MODUL 0

MELACAK BILANGAN SEBAGAI WARISAN BUDAYA DAN FAKTA ALAMI

Gatot Muhsetyo

Mengenal Bilangan Sebagai Warisan Budaya

Bilangan dan Teori Bilangan (Number Theory) adalah satu dari kajian matematika yang

tertua. Keadaan tertua ini dapat dilacak kembali berdasarkan keperluan bilangan dating lebih

awal dari keperluan bentuk atau bangun (shape) dalam geometri. Masyarakat pada zaman kuno

memerlukan kuantitas untuk berbagai keperluan. Beberapa keperluan kuantitas antara lain adalah

(1) membilang, (2) menyatakan banyak atau jumlah, terhadap apa yang mereka miliki atau yang

mereka peroleh, misalnya jumlah ternak, banyaknya binatang hasil buruan, banyaknya buah yang

diambil, banyaknya anak,(3) membandingkan banyak atau jumlah, dan (4) melakukan tukar-

menukar barang (misalnya “barter” hasil bumi akibat belum ada “mata uang” sebagai alat untuk

“jual-beli”). Pada saat zaman kuno ini, keperluan utama bilangan adalah untuk membilang.

Kajian tentang sifat-sifat bilangan diduga belum mereka lakukan. Secara sistematis, sesuai

dengan kaidah penyelidikan, mereka dipandang belum mengembangkan operasi bilangan beserta

sifat-sifatnya, serta belum mencari pola bilangan dan nama-nama tertentu dari bilangan-bilangan

khusus (misalnya bilangan perfek, bilangan prima, bilangan abundan, bilangan defisien, barisan

bilangan). Bilangan itu sendiri dikenal, dipahami, dan digunakan tanpa perlu mengetahui

penjelasannya, artinya tidak ada definisi tentang bilangan karena bilangan dipandang sebagai

undefined term, yaitu istilah yang tidak didefinisikan. Bilangan merupakan kreasi budaya

manusia yang tumbuh dan berkembang selama ribuan tahun di berbagai belahan dunia.

Dalam pengertian yang sederhana, teori bilangan berkaitan dengan kajian bilangan bulat

dan sifat-sifatnya. Ini berarti bahwa dalam pembahasan teori bilangan tidak dijumpai adanya

pembahasan tentang bilangan pecahan dan bilangan desimal. Demikian pula, teori bilangan tidak

membahas tentang bilangan irasional, serta bilangan-bilangan yang terkait dengan logaritma dan

perbandingan trigonometri. Kajian bilangan bulat ini antara lain terkait dengan faktor atau

pembagi, faktor persekutuan, faktor persekutuan terbesar (fpb), kelipatan, kelipatan persekutuan,

kelipatan persekutuan terkecil (kpk), keprimaan, persamaan Diophantine (persamaan yang

memerlukan penyelesaian berupa bilangan bulat), kekongruenan, dan model pengkodean.

Bilangan-bilangan yang khas, misalnya bilangan prima, bilangan Mersenne, bilangan abundan,

bilangan defisien, dan bilangan bersekawan, merupakan bagian pembahasan yang melengkapi

keseluruhan pembahasan dalam teori bilangan. Fungsi-fungsi khas, misalnya fungsi banyak

pembagi, fungsi jumlah pembagi, dan fungsi Euler, juga menjadi sasaran pembahasan yang

memperdalam kajian tentang bilangan bulat.

Rekaman pertama kali tentang teori bilangan yang dikenal manusia, berupa cara

melambangkan dan menuliskan bilangan. Cara ini disebut dengan sistem numerasi. Sistem

numerasi (numeration system) mempunyai tiga komponen, yaitu lambang dasar yang disebut

angka (digit), basis yang bermakna pengelompokan, dan aturan dalam menuliskan bilangan

menggunakan angka dan “memberi” nilai. Lambang dasar dapat berupa gambar benda (ikan,

bunga), gambar pahatan (taji atau paku , arah ) , serta gambar noktah atau titik dan garis.

Basis atau pengelompokan antara lain basis 10, basis 20, dan basis 60. Aturan yang digunakan

dalam menuliskan dan memberi nilai bilangan antara lain ditulis mendatar (horizontal) dan

ditulis tegak (vertical), nilai bilangan dihitung secara aditif atau secara multiplikatif, serta

menggunakan nilai tempat (place value, positional value) atau tidak menggunakan nilai tempat,

atau menggunakan nilai tempat secara semu.

