sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll)...

116
1 FISIKA KUANTUM 4 SKS

Transcript of sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll)...

Page 1: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

1

FISIKA KUANTUM4 SKS

Page 2: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

2

BAB 1PENDAHULUAN

Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) suksesmenjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis.

Cahaya sebagai gelombang (Fresnel, Maxwell, Hertz) sangatberhasil menjelaskan sifat-sifat cahaya.

Pada akhir abad 19, teori-teori klasik di atas tidak mampumemberikan penjelasan yang memuaskan bagi sejumlahfenomena “berskala-kecil” seperti sifat radiasi dan interaksiradiasi-materi.

Akibatnya, dasar-dasar fisika yang ada secara radikal diteliti-ulanglagi, dan dalam perempat pertama abad 20 muncul berbagaipengembangan teori seperti relativitas dan mekanika kuantum.

Page 3: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

3

1.1 Radiasi Benda-hitam

Benda-hitam: penyerap semua radiasielektromagnet yang mengenainya, atau pengemisisemua radiasi elektromagnet yang dimiliknya.

Berdasarkan termodinamika, distribusi panjanggelombang spektrumnya hanya bergantung padatemperatur tidak pada jenis bahan benda-hitam.

T2

T1

λ

E(λ)

T1>T2

Raleigh-JeanWien

Stefan (1879): total energi yang dipancarkanadalah:

σ adalah konstanta dan c=3x108 m/s adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa.

4)/4( TcE σ=

Wien (1893): panjang gelombang di mana rapat energi radiasi maksimumberbanding lurus dengan 1/T.

λmaxT=konstan; disebut hukum pergeseran Wien

Eksp

Page 4: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

4

Menurut teori medan listrik-magnet, gelombang elektromagnetdiemisikan oleh osilator muatan-muatan listrik.

Bilamana osilator-osilator dalam kesetimbangan dengan radiasi dalambenda-hitam, maka rapat energi radiasi per satuan volum adalah:

u(ν)= energi rata-rata osilator dengan frekuensi ν.

Hukum energi ekipartisi: energi rata-rata itu adalah u(ν)=kBT di manakB=1,3806 x 10-23 J/K adalah konstanta Boltzmann. Dengan c=λ ν,

)(8)( 3

2

νπνν uc

E =

TkE B4

8)(λπλ =

Inilah rumusan Raleigh-Jeans, yang ternyata hanya berlaku pada panjanggelombang yang besar.

Page 5: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

5

Max Planck (1900):Suatu benda-hitam adalah kumpulan osilator dalam kesetimbangan denganmedan radiasi.

Suatu osilator dengan frekuensi ν hanya bisa memiliki energi:

.....,2,1,0; == nnhn νε

h=6,624 x 10-34 Js disebut konstanta Planck, dan hν disebut kuantumenergi.

Energi rata-rata per osilator dengan frekuensi ν adalah:

∑∑

=

=

−=

0

0

)/exp(

)/exp()(

nBn

nBnn

Tkε

Tkεενu 1)/exp(

)(−

=Tkνh

νhνuB

Akhirnya diperoleh:

Inilah rumusan Planck yang sesuai kurvaradiasi benda hitam secara lengkap. 1

8)( /3

2

−= Tkh Be

hc

E υ

νπνν

Page 6: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

6

Untuk panjang gelombang yang besar berlaku pendekatan

exp(hυ/kBT)=exp[hc/(λ kBT)] ≈1+ hυ /kBT

persamaan dari Raleigh-Jeans.

Persamaan dapat diungkapkan dalam λ sebagai berikut:

Tkcπν

B3

28=

18)( /3

2

−= Tkh Be

hc

E υ

νπνν

118)( /5 −

= Tkhc BehcE λλ

πλ

Misalkan x=hc/λkBT, maka

18)(

5

44

55

−= x

B

ex

hcTkE π

λ

Untuk memperoleh E(λ) maksimum, harus dipenuhi dE/dx=0; jadi,

0151 =−+− xe x x=4,9651

λT=hc/(4,9651 kB)=2,8978x10-3 mK. hukum pergeseran Wien

Page 7: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

7

1.2 Efek Foto Listrik

Dalam pengamatan ternyata:

(i) untuk suatu jenis logam ada frekuensi cahaya minimal yang dapatmelepaskan elektron, dan

(ii) semakin tingi intensitas cahaya yang mengenai permukaan logam, semakin banyak elektron yang dilepaskan.

hv

Klogam

Page 8: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

8

1.3 Dualisme Gelombang-Partikel

Hasil-hasil eksperimen interferensi dan difraksi membuktikan bahwa teori tentangcahaya sebagai gelombang telah mantap pada penghujung abad 19, terlebih lagikarena keberhasilan teori elektromagnetik Maxwell.

hWν /≥ W adalah fungsi kerja logam (=energi ikat elektron dipermukaan logam).

Einstein (1905) menolak teori tersebut berdasarkan fenomena efek foto-listrik dimanapermukaan logam melepaskan elektron jika disinari dengan cahaya berfrekuensi

Menurut Einstein, dalam fenomena tersebut cahaya harus dipandang sebagaikuanta yang disebut foton, yakni partikel cahaya dengan energi kuantum E=hν.Dalam teori relativitas khususnya (1905), hubungan energi dan momentum suatupartikel diungkapkan sebagai berikut:

2222

cmpcE

o+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ p adalah momentum partikel, dan mo adalah massa

diam partikel bersangkutan

Untuk foton, karena tidak mempunyai massa diam, sedangkan energinya E=hυ,maka momentum foton adalah

.λh

cEp == Adanya momentum inilah yang mencirikan sifat partikel dari cahaya.

Page 9: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

9

Arthur H. Compton (1924)

elektron terhambur

sinar-X terhambur

φ

θsinar-X datang

Mengamati perubahan panjang gelombang sinar-X setelah dihamburkan olehelektron bebas.

( )θλλ cos1' −=−cmh

e

Jika λ dan λ’ adalah panjang gelombang sinar-X sebelum dan setelah terhambur, dan me adalah massa diam elektron, maka diperoleh hubungan:

h/mec=0,00243 nm, disebut panjang gelombang Compton.

λ’>λ energi foton terhambur (E’) lebih kecil daripada energi foton datang (E).

λ

λ’

Dapat dibuktikan dengan hukum kekekalanmomentum dan energi

Page 10: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

10

Louis de Broglie : Mengemukakan bahwa tidak hanya cahaya yang memiliki sifat “mendua”, tetapi juga

partikel.

.ph

=λ Panjang gelombang ini disebut panjang gelombang de Broglie.

Clinton Davisson dan Lester Germer (1927):

Memperlihatkan efek difraksi dari berkas elektronketika melalui celah sempit sebagaimana cahaya.

Andaikan a adalah lebar celah dan posisi sudutuntuk ‘gelap’ pertama adalah θ, maka berlaku

θ

berkaselektron

Suatu partikel dapat juga memiliki sifat gelombang. Menurut de Broglie suatu partikelyang memiliki momentum p jika dipandang sebagai gelombang, mempunyai panjanggelombang:

a sinθ= λ

Page 11: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

11

Kecepatan fasa:

vf=λυ=(h/p)(E/h)=E/p=p/2m=½v. Aneh tapi tidak penting karena tak punya arti fisis.

Momentum p=mv dan energi E=p2/2m=½mv2

Yang penting adalah kecepatan grup, yakni

vg=dω/dk, di mana ω=2πυ dan k=2π/λ.

Dengan E=p2/2m,

vg =dω/dk=dE/dp=p/m=v.

Kecepatan grup dari gelombang partikelsama dengan kecepatan partikel itusendiri.

x

Δx

Page 12: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

12

1.2 Spektroskopi Atom HidrogenJohann Balmer (1885):Eksperimen menunjukkan bahwa panjang gelombang-panjang gelombang semua garisspektrum atom hidrogen bisa diungkapkan dengan rumus empiris:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 22

1211

nR

nλ dengan R =1.097x107 m-1 disebut konstanta Rydberg.

Balmer dan Ritz: mengemukakan rumus yang lebih umum,

mnnm

Rn

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ;111

22λ

Dengan rumusan empiris ini, Lyman menemukan deret ultraviolet untuk m=1, n=2, 3, 4, … dan Paschen menemukan deret inframerah untuk m=3, n=4, 5, 6, …Bagaimana sebenarnya struktur atom?

Ernest Rutherford (1911):Berdasarkan percobaan hamburan partikel-α, menyarankan struktur atom terdiri dari intibermuatan positif dan elektron-elektron yang mengitarinya.

Sayangnya, teori fisika pada masa itu tak mampu menjelaskan hasil penemuanRutherford dalam kaitannya dengan rumusan Balmer-Ritz di atas.

Page 13: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

13

BAB 2DASAR-DASAR FISIKA KUANTUM

2.1 Persamaan GelombangTinjaulah getaran sebuah kawat halus yang diregang sepanjang sumbu-x dengankedua ujungnya dibuat tetap. Misalkan simpangan pada sembarang posisi dan waktuadalah ψ(x,t).Dalam teori gelombang simpangan itu memenuhi persamaan gelombang seperti:

2

2

22

2 ),(1),(ttx

vxtx

∂∂

=∂

∂ ψψ v adalah kecepatan fasa

Misalkan )()(),( txtx φψψ =

22

2

2

22 )()(

1)()(

ωφφ

ψψ

−==dttd

tdxxd

xv

0)()( 22

2

=+ ttdtd φωφ )(sin)( δωφ += tAt

0)()(2

2

2

2

=+ xvdx

xd ψωψ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= xDxCx

λπ

λπψ 2cos2sin)(

Page 14: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

14

ω=2πυ, υ adalah frekuensi dan δ adalah konstanta; karena v adalah kecepatanmerambat maka panjang gelombang λ=v/υ.

