyal sebenarnya pada saat proses pencuplikan

terjadi.

Gambar 12-3 Keluaran dan masukan dari pencuplikan



12.5.1. Fungsi Alih dengan Lup Terbuka

Seperti yang terlihat pada blok diagram dibawah ini, bahwa fungsi alih pulsa

dengan lup terbuka dapat dibentuk dalam dua keadaan, sebagai berikut:

a. Fungsi alih pertama

Gambar 12-4a

Blok diagram diatas merupakan sistem waktu diskrit dengan satu pencacahan,

pencuplikan atau pencacahan terjadi jika G1(s) dan G2(s) telah dikalikan terlebih dahulu.

Atau dengan kata lain fungsi alih data hold diletakkan setelah G1(s).G2(s).

Fungi alih dari blok diagram diatas dapat dicari sebagai berikut:

C( s )R( s )

=G1( s ).G2( s )

C ( z )R( z )

=G1 .G2( z )

C ( z )R( z )

=Ζ [1s+n⋅1s+m ]

C ( z )R( z )

=(e−

nT−e−mT )z−1

(m−n )(1−e−nT z−1 )(1−e−mT z−1 )

b. Fungsi alih kedua

Gambar 12-4b

Blok diagram diatas merupakan sistem waktu diskrit dengan dua pencacahan,

pencuplikan atau pencacahan terjadi pada masing-masing G1(s) dan G2(s). Atau dengan

kata lain fungsi alih G1(s) dan G2(s) , keduanya mengandung fungsi alih data hold .



Fungi alih dari blok diagram diatas dapat dicari sebagai berikut:

C( z )R( z )

=G1 ( z ).G2( z )

C ( z )R( z )

=Ζ [1s+n ]⋅Z [1s+m ]C ( z )R( z )

=z2

( z−e−nT )( z−e−mT )

Dari dua bentuk fungsi alih pulsa yang telah diuraikan di atas maka dapat

dinyatakan bahwa G1G2(z) G1(z)G2(z)

12.5.2. Fungsi Alih dengan Lup Tertutup

Gambar 12-5 Fungsi alih pulsa dengan lup tertutup

Blok diagram diatas merupakan sistem waktu diskrit yang mempunyai satu pencacahan

dengan lup tertutup.

Seperti halnya fungsi alih Laplace dalam sistem kontinyu, maka fungsi alih pulsa untuk

blok diagram di atas dapat dinyatakan dengan:

C( z )R( z )

=G( z )

1+GH (z )

Konfigurasi selanjutnya dari sistem waktu diskrit lup tertutup dan keluarannya,

bisa dilihat pada buku [8].



Contoh

Carilah respon tangga satuan dari system yang ditunjukan pada gambar berikut ini:

Penyelesaian:

Fungsi alih pulsa system lup tertutup tersebut adalah:

C( z )R( z )

=G( z )

1+G( z )

dalam hal ini G( s )= 1−e−s

s2( s+1 )=(1−e−s )( 1

s2−1s+ 1s+1

)

oleh karena itu; g(t) = (t-1+e-t)1(t)-(t-1-1+e-(t-1))1(t-1) d

Selanjutnya, karena T=1, diperoleh kT = k dan

g(k)= (k-1+e-k)-(k-2+e-(k-1))=e-k+1-e-(k-1) (k= 1, 2,3,…)

g(0)=0

Dengan demikian G(z) diperoleh sebagai:

G( z )=∑k=0

∞g(k )z−k=e

−1 z+1−2e−1

z2−(1+e−1 )z+e−1

G( z )=0 ,368 z+0 ,264z2−1 ,368 z+0 ,368

jadi

C( z )R( z )

=0 ,368 z+0 ,264z2−z+0 ,632

dengan masukan fungsi tangga satuan (unit step) R( z )= z

z−1 , selanjutnya keluaran

C(z) yang diperoleh adalah:

C ( z )= 0 ,368 z+0 ,264

( z2−z+0 ,632 )( z−1)=0 ,368 z−1+z−2+1,4 z−3+1,4 z−4+1 ,147 z−5+0 ,895 z−6+. ..

dengan demikian, transformasi z invers dari C(z) akan memberikan nilai:



C(0)=0

C(1)=0,368

C(2)=1

C(3)=1,4

C(4)=1,4

C(5)=1,147

C(6)=0,8125

12.6. Persamaan Keadaan dengan Transformasi Z

Seperti halnya dengan model persamaan keadaan pada sistem kontinyu standar

dari persamaan keadaan dengan transformasi z dapat dituliskan dalam bentuk:

x (k+1 )=Gx( k )+Hu(k )y (k )=Cx (k )+Du( k )

dimana:

G = matriks sistem (nxn)

H = matriks masukan ( nxr)

C = matriks keluaran (pxn)

D = merepresentasikan hubungan langsung antara masukan dan keluaran

(pxr)

x(k+1)= turunan dari vektor x(k)

x(k) = vektor keadaan (nx1), tersusun dari sistem orde-n

u(k) = vektor masukan (rx1), tersusun dari fungsi-fungsi masukan sistem

y(k) = vektor keluaran (px1), terbentuk dari keluaran yang ditentukan

12.6. Penyelesaian Persamaan Keadaan dengan Transformasi Z

Dibawah ini, dituliskan beberapa contoh penyelesaian persamaan keadaan

dengan transformasi z dalam sistem waktu diskrit .

Contoh -1:

Suatu fungsi alih sistem diskrit dinyatakan sebagai berikut:

G( z )= z

z2−3 z+2Carilah nilai persamaan variable keadaan dari fungsi alih transformasi Z tersebut !



Penyelesaian

Persamaan fungsi alih transformasi Z yang dituliskan dalam bentuk:

G( z )= z

z2−3 z+2dimisalkan sebagai:

R=x1 (k )R '=x1 (k+1 )=x2(k )R ''=x2( k+1)=3x2 (k )−2x1 (k )+u (k )

Selanjutnya, persamaan variable masukannya adalah:

[ x1 (k+1 )x2 (k+1) ]=[ 0 1

−2 3 ] .[ x1(k )x2 (k )]+[01 ]u(k )

sedangkan persamaan variable keuarannya adalah sebagai berikut:

y (k )=[ 0 1 ] . [x1 (k )x2( k ) ]

Contoh -2:

Dari Persamaan variable keadaan sistem diskrit yang dinyatakan dalam bentuk sebagai

berikut:

[ x (k+1 )]=[ 0 1−2 3 ] .[ x1(k )

x2 (k )]+[01 ]u(k )y (k )=[ 0 1 ] . x (k )

Tentukan persamaan fungsi alih transformasi Z !



Penyelesaian:

zI−G=z [1 00 1 ]−[ 0 1

−2 3 ]=[ z −12 z−3 ]

adj( zI−G)=[z−3 1−2 z ]

det (zI−G)= z2−3 z+2

[ zI−G ]−1=[ z−3z2−3 z+2

1z2−3 z+2

−2

z2−3 z+2

z

z2−3 z+2]

K ( z )=c .[ zI−G ]−1 .H

K ( z )=[ 0 1 ] [z−3

z2−3 z+2

1

z2−3 z+2z

z2−3 z+2

z

z2−3 z+2] .[01 ]

K ( z )=zz2−3 z+2



MODUL 12

Documents

Transcript of MODUL 12