Penemuan sistem numerasi merupakan karya besar manusia, seperti halnya penemuan

alphabet, karena dengan sistem ini, manusia secara turun-menurun dapat membawa pengetahuan

yang dimiliki dari satu generasi ke generasi-generasi berikutnya. Masyarakat kuno yang

mempunyai peninggalan rekaman tentang perjalanan sejarah bilangan antara lain adalah bangsa

Mesir kuno (ancient Egyption), bangsa Irak kuno (ancient Babylonian), dan suku Indian Mayan

di Amerika Latin.

Bangsa Mesir menggunakan sistem melalui tulisan pada lembaran (barangkali pada kulit kayu

atau lembaran daun tertentu) pada sekitar tahun 2850 S.M. Lembar-lembar itu disebut dengan

Papyrus. Dua Papyrus terkenal yang ditemukan sebagai peninggalan sejarah bilangan adalah

Papyrus Moscow (ditulis sekitar tahun 1850 S.M., dan Papyrus Rhind (ditulis sekitar tahun 1650

S.M.). Lambang-lambang bilangan dalam Papyrus merupakan bagian dari tulisan Mesir kuno

yang disebut dengan hieroglyph. Sistem numerasi Mesir kuno mempunyai angka berupa

lambang gambar benda, mempunyai basis 10, ditulis mendatar, dan bersifat aditif (nilai suatu

bilangan sama dengan jumlah nilai dari masing-masing lambangnya.

Lambang dasar sistem numerasi Mesir kuno adalah sebagai berikut :

: tongkat = 1 : jari = 10.000

: tumit = 10 : ikan = 100.000

: gulungan = 100 : orang = 1.000.000

: bunga = 1.000

Dua contoh menuliskan bilangan dalam sistem numerasi Mesir kuno adalah:

32 ditulis

234221 ditulis

Sistem Mesir Kuno sudah mengenal komputasi, antara lain penjumlahan, pengurangan, dan

perkalian. Kegiatan yang digunakan dalam penjumlahan adalah repeating dan regrouping.

Perhatikan contoh penjumlahan berikut :

Mencari 268 + 359

Repeating

Regrouping dan

Penggantian

Regrouping dan

Penggantian

Dalam mengurangkan bilangan, system Mesir Kuno melakukan kegiatan penggantian,

seperti yang kita lakukan sekarang dalam system desimal. Karena basis bilangan yang digunakan

dalam system Mesir Kuno adalah basis 10, maka satu lambang dapat diganti dengan

sepuluh lambang , dan satu dapat diganti dengan sepuluh lambang . Perhatikan satu

contoh pengurangan berikut :

Mencari 45 – 29

Dalam mengalikan bilangan, system Mesir Kuno melakukan kegiatan yang disebut

menduakalikan (doubling). Keadaan ini menarik perhatian karena diduga mereka sudah

mengenal sifat distributive, neskipun ditunjukkan secara “ tersembunyi “. Perhatikan satu contoh

mencari 27 x 45 berikut :

1 x 45 = 45 x 45 = 45

2 x 45 = 90 x 45 = 90

4 x 45 = 180 4 x 45 = 180

1

2

8

8 x 45 = 360 x 45 = 360

16 x 45 = 720 x 45 = 720

27 = 1 + 2 + 8 + 16 , maka

27 x 45 = (1 + 2 + 8 + 16) x 45

= ( x 45) + ( x 45) + ( x 45) + ( x 45)

= 45 + 90 + 360 + 720

= 1215

Dalam mencari perkalian, system Mesir Kuno juga menggunakan kegiatan yang disebut

dengan duplicating (menduakalikan) dan mediating (membagiduakan), atau disebut dengan

doubling and halving. Perhatikan satu contoh mencari 27 x 45 berikut :

27 45 27 45

13 90 13 90

6 180 6 180 6 180

3 360 3 360

1 720 1 720

Bilangan-bilangan ganjil ruas kiri adalah 27, 13, 3 dan 1. Pasangan-pasangan bilangan ganjil ruas

kiri, dan terletak pada ruas kanan, berturut-turut adalah 45, 90, 360, dan 720

Hasil kali 27 x 45 diperoleh dari menjumlahkan 45, 90, 360, dan 720. Perhatikan posisi atau

letak baris pada kegiatan doubling and halving, sama dengan posisi atau letak baris pada

kegiatan doubling.