Untuk konstanta C dan D diperlukan syarat batas, misalnya untuk fungsi di atas, pada x=0, dan x=L dengan L adalah panjang kawat. Andaikan, untuk x=0, ψ(0)=0 maka D=0,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= xCx

λπψ 2sin)(

Selanjutnya jika di x=L, ψ (L)=C sin(2πL/λ)=0 maka sin(2πL/λ)=0, sehingga:

.....,2,1;2== nnL

λn disebut nomor modus normal.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= xLπnCxψn sin)(maka:

Akhirnya: )(sinsin),( δtωxLπnBtxψn +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Page 15: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

15

2.2 Persamaan SchrödingerTinjaulah sebuah partikel yang memiliki massa m, bergerak dengan momentum p didalam suatu medan konservatif. Menurut mekanika klasik, energi total partikel adalah jumlah energi kinetik dan potensial:

VmpE +=2

2

)(2 VEmp −=

Sebagai gelombang, kecepatan fasa gelombang partikel itu

)(2 VEmE

pEv

−==

Misalkan ψ(x,t) adalah fungsi gelombang partikel, maka persamaan gelombang:

2

2

22

2 ),()(2),(ttx

EVEm

xtx

∂∂−

=∂

∂ ψψ

Suatu fungsi gelombang partikel dengan energi tetap berkaitan dengan frekuensitetap. Untuk itu ψ(x,t) memenuhi

tiextx ωψψ −= )(),(

Page 16: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

16

),()(2),(22

2

txψVEmxtxψ

h

−−=

∂∂

ωE h=Mengingat πh 2/=hdan

Akhirnya diperoleh persamaan:

0)()(2)(2

2

=−+∂

∂ xVEmxx ψψ

h

Bagian waktu exp(-iωt) telah dihilangkan sementara karena tak mempunyai pengaruh, dan selanjutnya persamaan itu disebut persamaan Schrödinger yang tak bergantungwaktu bagi sebuah partikel dalam satu dimensi.

Untuk tiga dimensi persamaan Schrödinger ini adalah:

0),,()(2),,( 22 =−+∇ zyxVEmzyx ψψ

h

V adalah energi potensial yang bentuknya harus diketahui sebelumnya, sedangkanfungsi gelombang ψ(x) dan energi E dari partikel bersangkutan merupakan solusiyang harus dicari dari persamaan tersebut.

Persamaan Schrodinger 1-dimensi

Page 17: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

17

)()(ˆ xExH ψψ =

Vm

H +∇−= 22

2ˆ h

Persamaan Schrödinger di atas dapat dituliskan sebagai berikut

dengan disebut hamiltonian partikel, yakni operator energitotal dari partikel.

Dalam bahasa matematik, E adalah harga eigen dari operator H dengan fungsieigen ψ(x). Persamaan (*) disebut persamaan harga eigen.

(*)

Turunan pertama terhadap waktu untuk fungsi gelombang ψ(x,t) dalam hal. 14 adalah:

),(),( txittx ωψψ

−=∂

Karena E=ħω maka diperoleh

),(),( txEttxi ψψ

=∂

∂h

ttxitxH

∂∂

=),(),(ˆ ψψ h

Ini disebut persamaan Schrödinger yang bergantung waktu bagi sebuah partikel .

Page 18: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

18

Untuk fungsi gelombang partikel yang tidak bergantung waktu, ψ(x),

1)()()( 2* == ∫∫∞

∞−

∞−

dxxdxxx ψψψ ψ* adalah konjugasi dari ψ.

Fungsi ψ(x) yang memenuhi persamaan di atas disebut fungsi yang dinormalisasi, sedangkan disebut rapat peluang.

dxxψ 2)( disebut peluang menemukan partikel di antara x dan x+dx.

Total peluang untuk menemukan partikel itu disepanjang sumbu-x adalah:

Suatu fungsi gelombang partikel harus memiliki kelakuan yang baik, yakni:

• tidak sama dengan nol dan bernilai tunggal, artinya untuk suatu harga x, ψ(x)memiliki hanya satu harga saja.

• fungsi dan turunannya kontinu di semua harga x, dan

• fungsi (harga mutlaknya) tetap terbatas (finite) untuk x menuju ±∞;

2.3 Sifat-sifat suatu Fungsi Gelombang

2)( xψ rapat peluang partikel berada di x

Page 19: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

19

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= xLnCx πψ sin)(Contoh:

1sin)(0

222 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫

∞−

dxxLnCdxx

L πψ

sin2θ=(1-cos2θ)/2, maka hasil integral di atas adalah C2(L/2)=1 sehingga LC /2=Jadi secara lengkap fungsi yang dinormalisasi adalah

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= xLn

Lx πψ sin2)(

Jika ψ(x) adalah kombinasi linier dari sekumpulan fungsi-fungsi {ϕn(x)}, makapenulisannya secara umum adalah seperti:

∑=n

nn xcx )()( ϕψ cn adalah koefisien bagi fungsi ϕn(x) yang bisa ril ataukompleks.

dxxxc mm )()(* ψϕ∫∞

∞−

= Jika ϕn(x) adalah fungsi-fungsi yang dinormalisasi danortogonal satu sama lain.

Page 20: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

20

Jika fungsi-fungsi {ϕn(x)} selain ternormalisasi juga ortogonal (disebut ortonormal) satu sama lain maka berlaku

mnnm dxxx δϕϕ =∫∞

∞−

)()(*=1; m=n

=0; lainnya

Jika ψ(x) fungsi yang dinormalisasi, maka

1)()(*

,

* =∫∑∞

∞−

dxxφxφcc nmnm

nm

1* =∑n

nncc

1)()(* =∫∞

∞−

dxxψxψ

Jadi,

Untuk memudahkan penulisan, fungsi-fungsi dituliskan dalam ket sepertidan konjugasinya dalam bra seperti

Integral overlap dituliskan seperti:

nφnφ

lklk dxxx ϕϕϕϕ =∫∞

∞−

)()(*

δ disebut kronecker delta

1,

* =∑ mnnm

nm δcc

Page 21: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

21

Ortogonalisasi Schmidt

Andaikan φ1 dan φ2 adalah fungsi-fungsi yang non-ortogonal satu terhadaplainnya.

Misalkan ϕ1=φ1, lalu pilih ϕ2=φ2+αφ1. Besarnya α dihitung atas dasar ϕ1 dan ϕ2yang ortogonal satu sama lain.

∫ ∫ ∫ =+= 01*12

*12

*1 dxdxdx φφαφφϕϕ

∫∫−=

dx

dx

1*

1

2*

1

φφ

φφα

2.4 Operator FisisSetiap besaran fisis suatu partikel dikaitkan dengan operatornya; misalnyaoperator bagi energi total adalah Ĥ seperti diperlihat dalam persamaan:

Vm

H +∇−= 22

2ˆ h

Operator energi kinetik

Operator energi potensial

Page 22: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

22

Bagi suatu operator besaran fisis berlaku istilah matematik berikut:1. Harga suatu besaran fisis adalah nilai eigen dari operatornya;2. Setiap nilai eigen dari suatu operator berkaitan dengan suatu fungsi eigen; nilai

eigen adalah ril.

)()(ˆ xExH ψψ =

Persamaan harga eigen:

fungsi eigen partikel

nilai eigen; energi partikel

operator energi total; disebut hamiltonian partikel

3. Secara umum harga rata-rata suatu besaran fisis pada fungsi keadaannyamemenuhi persamaan

∫∞

∞−

∞−=dxxx

dxxAxAav

)()(

)(ˆ)(

*

*

ψψ

ψψoperator besaran fisis

fungsi keadaan partikel

harga rata-rata besaran fisis

Page 23: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

23

∫∞

∞−

= dxxAxAav )(ˆ)(* ψψ

Bagi fungsi keadaan yang dinormalisasi

)()(ˆ xaxA nnn ϕϕ =

∑=n

nn xcx )()( ϕψ

Andaikan:

nnn

n

mnnnmn

mnmnnmn

m

nmnmn

mav

acc

accdzxxacc

dxxAxccxdxAxA

∑∫∑

∫∑∫

=

==

==

*

***

***

)()(

)(ˆ)()(ˆ)(

δϕϕ

ϕϕψψ

Jika {ϕn} adalah fungsi-fungsi yang ortonormal

Karena harga rata-rata suatu besaran fisis adalah ril maka berlaku

dxxxAdxxAx )(])(ˆ[)(ˆ)( ** ψψψψ∫ ∫=

Secara matematik, operator yang memenuhi persamaan di atas disebut operator hermitian.

Page 24: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

24

Menurut de Broglie, sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu-x mempunyaimomentum linier px= ħk dengan k=2π/λ. Fungsi gelombang partikel itu adalah .

ikxaexφ =)(Bagaimanakah bentuk operator momentum yang memiliki harga eigen px= ħk ? Untuk itu berlaku persamaan nilai eigen:

)()(ˆ xkxp x ϕϕ h=

ikxaexφ =)(

)()(ˆ xdxdixpx ϕϕ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= h

dxxdixk )()( ϕϕ hh −=

dxdipx h−≡ˆ

Jadi operator momentum linier adalah:

Secara umum, operator momentum:∇−= hip

Operator momentum:

Ingat, energi kinetik:

2

222

221

2ˆˆ

dxd

mdxdi

dxdi

mmp

K x hhh −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−==

Page 25: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

25

Jika keduanya merupakan operator besaran fisis maka didefinisikan komutatornyaseperti

Komutator:Tinjau dua buah operator: A Bdan

ABBABA ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ −=

0]ˆ,ˆ[ =BAJika Kedua operator disebut komut.

Contoh, tentukan komutator operator-operator x dan d/dx ! Gunakan fungsi ϕ(x) sebagai alat bantu:

)(

)()()(

)]([])([)(],[

xdxxdxx

dxxdx

xxdxd

dxxdxx

dxdx

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕ

−=

−−=

−=

1, −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

dxdxJadi: 1, =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ xdxd

Buktikan:

Page 26: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

26

Dua buah operator yang komut satu sama lain, mempunyaifungsieigen yang sama.

