Selasa, 18 Februari 2014Metode Lagrange

BAB IPENDAHULUAN

A. Latar BelakangMatematika adalah disiplin ilmu yang tentang tata cara berfikir dan mengolah logika, baik secara kuantitatif maupun secara kualitatif. Pada matematika diletakkan dasar bagaimana mengembangkan cara berfikir dan bertindak melalui aturan yang disebut dalil (dapat dibuktikan) dan aksioma (tanpa pembuktian). Selanjutnya dasar tersebut dianutdan digunakan oleh bidang studi atauilmu lain (tim MKPBM, 2001:253).Kalkulus merupakan salah satu diantara pokok pelajaran matematika yang aplikasinya sering kita lihat dalam kehidupan sehari-hari. Seiring dengan perkembangan zaman, kalkulusmencakup hal-hal yang lebih luas.Dalam kehidupan modern sekarang ini, kalkulus dianggap penting untuk dipelajari. Oleh karena itu untuk menambah wawasan mahasiswa materikalkulus, penulis mengangkat salah satu dari sekian banyak materi kalkulus mengenai Metode Langrange Multiplier.B. Rumusan MasalahBagaimana cara penerapan metode Lagrange Multiplier dalam mencari nilai-nilai minimum relative dan maksimum relatif ?C. Tujuan masalahTujuan dari penulisan makalah ini adalah :1.Untuk mengetahui sejauh mana kemampuan mahasiswa (penulis) dalam memahami materi yang dipilihnya.2.Untuk mengetahuicara penerapan metode Lagrange Multiplier dalam mencari nilai-nilai minimum relatif dan maksimum relatif dari fungsi f(x,y).D. Batasan masalahMakalah ini membahas metode Lagrange Multiplier dalam mencari nilai-nilai minimum relatif dan maksimum relative dari fungsi f(x,y)..E. Manfaat MasalahAdapun manfaatdarimetode Lagrange Multiplier ini adalah untuk mencari nilai-nilai minimum relatif dan maksimum relative dari fungsi f(x,y).

BAB IIPEMBAHASAN

A. Materi PenunjangPersamaan Umum Turunan Parsial :Fungsi () tergantung pada x saja dan didefenisikan dalam interval sekitar. Maka turunannya terhadap x di x=x mungkin ada. Jika ada, nilainya disebut Turunan parsial dari f (x,y) terhadap x di()dan dinyatakan oleh :()atau oleh()B.Materi PokokSalah satu masalah umum kalkulusmultivariabeladalah memperoleh nilai-nilaimaksimum atau minimum dari suatu fungsi,Kesulitan ini sering timbul ketika memaksimalkan atau meminimalkan fungsimengikuti kendala. MetodeLagrangeadalah alat yang ampuh untuk memecahkan masalah ini.Metode Lagrange Multiplier adalah suatu metode untuk memperoleh nilai-nilai maksimum relative atau minimum relative dari fungsi f (x,y)yang dipengaruhi oleh kondisi persyaratan g (x,y) = 0, terdiri atas pembentukan fungsi penolong.F()=f(x,y) +g(x,y)Dengan persyaratan :

Yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relative maupun minum relative. Parameteryang tidaktergantung pada x dan y disebut pengali lagrange.Untuksuatu masalah yang melibatkan suatu persyaratan , diperlukan suatu parametersebagai Pengali Lagrange.Jika f (x,y) aadalah fungsi yang ditentukan maksimum atau minimum relatifnya dang (x,y) = 0 adalah persyaratan yang harus dipenuhi, maka fungsi penolongnya berbentuk :F()=f(x,y) +g(x,y)Fungsi penolongF (x,y) ini adalah fungsi dari tiga variable x, y dan. Relatif dari F adalah juga merupakan maksimum (minimum) relative dari f (x,y) dengan persyaratan g (x,y) = 0. Maka harus dipenuhi persyaratan :+=0+=0g( x, y )=0Setiap penyelesaian dari system persamaan ini adalah suatu nilai kritis dari fungsi f ( x, y).Contoh :1). Tentukan nilai maksimum dari f(x,y)=xy dengan syarat :g (x,y)= x + y 16 = 0Jawab :F () = f (x,y) +g (x,y)= xy +(x = y - 16)y += 0y = -= x +x = -x+ y 16 = 0-- 16 = 0-=8,= -8Titi kritis dicapai jika x = 8 dan y = 8 dengan nilai f (x,y) = 8 (8) = 64.2 ). Sebuah pabrik memproduksi dua macam mesin x dan y dan fungsi ongkosgabungan adalah :C(x,y) =+3xy 6yUntuk meminimumkan biaya, berapa banyak mesin dari setiap jenis harusdiproduksi jika keseluruhannya harus berjumlah 42 mesin..?Jawab :Persyaratan yang harus dipenuhi x + y = 42Ditulis : g (x,y) = x + y 42 =0Fungsi penolongnya:F () = C(x,y) +g (x,y)=+3xy 6y) +(x + y - 42)=03 x - 6+=0x + y 42=0Penyelesaian dari system ini memberikanx = 33, y= 9,=- 93 maka biaya minimum diperoleh jika pabrik memproduksi 33 mesin x da 9 mesin y.