Untuk lebih trampil dalam melakukan perkalian melalui kegiatan doubling atau doubling and

halving, Anda bisa berlatih berkali-kali dengan menggunakan bilangan yang berbeda-beda.

Tentu ada keasyikan tersendiri karena Anda mengalikan dua bilangan dengan kegiatan yang

berbeda dengan yang biasa Anda lakukan, Tentu Anda akan menghargai warisan budaya dari

16

6

1 2 8 16

6

27

13

3

1

27

13

3

1 720

360

90

45

kehidupan manusia masa lalu, sekitar 5000 tahun yang lalu, meskipun terjadi di Mesir, tidak di

Indonesia.

Ada satu lagi kegiatan mengalikan dua bilangan yang unik. Dalam penerbitan pertama

tentang aritmetika tahun 1478 di Italia, terdapat kegiatan komputasi mengalikan dua bilangan

yang disebut Gelosia. Dalam istilah sekarang, gelosia disebut latis (lattice), Perhatikan proses

memperoleh perkalian 327 x 468 dengan menggunakan gelosia.

3 2 7 3 2 7 3 2 7

4 4 4

6 6 6

8 8 8

327 x 468 = 153036

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

9 1

0

1

9 1

0

2

9 1

0

1

9 1

0

8

9 1

0

2

9 1

0

4

9 1

0

0

9 1

0 1

9 1

0 1

9 1

0

8

9 1

0 2

9

1

0 6

9 1

0

2

9

1

0 4

9 1

0 5

9 1

0

8

9 1

0 2

9 1

0 6

9 1

0

1

9

1

0

2

9

1

0

1

9

1

0

8

9

1

0

2

9

1

0

4

9

1

0

0

9

1

0

1

9

1

0

1

9

1

0

8

9

1

0

2

9

1

0

6

9

1

0

2

9

1

0

4

9

1

0

5

9

1

0

8

9

1

0

2

9

1

0

6

9

1

0 6

3

0

3

5

1

4

7

3

2

6

8

Berdasarkan model perkalian latis, Anda dapat mencari hasil kali perkalian bilangan dua angka

secara mencongak, tanpa “paper and pencil” dan tanpa kalkulator, melalui tabel perkalian yang

sudah Anda siapkan.

Dari bilangan-bilangan yang disiapkan pada baris pertama dan kolom pertama suatu tabel :

Misalkan Anda mengalikan 38 dangan 47, maka tandai posisi baris 3 dan 8, posisi kopom 4 dan

7, dan tandai hasil kali bilangan baris dan kolom (misalnya dengan wewarnai).

Kemudian, bayangkan Anda mempunyai kotak perkalian latis 38 x 47 yang memuat 4 kotak,

bayangkan ada garis diagonal dari kanan atas ke kiri bawah. Untuk contoh yang pertama ini,

Anda diberikan model latis yang sesungguhnya, yaitu :

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

1

3

8

36

7

6

5

4

45

30

48

42

54

48 54

9

01 02 03 04 05 06 07 08 09

02 04 06 08 10 12 14 16 18

03 06 09 12 14 18 21 24 27

04 08 12 16 20 24 28 32 36

05

06

07

08

09

10

12

40

35

18

15

18 30

14

16

21

24

27

20

24

25

28

32

36

40 35

42

45

72

56

64 72 56

49 63

81 63

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

1

3

8

36

7

6

5

4

45

30

48

42

54

48 54

9

01 02 03 04 05 06 07 08 09

02 04 06 08 10 12 14 16 18

03 06 09 12 14 18 21 24 27

04 08 12 16 20 24 28 32 36

05

06

07

08

09

10

12

40

35

18

15

18 30

14

16

21

24

27

20

24

25

28

32

36

40 35

42

45

72

56

64 72 56

49 63

81 63

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

1

3

8

36

7

6

5

4

45

30

48

42

54

48 54

9

01 02 03 04 05 06 07 08 09

02 04 06 08 10 12 14 16 18

03 06 09 12 14 18 21 24 27

04 08 12 16 20 24 28 32 36

05

06

07

08

09

10

12

40

35

18

15

18 30

14

16

21

24

27

20

24

25

28

32

36

40 35

42

45

72

56

64 72 56

49 63

81 63

3 8

4

7

Sekarang, tentu Anda sudah tahu jawabannya, yaitu menjumlah dari kanan atas ke kiri bawah

dari bilangan-bilangan di dalam kotak yang sama warna, diperoleh 6 , 8. 7, dan 1, sehingga Anda

peroleh 38 x 47 = 1786.