[ ] 0ˆ,ˆ0ˆˆˆˆ0ˆˆˆ

ˆ;ˆ

=→=−

=−=−

==

BAABBA

abbaABBA

bBaA

ψψψψ

ψψψψs

Page 27: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

27

2.5 Persamaan Gerak Heisenberg

∫∞

∞−

= dxtxAtxAav ),(ˆ),(* ψψ

Secara umum jika Aav adalah harga rata-rata operator besaran fisis dengan fungsigelombang ψ(x,t) maka:

A

Variasi harga rata-rata itu terhadap waktu adalah

∫∞

∞−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂∂

+∂

∂+

∂∂

= dxtψAψψA

tψψ

tAψ

dtdAav ˆˆˆ

**

*

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

= dxψHAit

AψdtdAav ]ˆ,ˆ[1ˆ

*

h

[ ] [ ]ψHAψi

ψAHHAψi

ψHAψi

ψAHψit

ψAψψAtψ ˆ,ˆ1ˆˆˆˆ1ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ *****

*

hhhh=−=+−=

∂∂

+∂

∂ttxixH

∂∂

=),()(ˆ ψψ h [ ]

ttxψixψH

∂∂

−=),()(ˆ

**hdanMengingat:

maka

Page 28: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

28

dxψdtAdψ

dtdAav ˆ

*∫=Jadi, dengan [ ]HAit

AdtAd ˆ,ˆ1ˆˆ

h+

∂∂

=

dtAd ˆ

Operator turunan dari

tA

∂∂ ˆ Turunan dari A

A

Jika operator A komut dengan H , makatA

dtAd

∂∂

=ˆˆ

Jika operator A selain komut dengan H, juga tak bergantung waktu: 0ˆ

=dtAd

Besaran fisis seperti itu disebut tetapan gerak dari partikel (kekal dalampengertian klasik).

Page 29: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

29

2.6 Representasi Matriks

ψψ aA =ˆTinjau persamaan harga eigen:

∑=

=N

iiic

1φψMisalkan:

∑∑ =j

jjjj

j caAc φφˆ

∑ ∫∑ ∫ =j

jijjj

ij dcadAc τφφτφφ ** ˆ

maka

Kalikan dari dengan

iijj

j acAc =∑

NNNNNN

NN

NN

NN

accAcAcA

accAcAcAaccAcAcAaccAcAcA

=+++

=+++=+++=+++

..........................................................

...........

......................

2211

33232131

22222121

11212111

0...

)(.............................................................................)(...............)(

..............)(

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−−

NNNNNN

N

N

N

c

ccc

aAAAA

AaAAAAAaAAAAAaA

*iφ

Page 30: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

30

0

)(......................................................................................)(...................)(...................)(

321

3333231

2232221

1131211

=

−−

aAAAA

AaAAAAAaAAAAAaA

NNNNN

N

N

N

Jika elemen-elemen Aij diketahui maka harga a dapat ditentukan sebagai solusidari polinom yang diperoleh dari determinan:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0110

A

Contoh

01

1=

−−

aa

a2-1=0, a1=-1 dan a2=1.

01

1

2

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−cc

aa

Dengan a1 diperoleh c1= -c2=1/√2

dengan a2 diperoleh c1=c2=1/√2

)( 2121

1 φφψ −=

)( 2121

2 φφψ +=

Page 31: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

31

Page 32: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

32

BAB 3SISTEM DENGAN POTENSIAL SEDERHANA

Persamaan Schrödinger untuk 1 partikel yang tidak bergantung waktu untuk suatupartikel

3.1 Potensial TanggaSebuah elektron datang dari x-negatif menuju x-positif. Dix=0 elektron itu menghadapi potensial tangga sebesar Vo. Jika energi total elektron, E< Vo, secara klasik elektronakan terpantul sepenuhnya.

Bagaimana menurut kuantum?x

E

V

Vo

0Di daerah x<0, V=0; misalkan fungsi gelombangnya adalah ψ1(x).

02 12

122

=+ ψEdxψd

me

h

dapat diselesaikan jika bentuk potensial V diketahui sebelumnya.

22

12

;)(h

EmkBeAex eikxikx =+= −ψ

gelombang pantul.gelombang datang

0)(2 2

22

=−+ ψVEdxψd

mh ψψ EV

dxd

m=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 2

22

2h

Page 33: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

33

Di daerah x>0, V=Vo; misalkan fungsi gelombang elektron adalah ψ2(x)

0)(2 22

222

=−+ ψVEdxψd

m oe

h

Karena E<Vo, maka solusi bagi fungsi ψ2(x) merupakan fungsi eksponensial menurunseperti:

KxCexψ −=)(22

222 2)(2

kVmEVm

K oeoe −=−

=hh

Di x=0, ψ1 dan ψ2 harus bersambung agar fungsi gelombang itu kontinu;

);0()0( 21 ψψ =

Syarat kontinu:

0

2

0

1 )()(

==

=xx dx

xψddxxψd

dan

CBA =+ KCBAik −=− )(

AiKkkCA

iKkiKkB

+=

+−

=2;

0;2)(

0;)(

2

1

>+

=

<+−

+=

xAeiKkkx

xAeiKkiKkAex

Kx

ikxikx

ψ

ψ

x0

ψ2ψ1

Page 34: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

34

Kerapatan peluang elektron di x>0 dapat dihitung dengan menggunakan ψ2(x):

Kx

o

Kx eAVEeA

Kkkx 2222

22

22

244)( −− =

+=ψ

Jadi, meskipun mengalami potensial penghalang yang lebih besar dari energinya, elektron masih mempunyai peluang berada di x>0.

Peluang itu menuju nol jika Vo>>E, atau di x=∞.

⏐C/A⏐2= 4k/(k2+K2)=4E/Vo adalah koefisien transmisi yang secara klasik tak dapatdiramalkan.

3.2 Potensial Tangga Persegi

a

E

V

Vo

0 x

axxaxVxV o

><=≤≤=

,0;00;)(

Sebuah elektron datang dari x-negatif menuju x-positif. Eleketron menghadapi potensial tanggaseperti:

Sepanjang perjalanannya energi total elektron, E< Vo.Karena V=0, fungsi gelombang elektron sebagai solusi persamaan Schrodingerdalam daerah x<0 sama dengan:

22

12

;)(h

EmkBeAex eikxikx =+= −ψ

Page 35: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

35

Dalam daerah 0<x<a, karena E<Vo: fungsi gelombang sebagai solusi persamaanSchrodinger adalah

KxKx DeCex −+=)(2ψ 222

2 2)(2k

VmEVmK oeoe −=

−=

hh

Di daerah x>a, V=0; maka fungsi gelombang di sana adalah:ikxFex =)(3ψ Hanya arah ke kanan saja.

Syarat kontinuitas di x=0 dengan menggunakan fungsi-fungsi ψ1(x) dan ψ2(x), akanmemberikan hubungan:

)()( DCKBAikDCBA

−=−+=+

dan syarat kontinuitas di x=a dengan menggunakan ψ2(x) dan ψ3(x), memberikan

ikaKaKa

ikaKaKa

ikFeDeCeKFeDeCe

=−

=+−

)(

Dengan mengeliminasi C dan D, akan diperoleh:

)(4)(sinh)(sinh

22

22

2

2

EVEKaVKaV

A

B

oo

o

−+=

)(4)(sinh)(4

222

2

EVEKaVEVE

A

F

oo

o

−+−

=

Page 36: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

36

Ilustrasi fungsi gelombang-fungsi gelombang:

a x0

ψ1(x)ψ2(x)

ψ3(x)

x=a. Jadi, secara kuantum elektron dapat menerobos potensial penghalang meskipunenerginya lebih kecil daripada potensial penghalang. Fenomena inilah yang disebutsebagai efek terobosan (tunnel effect).

22 / AB 22 / AFmerupakan koefisien pantulan di x=0 dan adalah koefisien transmisi di

Terobosan partikel berlangsung dalam peluruhan radioaktif. Suatupartikel-α (= inti atom He) mengalami gaya dorong elektrostatik intihingga jarak 10-8 μm dari inti Uranium. Kurang dari jarak itu gayabersifat tarikan dan berbentuk sumur potensial seperti diperlihat-kan dalam Gb. Partikel-α dalam sumur itu dapat menerobospenghalang (tarikan) dan selanjutnya terdorong keluar. Eksperimen menunjukkan bahwa energi partikel itu lebih kecildaripada penghalang.

E

V(r)

r

Page 37: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

37

3.3 Sumur Potensial Persegi Tak TerhinggaAndaikanlah suatu elektron dalam pengaruh potensialberbentuk sumur tak terhingga berdimensi-1 sepertiberikut:

axaxaxaxV

−≤≥∞=<<−=

,;;0)(

V=∞

-a a0 x

Elektron terperangkap dalam daerah –a<x<a, dan sama sekali tak dapat ke luar daerahitu. Dengan perkata lain peluang elektron berada di x>a dan di x <-a sama dengan nol. Oleh sebab itu, jika ψ(x) adalah fungsi gelombangnya, maka

0)()( ==− aψaψ

Karena V=0 dalam daerah –a<x<a, maka persamaan Schrödinger bagi elektrontersebut adalah:

02 2

22

=+ ψψ Edxd

me

h atau2

222

2 2;0

h

Emkk

dxd e==+ ψψ

Solusinya adalah kxCx cos)( =ψ dan kxDx sin)( =ψ

Dengan syarat batas di x=a diperoleh

( )axnCxn 2/cos)( πψ = untuk n=1,3,5,…

)2/(sin)( axnDxn πψ = untuk n=2,4,6 ...

Page 38: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

38

Harga C dan D dihitung melalui normalisasi fungsi, yakni: 1)()(* =∫−

dxxx n

a

an ψψ

Hasilnya adalah C=D=1/√a, sehingga fungsi-fungsi eigen adalah:

......5,3,1;2

cos1)( =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= nxaπn

axψn .......6,4,2;

2sin1)(. =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= nxaπn

axψn

ψ3

ψ2

ψ1

-a 0 a x

⏐ψ3⏐2

⏐ψ2⏐2

⏐ψ1⏐2

-a 0 a x

Fungsi-fungsi ini membentuk set ortonormal; artinya: ''* )()( nnnn δdxxψxψ =∫

Selanjutnya, diperoleh harga eigen energi:

....,3,2,1;8 2

222 =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛= n

amnE

en

hπψ4

ψ3

ψ2

ψ1 E1

E2=4E1

E3=9E1

E4=16E1

Energi ini berharga diskrit (tidak kontinu, tapibertingkat-tingkat) ditandai oleh bilangankuantum n.

