Metode Penentuan Potensial BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Penyelesaian persoalan listrik statik dapat dilakukan dengan mudah jika sebaran muatannya di mana-mana terinci, karena kemudian sebagaimana kita ketahui, potensial dan medan listrik ditentukan secara langsung sebagai integral dari sebaran muatan tersebut. Namun, banyak diantara persoalan yang dijumpai dalam praktek bukanlah jenis seperti ini. Jika sebaran muatan tidak dirinci sebelumnya, mungkin perlu terlebih dahulu menentukan medan listriknya, sebelum sebaran muatan dapat dihitung. Sebagai contoh, persoalan listrik statik dapat melibatkan beberapa penghantar yang potensial atau muatan total masing-masing penghantar diketahui, tetapi sebaran muatan permukaannya dalam banyak hal tidak akan diketahui dan tidak bisa diperoleh sampai penyelesaiannya tuntas dari persoalan tersebut didapat. Dalam kehidupan sehari-hari sering kali kita dihadapkan dengan

permasalahan dan situasi ini dimana kita sama sekali tidak mengetahui secara pasti distribusi muatan pada suatu bidang sehingga kita tidak dapat secara langsung T menentukan besar medan listrik E atau potensial V. Misalnya kita mempunyai sebuah sistem konduktor yang besar potensial relatifnya kita ketahui, namun rapat muatan pada permukaannya tidak kita ketahui. Dalam permasalahan yang T sedemikian, akan memunculkan formula secara eksplisit untuk besar E dan besar V sehingga menuntut kita untuk mengetahui distribusi muatan pada permukaan konduktor, dimana permasalahan sebelumnya kita tidak bisa memperoleh ini tanpa mengetahui medan listrik pada permukaan konduktor. Terkait dengan permasalahan serta bagaimana solusi untuk pemecahannya di atas maka akan kita pelajari tahap demi tahap mulai dari persamaan Laplace dan Poisson, syarat-syarat batas, DAN metode bayangan dimana seluruhnya adalah metode khusus yang dapat digunakan untuk menentukan potensial listrik.

1

Metode Penentuan Potensial 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang maka dapat penulis merumuskan beberapa rumusan masalah sebagai berikut. 1.2.1 Bagaimanakah menganalisis potensial listrik dengan menggunakan

persamaan Laplace? 1.2.2 Bagaimanakah menganalisis potensial listrik dengan menggunakan

persamaan Poison? 1.2.3 Bagaimanakah menganalisis potensial listrik dengan menggunakan metode Syarat Batas? 1.2.4 Bagaimanakah menganalisis potensial listrik dengan menggunakan metode Bayangan?

1.3 Tujuan Penulisan Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah sebagai berikut. 1.3.1 Untuk menganalisis potensial listrik dengan menggunakan persamaan Laplace. 1.3.2 Untuk menganalisis potensial listrik dengan menggunakan persamaan Poison. 1.3.3 Untuk menganalisis potensial listrik dengan menggunakan metode syarat batas. 1.3.4 Untuk menganalisis potensial listrik dengan menggunakan metode bayangan.

1.4 Manfaat Penulisan Adapun manfaat dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut. 1.4.1 Memahami dan mampu menerapkan persamaan Laplace dalam menganalisis potensial listrik. 1.4.2 Memahami dan mampu menerapkan persamaan Poison dalam menganalisis potensial listrik. 1.4.3 Memahami dan mampu menerapkan metode syarat batas dalam menganalisis potensial listrik. 1.4.4 Memahami dan mampu menerapkan metode bayangan dalam menganalisis potensial listrik.

2

Metode Penentuan Potensial 1.5 Metode Penulisan Metode yang digunakan dalam penulisan makalah ini adalah metode kajian pustaka yaitu dengan mengkaji dan menelaah berbagai literatur maupun media-media informasi lainnya (internet) yang berkaitan dengan masalah yang dibahas sehingga dapat menambah ketajaman isi makalah ini.