Sekarang giliran Anda, carilah 79 x 58.

Lakukan dalam pikiran Anda untuk melakukan penjumlaham

2

5 + 7 + 6 = 18 , 8 menyimpan 1

1 + 4 + 5 + 5 = 15 , 5 menyimpan 1

1 + 3 = 4

Jadi : 79 x 58 = 4582

Sudah pahamkah Anda ? Praktekkan banyak kali untuk perkalian yang lain.

12 32

21 56

4

7

3 8

12 32

21 56

4

7

3 8

2 1 3

2

2

1 5

6

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

1

3

8

36

7

6

5

4

45

30

48

42

54

48 54

9

01 02 03 04 05 06 07 08 09

02 04 06 08 10 12 14 16 18

03 06 09 12 14 18 21 24 27

04 08 12 16 20 24 28 32 36

05

06

07

08

09

10

12

40

35

18

15

18 30

14

16

21

24

27

20

24

25

28

32

36

40 35

42

45

72

56

64 72 56

49 63

81 63

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

1

3

8

36

7

6

5

4

45

30

48

42

54

48 54

9

01 02 03 04 05 06 07 08 09

02 04 06 08 10 12 14 16 18

03 06 09 12 14 18 21 24 27

04 08 12 16 20 24 28 32 36

05

06

07

08

09

10

12

40

35

18

15

18 30

14

16

21

24

27

20

24

25

28

32

36

40 35

42

45

72

56

64 72 56

49 63

81 63

Dengan menggunakan gelosia, Anda bisa mengalikan bilangan yang banyaknya angka

bisa berapa saja, tidak hanya bilangan pertama dengan tiga angka dan bilangan kedua tiga angka.

Misalnya Anda bisa melakukan perkalian bilangan tiga angka dengan dua angka, dua angka

dengan tiga angka, empat angka dengan empat angka, lima angka dengan tiga angka, dan

sepuluh angka dengan delapan angka. Anda perlu memperhatikan bahwa banyaknya angka pada

bilangan pertama menyatakan banyaknya kolom, dan banyaknya angka pada bilangan kedua

menyatakan banyaknya baris. Sekarang giliran Anda untuk mencobanya, dan memeriksa

hasilnya, misalnya dengan menggunakan kalkulator.

Bangsa Irak kuno (Babylonia) menggunakan system melalui tulisan berupa pahatan pada batu

pada sekitar tahun 2000 S.M. Pahatan Irak kuno ini disebut dengan cuneiform atau tablet.

Lambang dasar sistem numerasi Babylonia adalah

= 1 , 601 , 602 , 603 , ... = 10

Sistem numerasi Irak kuno mempunyai angka berupa lambang gambar pahatan, mempunyai

basis 60, ditulis mendatar, bersifat aditif (nilai suatu bilangan sama dengan jumlah nilai dari

masing-masing lambangnya) untuk bilangan-bilangan yang kurang dari 60, dan menggunakan

nilai tempat untuk bilangan-bilangan yang lebih dari 60.

Dua contoh menuliskan bilangan dalam ssitem numerasi Irak kuno adalah :

34 = 10 + 10 + 10 + 4 ditulis

234 = 3 x 60 + 54 ditulis

Sistem numerasi suku Indian Mayan kuno mempunyai angka berupa lambang noktah atau titik,

dan garis, mempunyai basis 20 (menjadi kelipatan 18, bukan kelipatan 20, untuk urutan ke 3 dan

seterusnya), ditulis tegak, dan menggunakan nilai tempat. Khusus lambang nol tidak

menggunakan titik dan/atau garis, tetapi menggunakan lambang “seperti nol”.

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14

15 16 17 18 19

Tiga contoh menuliskan bilangan dalam ssitem numerasi suku Indian Mayan adalah :

80 219 1182

4 x 20 = 80 10 x 20 = 200 3 x 18 x 20 = 1080

0 14 5 x 20 = 100

--------------------------- -------------------------------- 2

80 214 -------------------------------------

1182

Untuk melengkapi uraian tentang system numerasi, marilah kita lihat tiga system numerasi yang

lain, yaitu system numerasi Romawi, system numerasi China, system numerasi Hindu Arab, dan

“system numerasi” Jawa.