BAB IIIPENUTUP

A. KesimpulanDari rumusan masalah dan pembahasan pada BAB II, maka penulis dapat menyimpulkan bahwaMetode Lagrange Multiplier adalah suatu metode untuk memperoleh nilai-nilai maksimum relative atau minimum relative dari fungsi f (x,y)yang dipengaruhi oleh kondisi persyaratan g (x,y) = 0, terdiri atas pembentukan fungsi penolong.F()=f(x,y) +g(x,y)Dengan persyaratan :

Yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relative maupun minum relative. Parameteryang tidaktergantung pada x dan y disebut pengali lagrange.B. SaranUntuk mempermudah menyelsaikan persoalan yang menggunakan metode lagrange multiplier, penulis menyarankan untuk menggunakan buku kalkulus lanjutan.

DAFTAR PUSTAKASoemartojo, Noeniek.1987.Kalkulus Lanjutan. Jakarta : Universitas Indonesiahttp://rumindahutagalung.blogspot.com.11 Desember 2013. 09.00 WIB.

DAFTAR ISIHalaman judul.iHalaman Pengesahan.iiKata Pengantar ..iiiDaftar isi..ivBAB I PENDAHULUAN..1A. Latar Belakang Masalah ...1B. Rumusan Masalah .1C. Tujuan Masalah .1D. Batasan Masalah2E. Manfaat Masalah .2BAB II PEMBAHASAN 3A. Materi Penunjang 3B. Materi Pokok ...3BAB III PENUTUP .6A. Kesimpulan .6B. Saran 6DAFTAR PUSTAKA ..8Zuhra_4

METODE LAGRANGE

METODE LAGRANGEMetode ini adalah cara menentukan titik maksimum dan minimum suatu fungsi yang diiringi dengan persyaratan atau kendala yang harus dipenuhi. Metode ini banyak digunakan dalam berbagai masalah terapan di dunia nyata, terutama di bidang ekonomi. Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan keuntungan, tapi dibatasi oleh banyaknya bahan mentah yang tersedia, banyaknya tenaga kerja dan sebagainya.Metode ini akan membantu kita untuk memperoleh nilai-nilai maksimim relatif atau minimum relative dari fungsi f(x,y) yang dipengaruhi oleh fungsi persyaratan g((x,y) = 0, terdiri atas pembentukan fungsi penolong. F(x,y,) = f(x,y) + g(x,y)dengan persyaratan : = 0 , = 0, = 0yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relative maupun minimum relative. Parameter yang tidak tergantung pada x, dan y disebut pengali lagrange.

1.Kasus Dengan Satu Pengali LagrangeUntuk suatu masalah yang melibatkan satu persyaratan, diperlukan hanya satu parameter sebagai pengali lagrange.Jika f(x,y) merupakan suatu fungsi yang akan ditentuka nilai maksimum atau minimum relatifnya dan g((x,y) = 0 adalah persyaratan yang harus dipenuhi, maka fungsi penolongnya berbentuk F(x,y,) = f(x,y) + g(x,y)Fungsi penolong F(x,y,) ini adalah fungsi dari tiga variabel x,y dan . Dapat ditunjukkan bahwa suatu maksimum relatif atau minimum relatif dari F adalah juga merupakan maksimum (minimum) relatif dari f(x,y) dengan persyaratan g((x,y) = 0Maka harus dipenuhi persyaratan: = + = 0 = += 0 = g(x,y) = 0Setiap penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah suatu nilai kritis dari fungsi f(x,y).Contoh 1 :Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = xy dengan syarat : g(x,y) = x + y 16 = 0jawab : F(x,y,) = f(x,y) + g(x,y) = xy + (x + y - 16) = y + = 0 y = = x + = 0 x = = x + y 16 16 = 0 = 16 = -8karena = -8, maka : x = y = x = 8 y = 8

titik kritis dicapai jika x = 8 dan y = 8 dengan nilai minimum f(x,y) = xy = 8.8 =16 ( nilai minimum)