Page 39: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

39

3.4 Sumur Potensial Persegi TerhinggaMisalkan elektron terperangkap dalam sumurpotensial terhingga seperti:

axaxVaxaxV

o −<≥=<<−=

,;;0)( E<Vo

Vo

V

xa-a

Jika energi E<Vo secara klasik elektron tak dapat ke luar daerah itu. Tetapi secarakuantum, karena potensial itu terhingga elektron masih berpeluang berada diluardaerah –a<x<a. Syarat batas hanyalah:

Persamaan Schrödinger untuk daerah –a<x<a adalah:

0)( =±∞ψ

002

22

2

2

22

=+→=+ ψψψψ kdxdE

dxd

me

h

dengan mana diperoleh solusi berikut:

kxx cos)( =ψ kxx sin)( =ψdan

22 2

h

Emk e=

di mana

Untuk daerah ⎟x⎟≥a, persamaan Schrödinger adalah:

0)(2 2

22

=−+− ψψ EVdxd

m oe

h

Page 40: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

40

Jika energi elektron E<Vo maka ψ(x) merupakan fungsi exponensial yang menurun danmenuju nol di ⎟x⎟=∞. Jadi, untuk ⎟x⎟≥a:

xKeCx −=)(ψ 22 )(2

h

EVmK oe −

=dengan

Syarat kontinu di x=±a :

Ka

Ka

KCekakCeka

−=−

=

sincos

Kakatgka =

Ka

Ka

KCekakCeka

−=

=

cossin

Kakactgka −=

22 2

h

Emk e=

22 )(2

h

EVmK oe −

=2

222 2

)()(h

aVmKaka oe=+

tg (ka)

n=3

n=2

n=1n=0

ctg (ka)ctg (ka) tg (ka)

Ka

ka2π3π/2π/2 π

2

222 2

)()(h

aVmKaka oe=+

Terlihat, jumlah tingkat energi sangat bergantung pada harga Voa2; misalnya untukVoa2≤(πħ2/4me) hanya ada satu, dan Voa2≤(πħ2/2me ) ada dua tingkat energi.

Page 41: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

41

ψ3

-a 0 ax

ψ2

ψo

ψ1

Jelas bahwa meskipun potensial yang dialami elektron itu terhingga, namun karenaE<Vo, energinya tetap diskrit.

Keadaan energi yang diskrit itu merupakan ciri dari partikel yang terikat dalamsumur potensial.

Karena potensial itu berhingga, fungsi-fungsi eigen mempunyai ekor berbentukeksponensial menurun di luar sumur. Artinya, elektron masih mempunyai peluangberada di luar sumur. Hal ini tidak mungkin secara klasik.

Quantum well, quantum dot, quantum wire adalah pengembangan darikasus ini dalam riset-riset laser dan optik.

Page 42: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

42

3.5 Sumur Potensial Persegi dengan DindingMisalkan pertikel berada dalam sumur potensialterhingga seperti:

axaxV

xxV

o

≥=<<−=

≤∞=

;00;

0;)(E<0

-Vo

0a

x

V

Di x=0, potensial itu ∞ sehingga elektron tidak mungkin berada di daerah x<0. Bagaimanakah energi dan fungsi gelombang elektron jika E<0?Di dalam daerah 0<x<a, persamaan Schrödinger adalah:

0)(2 12

122

=+−+ ψψo

e

VEdxd

mh

012

21

2

=+ ψψ kdxd

)(22

2 EVmk oe −=

h

ikxikx BeAex −+=)(1ψ

Karena ψ1(0)=0, maka A+B=0 atau B=-A

kxCeeAx ikxikx sin)()(1 =−= −ψ

Solusinya:

Page 43: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

43

Persamaan Schrödinger di daerah x>a adalah:

02 22

222

=−− ψψ

Edxd

me

h

022

22

2

=− ψψ

Kdxd

22 2

h

EmK e=

KxeDx −=)(2ψ

Syarat kontinu di x=a harus memenuhi ψ1=ψ2 dan dψ1/dx=dψ2/dx. Jadi,

KaeDkaC −=sinKaKDekakC −−=cos 22

2 )2exp(KkKakCD

+=

Kakactgka −=)(dan

2

22222 2

h

aVmaKak oe=+Di pihak lain:

Dari kedua persamaan ini diperoleh grafik berikut:

Page 44: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

44

e

nno

e

nn m

KEV

mk

E2

atau2

2222 hh−=−=

Dari rumusan k dan K, tingkat-tingkat energielektron adalah:

Bentuk fungsi-fungsi keadaan dapat digambarkandengan menggunakan hasil-hasil di atas:

ψ4

ψ3

ψ1

ψ2

0 a x

0

n=2

n=1

Ka

ka2π3π/2π/2 π

2

222 2

)()(h

aVmKaka oe=+

Di mana kn dan Kn diperoleh berdasarkan titik-titik potong dalam gambar. Jadi, energielektron diskrit, karena elektron terperangkapdalam sumur potensial.

Untuk Voa2<πħ2/4me tidak ada titik potong, untuk πħ2/4me< Voa2<πħ2/2me hanya ada satutitik potong, n=1, dan seterusnya.

Page 45: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

45

3.6 Osilator Harmonis SederhanaDalam mekanika klasik, osilator harmonis sederhana adalah benda yang bergerakosilasi dengan simpangan kecil dalam pengaruh gaya konservatif:

xmF rr2ω−=

m adalah massa, dan ω adalah 2π x frekuensi; gerak osilasi berbentuk sinusoidadengan amplitudo A adalah:

tAtx ωsin)( =

Dengan gaya konservatif tersebut, energipotensial yang dimiliki benda adalah:

2221

0

.)( xωmxdFxVx

=−= ∫rr

-A 0 A x

V

V(x)=½mω2x2

K(x)=E-V(x)

E=½mω2A2

Energi total sebagai jumlah energi potensial (V) dan energi kinetik (K) diperlihatkan dalam:

2221 AmE ω=

Jadi, secara klasik osilator memiliki energi tunggal.

Page 46: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

46

Bagaimana pandangan fisika kuantum?

Persamaan Schrödinger untuk suatu partikel berosilasi adalah:

0)()(2)(22

2

=−+ xVEmdxxd ψψ

h

( ) 0)(2)( 2221

22

2=−+ xxmEm

dxxd ψωψ

h

Lakukan penyederhanaan: axzEcma === ;2;ω

ωhh

0)()()( 22

2=−+ zzc

dzzd ψψ

Persamaan ini dapat diselesaikan dalam dua tahap.

Tahap pertama: untuk z yang besar c dapat diabaikan: (appr. Asimtotik)

2/2

)( zezψ −∝

Tahap berikutnya, nyatakan fungsi lengkap seperti:

2/2

)()( zezHzψ −=

Page 47: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

47

0)1(2)(2

2=−+− Hc

dzdHz

dzzHd

Persamaan Schrodinger menjadi:

merupakan persamaan diferensial Hermite. Solusinya adalah polinom Hermitesebagai berikut:

( ) ............,2,1,0;)1()(22

=−= − nedzdezH zn

nzn

n ......,2,1,0)1(21 =−= cn

2/1!21;)()(

221

πnNezHNzψ nn

znnn == −

sehingga fungsi-fungsi eigen (keadaan) adalah:

di mana adalah faktor normalisasi dan n merupakan bilangan kuantum .

1)( =zH o

221

21

)( zo eπzψ −−=

zzH 2)(1 = 221

21

2)(1zzez −−= πψ

24)( 22 −= zzH 2

21

21

)12()( 221

2zezπzψ −− −=

Contoh fungsi-fungsi keadaan:

Fungsi-fungsi eigen ini membentukset yang ortonormal.

)()(!2

;)()( 2/1

2221

zaxnaNeaxHNx nnnn

xannn ψψ

πψ === −

Page 48: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

48

......,2,1,0;)( 21 =+= nnEn ωh

diperoleh energi eigen (keadaan) bersangkutan:

Untuk lebih jelasnya, fungsi-fungsi keadaandiperlihatkan dalam gambar. Fungsi keadaan

)1(21 −= cn

ωEc

h

2=Dari dan

221

21

)( zo eπzψ −−=

disebut keadaan dasar dengan energi Eo=½ħω.

ψ1

ψo

ψ2

z

E1

E2

Eo

V

Terlihat bahwa, karena partikel terperangkap dalam potensial V, maka energinya diskrit. Frekuensi osilator lebih kurang sama dengan frekuensi bunyi; oleh sebab itu, ωh disebut fonon. Jadi, fungsi keadaan ψn dikatakan mengandung n buah fonon.

Page 49: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

49

Sifat-sifat penting polinom Hermite:(i). Hubungan rekursif:

)(2)(2)( 11 zHnzHzzH nnn −+ −=

)(2)(

1 zHndzzdH

nn

−=

(ii). Sifat ortogonalitas:

mnn

nmz δπndzzHzHe 2/1!2)()(

2

=∫∞

∞−

)(1

)(1

2)( 11 zψnnzψz

nzψ nnn −+ +

−+

=

)(2

1)(2

)(11 zψnzψn

dzzψd

nnn

+−+

−=

mnnm δdzzψzψ =∫∞

∞−

)()(

Dengan sifat-sifat di atas, diperoleh sifat-sifat fungsi keadaan:

(i) Hubungan rekursif:

(ii) Sifat ortonormalitas:

Page 50: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

50

Contoh:1. Hitunglah gaya pegas rata-rata.

dzzψzzψωdxxψxxψωmV

xωmV

nnnnave )()()()( 22

1222

1

222

1

∫∫∞

∞−

∞−

==

=

h

2. Hitunglah harga rata-rata energi potensial.

dzzzzmdxxxxmF

xmF

nnnnave )()()()(2

2

ψψωωψψω

ω

∫∫∞

∞−

∞−

−=−=

−=

h

3. Hitunglah harga rata-rata energi kinetik

dzzψdzdzψωdxxψ

dxdxψ

mK

dxd

mK

nnnnave ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎤⎢⎣

⎡−=

−=

∫∫∞

∞−

∞−

)()()()(2

2

2

2

21

2

22

2

22

hh

h

Page 51: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

51

Ungkapan lain dari osilator harmonik

0)()()( 2

2

2

=−+ zψzcdzzψd

nn

ωE

c n

h

2= )()(2)( 2

122

2

zψnzψzdzd

nn +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

);(2

1ˆ);(2

1ˆdzdza

dzdza −=+= +

Misalkan:

22

2

1ˆˆ21ˆˆ2 zdzdaaaa +−=−≡+ ++ nn

nn

ψnψaa

ψnψaa

)1(ˆˆ

ˆˆ

+=

=+

+

121 )(ˆ −=+= nnn ψnψ

dzdzψa12

1 1ˆ ++ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= nnn ψnψ

dzdzψa

Operator aa ˆˆ + mempunyai nilai eigen n dengan fungsi keadaan ψn; karena n menyatakanjumlah fonon dalam keadaan ψn maka operator ini disebut operator okupasi.