Bilangan Romawi masih digunakan sampai sekarang, misalnya untuk menyatakan BAB

dalam buku, memberi identitas tahun dari bangunan gedung-gedung (kuno) peninggalan zaman

zaman kerajaan, memberi nomer gang suatu jalan, dan menyebut kelas di sekolah-sekolah.

Lambangdasar sistem numerasi Romawi adalah sebagai berikut :

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Lambang bilangan ditulis mendatar, dari kiri ke kanan, tidak menganut system posisi meskipun

“ jika ada bilangan yang lebih kecil mendahului bilangan yang lebih besar, maka nilainya

dikurangi “.

II = 2 , XXX = 30 , CCC = 300 , MM = 2000

MMCCXXXII = 2232 , MMMCCXXIII = 3223

IV = 4 , IX = 9 , XL = 40 , XC = 90 , CD = 400 , CM = 900

DCCCXXXII = 832 , MMMDCCLXX = 3770 , MMLCCCXXVIII = 2828

XLVIII = 48 , XCVII = 97 , CDXLIV = 444, CMXLIV = 944

Sistem numerasi China mempunyai basis 10, ditulis secara tegak (vertikal) dan bersifat

multiplikatif (jika suatu bilangan yang lebih kecil ditulis lebih dahulu dari bilangan yang

lebih besar, maka nilainya dikalikan),, dan mempunyai lambang dasar sebagai berikut :

0 1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 100 1000 10000

Beberapa contoh penulisan bilangan adalah sebagai berikut :

Lambang 68 Lambang 849 Lambang 705

6 x 10 8 x 100 7 x 100

8 4 x 10 0

9 5

Sistem numerasi yang banyak digunakan sekarang adalah sistem Hindu-Arab (Hindu-Arabic

Numeration System). Lambang dasar system Hindu-Arab berasal dari India, sekitar tahun 300 S.M.

Sistem Hindu-Arab juga disebut system numerasi desimal karena mempunyai basis 10 (decem, kata

dalam bahasa Latin, berarti 10). Pilihan basis 10 diduga karena tangan manusia mempunyai 10 jari.

Dalam perjalanan sejarahnya, system numerasi yang berasal dari Hindu, terbawa oleh perpindahan

manusia sampai ke negara-negara Arab di Timur Tengah, dan terjadi banyak modifikasi. Kemudian,

lambang bilangan Hindi-Arab terbawa ke Eropa sekitar abad 10 Masehi. Terjadi perebutan “kekuasaan”

antara penggunaan lambang Romawi, yang didukung oleh kelompok “abacist”, dengan penggunaan

lambang Hindu-Arab yang didukung oleh kelompok “algorist”. Pada akhirnya, setelah berlangsung

sekitar 400 tahun, lambang Hindu-Arab “memenangkan” pertarungan, dan mulai digunakan secara luas di

Eropa pada sekitar tahun 1500 M. Perubahan lambang dasar system Hindu-Arab adalah sebagai berikut:

Hindu 300 S.M.

Arab Abad 10

Arab Abad 15

Eropa Abad 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Dunia Abad 20

Sistem numerasi Hindu-Arab ditulis mendatar, berbasis 10, dan menganut system nilai tempat

Dalam notasi panjang, penulisan bilangan menurut system Hindu-Arab dinyatakan menurut

perpangkatan bulat dari 10. Keadaan ini dikembangkan dari pengelompokan dalam basis 10,

artinya 10 puluhan menjadi 100 atau 102, 10 ratusan menjadi 1000 atau 10

3, sepuluh ribuan

menjadi 10000 atau 104, dan seterusnya. Kemudian, dalam menggunakan notasi yang diperluas,

penulisan desimal ditunjukkan dengan 100 untuk satuan, 10

-1 untuk 1/10 atau 0,1 , 10

-2 untuk

1/100 atau 0,01 , 10-3

untuk 1/1000 atau 0,001 , dan seterusnya. Perhatikan dua contoh berikut:

2345678 = 2 x 1000000 + 3 x 100000 + 4 x 10000 + 5 x 1000 + 6 x 100 + 7 x 10 + 8 x 1

