Model Transportasi

Pemrograman Linier Semester Ganjil 2012/2013

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc,

Transportation Simplex Method

• Memanfaatkan notasi matriks untuk koefisien baris nol• Tableau yang digunakan adalah tableau dua arah seperti

pada pertemuan sebelumnya• Walaupun ada m+n kendala, hanya m+n-1 yang bebas• Tercermin dari struktur berikut:

nmBV vvvuuu 21321 Bc

m-1 kendala supply n kendala demand

01 u

• Dengan struktur tersebut, koefisien baris nol (fs obyektif) dari masalah transportasi untuk BV tertentu akan bersifat istimewa:

01 ijijBVij cac Bc

0

0

1

0

0

1

0

12

ijnjmiij cvvvuuuc

0 ijji cvu

ijji cvu

Untuk seluruh xij BV dan 01 u

• Koefisien baris nol untuk keseluruhan xij mempunyai bentuk:

zx

zx

x

cvuc

ij

ij

ij

ijjiij

nilai menaikkandapat NBV, :0

nilai menurunkandapat NBV, :0

BV:0

Langkah-langkah metode simpleks untuk Transportation Problem

• Langkah 1: Jika TP tidak balanced, dibuat agar balanced• Langkah 2: Gunakan salah satu metode (Northwest

Corner/Min Cost/Vogel) untuk menentukan BFS yang pertama (initial solution)

• Langkah 3: manfaatkan sifatijji cvu

Untuk seluruh BV dan 01 u

Untuk menentukan seluruh u dan v dari BFS yang ada• Langkah 4: Hitung koefisien baris nol pada seluruh sel.

Perhatikan kriteria optimalitas pada koefisien baris nol (kasus min),

• Langkah 4 (lanjut): • Jika ada sel dengan koefisien baris nol yang dapat

menurunkan z (bernilai +) pilih yang paling banyak menurunkan nilai z

• pilih xij sebagai BV yang baru, dengan memanfaatkan sifat looping (lebih detil pada contoh) pada tableu

• Langkah 5: dapatkan BFS yang baru, kembali ke langkah 3 dan 4

Permasalah Powerco dengan solusi awal menggunakan metode Northwest Corner

(Langkah 2) v 1 v2 v3 v4 Supply

u1 8 6 10 9 35 35u2 9 12 13 7 10 20 20 50u3 14 9 16 5

10 30 40

Demand 45 20 30 30

Tabel koefisien baris nol (Langkah 3)• Sementara abaikan nilai xij

• Pertahankan posisi sel letak BV (grey highlighted)• Cari solusi untuk seluruh u dan v secara bertahap untuk setiap BV

v 1 v2 v3 v4U1 8 6 10 9 U2 9 12 13 7 U3 14 9 16 5

811 vu

01 u

912 vu 1222 vu 1332 vu

1633 vu 543 vu

U1 0v 1 8 – 0=8

U2 9 – 8 =1

v 2 12 – 1=11

U3 16 – 12 =4

v 3 13 – 1=12 v4 5 –4=1

Perhitungan koefisien baris nol untuk seluruh sel (Langkah 4)

v 1 8v2 11v3 12v4 1u1 0 8 6 10 9 u2 1 9 12 13 7 u3 4 14 9 16 5

ijjiij cvuc

111111 cvuc

0+8-8=0

122112 cvuc

0+11-6=5

dst untuk semua sel

0+12-10=2

0+1-9=-8

1+8-9=0

1+11-12=0

1+12-13=0

1+1-7=-5

4+8-14=-2

4+11-9=6

4+12-16=0

4+1-5=0

Perhatikan semua BV mempunyai koefisien = 0

v 1 8v2 11v3 12v4 1u1 0 0 8 5 6 2 10 -8 9 u2 1 0 9 0 12 0 13 -5 7 u3 4 -2 14 6 9 0 16 0 5

• Belum optimal, karena belum semua (-)• Xij yang dapat digunakan sebagai BV berikutnya ada

pada sel yang dapat menurunkan z paling banyak• Koefisien baris nol paling positif (X32)

Kembali ke tableau yang memuat Xij

(Langkah 4 lanjut)

• Penentuan BV mana yang keluar menggantikan X32 menggunakan sistem looping untuk mempertahankan terpenuhinya supply dan demand

v 1 v2 v3 v4 Supplyu1 8 6 10 9 35 35u2 9 12 13 7 10 20 20 50u3 14 9 16 5

10 30 40

Demand 45 20 30 30

Kembali ke tableau yang memuat Xij

(Langkah 4 lanjut)

• Looping diawali dari X32 melewati sel-sel BV yang ada sebagai titik-titik pojok dan kembali ke X32 searah jarum jam

v 1 v2 v3 v4 Supplyu1 8 6 10 9 35 35u2 9 12 13 7 10 20 20 50u3 14 9 16 5

10 30 40

Demand 45 20 30 30

Kembali ke tableau yang memuat Xij

(Langkah 4 lanjut)

• Sel sebagai titik-titik pojok loop: dinyatakan sebagai sel ganjil dan genap• Sel X32 adalah awal diberi nomor 0

• Sel X22 adalah diberi nomor 1

• Sel X23 adalah diberi nomor 2

• Sel X33 adalah diberi nomor 3

v 1 v2 v3 v4 Supplyu1 8 6 10 9 35 35u2 9 12 13 7 10 20 20 50u3 14 9 16 5

10 30 40

Demand 45 20 30 30

Kembali ke tableau yang memuat Xij

(Langkah 4 lanjut)

• Alokasi perubahan adalah pada sel ganjil (yellow highlighted)• min(X22 , X33)=min(20 ,10)=10• Setiap sel genap (pink highlighted) tambah dengan 10• Setiap sel ganjil (yellow highlighted) kurangi dengan 10

v 1 v2 v3 v4 Supplyu1 8 6 10 9 35 35u2 9 12 13 7 10 20 20 50u3 14 9 16 5

10 30 40

Demand 45 20 30 30

10

10 30

10

Langkah 5: Tableau dengan BFS yang baru

v 1 v2 12v3 v4 Supplyu1 8 6 10 9 35 35u2 9 12 13 7 10 10 30 50u3 14 9 16 5 10 30 40Demand 45 20 30 30

• Kembali ke langkah 3 untuk menghitung seluruh u dan v bagi koefisien baris nol.