Selanjutnya,

Terlihat, operator +a mengubah ψn menjadi ψn+1; artinya menambah jumlah fonon.Dengan alasan itu operator ini disebut operator kreasi, sedangkan a disebutoperator anihilasi.

)()()()1ˆˆ2( 21

21 zψnωzψaaω nn +=−+ hhKarena

maka )ˆˆ( 21−+aaωh merupakan operator hamiltonian.

Page 52: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

52

3.8 Transisi dan Aturan SeleksiSuatu medan listrik yang berosilasi, jika berinteraksi dengan elektron, akan menggeserposisi elektron dari posisi stasionernya. Pergeseran itu akan menimbulkan suatu momendipol . Selanjutnya, dipol itu berinteraksi dengan medan menimbulkan Hamiltonian

Misakan medan listrik: E=Eo cos ωt dan dipol listrik elektron: μ=er

Interaksi dipol dan medan menimbulkan Hamiltonian:

trEeEH oD ωμ cos..ˆ rrrr==

Interaksi itu memungkinkan elektron bertransisi (berpindah keadaan) dari keadaan awal ψi ke keadaan akhir ψf. Probabilitas transisi diungkapkan sebagai berikut:

zyxM

dvrzyxre

dvrrreP

ifo

fozoyoxi

foiif

,,;

)(].)[(

)(].)[(

2)(2

2*

2*

=∝

++∝

∑∫

α

ψψ

ψψ

α

ααE

EEE

E rr

dvrxreM fixif )()(*)( ψψ∫=di mana disebut komponen-x dari momen transisi.

Transisi dari suatu keadaan ψi ke keadaan ψf disebut terlarang (forbidden) jika Mif=0; sebaliknya transisi diperbolehkan (allowed) jika Mif≠0.

Page 53: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

53

Contoh:Dalam sistem dengan sumur potensial tak hingga, buktikan bahwa momen transisi

elektron tidak sama dengan nol jika ⏐m±n⏐sama dengan suatu bilangan ganjil.

dxxeM nmxmn ∫= ψψ *)(

∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

a

amn dxxx

anx

am

aeM

2sin

2sin1 ππ Misalkan πx/2a=θ

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−== ∫ ∫∫

− −−

2/

2/

2/

2/2

2/

2/2 ])cos[(])cos[(2sinsin4 π

π

π

π

π

π

θθθθθθπ

θθθθπ

dnmdnmaednmaeMmn

Periksa m,n=2,4,6…., genapnm =−

00)(

])cos[(0

])sin[(])sin[(])cos[(

2/

2/2

2/

2/

2/

2/

2/

2/

=→=±

±+=

±±

−±±

−−−∫∫

mn

π

π

π

π

π

π

π

π

Mnm

θnm

θdnmθnm

nmθnmθθdθθnm

∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

a

amn xdxx

aπnx

aπm

aeM

2cos

2cos1

Periksa m,n=1,3,5…., genapnm =−

Page 54: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

54

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−== ∫ ∫∫

− −−

2/

2/

2/

2/2

2/

2/2 ])cos[(])cos[(2coscos4 π

π

π

π

π

πmn θdθθnmθdθθnm

πaeθdθθnθm

πaeM

0)(

])cos[(0

])sin[(])sin[(])cos[(

2/

2/2

2/

2/

2/

2/

2/

2/

±+=

±±

−±±

−−−∫∫

π

π

π

π

π

π

π

π

nmθnm

θdnmθnm

nmθnmθθdθθnm

0=mnM

Periksa m=1,3,5…., n=2,4,6…. ganjilnm =−

∫−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

a

amn xdxx

aπnx

aπm

aeM

2sin

2cos1

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+== ∫ ∫∫

− −−

2/

2/

2/

2/2

2/

2/2 ])sin[(])sin[(2sincos4 π

π

π

π

π

πmn θdθθnmθdθθnm

πaeθdθθnθm

πaeM

2

2/

2/2

2/

2/

2/

2/

2/

2/

)(2

)(])sin[(0

])cos[(])cos[(])sin[(

nmnmθnm

θdnmθnm

nmθnmθθdθθnm

π

π

π

π

π

π

π

π

±=

±±

+=

±±

+±±

−=±

−−−∫∫

Page 55: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

55

ganjilnmnmnmπ

aeM mn =±≠⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

= ;0)(

1)(

14222

ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

ψ5

ψ6

Transisi dari keadaan dasar ψ1 ke keadaan lebih tinggi

Contoh:

Periksalah momen transisi antara dua keadaan suatu osilator.

2/1

221

!21;)()(π

ψn

NezHNz nnz

nnn ==−

dxxψxxψeM nmmn )()(∫∞

∞−

= dzzψzzψωm

eM nmmn )()(∫∞

∞−

=h

Page 56: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

56

)(2

)(2

1)( 11 zψnzψnzψz nnn −+ ++

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+= −

∞−+

∞−∫∫ dzzψzψndzzψzψn

ωmeM nmnm

emn )()(

2)()(

21

11h

ωmneMnmjikadzzψzψ

ωmneMnmjikadzzψzψ

ennnm

ennnm

211)()(

2)1(11)()(

,11

,11

h

h

=→−==

+=→+==

−−

∞−

++

∞−

Jelas, aturan seleksi adalah ⏐m-n⏐=1

dxxxx nm )()( ψψ∫∞

∞−

Dari contoh di atas jelas bahwa punya harga jika ⏐m-n⏐=1.

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

=00

000

~

21

1210

01

xxx

xx

Page 57: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

57

BAB 4MOMENTUM SUDUT ELEKTRON TUNGGAL

4.1 Operator Momentum SudutDalam mekanika klasik, momentum sudut suatu partikel merupakan perkalian vektorposisi dan vektor momentum,

Komponen-komponennya merupakan operator-operator dari partikel tersebut:

prL rrrx=

xyzzxyyzx pypxLpxpzLpzpyL ˆˆˆˆˆ;ˆˆˆˆˆ;ˆˆˆˆˆ −=−=−=

)(ˆ);(ˆ);(ˆx

yy

xiLz

xx

ziLy

zz

yiL zyx ∂∂

−∂∂

−=∂∂

−∂∂

−=∂∂

−∂∂

−= hhh

Selain itu, momentum kuadrat adalah operator juga:

2222 ˆˆˆˆzyx LLLL ++=

Dalam koordinat bola berlaku hubungan berikut:

θϕθϕθ cos,sinsin,cossin rzryrx ===

xyφtg

zyxzθzyxr =

++=++= ;cos;

222

2222

r

ϕ

θ

yx

z

Page 58: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

58

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−=

∂∂

−=

∂∂

−∂∂

−=

∂∂

+∂∂

=

2

2

222

sin1sin

sin1ˆ

ˆ

)sin(cosˆ

)cos(sinˆ

ϕθθθ

θθ

ϕ

ϕϕθ

θϕ

ϕϕθ

θϕ

h

h

h

h

L

iL

ctgiL

ctgiL

z

y

x

yxzxzyzyx LiLLLiLLLiLL ˆ]ˆ,ˆ[;ˆ]ˆ,ˆ[;ˆ]ˆ,ˆ[ hhh ===

.,,,0]ˆ,ˆ[ 2 zyxjLL j ==

±± ±= LLLz ˆ]ˆ,ˆ[ h

zLLL ˆ2]ˆ,ˆ[ h=−+

Komutator-komutator:

yx LiLL ˆˆˆ ±=±

Buktikan sendiri !!

Buktikan sendiri !!

Page 59: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

59

4.2 Komponen-zHarga eigen dan fungsi eigen operator dapat ditetapkan sebagai berikut. Misalkan Φ(ϕ) adalah fungsi eigen bersangkutan dengan harga eigen Lz sehingga:

zL

Φ=Φ zz LL

operatorharga eigen

Φ=∂Φ∂

− zLiϕ

hˆφ

iLz ∂∂

−= h )/exp( hϕziL∝Φ

)2()( πϕϕ +Φ=ΦKarena

)/2(exp)/exp(]/)2([exp)/(exp hhhh zzzz LπiφiLπφiLφiL =+=

maka

1)/2(sin)/2(cos)/2(exp =+= hhh zzz LπiLπLπi

.....,4,2,02 πππ±±=zL

hJadi: .....,2,1,0; ±±== llh mmLz

)exp(21 ϕπ ll

imm =Φ adalah faktor normalisasiπ2/1

Lz sebagai komponen momentum sudut pada sumbu-z ternyata merupakan besaran yang diskrit atau terkuantisasi. Dalam eksperimen, sumbu-z dinyatakan sebagai sumbu di manaarah medan magnet statik ditetapkan. Oleh sebab itu ml disebut bilangan kuantummagnetik.

