Metode Statistika STK211/ 3(2-3) FKH 2018-2019/STK211... · • Integral fungsi kepekatan peluang...

Metode Statistika STK211/ 3(2-3)

Pertemuan V

Peubah Acak dan Sebaran Peubah Acak

Septian Rahardiantoro - STK IPB 1

Tebak-tebakan


Ada seorang professor

Hendak menulis 3 surat berbeda ke murid-muridnya

Lalu dia menuliskan surat tersebut dengan menuliskan tujuannya masing-masing

Kepada: Adi 1

Kepada: Bambang 2

Kepada: Cindy 3

Kemudian dia menyiapkan 3 amplop dengan tujuannya masing-masing

Kepada: Adi 1

Kepada: Bambang 2

Kepada: Cindy 3

Namun, sang professor sangat buru-buru dalam memasukkan surat tsb ke dalam amplop yg telah disiapkan

Berapa peluang bahwa tepat 2 surat tsb dimasukkan ke amplop yang sesuai alamatnya?

Pertemuan sebelumnya kita sudah belajar mengenai cara untuk membuat daftar kemungkinan-kemungkinan dari suatu percobaan, serta menghitung peluang seberapa besar kemungkinan tersebut terjadi

Sehingga, bagaimana jika setiap kemungkinan yang dapat terjadi pada suatu kejadian ingin diketahui peluangnya terjadinya?

Perlu adanya pemetaan dari ruang kejadian tersebut ke ruang bilangan real

PEUBAH ACAK RANDOM VARIABLE


Peubah Acak

• Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi).

• Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam.

• Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU BILANGAN bilangan riil.



Ilustrasi 1

Pelemparan 2 koin setimbang yang saling bebas

Percobaan:

Ruang Contoh: S = { AA, AG, GA, GG}

Kejadian A:

Munculnya sisi Gambar

Ruang Kejadian: A = {AG, GA, GG}

Misalkan X = munculnya sisi gambar Kemungkinan dari X = {0, 1}

Pemetaan fungsi X

AA AG GA GG

0 1

Peubah Acak

Misalkan Y = banyak munculnya sisi gambar Kemungkinan dari Y = {0, 1, 2}

Pemetaan fungsi Y

AA AG GA GG

0 1 2

Tipe Peubah Acak

• Peubah Acak Diskret – Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat

dicacah (countable) – Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang

berhasil dilakukan oleh pemain A

• Peubah Acak Kontinu – Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat

dicacah (uncountable) – Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang

interval – Misalkan X = tinggi badan (cm)


Karakteristik Peubah Acak


Nilai Harapan

Nilai harapan dari peubah acak pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali (dalam jangka waktu yang panjang).

𝐸(𝑋) =

𝑥𝑝 𝑥 ; 𝑥 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑒𝑡

∀𝑥

𝑥𝑓 𝑥 ; 𝑥 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢

∀𝑥

Sifat 𝐸(𝑋): 1. 𝐸 𝑐 = 𝑐 ; 𝑐 = konstanta 2. 𝐸 𝑐𝑋 = 𝑐𝐸 𝑋 3. 𝐸 𝑋 ± 𝑌 = 𝐸(𝑋) ± 𝐸(𝑌)

Ragam

Ragam dari peubah acak X, didefinisikan sebagai:

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑋) 2 = 𝐸 𝑋2 − [𝐸(𝑋)]2

Sifat 𝑉𝑎𝑟(𝑋): 1. 𝑉𝑎𝑟 𝑐 = 0 ; 𝑐 = konstanta 2. 𝑉𝑎𝑟 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉𝑎𝑟 𝑋 3. 𝑉𝑎𝑟 𝑋 ± 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟 𝑌 ± 𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌

Dengan 𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑋) 𝐸 𝑌 − 𝐸(𝑌)

Jika p.a X dan Y saling bebas, maka

𝐶𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 0

𝑉𝑎𝑟 𝑋 ± 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟 𝑌


Peubah Acak Diskret • Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret

• Fungsi peluang dari peubah acak diskret menampilkan nilai dan

peluang dari peubah acak tersebut

• Jumlah total nilai peluang dari semua kemungkinan nilai peubah acak tersebut sama dengan 1

• Peluang dari sembarang kejadian dapat dibentuk dengan menambahkan peluang dari kejadian-kejadian yang membentuk sembarang kejadian tersebut

• Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.