Contoh 2 :Sebuah pabrik memproduksi dua macam mesin x dan y dan fungsi ongkos gabungan adalah : C(x,y) = x2 + 3xy 6yUntuk meminimumkan biaya, berapa banyak mesin dari setiap jenis harus diproduksi jika keseluruhannya harus berjumlah 42 mesin.Jawab :persyaratan yang harus dipenuhi x + y = 42,ditulis : g(x,y) = x + y 42 = 0fungsi penolongnya : F(x,y,) = C(x,y) +g(x,y) = (x2 + 3xy 6y) + (x + y 42) = 2x + 3y += 0 = 3x 6 + = 0 = x + y 42 = 0Penyelesaian dari sistem di atas memeberikan x = 33 y = 9 = maka biaya minimum diperoleh jika pabrik memproduksi 33 mesin x dan 9 mesin y.2.Kasus Dengan Dua Pengali Lagrange Metode pengali lagrange diperluas untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan lebih dari suatu persyaratan. Untuk masalah seperti ini, digunakan dua parameter, yaitu dan atau lebih, yang tidak tergantung pada x dan y. Metode lagrange ini juga dapat diperluas untuk menyelesaikan fungsi yang melibatkan tiga variabel atau lebih. Untuk memperoleh nilai relatif maksimum atau minimum dari fungsi F(x,y,z) dengan persyaratan ( x,y,z) = 0, dibentuk fungsi pembantu. G(x,y,z,) = F(x,y,z) + ( x,y,z)Yang harus memenuhi persyaratan: = 0 = 0 = 0 = 0Metode ini dapat diperluas jika kita ingin menentukan nilai-nilai maksimum atau minimum dari fungsi dengan beberapa variabel dan beberapa fungsi syarat.Misalkan kita ingin mencari nilai-nilai maksimum dan minimum fungsi F(x1, x2, x3,., xk) yang harus memenuhi kendala 1 (x1, x2,, xn) = 0, 2 (x1, x2,, xn) = 0 k (x1, x2,, xn) = 0 dibentuk fungsi penolong G(x1, x2,, xn,1,. k) = F + 1 +2 + kkYang memenuhi persyaratan= 0 , = 0 , . = 0, = 0, = 0Dengan 1, 2, . k tidak tergantung pada x1, x2 . . . ,xn dan disebut pengali lagrange.

Contoh 3Tentukan nilai-nilai ekstrim relatif dari fungsi f(x,y,z) = xy + xz dan titik (x,y,z) terletak pada perpotongan antara permukaan antara permukaan x2 + z2 = 2 dan yz = 2.Jawab : Fungsi penolongnya : F(x,y,z,, ) = (xz + yz) + (x2 + z2 2) + (yz 2) = z + 2x = 0 = x + y + 2z + z = 0 = z + z = 0 = x2 + z2 2 = 0 = 1, z = 0 (tak berlaku) = yz 2 =

subsitusikan ke : x + y + 2z + z = 0 x + y + 2 ( ) z + (1)y = 0 x + y y = 0diperoleh x2 = z2 subsitusikan kedua persamaan terakhir menghasilkan: 2x2 2 = 0 atau x2 = 1 x Dari masing-masing nilai x diperoleh dua nilai z, yaitu z =1 dan z = 1.Persamaan yz 2 = 0 memberikan y =2 jika z = 1 dan y = 2 jika z = 1. Diperoleh kelompok penyelesaian x = 1 , y = 2 , z = 1 , = , = 1 x = 1 , y = 2, z = 1, = , = 1 x = 1 y = 2 , z = 1 = = 1 x = 1 y = 2, z = 1 = = 1kelompok penyelesaian pertama dan keempat menghasilkan f(x,y,z) = 3, dan kelompok kedua dan ketiga memberikan f(x,y,z) = 1. Maka f(x,y,z) mempunyai nilai maksimum relatif = 3 dan minimum relatif = 1Contoh 4Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f(x,y,z) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan potongan tabung x2 + y2 = 2 dan bidang y + z = 1Jawab : F(x,y,z,, ) = (x + 2y + 3z) + (x2 + y2 2) + (y + z 2) 1) = 1 + 2 x = 0 3) = 3 + = 0 2) = 2 + 2y + = 0 4) = x2 + y2 2 = 0 5) = y + z 1 = 0Dari persamaan 3) diperoleh : = 3Persamaan 1) 1 + 2 x = 0 Persamaan 2) 2 + 2y + = 0 x = - 2 + 2y 3 = 0 y = subsitusikan ke persamaan 4) = x2 + y2 2 = 0 = ( - )2 + ( )2 = 2 = untuk = x = -1 y = 1 z = 0 maka f(x,y,z) = x + 2y + 3z = -1 + 2(1) + 0 = 1 (nilai minimum)Untuk = x = 1 y = -1 z = 2 Maka f(x,y,z) = x + 2y + 3z = 1 + 2(-1) + 3(2) = 5 (nilai maksimum)