Page 60: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

60

4.3 Momentum Sudut TotalHarga eigen dan fungsi eigen operator ditentukan sebagai berikut. AndaikanY(θ,ϕ) adalah fungsi eigen dengan harga eigennya L2:

2L

),(),(ˆ 22 θϕθϕ YLYL =

YLY 22

2

22

sin1sin

sin1

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−ϕθθ

θθθ

h

2

2

2

22

2

22 sincossinsin

ϕθ

θθθ

θθ

∂∂

−=+∂∂

+∂∂ YYLYY

h

Untuk pemisahan variable misalkan )()(),( ϕθϕθ Φ= PY

22

2

2

22

2

22 1sincossinsin1

lh

mPLPPP

=∂

Φ∂Φ

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+∂∂

ϕθ

θθθ

θθ

Persamaan ini identik dengan persamaan Legendre terasosiasi dengan:

0sin2

2

2

2

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

+∂∂ P

mLPctgPθθ

θθ

l

h

PmPLPP 22

22

2

22 sincossinsin l

h=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

+∂∂ θ

θθθ

θθ

llllh mL ≥+= );1(22

Page 61: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

61

ℓ adalah bilangan bulat positif 0, 1, 2, …..; bilangan ini disebut bilangan kuantum orbital.Untuk suatu harga ℓ ada (2 ℓ +1) buah harga mℓ, yakni mℓ = -ℓ , -(ℓ -1),...,-1, 0, 1,..., (ℓ-1), ℓ. Lz=mℓħ adalah hasil proyeksi L pada sumbu-z..

z

mℓ=-1

mℓ=1

mℓ=0

Lz=ħ

Lz=-ħ

Lz=02h=L

Akhirnya, diperoleh fungsi eigen bagi operator: 2L

)()()!()!(

212),(),(

2/1

ϕθϕθϕθl

l

l ll

ll l

llm

mm P

mm

YY Φ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+

=≡

yang biasa disebut fungsi harmonik bola (spherical harmonics).

llll llll ''''0

2

0

* sin)( mmmm ddYY δδϕθθπ π

=∫ ∫Sifat ortogonalitas:

( ) θwwdwdwwP

mm

mm cos;1)1(

!2)1()( 22 2

1=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=

+l

l

ll

l

l

l

l

l

θθP

θθP

θPo

oo

sin)(

cos)(

;1)(

11

1

−=

−=

=

222

12

221

2

)cos1(3)(;sincos3)(

);1cos3()(

θθθθθ

θθ

−==

−=

PP

Po

Page 62: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

62

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

+−+

+−

+= +− lll l

ll

ll

l

l

l

l

lmmm Y

mY

mYθ ,1

22

,1

22

32)1(

12121cos.2

⎥⎥⎦

++±+±

⎢⎢⎣

−−

+=

±+

±−±

1,1

1,1

32)1)(2(

12)1)((

121sin.3

l

ll

lll

lll

l

l

ll

l

mlml

lm

m

mmi

Ymm

Ymm

Ye ϕθ

Tiga sifat penting dari fungsi ini adalah

ϕθπ

θ

θπ

θ

πθ

ieY

Y

Y

±± −=

=

=

sin83)(

;cos43)(

;41)(

11

10

00

ϕ

ϕ

θπ

θ

θπ

θ

θπ

θ

i

i

eY

eY

Y

2222

12

220

sin3215)(

2sin3215)(

);1cos3(16

5)(

±±

±±

=

−=

−=

Beberapa contoh fungsi harmonik bola adalah

llll llll ''''0

2

0

* sin)(.1 mmm

π π

m δδφdθdθYY =∫ ∫

Page 63: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

63

Dengan fungsi dan harga eigen seperti di atas, persamaan harga eigen adalah:

),......1(,;ˆ,....2,1,0;)1(ˆ 22

−±±==

=+=

llh

lllh

llll

ll

ll

ll

mYmYL

YYL

mmz

mm

Persamaan-persamaan di atas menunjukkan kuantisasi momentum sudut.

Orbital-orbital elektron dibentuk dari fungsi-fungsi Yℓ mℓ dalam bentuk ril.

ooYs ≡= ;0l

ϕθπ

ϕθπ

sinsin43)(

2

cossin43)(

21

;1

1111

1111

1

=−≡

=+−

≡=

YYip

YYp

Yp

y

x

ozl

ϕθπ

ϕθπ

ϕθθπ

ϕθθπ

222222

222222

1221

1221

20

sinsin1615)(

2

cossin1615)(

21

sincossin415)(

2

coscossin415)(

21

2

22

2

=−−

=+≡

=−≡

=+−≡

≡=

−−

YYid

YYd

YYid

YYd

Yd

xy

yx

yz

xz

zl

Page 64: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

64

s pz

yx

y

z

x

y

z

x

z

x

y

z

x

y

zz

yx x

y

z

x

y

z

x

y

z

px py

dz2 dxy dyz dx2-y2 dxy

s untuk ℓ =0,

p untuk ℓ =1

d untuk ℓ =2

Dalam pembentukan molekul dari beberapa atom, ikatan antar atom berlangsungmelalui orbital-orbital tersebut di atas.

Page 65: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

65

4.4 Operator TanggaSehubungan dengan operator ±L akan dikemukakan karakteristik operasinya terhadapfungsi harmonik bola ., ll mY

±± ±= LLLz ˆ]ˆ,ˆ[ h

lll llll hh mmzmz YLmYLLLYLL ++++ +=+= ˆ)1()ˆˆˆ(ˆˆ

111ˆ)ˆˆˆ(ˆˆ

+−+−−+− =−=lll llll hh mmzmz YLmYLLLYLL

llmYL+ˆ adalah fungsi eigen dari zL dengan harga eigen (mℓ+1)ħ. Demikian pula

1,ˆ

+− ll mYL adalah fungsi eigen dengan harga eigen mℓħ.

++ =ll ll mm YCYLAndaikan

ll ll mm YCYL =+− 1ˆ

lll lll mmm YCYLCYLL 21

ˆˆˆ == +−+−

dan

lll lllll hllhh mmzzm YmmYLLLYLL ])1()1([)ˆˆˆ(ˆˆ 2222 +−+=−−=+−Tapi

Page 66: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

66

)1()1( +−+= llllh mmC 1)1()1(ˆ++ +−+=

ll llll llh mm YmmYL

1)1()1(ˆ−− −−+=

ll llll llh mm YmmYL

Kedua persamaan di atas bukan persamaan harga eigen, karena operator-operator itumenggeser bilangan kuantum mℓ.

Operator +L menambah bilangan kuantum mℓ menjadi mℓ+1, sedangkan −Lmenguranginya dari m menjadi mℓ-1. Oleh sebab itu, kedua operator itu disebutsebagai operator tangga (step operator).

Dengan cara yang sama diperoleh

Page 67: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

67

Tentukanlah matriks L+ untuk l=1

( ) 1,',*

',,' )1()1(sinˆ~+++ +−+== ∫ llllll llll llh mmmmmm mmddYLYL δϕθθ

01'10'

)adatidak(21'1,0,1',1

=→=−=→=

−=→−=−=→=

ll

ll

ll

lll

mmmm

mmmm

( )( ) 2

2

0,1)1(

1,0)1(

h

h

=→

=→

+

−+

L

L

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

020

002

000

h

h

-1 0 1-1

0

1

=+)1(~L

Page 68: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

68

BAB 5ATOM HIDROGEN DAN SEJENISNYA

r

-e

+Ze

Hamiltonian (operator energi) elektron adalah

Misalkan ψ(r,θ,ϕ) adalah fungsi gelombangnya, maka persamaan Schrödinger untuk elektron adalah:

5.1 Atom Hidrogen dan Sejenisnya

rZe

mH

oe πε42ˆ

22

2

−∇−=h

04

2 2

22 =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++∇ ψ

πεψ

rZeEm

o

e

h

Karena potensial ini bersifat sentral maka perlu dilakukan transformasi kekoordinat bola, yakni

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∇ 2

2

2222

2

22

22

sin112

ϕθθθ

θ rrctg

rrrr

Page 69: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

69

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂∂

+∂∂

+∂∂

−= 2

2

22

222

sin1ˆ

ϕθθθ

θctgL hTetapi,

sehingga

02

ˆ

422

2

22

22

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

∂∂

+∂∂ ψ

πεψψ

rmL

rZeE

mrrr eo

e

h

Misalkan ψ(r,ϕ,θ)= R(r)Y(ϕ,θ) dimana mYY l=),( θϕ

02

)1(4

222

22

22

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−++

∂∂

+∂∂ R

rmrZeE

mrR

rrR

eo

e llh

h πε

2

22

2)1(

4 rmrZeV

eoeff

++−=

llh

πεMerupakan potensial efektif yang dimiliki elektron, yaknipenjumlahan potensial Coulomb dan kinetik rotasi. Jelasterlihat, bahwa elektron mengalami sejenis sumur potensialdengan dinding. Jadi, elektron itu terikat dalam medan intisehingga energinya diskrit.

r

rZe

oπε4

2

2

2

2)1(

rme

+llh

Page 70: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

70

Misalkan oh Aem

aEa

eZnrnaZ

e

oo

ooo

53,04;8

;22

2222 ====

πεπε

ρ

maka0)1(

412

22

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−++ Rn

ddR

dRd

ρρρρρll

Misalkan solusinya,

[ ] 0)]1()1()1[()1(22

2

=+−++−−+−++ LLLllsssn

dds

dd

ρρ

ρρ

2/)()( ρρρρ −= eR s L

Agar memberikan solusi yang baik dipilih s(s+1)-l (l +1)=0 atau s= l , sehingga

[ ] 0)1()1(22

2

=−−+−++ LLL

ll ndd

dd

ρρ

ρρ

Persamaan ini dikenal sebagai persamaan diferensial Laguerre terasosiasi, yang solusinya merupakan polinom-polinom:

Page 71: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

71

dimana n dan adalah bilangan-bilangan bulat positif yang harus memenuhisyarat:

.....,3,2,1);1( =+≥ nn l

);()(

12,);()1()(

ρρ ρρ

ρ

ρρ

ρ

−=

+=+=−=

edde

qnpdd

pp

p

p

pq

qqq

p

L

LL ll

Syarat ini menunjukkan bahwa untuk suatu harga n ada n buah harga l .

Laguerre terasosiasi

Laguerre

Page 72: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

72

.120)(;2,3

),4(24)(;1,3

)66(3)(;0,3

,18)(;1,2

),2(2)(;0,2

,1)(;0,1

2

===

−===

+−===

===

−===

===

ρ

ρρ

ρρρ

ρ

ρρ

ρ

55

34

13

33

12

11

L

L

L

L

L

L

l

l

l

l

l

l

n

n

n

n

n

n

( )

12,!