3

Metode Penentuan Potensial BAB II PEMBAHASAN

2.1 Persamaan Laplace Telah diketahui bahwa hukum Gauss dinyatakan dalam bentuk: T T Q E y da ! ................................................................................(1) Io S Dengan menggunakan teorema divergensi (teorema Gauss), integral permukaan dalam persamaan (1) dapat dinyatakan sebagai berikut: T

V

( yE )dV ! I

Q0

........................................................................(2)

Sementara itu Q ! VdV , sehingga persamaan (2) menjadi: T 1 ( yE )dV ! VdV ..............................................................(3) I0 V V Atau dapat diperoleh bahwa: T V .................................................................................(4) y E ! I0 Persamaan (4) sering disebut persamaan hukum Gauss dalam bentuk T differensial. Dalam persamaan E ! V jika dikombinasikan dengan persamaan (4) akan diperoleh: y V ! 2V ! Dimana V I0

V ................................................................................(5) I0 adalah rapat muatan total. Persamaan (5) disebut persamaan

Poisson. Jika rapat muatan adalah nol, maka persamaan (5) menjadi: 2V ! 0 .....................................................................................(6) Persamaan (6) disebut persamaan Laplace. Persamaan (6) ini lebih sederhana dalam penyelesaiannya. Oleh karena itu persamaan Laplace ini yang akan digunakan dalam rangka menyelesaikan permasalahan tentang potensial. Persamaan (6) dapat dituliskan dalam koordinat kartesian sebagai berikut:

4

Metode Penentuan Potensial x 2V x 2V x 2V ! 0 ................................................................(7) xx 2 xy 2 xz 2 Persamaan Laplace dalam Satu Dimensi Misalkan V hanya tergantung pada variabel x saja, maka persamaan Laplace menjadi: x 2V ! 0 ...............................................................................(8) xx 2 Penyelesaian umum persamaan (8) adalah: V = m x + b ..........................................................................(9) Persamaan (9) berisi dua konstanta yang tidak diketahui yaitu m dan b yang diharapkan sebagai jawaban dari persamaan diferensial orde dua. Kedua konstanta tersebut ditentukan dengan menggunakan syarat batas. Syarat batas dapat dipilih karena belum ada persoalan fisis yang ditentukan, kecuali hipotesis asal yang menyatakan bahwa potensialnya hanya berubah terhadap x. Misalkan V = V1 pada saat x = x1 dan V = V2 pada x = x2, maka melalui persamaan (9) diperoleh sebagai berikut. V1 = mx1 + b; m! V1 V2 ; x1 x 2 V2 = mx2 + b b! V2 x1 V1 x 2 x1 x 2

Sehingga persamaan (9) menjadi: V! V1 ( x x 2 ) V ( x x1 ) ..................................................(10) x1 x 2

Jika diperoleh syarat batas V1 = 0, untuk x1 = 0, dan V2 = Vo, pada x2 = d, maka: m! Vo ; d b=0

Sehingga persamaan (9) menjadi: V! V0 x d

Sebagai ilustrasi misalkan pada saat V1 = 4 di x1 = 1, dan V2 = 0 di x2 = 5, maka diselesaikan. m! V1 V2 4 0 4 ! ! ! 1 x1 x 2 1 5 4

5

Metode Penentuan Potensial V2 x1 V1 x 2 0 4.5 20 !5 ! ! 1 5 4 x1 x 2

b!

b!5 Sehingga diperoleh: V = mx + b V = -x + 5 Dengan demikian keadaan potensialnya dapat digambarkan sebagai berikut. V 4 3 2 1 x 3 4 5 Gambar 1. Distribusi potensial listrik pada setiap harga x 1 2 Persamaan Laplace dalam Dua Dimensi Jika V bergantung dari dua variabel, misal x dan y, maka persamaan Laplace (7) dituliskan: x 2V x 2V ! 0 .................................................................. (11) xx 2 xy 2 Penyelesaian yang didapat akan mempunyai dua sifat, yaitu: a. Nilai V ditulis (x, y) adalah rata-rata dari sekeliling titik. Jika digambarkan lingkaran dengan jari-jari R yang terkait dengan titik (x, y), maka harga rata-rata V pada lingkaran adalah sama dengan harga pada pusat lingkaran. V ( x, y ) ! 1 Vdl .......................................................... (12) 2TR circle

b. V tidak ada lokasi maksimum atau minimal, harga ekstrim terjadi pada batas. Persamaan Laplace dalam Tiga Dimensi Jika V tergantung dari segitiga variabel x, y, z, maka persamaan Laplace pada persamaan (7) menjadi:

6

Metode Penentuan Potensial x 2V x 2V x 2V ! 0 ........................................................ (13) xx 2 xy 2 xz 2 Penyelesaian V yang diperoleh akan memiliki dua sifat, yaitu: a. Nilai V pada titik P adalah merupakan nilai rata-rata pada permukaan bola berjari-jari R dengan titik pusat P. V ( P) ! 1 2TR 2

Vda ......................................................... (14)luas bola

b. Sebagai konsekuensinya, V dapat tidak ada lokasi maksimun atau minimum, sedangkan nilai ekstrim V terjadi pada batas. Jika V maksimum di titik P, maka dapat digambarkan suatu bola yang mengelilingi titik P yang semua harga dari V akan lebih kecil daripada harga V di titik P.

2.2 Persamaan Posison Di dalam kasus potensial yang ditunjukkan dengan persamaan Poisson: 2V ! V ..............................................................................(15) I0

Diketahui bahwa distribusi muatan umum di dalam penambahan beberapa syarat batas, potensial dapat dicari dengan pertama-tama pemecahan bagian homogen dari persamaan (15) yakni persamaan Laplace 2V ! 0 . Pemecahan ini ditambahkan dengan solusi pemecahan persamaan Poisson (hukum Coulomb). V (r ) ! 1 4TI o T T r r ' + solusi persamaan Laplace, dimana integral dilakukan VdX '

untuk seluruh muatan distribusi yang diberikan. Contoh: Bola yang dimuati secara uniform. Dalam hal ini, kita menganalisis sebuah kasus dimana muatan terdistribusi secara simetri bola. Muatan q didistribusikan pada seluruh bola berjari-jari R dengan kerapatan muatan konstan V , dan untuk r > R kerapatannya adalah nol. Penyelesaian: Di dalam daerah r e R potensial mengikuti persamaan Poisson: 1 d 2 dV V r ! 2 dr dr I0 r Dan untuk daerah-daerah r > R, potensial mengikuti persamaan Laplace:

7

Metode Penentuan Potensial 1 d 2 dV r r 2 dr dr ! 0 ..................................................................(16 )

Solusi dari persamaan Poisson di atas adalah: V (r ) ! Vr 2 A1 B1 ; r e R ................................................( 17) 6I 0 r

Dan solusi dari persamaan Laplace adalah: V (r ) ! A2 B2 ; r e R ............................................................( 18) r

Potensial tersebut harus memenuhi syarat batas: (1) V (r p g) ! 0; (2) adalah berhingga kerena tidak ada muatan titik pada pusar bola.Dua potensial akan kontinu pada r = R; dan (3) Muatan total dari distribusi ini adalah (4T / 3) R 3 V . Syarat batas pertama mengharuskan A1 = 0. Hubungan antara B1 dan A2 dapat dicari dari syarat batas ketiga yaitu: A VR 2 B1 ! 2 ................................................................................(19 ) 6I 0 R

Akhirnya, dengan syarat batas keempat dapat digunakan untuk menghitung A2. Ambil permukaan Gauss, yang mana kulit yang jari-jarinya r > R pada pusat distribusi muatan, memberikan: E.nd a ! 4TR 3 V ....................................................................( 20) 3I 0

Medan listrik di luar bola dapat ditentukan dengan mengambil gradien dari potensial yakni: Ar A E ! V (r ) ! 2 B 2 ! 22 , r r Jadi, E.nd a ! ( r !( A2 r2

).r da

A2 )4Tr 2 ! 4TA2 ......................................................(21) r2

8

Metode Penentuan Potensial R3 )V . 3I 0

Dengan mensubstitusikan persamaan di atas, maka diperoleh

A2 ! (

Substitusikan nilai A2 ini ke dalam persamaan B1 ! VR 3 . Dengan demikian potensial menjadi: 2I 0 V (r ) ! Atau, V (r ) ! VR 2 2I 0 r2 1 2 3R ; r