• Menentukan apakah sudah diperoleh solusi optimal berdasarkan kriteria optimalitas dari koefisien baris nol

• Sementara abaikan nilai xij

• Pertahankan posisi sel letak BV (grey highlighted)• Cari solusi untuk seluruh u dan v secara bertahap untuk setiap BV

Tabel koefisien baris nol (Langkah 3)

v 1 v2 V3 V4u1 8 6 10 9 u2 9 12 13 7 u3 14 9 16 5

811 vu

01 u

0

8 – 0 =8

912 vu

9 – 8 =1

1222 vu

12 – 1 =11

1332 vu

13 – 1 =12

923 vu

9 – 11 =- 2

543 vu

5 + 2 =7

Perhitungan koefisien baris nol untuk seluruh sel (Langkah 4)

v 1 8 v2 11 V3 12 V4 7u1 0 8 6 10 9 u2 1 9 12 13 7 u3 -2 14 9 16 5

ijjiij cvuc

111111 cvuc 122112 cvuc dst untuk semua sel

0+8-8=0

1+8-9=0 1+11-12=0 1+12-13=0

0+11-6=5 0+12-10=2 0+7-9=-2

1+7-7=1

-1+8-14=-7 -2+11-9=0 -2+12-16=-6 -2+7-5=0

Perhatikan semua BV mempunyai koefisien = 0

v 1 8v2 11v3 12v4 7u1 0 0 8 5 6 2 10 -2 9 u2 1 0 9 0 12 0 13 1 7 u3 -2 -8 14 0 9 -6 16 0 5

• Belum optimal, karena belum semua (-)• Xij yang dapat digunakan sebagai BV berikutnya ada

pada sel yang dapat menurunkan z paling banyak• Koefisien baris nol paling positif (X12)

Kembali ke tableau yang memuat Xij

(Langkah 4 lanjut)

v 1 v2 12v3 v4 Supplyu1 8 6 10 9 35 35u2 9 12 13 7 10 10 30 50u3 14 9 16 5 10 30 40Demand 45 20 30 30

• Penentuan BV mana yang keluar menggantikan X12 menggunakan sistem looping untuk mempertahankan terpenuhinya supply dan demand

Kembali ke tableau yang memuat Xij

(Langkah 4 lanjut)

v 1 v2 12v3 v4 Supplyu1 8 6 10 9 35 35u2 9 12 13 7 10 10 30 50u3 14 9 16 5 10 30 40Demand 45 20 30 30

• Looping diawali dari X12 melewati sel-sel BV yang ada sebagai titik-titik pojok dan kembali ke X12 searah jarum jam

Kembali ke tableau yang memuat Xij

(Langkah 4 lanjut)

v 1 v2 12v3 v4 Supplyu1 8 6 10 9 35 35u2 9 12 13 7 10 10 30 50u3 14 9 16 5 10 30 40Demand 45 20 30 30

• Sel sebagai titik-titik pojok loop: dinyatakan sebagai sel ganjil dan genap• Sel X12 adalah awal diberi nomor 0 • Sel X22 adalah diberi nomor 1

• Sel X21 adalah diberi nomor 2

• Sel X11 adalah diberi nomor 3

Kembali ke tableau yang memuat Xij

(Langkah 4 lanjut)

v 1 v2 12v3 v4 Supplyu1 8 6 10 9 35 35u2 9 12 13 7 10 10 30 50u3 14 9 16 5 10 30 40Demand 45 20 30 30

• Alokasi perubahan adalah pada sel ganjil (yellow highlighted)• min(X22 , X11)=min(10 ,35)=10• Setiap sel genap (pink highlighted) tambah dengan 10• Setiap sel ganjil (yellow highlighted) kurangi dengan 10

10

020

25

Langkah 5: Tableau dengan BFS yang baru

v 1 v2 12v3 v4 Supplyu1 8 6 10 9 25 10 35u2 9 12 13 7 20 30 50u3 14 9 16 5 10 30 40Demand 45 20 30 30

• Kembali ke langkah 3 untuk menghitung seluruh u dan v bagi koefisien baris nol.

• Menentukan apakah sudah diperoleh solusi optimal berdasarkan kriteria optimalitas dari koefisien baris nol

• Lakukan perhitungan koefisien baris nol sekali lagi• Cari loop sekali lagi• Diperoleh tableau berikut yang sudah optimal

Tableau Optimalv 1 v2 v3 v4 Supply

u1 8 6 10 9 10 25 35u2 9 12 13 7 45 5 50u3 14 9 16 5 10 30 40Demand 45 20 30 30

Tabel koefisien baris nol

v 1 6v2 6v3 10v4 2u1 0 -2 8 0 6 0 10 -7 9 u2 3 0 9 -3 12 0 13 -2 7 u3 3 -5 14 0 9 -3 16 0 5

Tidak ada lagi yang >0, sudah optimal

Tableau Optimalv 1 v2 v3 v4 Supply

u1 8 6 10 9 10 25 35u2 9 12 13 7 45 5 50u3 14 9 16 5 10 30 40Demand 45 20 30 30

Nilai Z: biaya minimum

10205301025610 i j

ijijXcZ