= 2 x 106 + 3 x 10

5 + 4 x 10

4 + 5 x 10

3 + 6 x 10

2 + 7 x 10

1 + 8 x 10

0

234,567 = 2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1 + 5 x (1/10) + 6 x (1/100) + 7 x (1/1000)

= 2 x 102 + 3 x 10

1 + 4 x 10

0 + 5 x 10

-1 + 6 x 10

-2 + 7 x 10

-3

Jika dikaitkan dengan pengukuran, bilangan berpangkat dengan basis 10 mempunyai istilah

khusus sebagai berikut:

deka hecto kilo mega giga tera peta era

101 10

2 10

3 10

6 10

9 10

12 10

15 10

18

deci centi milli micro nano pico femto atto

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

Suatu bilangan dinyatakan dalam notasi ilmiah (scientific notation) jika ditulis dalam bentuk

k x 10n dengan 1 k 10 dan n adalah sebarang bilangan bulat. Bilangan k disebut mantis

(mantissa) dan n disebut karakteristik (characteristic) dari k x 10n . Perhatikan tiga contoh

berikut.

Data Notasi Ukuran Baku Sebutan Lain Notasi ilmiah

1. Diameter

Jupiter

143800000 meter 143,8 mega meter

143,8 x 106 meter

1,438 x 108 meter

2.Jumlah Emas

Dalam Bumi

120000000000000000 gram 120 peta gram

12 x 1015

gram

1,2 x 1016

gram

3.Diameter suatu

Proton

0,00000000001 meter 100 nano meter 1 x 10-11

meter

Sistem numerasi Hindu-Arab menggunakan basis 10, sehingga disebut system desimal.

Dalam perkembangannya, terutama pada abad 20, basis bilangan selain 10 menjadi perhatian

yang luas karena pemikiran matematis yang “menghendaki” perluasan pembahasan di luar basis

10. Tentu makna basis 10 yang artinya pengelompokan sepuluhan, dapat diperluas menjadi

pengelompokan duaan dan menjadi notasi basis 2, pengelompokan tigaan dan menjadi notasi

basis 3, pengelompokan empatan dan menjadi notasi basis 4, dan seterusnya. Mari kita mulai

pembahasan kita dengan notasi basis lima karena hitungannya dapat dikaitkan dengan tangan dan

jari-jari tangan.

245 dapat dipandang sebagai dua tangan dan 4 jari, yaitu 2 x 5 dan 4, sama dengan 14

245 dan 1410 adalah dua nama yang beda untuk bilangan yang sama, dua limaan dan

empat, atau satu puluhan dan empat

Dalam bentuk diagram, pengelompokan limaan dan sepuluhan, dapat ditunjukkan sebagai

berikut :

245 1410

Sesuai dengan notasi basis 10, bilangan dalam notasi basis lima dari 2135 , dapat ditunjukkan

dalam bentuk diagram berikut :

2135

Dalam notasi basis 5, suatu bilangan bulat tidak negative dapat dinyatakan sebagai jumlah suku-

suku perpangkatan 5, dengan menggunakan angka-angka 0, 1, 2, 3, dan 4

415 = (4 x 51) + (1 x 5

0)

2345 = (2 x 52) + (3 x 5

1) + (4 x 5

0)

31425 = (3 x 53) + (1 x 5

2) + (4 x 5

1) + (2 x 5

0)

Dalam notasi basis m , m = 2, 3, 4, 5, … , suatu bilangan bulat tidak negative dapat dinyatakan

sebagai jumlah suku-suku perpangkatan m, dengan menggunakan angka-angka 0, 1, 2, … , m – 1

Notasi basis bilangan lebih dari 10 adalah mungkin, tetapi kita memerlukan lambang-lambang

baru, misalnya lambang a untuk 10, lambang b untuk 11, lambang c untuk 12, dan seterusnya.