)!(12)()( ''0

1

+=+=

+++=∫

∞−+

ll qnppqpqpde pp

qp

qp

q δρρρρ ρ LL

Syarat ortogonalitas:

Page 73: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

73

'

312

'0

1222

)!1(])![(2)()( nnnn n

nnde δρρρρ ρ

−−+

=++

∞+

+−+∫ l

lll

ll

l LL

)()( 122/ ρρρ ρ ++

−= ll

lll nnn eNR L

'0

212'

122'

'2

'0

)()(

)()(

nnnnnn

nnnn

deNN

dRR

δρρρρρ

δρρρρ

ρ =

=

∫∞

++

++

ll

ll

lll

ll

LL

Sifat ortonormal dari R:

3

32

])![(2)!1(1

)!1(])![(2

l

l

l

lll +

−−=→=

−−+

nnnN

nnnN nn

Page 74: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

74

)()( 122/ ρρρ ρ ++

−= ll

lll nnn eNR L 3])![(2

)!1(l

ll +

−−=

nnnNn

Akhirnya diperoleh:

)(2)( 12 ρ++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= l

ll

l

ll nonaZr

onn ernaZNrR L

;

3

2/3

])![(2)!1(2

l

ll +

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nnn

naZNo

n

atau dengan ρ=(2Z/nao)r .

,2)( /2/3

10oaZ

o

eaZrR −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( )

,62

1)(

,222

1)(

2/2/3

21

2/2/3

20

ρ

ρ

ρ

ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

eaZrR

eaZrR

o

o

( )

( )

2/22/3

32

2/2/3

31

2/22/3

30

3091)(

,469

1)(

,6639

1)(

ρ

ρ

ρ

ρ

ρρ

ρρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

eaZrR

eaZrR

eaZrR

o

o

o

Page 75: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

75

)6,13(8 2

2

2

22

eVnZ

naeZEoo

n −=−=πε

Energi keadaan:

Untuk atom hidrogen di mana Z=1, rumusan ini sama dengan postulat Bohr.

Bilangan n disebut bilangan kuantum utama. Untuk suatu harga n ada n buahharga ℓ, yakni ℓ=n-1, n-2,….,0.

nnL )1()1( 222 −=+= hllh Untuk n>>: hnL =

Ini sesuai dengan Bohr; jadi postulat Bohr berlaku hanya untuk n>>

Page 76: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

76

Fungsi gelombang lengkap dari elektron: ),()(),,( ϕθϕθψll lll mnmn YrRr =

;2241

;1

2/2/3

200

/2/3

100

o

o

aZr

oo

aZr

o

eaZr

aZ

eaZ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

πψ

πψ

;sin8

1

;cos241

2/2/3

121

2/2/3

210

ϕθπ

ψ

θπ

ψ

iaZr

oo

aZr

oo

eeaZr

aZ

eaZr

aZ

o

o

±−±

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

;2241

;1

2/2/3

2002

/2/3

1001

o

o

aZr

oos

aZr

os

eaZr

aZ

eaZ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≡

πψψ

πψψ

.sinsin241

;cossin241

;cos241

2/2/3

2

2/2/3

2

2/2/3

2102

ϕθπ

ψ

ϕθπ

ψ

θπ

ψψ

o

o

o

aZr

oopy

aZr

oopx

aZr

oopz

eaZr

aZ

eaZr

aZ

eaZr

aZ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

Untuk hidrogen Z=1.

s

pz

yx

y

z

x

y

z

x

z

x

y

z

px py

Disebut orbital atom

Page 77: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

77

Jadi keadaan suatu elektron dapat dikarakterisasikan oleh tiga bilangankuantum n, ℓ dan mℓ..

Selanjutnya, dengan fungsi-fungsi tersebut di atas, harga rata-rata besaran fisis elektron dapat ditentukan melalui persamaan berikut:

dvAA mnmnav ll ll ψψ ˆ*∫=

πϕπθϕθθ 20;0;0;sin2 ≤≤≤≤∞≤≤= rdddrrdv

oar

osssav adddrrre

advrr o /1sin)/1(11)/1()/1(

0

2

0

2

0

/23

1*11, =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∫ ∫∫∫

∞−

π π

ϕθθπ

ψψ

Contoh:

23

2!3

4414

433

0

/231

*11,

ooo

arosssav

aaadrreadvrr o ==== −

∞−− ∫∫ π

πψψ

Jelas bahwa (1/r)av≠1/rav.

Page 78: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

78

Dalam teori relativitas khusus energi suatu elektron yang bergerak denganmomentum p dan memiliki energi potensial V dituliskan seperti:

2222 cmVpcmcE ee −++=

5.2 Efek Relativitas

Jika momentum p << mec, ekspansi sebagai berikut dapat dilakukan:

..............82

...............82 23

42

23

42

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=++−=

cmpV

mpV

cmp

mpE

eeee

energi total dalampendekatan non-relativistik

koreksi relativistikorder-1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=Δ

eeeec m

pmp

cmcmpE

2221

8

22

223

4

EcvvmE

cm ee

2

2

412

21

2 ))((2

1=−−

Untuk (v/c)2 =10-5 maka ΔEc= 10-5E

Page 79: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

79

Dalam fisika kuantum, koreksi harus dihitung secara rata-rata. Hargarata-rata misalnya pada keadaan adalah:

llmnψ

dvpcm

pcm

E mnmne

ave

c*4*

234

23 81)(

81

ll ll ψψ∫−=−=Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=Δ21

2 143

lnnE

E nc

α

1371

4

2

≈=c

e

ohπεα

Parameter α disebut konstanta struktur halus (fine structure), dan ⎟En⎟ adalah harga absolut energi elektron.

Terlihat bahwa energi koreksi itu bergantung pada bilangan kuantum n dan ℓ. Jadi, jika efek relativitas diperhitungkan, maka koreksi energi akan memisahkanfungsi-fungsi yang terdegenerasi.

Page 80: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

80

5.3 Probabilitas TransisiProbabilitas transisi sebanding dengan kuadrat transisi momen dipol:

dvzeM fizif ∫= ψψ *)(

dvzeM mnmnzif ∫=

ll ll '''*)( ψψ

Misalnya,

Mengingat z=r cos θ, maka

ϕθθθϕθϕθ dddrrYrRYrRM mnmnzif sincos)],()()][,()([ 3

''')(

'll llll∫=

×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= +

++

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∞

ϕθθϕθθ ddYY

drrrreanZr

naZrNNM

mm

nnna

Zr

oonn

zif

o

sin),(cos

)()('

22

''

31'2'n'

12'11

0

'

'')(

ll ll

ll

ll

ll

ll LL

Integral di atas mempunyai harga tidak sama dengan nol jika ℓ’=ℓ±1, mℓ’ =mℓ.

1,01

.......,2,1,0

±=Δ±=Δ

l

l

m

n

Page 81: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

81

dvxeM mnmnxif ∫=

ll ll '''*)( ψψ

x=r sin θ cos ϕ= ½ r sin θ (eiϕ+e-iϕ),

1'1'2

1'1'11'1'21'1'1'' sin),(cossin'

−+

−−−++−

+

++=∫

ll

llllllll

ll

llllllll

mm

mmmmmmmm ddYY

δδβ

δδβδδαδδαϕθθϕθϕθ

Integral mempunyai harga jika ℓ’=ℓ±1, mℓ’=mℓ±1.

Hal yang sama akan diperoleh untuk

dengan y=r sin θ sin ϕ= (-½ i) r sin θ (eiϕ-e-iϕ).

)(yifM

Secara keseluruhan dapat disimpulkan bahwa syarat transisi adalah:

1,01

.......,2,1,0

±=Δ±=Δ

l

l

m

n

Page 82: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

82

5.4 Efek Zeeman; Spin Elektron

r-e

v

Elektron yang bergerak mengitari inti dengan jari-jari r dankecepatan v, menimbulkan arus listrik: revI π2/=

Arus listrik itu menginduksikan momen magnet:

evrrI 212 == πμ

Momentum sudut elektron: vmrL e=

Jadi, hubunganantara momen magnet dan momentum sudut: Lme

e2=μ

Dalam bentuk vektor:

LLme e

eL

r

hh

rhr β

μ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

βe=9,2732x10-24 joule/tesla disebut magnetonBohr elektron.

-e

L

μL

r

Page 83: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

83

zee

LB

Bo

LB

BLBH

HHH

ˆ..ˆ

ˆˆˆ

h

rr

h

rr ββμ ==−=

+=

Total Hamiltonian elektron di dalam medan magnet B (pada sb-z):

oH = Hamiltonian elektron tanpa medan magnet

= Hamiltonian elektron dalam medan magnet

lll lll mnBmnomn HHH ψψψ ˆˆˆ +=

Dengan fungsi keadaan elektronllmnψ

lll llllh

mnenmnze

mnn BmELB

E ψβψβ

ψ )(ˆ +=+=

adalah pergeseran energi sebagai dampak kehadiran medan B.

U

zLrB

r

-e

S

Lμr

lBmeβ

Pergeseran ini disebut efek Zeeman.

Page 84: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

84

ψ100

ψ200,ψ210, ψ211, ψ21-1

B≠0

ψ210

E1ψ100

ψ211

ψ21-1

B=0

E2

Contoh,

untuk l=0, ml =0

Untuk l=1, ml =-1,0,1

BE eβ+2

BE eβ−2

E1

1,01

.......,2,1,0

±=Δ±=Δ

l

l

m

n

ψ200 E2

Transisi:Pada B=0 teramati satu transisi saja;

Pada B≠0 termati empat transisi.

berdegenerasi-4

Page 85: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

85

Spin elektronPengamatan lebih teliti terhadap beberapa garis spektra menunjukkangaris-garis itu sebenarnya tidak tunggal tetapi doblet.

Karena kecilnya pecahan doblet itu, G.E.Uhlenbeck dan S.Goudsmit(1926) menyatakan bahwa elektron sendiri memiliki momentum sudutintrinsik yang disebut spin.

Spin memiliki bilangan kuantum s=½, sehingga bilangan kuantummagnetiknya ms=½, -½.