Ilustrasi 2 Berdasarkan ilustrasi 1

Misalkan X = munculnya sisi gambar Kemungkinan dari X = {0, 1}

Sebaran peluang dari peubah acak X

x P(x)

0 P(X=0) = P(AA) = 1/4

1 P(X=1) = P(GA)+P(AG)+P(GG) = 3/4

Kemungkinan AA GA AG GG

Peluang 1/4 1/4 1/4 1/4

X 0 1 1 1

Sehingga, sebaran peluang peubah acak X

x P(x)

0 1/4

1 3/4

Misalkan Y = banyak munculnya sisi gambar

Kemungkinan dari Y = {0, 1, 2} Sebaran peluang dari peubah acak Y

y P(y)

0 P(Y=0) = P(AA) = 1/4

1 P(Y=1) = P(GA)+P(AG) = 2/4

2 P(Y=2) = P(GG) = 1/4

Kemungkinan AA GA AG GG

Peluang 1/4 1/4 1/4 1/4

Y 0 1 1 2

Sehingga, sebaran peluang peubah acak Y

y P(Y)

0 1/4

1 2/4

2 1/4

Latihan 1

• Pada suatu perusahaan produksi pulpen, diketahui dari 10 pulpen yang diproduksi terdapat 2 pulpen yang tidak memenuhi standar. Jika diambil secara acak sebanyak 2 pulpen dari proses produksi, dan peubah acak X menyatakan banyaknya pulpen baik yang terambil, tentukan sebaran peubah acak X


X = banyaknya pulpen baik yang terambil

X = {0, 1, 2}

x P(x)

0 P(X=0) = P(TT) = 2280102

=1

45

1 P(X=1) = P(TB) = 2181102

=16

45

2 P(X=2) = P(BB) = 2082102

=28

45

Latihan 2

• Diketahui dalam suatu kotak terdapat 2 bola kuning dan 4 bola hijau. Jika diambil 3 bola secara acak, dan peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya bola kuning yang terambil, tentukan sebaran peluang peubah acak X


Untuk latihan mandiri


Karakteristik Peubah Acak Diskret

Nilai Harapan

Misalkan X p.a diskret, maka 𝐸(𝑋)

Ragam Misalkan X p.a diskret, maka 𝑉𝑎𝑟(𝑋)

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − [𝐸(𝑋)]2

Dengan

𝐸 𝑋2 = 𝑥2𝑝(𝑥)

∀𝑥

Contoh

Misalkan diketahui p.a diskret X dengan sebaran peluang

x P(X)

0 1/8

2 4/8

4 3/8

𝐸 𝑋 = 𝑥𝑝(𝑥)

∀𝑥

𝐸 𝑋 = 𝑥𝑝(𝑥)∀𝑥 = 0 + 1 + 12/8 = 5/2

𝐸 𝑋2 = 𝑥2𝑝(𝑥)∀𝑥 = 0 + 2 + 6 = 8

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − [𝐸(𝑋)]2 = 8 – 25/4 = 7/4 𝐸 2𝑋 − 1 = 2𝐸 𝑋 − 1 = 4

𝑉𝑎𝑟 2𝑋 − 1 = 4𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 7

Latihan 3

• Pada Latihan 1 dan Latihan 2, tentukanlah:

a. 𝐸(𝑋) dan 𝑉𝑎𝑟(𝑋)

b. Jika Y = 2X + 6, tentukan 𝐸(𝑌) dan 𝑉𝑎𝑟(𝑌)




Beberapa Sebaran Peluang Diskret

Sebaran Peluang Bernoulli • Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal • Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal • Misal, 𝑝 = P(sukses), maka fungsi peluang p.a X ~ Bernoulli(𝑝)

𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑝𝑥 1 − 𝑝 1−𝑥; 𝑥 = 0,1

𝐸 𝑋 = 𝑝 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑝(1 − 𝑝)

Akan melakukan lemparan bebas. Jika peluang bola tersebut masuk ring sebesar 80% maka peluang bola tidak masuk ring adalah 20%

Akan melakukan tendangan pinalti. Jika peluang bola masuk sebesar 95% maka peluang bola tidak masuk sebesar 5%.


Sebaran Peluang Binomial • Terdiri dari 𝑛 kejadian Bernoulli yang saling bebas • Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,….,n • Misal, 𝑝=P(sukses), maka fungsi peluang p.a X ~ Binomial(𝑛, 𝑝)

𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛𝑥𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥; 𝑥 = 0,1,2,…

𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝)

X = banyaknya lemparan bebas yang sukses dari 3 lemparan

S S S x = 3 𝑃(𝑋 = 3) =33𝑝3 1 − 𝑝 3−3

G S S

x = 2 𝑃(𝑋 = 2) =32𝑝2 1 − 𝑝 3−2 S G S

S S G G G S

x = 1 𝑃(𝑋 = 1) =31𝑝1 1 − 𝑝 3−1 G S G

S G G

G G G x = 0 𝑃(𝑋 = 0) =30𝑝0 1 − 𝑝 3−0

Rata-rata sukses melakukan lemparan 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = 3𝑝


Sebaran Peluang Poisson

• Peubah acak yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu

• Peubah acak X disebut menyebar poisson dengan parameter 𝜇 jika X ~ Poisson( 𝜇 )

dengan

𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑒−𝜇𝜇𝑥

𝑥!; 𝑥 = 0,1,2,…

𝐸 𝑋 = 𝜇 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜇

Contoh: • Banyaknya kecelakaan lalulintas yang terjadi di persimpangan jalan dalam

waktu satu minggu • Banyaknya gempa bumi di Jawa Barat yang terjadi dalam waktu satu tahun • Banyaknya orang yang terserang flu burung di suatu tempat pada jangka

waktu satu tahun

Latihan 4

Peluang turun hujan per hari diketahui 𝑝 = 0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah:

a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu?

b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu?