A VR 2 B1 ! 2 , maka diperoleh 6I 0 R

R ..................................................(22)

VR 3 1 ; r " R ...............................................................(23) 3I 0 r

Persamaan (20) menyatakan bahwa potensial di dalam bola merupakan fungsi kuadratik dari r dengan potensial pada pusat lebih besar daripada di tepi bola. Perlu juga ditekankan bahwa medan listrik adalah kontinu pada r = R. T Vr Untuk r e R, E ! r 3I 0 T VR 3 Dan untuk r u R, E ! r , yang memberikan 3I 0 r 2 VR 3 3I r 2 0 r pada r = R.

2.3 Konsep Syarat Batas Persamaan Laplace tidak langsung dengan sendirinya dapat digunakan untuk menentukan V, tetapi harus ditambah seperangkat syarat batas sehingga penyelesaian V menjadi lengkap. Untuk persamaan Laplace satu dimensi pencarian V adalah mudah, sebab penyelesaian umum persamaan Laplace V = mx + b, yang mengandung dua konstanta, dan selanjutnya dibutuhkan dua syarat batas. Dalam persamaan Laplace dua atau tiga dimensi dijumpai adanya persamaan diferensial parsial dan hal itu tidak mudah untuk diperoleh syarat batas yang sesuai. Untuk itu V akan ditentukan harganya secara khusus pada batas. Bukti bahwa seperangkat syarat batas dapat digunakan akan dinyatakan dalam bentuk teorema keunikan. Teorema keunikan tersebut adalah sebagai berikut.

9

Metode Penentuan Potensial 1. Teorema keunikan pertama Penyelesaian persamaan Laplace dalam suatu daerah ditentukan secara unik (khusus) jika harga V merupakan fungsi yang dinyatakan pada seluruh batas dalam daerah tersebut. Pembuktian teorema keunikan pertama ini adalah sebagai berikut. Dalam gambar di bawah ini menunjukkan suatu daerah dan perbatasan. V yang ingin ditentukan dalam volume

V khusus pada permukaan

Gambar 2. Suatu daerah dengan perbatasan yang akan ditentukan Misalkan ada dua penyelesaian persamaan Laplace, V1 dan V2 yang keduanya merupakan fungsi dari koordinat yang digunakan, maka: 2V1 ! 0 dan 2V2 ! 0 Keduanya dianggap memberikan nilai V tertentu pada permukaan, dan keduanya memiliki nilai seimbang/sama (V1 = V2). Pembuktiannya adalah sebagai berikut. Misalnya diambil perbedaan antara keduanya, V3 ! V1 V2 dan memenuhi persamaan Laplace 2V3 ! 2V1 2V2 ! 0 .......................................................(24) Dan nilai nol untuk semua perbatasan. Nilai Laplace tidak menghendaki nilai maksimum dan minimum di suatu lokasi, harga ekstrim terjadi pada perbatasan. Oleh karena itu nilai maksimum dan minimum dari V3 = 0 dan V3 = 0 di mana saja, akibatnya: V1 = V2 ...................................................................................(25) Penerapan teorema keunikan pertama ini dengan ketentuan bahwa: a. Penyelesaiannya memenuhi persamaan Laplace b. Penyelesaiannya memiliki nilai pada semua perbatasan Teorema keunikan pertama ditetapkan untuk daerah yang tidak ada muatan, sehingga memenuhi persamaan Laplace. Ternyata teorema keunikan pertama itu juga dapat digunakan untuk daerah yang ada muatannya, sehingga dalam hal ini10

Metode Penentuan Potensial V . Adapun cara penyelesaiannya I0

menggunakan persamaan Poisson 2V ! sama, yaitu diambil: 2V1 ! 2 V2 ! Sehingga, 2V3 ! 2V1 2V2 ! 0 ! V dan I0