Latihan1. Jika f(x,y,z) = 4x2 + y2 + 5z2, tentukan titik pada bidang 2x + 3y + 4z = 12 dimana f(x,y,z) mepunyai nilai terkecil ?2. Sebuah perusahaan memproduksi dua kombinasi x dan y. kombinasi bagaimanakah yang harus dipilih agar biaya produksi minimum, jika fungsi poroduksi ialah C (x,y) = 6x2 + 10y2 xy +30. Perusahaan memiliki kuantum produksi sebesar x + y = 34.3. Campuran output apakah yang akan memberikan keuntungan maksimum kepada perusahaan jika fungsi keuntungannya adalah = 80x 2x2 xy 3y2 + 100y dan kapasitas output maksimum ialah x + y = 12.4. Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi f(x,y) = xy dengan syarat : g(x,y) = + 1 = 05. Tentukan titik pada bidang 2x 3y + 5z = 19 yang paling dekat pada titik asal 0 (0,0,0). Gunakan pengali lagrange.6. Tentukan nilai-nilai maksimum dan minimum dari x2 + y2 + z2 dengan persyaratan + + = 1 dan z = x + y7. Gunakan metode pengali Lagrange untuk mencari jarak terpendek dari titik (1,3,0) ke bidang 4x + 2y z = 58. Jika f(x,y,z) = 2x2 + 3y2 + z2 gunakan metode pengsli lagrange untuk mencari titik pada bidang x + y + z = 5, yang menyebabkan f(x) yz minimum.9. Gunakan metode pengali lagrange untuk mencari nilai minimum relative dari f Jika f (x,y,z) = x2 + y2 + z2 dengan dua pembatas x + y + 2z = 1 dan 3x 2y + z = -410. Gunakan metode pengali lagrange untuk mencari suatu nilai maksimum relative dari fungsi f, jika f (x,y,z) = xyz dengan dua pembatas x + y + z = 4 dan x y- z = 3

Metode Lagrange

METODE LAGRANGESalah satu masalah umum kalkulus multivariabel adalah menemukan maksimum atau minimum dari suatu fungsi, tetapi seringkali terjadi kesulitan untuk menemukannya. Kesulitan ini sering timbul ketika memaksimalkan atau meminimalkan fungsi mengikuti kendala.Metode Lagrange adalah alat yang ampuh untuk memecahkan masalah ini tanpa perlu secara eksplisit mengatasi kondisi dan menggunakannya untuk menghilangkan variabel ekstra.Metode lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk penentuan titik P0 dan P1. Karena di titik- titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung (mempunyai garis singgung yang sama dan mempunyai suatu garis tegak lurus bersama. Tetapi disebarang titik dari kurva ketinggian, vector gradien f tegak lurus terhadap kurva ketinggian, dan dengan cara serupa g tegak lurus terhadap kurva kendala.jadi, f dan g sejajar di Po dan juga P1. Yaitu:f(Po) = 0 g (P0) dan f(P1) = 1 g (P1) adalah Multiplier konstanta yang tidak diketahui, diperlukan karena besarnya dari dua gradien mungkin berbeda.

Andaikan f (x,y) dimaksimisasi atau diminimisasi dengan batasan g (x,y) = 0. Maka bentuk fungsi objektifnya adalah;F ( x, y, ) = f (x,y) . g (x, y)Diferensiasikan F ( x, y, ) secara Parsial terhadap x, y dan dan dinyatakan hasilnya sama dengan nol.= - = 0= - = 0= g (x, y) = 0 Jadi, bila batasan terpenuhi g (x, y) = 0, yang berarti g (x, y) = 0 ( terlepas nilai ). Dalam hal ini fungsi obyektif menjadi fungsi f (x,y) tanpa batasan. Sehingga kemungkinan maksima atau minima memenuhi kendala.Untuk ttik kritis x = a, y = b, maka : Bila = 0 ; dimana, x = a, dan y = b dan Bila = 0 ; dimana, x = a, dan y = b dan* = = 2Maka bila * > 0 max pada x = a, y = b. Bila < 0 dan * > 0 max pada x = a, y = b. Bila> 0 dan * 0 maka tes gagal sehingga harus diuji sekitar x = a, y = b

Perhatikan :Bila < 0,berarti titik krisis bukanlah merupakan maksimum atau minimum (Maksima dan minima tanpa kendala)Bila * < 0 titik krisis dapat merupakan maksimum atau minimum (Maksima dan minima berkendala).