Dalam notasi basis 12, bilangan 2a8b3 dapat diubah dalam notasi basis 10 :

2a8b3 = (2 x 124) + (10 x 12

3) + (8 x 12

2) + (11 x 12

1) + (3 x 12

0)

= (2 x 20736) + (10 x 1728) + (8 x 144) + (11 x 12) + (3 x 1)

= 41472 + 17280 + 1152 + 132 + 3

= 6003910

Untuk bilangan yang relative besar, tentu Anda sedikit mengalami kesulitan untuk

mengubah suatu bilangan notasi basis 10 ke notasi basis bukan 10. Cara yang mudah adalah

dengan menggunakan serangkaian langkah pembagian berulang dengan pembagi adalah bilangan

basisnya, dan mencatat sisanya untuk setiap langkah pembagian. Serangkaian langkah

pembagian yang dilakukan disebut algoritma pembagian. Perhatikan contoh mencari notasi

basis 6, dan notasi basis 8 dari bilangan 754310 berikut :

7543 = 1257.6 + 7543 = 942.8 +

1257 = 209.6 + 942 = 117.8 +

209 = 34.6 + 117 = 14.8 +

34 = 5.6 + 14 = 1.8 +

5 = 0.6 + 1 = 0.6 +

7543 = 1257.6 + 1

3

1

5

4

5

6

5

6

1

7

= (209.6 + 3).6 + 1 = (209 x 62) + (3 x 6) + 1

= {(34.6 + 5) x 62} + (3 x 6) + 1

= (34 x 63) + (5 x 6

2) + (3 x 6) + 1

= {(5.6 + 4) x 63} + (5 x 6

2) + (3 x 6) + 1

= (5 x 64) + (4 x 6

3) + (5 x 6

2) + (3 x 6

1) + (1 x 6

0)

= 545316 atau basis 6

7543 = 942.8 + 7

= (117.8 + 6).8 + 1 = (117 x 82) + (6 x 8) + 7

= {(14.8 + 5) x 82} + (6 x 8) + 7

= (14 x 83) + (5 x 8

2) + (6 x 8) + 7

= {(1.8 + 6) x 83} + (5 x 8

2) + (6 x 8) + 7

= (1 x 84) + (6 x 8

3) + (5 x 8

2) + (6 x 8

1) + (7 x 8

0)

= 165678 atau basis 8

Apakah Anda melihat adanya hubungan antara sisa-sisa pembagian dengan representasi

bilangan notasi basis bukan 10 ? Fakta inilah yang bisa Anda gunakan untuk menyatakan suatu

bilangan dalam notasi basis 10 menjadi bilangan dalam notasi bukan 10. Dari sejumlah langkah

algoritma pembagian diperoleh sejumlah sisa, dan ternyata sejumlah sisa yang diperoleh member

petunjuk tentang pola representasi notasi basis bukan 10 yang sedang dicari. Notasi yang

mempunyai basis 2 disebut notasi biner (binary notation). Notasi biner ini hanya menggunakan

lambang angka 0 dan 1. Pesawat ruang angkasa mengambil gambar planit Mars dan

mengirimkannya ke bumi dalam notasi biner, dan dengan menggunakan computer, data dalam

notasi biner diubah menjadi gambar-gambar permukaan Mars. Tentu kita harus percaya bahwa

teknologi computer tidak lepas dari peranan notasi biner. Tombol-tombol key-board, supaya bisa

dibaca oleh computer, diberi lambang basis 2. Lambang abjad, yaitu a, b, c, d, …, diwakili oleh

notasi basis dua dari 65, 66, 67. 68, …

7 1 6 5 6

1 5 4 5 3

Marilah sekarang kita lihat “jalan pintas” dalam menyatakan notasi basis 10 menjadi

notasi basis bukan 10, dengan “mengoperasikan” fakta keterkaitan antara serangkaian langkah

pembagian yang menghasilkan sisa-sisa pembagian, dan lambang basis bukan 10 yang dicari.

Bilangan 34510 akan dinyatakan menjadi notasi bilangan basis 7, basis 6, basis 4, dan basis 2.

7 345 7 345 2 7 345 2 7 345 2 7 345 2

49 7 49 0 7 49 0 7 49 0

7 7 7 0 7 7 0

1 7 1 1

0

34510 = 10027

Jika langkah-langkah pembagian digabungkan, maka akan kita peroleh satu “tabel” berikut :

6 345 3 4 345 1 2 345 1

6 57 3 4 86 2 2 172 0

6 9 3 4 21 1 2 86 0

6 1 1 4 5 1 2 43 1

0 4 1 1 2 21 1

0 2 10 0

2 5 1

2 2 0

2 1 1

0

34510 = 13336 = 111214 = 1010110012

Pada bagian berikutnya akan kita lihat bahwa di Indonesia, khususnya di Jawa,

pernah ada tulisan huruf-huruf Jawa, dan tulisan lambang bilangan Jawa, Lambang bilangan