V .........................................................................(26) I0

V V ! 0 ...............................................................(27) I0 I0

Perbedaan V3 ! V1 V2 memenuhi persamaan Laplace dan memiliki nilai nol pada semua perbatasan, sehingga V3 ! 0 dan selanjutnya V1 ! V2 . Akibatnya, potensial di dalam daerah dapat ditentukan khusus/unik jika: a. Rapat muatan meliputi seluruh daerah. b. Nilai V pada semua perbatasan diketahui. 2. Teorema Keunikan Kedua Cara sederhana untuk menentukan syarat batas pada masalah elektrostatik adalah dengan memberikan harga V pada semua permukaan yang mengelilingi daerah tertentu. Dalam laboratorium, misalkan kawat penghantar dihubungkan dengan baterai dengan potensial tertentu, atau dihubungkan dengan tanah (V = 0) tetapi ada keadaan dimana potensial diperbatasan tidak diketahui, melainkan rapat muatan pada berbagai permukaan penghantar diketahui harganya. Misalnya muatan Q1 pada penghantar 1, Q2 pada penghantar ke 2 dan seterusnya. Daerah antar penghantar diketahui juga rapat muatannya V pada gambar di bawah ini. Integral permukaan

Q4

Q1

Q2

Q1

Gambar 3. Daerah dengan muatan pada berbagai konduktor11

Metode Penentuan Potensial Di dalam daerah yang terdapat beberapa penghantar yang diisi dengan muatan tertentu dengan rapat muatan V , maka medan listrik ditentukan khusus jika muatan total pada masing-masing penghantar diketahui. Bukti teorema tersebut adalah sebagai berikut. Misalkan ada dua medan yang memenuhi syarat dari suatu problem. Untuk keduanya dikenai hukum Gauss dalam bentuk diferensial untuk daerah diantara penghantar-pengahantar tersebut. T V T V .E1 ! ; .E 2 ! I0 I0 Dan dalam bentuk integral permukaan yang meliputi masing-masing penghantar, T T Q E1 .da ! total ; I0 T T Q E 2 .da ! total I0

permukaan penghantar

permukaan penghantar

Perbedaan kedua medan datang dinyatakan dengan: T T T E3 ! E1 E01 T Dimana, .E3 ! 0 ..............................................................................(28) Dalam daerah antara penghantar-penghantar dan, T T E3 .da ! 0 ............................................................................ (29) Meliputi masing-masing permukaan perbatasan. Meskipun tidak mengetahui bagaiman distribusi muatan tersebut maka dapat diketahui bahwa masing-masing konduktor merupakan equipetensial, sehingga V3 adalah konstan meliputi masingmasing permukaan konduktor. Dalam hal ini V3 tidak perlu sama dengan nol, sebab V1 dan V2 harganya boleh tidak sama. Dengan berdasarkan aturan dalam identitas vektor, yaitu hukum perkalian .( fA) ! f (. A) A.(f ) , maka dapat dinyatakan pula bahwa: T T T .(V3 E3 ) ! V3 (.E3 ) E3 .(V3 ) ........................................... (30) T T Karena .E3 ! 0 dan E3 ! V3 (gradien potensial) maka persamaannya menjadi: T TT .(V3 E3 ) ! E3 .E3 ! E32 ..................................................... (31) Atau dalam bentuk integral dituliskan:

12

Metode Penentuan Potensial

volume

T .(V3 E3 )dv !

Evolume

2 3

dv .................................................(32)

Integral ruas kiri pada persamaan (32) melalui teorema divergensi dapat diubah menjadi integral permukaan, sehingga: T 2 (V3 E3 )da ! E3 dv ..................................................... (33)permukaan volume

Integral permukaan meliputi semua perbatasan dari daerah yang telah ditentukan, termasuk semua permukaan penghantar dan batas luar. Karena V3 konstan meliputi setiap permukaan, (jika batas luar adalah tak terhingga, V3 = 0), maka persamaan (33) menjadi: T (V3 E3 )da ! permukaan

Evolume

2 3

dv ! 0 .(34)

T Tetapi integralnya tidak pernah negatif, namun integral dapat diabaikan jika E3 ! 0 T T di setiap tempat, akibatnya E1 ! E 2 .