Hal ini berhubungan dengan kenyataan bahwa suatu titik dapat merupakan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi kendala walaupun bukan merupakan maksima atau minima fungsi tanpa kendala (Kondisi yang perlu untuk mencari nilai kritis adalah : Fx = 0, Fy = 0)

Adapun Cara yang mudah untuk menentukan nilai maksima atau minima dengan kendalaFxx . Fyy F2xy > 0 maka Maksimum bila Fxx < 0, dan Fyy < 0 Minimum bila Fxx > 0, dan Fyy > 0Fxx . Fyy F2xy 0 maka tes gagal sehingga harus diuji untuk nilai sekitar nilai kritis.Catatan :Metode lagrange ini dapat diperluasuntuk fungsi dan variabel n f ( x1, x2, x3,....., xn) dengan kendala g ( x1, x2, x3,....., xn) = 0Contoh :1. Carilah maksima atau minima untuk f (x, y) = x2 +3 y2 - xy dengan kendala x + y = 1.Penyelesaian:F ( x, y, ) = x2 +3 y2 xy . (x + y 1)= 2 x y = 6y x = x + y 1

Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka2 x y = 06y x = 0x + y 1 = 0dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x = , y = , = Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi= 2= 6= -1* = (2) (6) (-1)2 = 13> 0 dan > dan juga * > 0Maka titik ( , ) adalah minimum dari f (x ,y)2. Tentukanlah nilai maksima atau minima fungsi f (x,y) = 3x2 xy + 4y2 terhadap kendala 2 x +y = 21Penyelesaian:F ( x, y, ) = 3x2 xy + 4y2 ( 2 x +y 21)= 6x y 2= - x + 8y = 2 x +y 21Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka6x - y 2 = 0- x + 8y = 02 x +y 21 = 0dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x = 8,5 , y = , = 35. Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi= 6= 8= -1* = (6) (8) (-1)2 = 47> 0 dan > dan juga * > 0Maka titik ( ) adalah minimum dari f (x ,y)3. Tentukanlah nilai maksima atau minima fungsi f (x,y) = xy x2 y2 terhadap kendala x + y = 20Penyelesaian:F ( x, y, ) = xy x2 y2 (x + y = 20)= -2x + y = x - 2y = x + y = 20

Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka-2x + y = 0x - 2y = 0x + y - 20 = 0dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x =-10 , y = , = 80Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi= -2= -2= 1* = (-2) (-2) (1)2 = 3< 0 dan < 0 dan juga * > 0Maka titik ( ) adalah maksimum dari f (x ,y)4. Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis produk x dan y. Biaya patungan dinyatakan dengan fungsi f (x,y) = 3x2 + y2 xy. Untuk minimalisasi biaya berapa produk dari setiap jenis yang harus dihasilkan adalah 10, sehingga fungsi kendalanya x + y = 10 PenyelesaianF ( x, y, ) = 3x2 + y2 xy (x + y = 10)= 6x - y = 2y x = x + y = 10Dengan membuat setiap turunan parsial = 0, maka6x - y = 0 2y x = 0 x + y - 10 = 0dengan menggunakan metode eliminasi, menghasilkan x =-3 , y = , =11Kemudian, persamaan tadi, diturunkan lagi= 6= 2= -1* = (6) (2) (-1)2 = 11> 0 dan > 0 dan juga * > 0Maka titik ( ) adalah minimum dari f (x ,y)Latihan1. Tentukanlah nilai maksima atau minima fungsi f (x,y) = xy 3x2 4 y2 dengan kendala x + y = 142. Carilah maksima atau minima untuk f (x, y) = 6x2 + y2 xy dengan kendala3x 2y =153. Sebuah perusahaan menghasilkan dua jenis sepeda x dan y. Biaya patungan dinyatakan dengan fungsi f (x,y) = 2x2 + 10y2 xy. Untuk minimalisasi biaya berapa produk dari setiap jenis yang harus dihasilkan adalah 26 !Diposkan oleh Ruminda Hutagalung di 04.36