Misalkan p.a X = banyaknya hari turun hujan dalam seminggu

X ~ binomial(𝑛 = 7, 𝑝 = 0.6)

a. P(X = 0) = 700.60 1 − 0.6 7−0 = 0.47

b. P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0.47


Click Here


Peubah Acak Kontinu • Misalkan X adalah suatu peubah acak kontinu

• Fungsi peluang dari peubah acak kontinu merupakan fungsi

kepekatan peluang

• Integral fungsi kepekatan peluang dari semua kemungkinan nilai sama dengan 1

• Peluang dari suatu selang nilai dapat dibentuk dengan mengintegralkan fungsi kepekatan peluang dalam selang nilai tersebut

Beberapa Sebaran Peluang Kontinu • Seragam • Normal • Weibull • Gamma • Beta


Sebaran Seragam

• Peubah acak yang mempunyai peluang yang sama di titik-titik tertentu pada suatu selang [a, b]

• Peubah acak X disebut menyebar seragam pada interval [a, b]; b > a jika X ~ Seragam(a, b)

dengan

𝑓 𝑥 =1

𝑏 − 𝑎; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

𝐸 𝑋 =𝑎 + 𝑏

2 𝑉𝑎𝑟 𝑋 =

(𝑏 − 𝑎)2

12

Contoh: • Kejadian kedatangan seseorang secara acak di stasiun untuk naik kereta pada

waktu tertentu • Kejadian kedatangan seseorang pada satu jam sebelum kuliah dimulai


Sebaran Normal

• Bentuk sebaran simetri, sehingga mean = median = modus • Merupakan sebaran dasar dalam pengembangan alat analisis statistika

(dengan mengasumsikan data menyebar normal) • Peubah acak X disebut menyebar normal dengan nilai harapan 𝜇 dan ragam 𝜎2 jika

X ~ N(𝜇, 𝜎2) dengan

𝑓 𝑥 =1

2𝜋𝜎𝑒−12𝑥−𝜇𝜎

2

; −∞ ≤ 𝑥 ≤ ∞

𝐸 𝑋 = 𝜇 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2

Contoh: • Tinggi badan • Berat badan


Karakteristik Peubah Acak Kontinu

Nilai Harapan

Misalkan X p.a kontinu, maka 𝐸(𝑋)

Ragam Misalkan X p.a kontinu, maka 𝑉𝑎𝑟(𝑋)

𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − [𝐸(𝑋)]2

Dengan

𝐸 𝑋2 = 𝑥2𝑓(𝑥)

∀𝑥

𝐸 𝑋 = 𝑥𝑓(𝑥)

∀𝑥


Spesial: Sebaran Normal

Setiap peubah acak normal memiliki karakteristik yang berbeda-beda(tergantung dari nilai 𝜇 dan 𝜎2 perhitungan peluang akan sulit Lakukan transformasi dari X ~ N( , 2) menjadi peubah acak normal baku Z~N(0,1) dengan menggunakan fungsi transformasi

𝑍 = 𝑋 − 𝜇

𝜎

Distribusi peluang dari peubah acak normal baku Z N(0,1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal baku

z0 +1 -1

24

Cara Penggunaan Tabel Normal Baku

• Nilai z, disajikan pada kolom pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua)

• Nilai peluang didalam tabel normal baku adalah peluang peubah acak Z kurang dari nilai z P(Z < z).

P(Z < -0.52) = 0.3015

P(Z < -3.11) = 0.0009

Septian Rahardiantoro - STK IPB

Latihan 5

Untuk membantu korban bencana sebuah lembaga sosial berinisiatif mengumpulkan dana dari para donatur. Jumlah sumbangan setiap donatur diketahui menyebar normal dengan rata-rata 120 ribu dan simpangan baku 80 ribu. 1. Berapa persen sumbangan 150 ribu sampai 200 ribu rupiah

2. Jika pemerintah berencana memberikan penghargaan kepada para donatur dengan sumbangan 5% tertinggi, berapa minimum sumbangan yang mendapatkan penghargaan


Misalkan p.a X = besarnya sumbangan setiap donatur (dalam ribuan)

X ~ N(𝜇 = 120, 𝜎 = 80) 1. P(150 ≤ X ≤ 200) = P(3/8< Z < 1) = P(Z < 1) – P(Z < 3/8) = 0.8413 – 0.6480 = 0.1933 2. P(Z > z) = 0.05 P(Z < z) = 0.95 z = 1.645

Sehingga X = 𝜇 + 𝜎z = 120 + 80(1.645) = 251.6

Latihan 6

Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 25 mm2. Hitunglah, 1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm?

2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai 20 mm?

3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?

4. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang 10% curah hujan tertinggi, berapa batas curah hujan tersebut!




Thank you, see you next week

Metode Statistika STK211/ 3(2-3) FKH 2018-2019/STK211... · • Integral fungsi kepekatan peluang...

Documents

Transcript of Metode Statistika STK211/ 3(2-3) FKH 2018-2019/STK211... · • Integral fungsi kepekatan peluang...