2.4 Metode Bayangan Dengan mempergunakan syarat batas, bahwa diasumsikan semua muatan ada pada permukaan konduktor, dan permasalahan elektrostatik di mana rapat muatan bukan nol di daerah yang ditempati konduktor. Sehingga, hanya muatan titik dan muatan garis yang akan dikaji secara detail. Dengan melihat bahwa permasalahan ini kurang baik diperlakukan dengan nilai syarat batas yang telah dikembangkan. Permasalaahn ini dapat dipecahkan dengan menggunakan metode bayangan. Untuk mencari solusi permasalahan ini, maka: 1. Kesesuaian syarat batas equipotensial hanya pada permukaan konduktor. 2. Kesesuaian persamaan Laplace atau Poisson di mana di dalam ruang. Jika muatan berkedudukan di luar permuakaan konduktor diperlukan persamaan Poisson yang ekivalen dengan pernyataan bahwa bagaian dari solusinya harus sedemikian sehingga sesuai dengan muatan di dalam ruang. 2.4.1 Muatan titik dan Bidang 4.1 Muatan titik dan Bidang Dengan mengilustrasikan muatan titik dan mengganggap sebuah muatan q pada jarak z di atas sebuah bidang pelat konduktor yang sangat luas (seperti pada

13

Metode Penentuan Potensial gambar 4). Bila bidang tersebut dihubungkan dengan bumi, maka potensialnya nol. Maka dari itu dapat dicari potensial dan medan listrik di dalam ruang yang berisi q. Pada gambar tersebut adalah daerah dari ruang z 0. Dengan menempatkan sementara muatan q di bawah titik asal dari permukaan konduktor.

Konduktor P

T r zd z

T r zd z

-q

z

0P

z

q

z

Gambar 4. muatan q pada jarak z di atas sebuah bidang pelat konduktor Untuk mengkaji hal ini, maka jelaslah bahwa sistem koordinat silinder yang akan digunakan karena simetris terhadap sumbu z. Dengan menggambil z = 0 pada permukaan konduktor, kemudian jumlah potensial yang disebabkan oleh q dan muatan bayangan q yang terletak z di bawah bidang z = 0. Maka dari itu, potensial dan medan listrik untuk z 0 adalah sederhana terhadap dua muatan titik q dan q yang terpisah pada jarak 2z. Sehingga solusinya adalah:

V r !

1 4TI 0

q q T T , untuk z 0 .................(35) z z r z d r z d

14

Metode Penentuan PotensialT T 2 Dalam koordinat silinder, r ! VV zz , dan r s z d ! V 2 z s z d . Medan z 2

listrik dapat diperoleh dari pernyataan E r ! V r atau secara langsung dari hukum Coulomb untuk dua muatan titik (dalam Sujanem, 2001).

T E r !

1 4TI 0

T T qr z d qr z d z z T , untuk z 0 T 3 3 d r zd z rzz

Bila z = 0, r ! VV , maka diperoleh:

T q VV z d z z q z 2z d VV z d E V ! ! 3/ 2 3/ 2 2 2 2 2 3/ 2 4TI 0 V 2 z d d 4TI 0 V 2 z d V z

................................................................................................................. (36) Berdasarkan hasil yang diperoleh, maka dapat ditentukan kerapatan muatan permukaan aktual pada z = 0 muka dari konduktor diberikan oleh:

T W ! I0 E y z

z !0

!

q zd 2 2T 2 zd3 / 2 V

.................... (37)

Muatan induksi seperti yang diharapkan adalah berharga negatif. Muatan induksi tersebut mempunyai harga maksimum pada sehingga

= 0, dan jatuh mengikuti 1/

3

,

menjadi besar dibandingkan z (seperti pada gambar 5 dibawah). Ini

berarti muatan induksi ditambah muatan q asal yang menghasilkan solusi yang aktual, sama dengan pemikiran bahwa solusinya sesuai dengan q dan muatan bayangan q.