Jawa mempunyai digit atau angka yang nilainya sama dengan lambang dasar system numerasi

Hindu-Arab, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

Tampilan angka Jawa, dan bacaannya, adalah sebagai berikut:

nul siji loro telu papat limo enem pitu wolu sanga

nul se-

tunggal

kalih tigo sekawan gangsal enem pitu wolu sanga

- eko dwi tri catur ponco sad sapto hasto nowo

Cara menuliskan bilangan dengan lambang Jawa bersesuaian dengan lambang Hindu-Arab, yaitu

ditulis mendatar, ditulis dari kiri ke kanan, mempunyai basis 10, dan menganut system posisi.

Empat contoh berikut menunjukkan cara menuliskan bilangan dengan lambang Jawa.

57 83

2014 1600

Untuk menandai peristiwa penting, orang Jawa mengenal istilah Condrosengkolo.

Condrosengkolo adalah penulisan tahun dengan menggunakan sandi atau pertanda, dengan

maksud memudahkan dalam mengingat. Sandi, pertanda, atau perlambang didasarkan pada

angka jawa 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Penulisan tahun dalam condrosengkolo dikaitkan

dengan kejadian atau peristiwa penting, misalnya kerajaan runtuh, raja naik tahta, raja wafat,

atau istana mulai dibangun, dan gedung penting yang lain. Beberapa sandi dapat ditunjukkan

sebagai berikut :

0 : hilang, sirna, musnah, mati, nirwana

1 : gusti, nabi, janma, surya, candra, tunggal, badan, jati (diri), bumi

2 : dwi, suku (kaki), asta (tangan), gandeng, penganten (pengantin)

3 : tri, dahana (api), bromo, geni, agni, nala, kobar, murub

4 : tirta (air), nadi (sungai), karya, tlaga, sumur, wening, kerta

5 : pandawa, angin, cakra, sara, astra, margana

6 : madu, wayang, tatit, sad, hartati, rasa

7 : swara, turangga, resi, pitu, gunung, suka

8 : asta, baya, bajul, ula, gajah, sarpa

9 : arum, kusuma, sanga, manjing, terus, wangi

Penerapan dari sandi-sandi angka Jawa antara lain adalah:

1. sirno ilang kertaning bumi - 0041 - dibaca dari belakang 1400

Makna : Majapahit runtuh tahun 1400 saka, atau 1478 Masehi

2. kridaning panembah gebyaring bumi – 3231 = dibaca dari belakang 1323

Berdirinya Kabupaten Pati tahun 1323 saka, atau 1401 Masehi

3. dwi naga rasa tunggal - 2861 - dibaca dari belakang 1682

Kraton Yogyakarta berdiri tahun 1682 saka, atau 1760 Masehi

Sejarah menunjukkan bahwa pada zaman kerajaan, bangsa Indonesia mempunyai budaya

yang maju, antara lain adanya Borobudur sebagai warisan dunia. Bagaimanapun kita kagum

dengan Borobudur karena bentuk bangunannya yang memuat banyak kesimetrisan matematis,

dan kekokohan bangunannya yang memerlukan perhitungan matematis dalam membuat

perencanaan dan melaksanakan pembangunan. Jika restorasi Borobudur oleh Unesco, dengan

menggunakan alat-alat berat masa kini, memerlukan waktu sekitar 10 tahun, maka bisa kita

bayangkan, ketika membangun Borobudur, berapa banyak tenaga yang digunakan, dan berapa

lama waktu yang diperlukan. Namun demikian, peninggalan dokumen yang terkait dengan

“keilmuan” , termasuk keilmuan dalam membangun Borobudur, diduga sudah tidak ada, hilang,

atau barangkali dokumennya sudah hancur. Kita tidak tahu bagaimana masyarakat

mengoperasikan bilangan dengan lambang bilangan Jawa, dalam kegiatan yang terkait dengan

keilmuan.

Mengenal Bilangan Sebagai Fakta Alami

Secara alami, bilangan dijumpai dimana-mana. Khususnya bilangan asli, yang seringkali

disebut bilangan alami (natural number), atau bilangan pencacah (counting number, bilangan

untuk cacah atau menghitung), mempunyai representasi yang unik dan menarik.