1/

3

Gambar 5. Grafik muatan induksi Untuk menunjukkan muatan permukaan induksi total Q adalah sama dengan q, termasuk bahwa semua garis gaya berakhir pada konduktor. Integrasikan rapat

15

Metode Penentuan Potensial muatan untuk seluruh luas bidang konduktor yang memberikan sebuah persamaan yaitu:g

Q ! 2T W V dV ! qz 0

V dV

V

2

2 z d

3/ 2

! q .................... (38)

Muatan q mengalami gaya yang menariknya kepermukaan konduktor. Lintasan partikel bermuatan dekat permukaan ditunjukkan pada gambar 6 di bawah. Gaya itu mempunyai besar yang ditentukan oleh medan listrik dari muatan permukaan induksi. Karena medan ini identik dengan medan muatan bayangan, gaya dengan mudah diperoleh seperti gaya antara dua muatan titik yaitu:

T F ! z

q2 4TI 0 2 z d 2

............................................................. (39)

Konduktor

-

+

Gambar 6. Gaya pada muatan bayangan

Gaya bayangan ini memberikan kontribusi yang besar dalam mengukur pencegahan elektron keluar dari permukaan konduktor yang diasosiasikan dengan fungsi kerja bahan konduktor.

2.4.2 Muatan Titik dengan Suatu Bola Konduktor Untuk menganalisis potensial yang ditimbulkan oleh muatan titik dan bola konduktor, lihat gambar 7 berikut.

16

Metode Penentuan PotensialP(r, )

r R2 r2 R1

r1

aO b

+q -q2 d

V= 0

Gambar 7. Muatan titik dengan suatu bola konduktor Ada 2 muatan titik q1 dan q2, dengan q1 > -q2, dan dengan posisi (0, d) dan (0,b). Apabila potensial pada permukaan bola dianggap mempunyai harga V = 0, maka rumus potensial: V! 1 4TI 0 q1 q 2 R R ! 0, 1 2 q1 q 2 ! R1 R2

maka diperoleh hubungan

Nyatakan titik asal koordinat kutub (r, ), dan berdasarkan gambar tersebut dapat diketahui adanya ketentuan: R12

! a 2 d 2 2 a d cos U ! a 2 b 2 2 ab cosU

R2

2

Karena V= 0, maka dapat dibuktikan persamaan berikut ini. q1 q 2 R ! 1 R 2 2

d 2 / d d 2 a cosU a ! 2 ...........................(40) a / d b 2 a cosU a

2

Persamaan (40) berlaku untuk setiap , bila dinyatakan bahwa: i) a2 = db ..................................................................................(41) q ii) 1 q 2 d ! , karena d > b, maka q1 > q2 ...............................(42) b 2

17

Metode Penentuan Potensial Selanjutnya terdapat kasus dimana bola konduktor dengan jejari a diberi potensial nol, dan pada jarak d dipasang muatan q1 dari pusat bola. Menurut metode bayangan, maka bola tersebut dapat digantikan dengan muatan titik. Gunakan ketentuan persamaan (42), untuk menetapkan muatan q2 sebagai pengganti bola. q2 ! b q1 ! a / d q1 d

Pada posisi b = (a2/d) dari pusat bola dan potensial dititik p dengan koordinat (r, ) di luar bola: V ( P)!V r , U ! 1 4TI 0 q1 4TI 0 q1 q 2 r 1 r2 1 a/d ............................................ (43) r r2 1 1/ 2

V ( P)!V r , U !

r1 ! 2 d 2 2d cos U r

r2 ! 2 b 2 2rb cos U r Jadi, V (r ,U )! q1 4TI 0

1/ 2

1 ad 1 2 d 2 2rd cos U / 2 r 2 a 2 / d 2 2r 2 / d U a cos r

?

A

1/ 2

(44)

Selanjutnya, medan listrik dapat ditentukan yaitu: Er ! 1 xV xV dan Er ! .................................................... (45) r xU xr

Kasus pada permukaan bola, di mana r = a, medan listriknya arahnya radial sehingga: Er ! q1 4TI 0 d 2 a2 a a 2 d 2 2ad cosU

?

A

3/ 2

, dan

E = 0 .......................................................................................(46) Karena Er = W , sehingga diperoleh muatan induksi per satuan luas pada bola I0

konduktor, adalah: W ! q1 d 2 a2 ........................................(47) 3/ 2 4Ta a 2 d 2 2 ad cos U a

18

Metode Penentuan Potensial Sedangkan gaya antara bola dengan muatan q1 adalah: F! 1 4TI 0 q1 q 2 ?d b A2 1 ! 4TI 0 aq1 2 d ?d bA2 ................................. (48)

Persamaan diatas menyatakan gaya antara muatan q1 dengan bola konduktor yang dihubungkan dengan tanah. 2.4.3 Muatan Garis dengan Silinder Bermuatan Untuk menganalisis potensial yang ditimbulkan oleh muatan titik dan bola konduktor, seperti pada gambar 8P(r, )

r

r

a x 0 V=0 d +

Gambar 8. Muatan Garis dengan Silinder Bermuatan Terdapat 2 muatan garis saling sejajar terpisah dengan jarak d. Misalkan muatan per satuan panjang untuk masing-masing muatan garis adalah dan + . Potensial titik P akibat adanya dan + adalah: V P ! P P ln r ' ln r C .............................................(49) 2TI 0 2TI 0

Dengan memperhatikan ada konduktor silinder dengan jari-jari a seperti pada gambar 8. Agar V = 0 untuk semua permukaan silinder, yaitu: C! P ln(r ' / r ) 2 2TI 0

Dengan memisalkan, r, r Sehingga: r 2 d 2 2 rd cosU ! m 2 r 2 , apabila x = rcos , y = rsin , maka diperoleh: r 2 d 2 2rd cos U ! ! m 2 , konstan pada rentangan 0 < m < . 2 r 2

19

Metode Penentuan Potensial d m2d 2 2 ................................................ (50) x 2 y ! 2 m 1 m 12 Persamaan ini menyatakan rumus permukaan silinder yang jari-jarinya md2

m m

2

1

dan titik pusat silinder di posisi

x!

d dan y = 0. Sedangkan, m 12

untuk m > 1, silinder dengan harga potensial V = 0 sumbunya terletak pada jarak md2

1

di kiri titik 0 (yang dianggap sebagai titik asal koordinat kutub).

Jarak sumbu silinder hingga + adalah: p!d dan jarak x ! d m2d ! 2 ! ma . m 2 1 m 1 d ! a / m ! a 2 / p .................................................(51) m 12

20

Metode Penentuan Potensial BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan per bab mengenai metode penentuan potensial, maka dapat disimpulkan beberapa hal yaitu sebagai berikut. 3.1.1 Dalam menganalisis potensial listrik kita dapat menggunakan teorema divergensi (teorema gauss), di mana setelah kita turunkan persamaannya, akan diperoleh sebuah persamaan Laplace yaitu 2V ! 0 , dan persamaan ini dapat kita gunakan untuk menyelesaikan permasalahan tentang potensial. 3.1.2 Dalam menganalisis potensial listrik dengan persamaan poisson, kita gunakan persamaan 2V ! V di mana persamaan ini diperoleh dari kombinasi I0

T T V antara E ! V dengan y E ! . I0 3.1.3 Persamaan Laplace tidak langsung dengan sendirinya dapat digunakan untuk menentukan V, tetapi harus ditambah seperangkat syarat batas sehingga penyelesaian V menjadi lengkap. 3.1.4 Permasalahan dalam penentuan potensial listrik dapat dipecahkan dengan metode bayangan, yaitu pada muatan titik dengan bidang, muatan titik dengan suatu bola konduktor, dan muatan garis dengan silinder bermuatan.

3.2 Saran-saran Berdasarkan materi diatas yang telah dibahas secara panjang lebar, serta pembahasan yang secara kuantitatif yang membantu kita memahami berbagai cara untuk menentukan dan menganalisis potensial listrik baik itu persamaan Laplace, Poisson, metode syarat batas, maupun metode bayangan. Maka dalam hal ini dapat penulis sarankan kepada pembaca, untuk tidak hanya memahami materi, namun bisa memanfaatkan dan menerapkan berbagai konsep yang telah dibahas, setidaknya untuk memecahkan permasalahan praktis yang terkait materi makalah ini, terutama untuk masalah yang sering kita temukan dalam kehidupan sehari-hari.

21