Operator-operator spin adalah

α β−+ SSSSz ˆdanˆ,ˆ,ˆ 2

dengan fungsi spin dan dengan operasi:

24

32

21

21

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎩

⎪⎨⎧

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

β

α

β

α

β

α

β

α

h

h

h

S

Sz

⎩⎨⎧

=⎪⎩

⎪⎨⎧

⎩⎨⎧

=⎪⎩

⎪⎨⎧

+

ββ

α

αβ

α

h

h

S

S

Page 86: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

86

Karena spin adalah momentum sudut juga, maka terhadap momentum sudut spin harus ditambahkan terhadap momentum sudut :L

r

SLJrrr

+= Momentum sudut total

Bilangan kuantum bagi momentum sudut total adalah sj ±= l

25

23

23

21

21

,,2,,1

,0

======

jjj

l

l

l

.....),........1(, −±±= jjm j

25

23

21

21

23

25

25

23

21

21

23

23

21

21

21

,,,,,

,,,

,

−−−=→=

−−=→=

−=→=

j

j

j

mj

mj

mj

Bilangan kuantum magnetiknya:

Page 87: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

87

Momen magnet spin tak dapat diturunkan sebagaimana momen magnet orbital; sebagai analogi

Sg se

Sr

h

r βμ −=

gs = 2,0024 untuk elektron bebas.

Momen magnet total adalah

)( SgL se

SLJrr

h

rrr+−=+=

βμμμ

)()2( SJSL eeJ

rr

h

rr

h

r+−=+−≈

ββμ

>< Jμr

Jμr

Lμr

Lr

Sr

Sμr

Jr

Jg

JJ

JSJJJ

JJ

Je

eJJ

r

h

rrrr

h

rrrr

β

βμμ

−=

+−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛>=< 2

).(.

)1(2)1()1()1(1).(

2 ++−+++

+=+

=jjssjj

JJSJgJ

llrrr

Page 88: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

88

zJe

JB

JBg

BH

ˆ

h

rr

βμ

=

><−=

Karena maka fungsi-fungsi eigen dari operator adalahzzz SLJ ˆˆˆ += zJ

ss smmsmm YY χll ll ≡

⎪⎩

⎪⎨⎧

αχ

ssm

ss smmjsmmz YmYJll ll h≡ˆ

sj mmm += l

Fungsi harus dilengkapi dengan bilangan kuantum spin menjadi . llmnψ

ssmmn llψ

s

ss

sss

smmnjJen

smmnzJe

smmnn

smmnBsmmnosmmn

BmgE

JgB

E

HHH

l

ll

lll

l

ll

lll

h

ψβ

ψβ

ψ

ψψψ

)(

ˆ

ˆˆˆ

+=

+=

+=

Page 89: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

89

ψ100½-½

ψ210½-½ ψ200½-½

ψ21-1½-½

ψ211½-½

E2

ψ100

ψ200,ψ210, ψ211, ψ21-1

B≠0

ψ210½½ ψ200½½

E1

ψ100½½

ψ21-1½½

B=0

ψ211½½

Page 90: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

90

BAB 6

TEORI GANGGUAN TAK BERGANTUNG WAKTUDalam banyak masalah meskipun Hamiltonian sistem sudah diketahui, persamaan itu tidak bisa diselesaikan, misalnya karena adanya interaksielektron-elektron atau karena adanya medan luar. Untuk masalah seperti ituharus digunakan teori gangguan.

6.1 Gangguan pada Sistem Tak Berdegenerasi

Andaikan pada awalnya sistem memiliki Hamiltonian dengan fungsi-fungsi eigen ortonormal yang telah diketahui:

)0(H{ })0(

)0()0()0(*)0(

)0()0()0()0(

;

ˆ

mnmnmn

nnn

EEdv

EH

≠=

=

∫ δψψ

ψψ

Sistem nondegenerate

Page 91: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

91

Misalkan Hamiltonian sistem mendapat tambahan, misalnya <<G

GHH ˆˆˆ )0( γ+= γ=1

{ }nψMisalkanlah fungsi-fungsi eigen dari hamiltonian total H adalah

nnnn EGHH ψψγψ =+= )ˆˆ(ˆ )0(

)0(H

Karena gangguan cukup kecil, maka gangguan itu hanya akanmenimbulkan sedikit perubahan dari menjadi dan menjadiEn. Untuk memperoleh koreksi dapat dilakukan ekspansi sebagaiberikut:

)0(nE

)0(nψ nψ

)(

1

)0(

)(

1

)0(

mn

m

mnn

mn

m

mnn

EE εγ

φγψψ

=

=

+=

+=superskript (m) menyatakan order koreksiatau tingkat ketelitian

Page 92: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

92

Setiap φ(m) dan setiap ε(m) tidak bergantung pada γ, dan setiap φ(m) dipilihorthogonal terhadap . Substitusi persamaan (6.4) ke persamaan (6.3) menghasilkan:

)0(nψ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎞⎜⎝

⎛+=⎟

⎞⎜⎝

⎛++⎟

⎞⎜⎝

⎛+ ∑∑∑∑

====

)(

1

)0()(

1

)0()(

1

)0()(

1

)0()0( ˆ mn

m

mn

mn

m

mn

mn

m

mn

mn

m

mn EGH φγψεγφγψγφγψ

( ) 0)0()0()0( 0ˆ.1 γψ =− nnEH

( ) 1)0()1()0()1()0()0( ˆˆ.2 γψεψφ nnnnn GEH +−=−

( ) 2)1()1()0()2()1()2()0()0( ˆˆ.3 γφεψεφφ nnnnnnn GEH ++−=−

( ) 3)2()1()1()2()0()3()2()3()0()0( .ˆˆ.4 γφεφεψεφφ nnnnnnnnn GEH +++−=−

nnnn EGHH ψψγψ =+= )ˆˆ(ˆ )0(

Samakan kiri dan kanan bagi yang berkoefisien γn yang sama

Page 93: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

93

( ){ }nnnnn

nnnnnn

nnnnnnnn

GdvG

GdvEH

dvdvGdvEH

==

+−=−

+−=−

∫∫

∫∫∫

)0()0()1(

)1()1(*)0()0()0(

)0()0()1()0()0()1()0()0(*)0(

ˆ

ˆ][.2

ψψε

εφψ

ψψεψψφψ

ditentukanharus)(

)0()1(nm

nmmnmn cc →= ∑

ψφMisalkan:

( ) )0()1()0()0()0()0( ˆˆ.2 nnnnm

mnnm GEHc ψεψψ +−=−∑≠

( )

( ) ∫∫∫∑

+−=−

+−=−

dvdvGdvEEc

GEEc

nknnkmknmnmnm

nnnmnmnmnm

)0(*)0()1()0(*)0()0(*)0()0()0(

)0()1()0()0()0()0(

ˆ

ˆ

ψψεψψψψ

ψεψψ

Koreksi order-1

Koreksi order-1 bagi En(o)

Page 94: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

94

Fihak kiri mempunyai harga jika m=k, sedangkan suku kedua sebelah kanansama dengan nol karena k≠n.

knnknkmnmnm

nm GEEc δεδ )1()0()0(

)(][ +−=−∑

( ) )0()0()0()0(

kn

knnkknnknk EE

GcGEEc−

=→−=−

)0(

)()0()0(

)1(k

nk kn

knn EE

G ψφ ∑≠ −

=

Terlihat, aproksimasi ini tidak berlaku jika

(sistem berdegenarasi).

)0()0(nk EE =

Koreksi order-1 bagiψn

(o)

Page 95: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

95

Koreksi order-2

( ) dvdvdvGdvEH nnnnnnnnnnn)1(*)0()1()0(*)0()2()1(*)0()2()0()0(*)0( ˆˆ.3 φψεψψεφψφψ ∫∫∫∫ ++−=−

{ }

∑∑

∑ ∫

∫∑∫

≠≠

−=→+−=

+

+−=−

)()0()0(

)2()2(

)(

)(

)0(*)0()1(

)2()0(*)0(

)(

)2(*)0()0()0(

0

ˆ][

nm mn

mnnmnnnm

nmnm

nmmnnmn

nmnnmnmnnnn

EEGGGc

dvc

dvGcdvEE

εε

ψψε

εψψφψ

)0()0(kn

knnk EE

Gc−

=

Koreksiorder-2 bagiψn

(o)

Page 96: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

96

∑≠

=)(

)0()2(

nmmnmn a ψφMisalkan

( ) )1()1()0()2()1()0()0()0(

)(

ˆˆ.3 nnnnnmnnmnm GEHa φεψεφψ ++−=−∑

( )τφψετψψε

τφψτψψ

dd

dGdEHa

nlnnln

nlmnlnmnm

)1(*)0()1()0(*)0()2(

)1(*)0()0()0()0(*)0(

)(

ˆˆ

∫∫

∫∫∑

++

−=−≠

lmnmnmnlm

nmnmlmnl

nmnm cGcEEa δεδ ∑∑∑

≠≠≠

+−=−)(

)1(

)(

)0()0(

)()(

−+

−−=

+−=−

)()0()0()0()0(

)(

)1()0()0( )(

nm ln

nlnn

mn

lmmn

nmnlnlmnmnlnl

EEGG

EEGG

cGcEEa ε

anm harus ditentukan

Page 97: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

97

2)0()0()0()0()0()0( )())(( ln

nlnn

nm lnmn

lmmnnl EE

GGEEEE

GGa

−−

−−= ∑

∑ ∑≠ ≠ ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

−−=

)(

)0(2)0()0()0()0()0()0(

)2(

)())((nll

ln

nlnn

nm lnmn

lmmnn EE

GGEEEE

GG ψφ

)2()1()0(

)2()1()0(

nnnn

nnnn

EE εε

φφψψ

++=

++=

Fungsi gelombang dan energi sistem terganggu:

Page 98: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

98

6.2 Efek Stark

Pengaruh medan listrik statik terhadap tingkat-tingkat energi suatu atom disebut efek Stark.

Atom hidrogen ditempatkan dalam medan listrik statis F yang diandaikansejajar sumbu-z. Interaksi elektron dengan medan itu adalah:

θcos. eFrFreG ==rr

)0(1EKoreksi order-1 bagi

dvreF ss 11)1(

1 cos ψθψε ∫=

0sincos2

00

3

0

/23

== ∫∫∫∞

−− ππ

ϕθθθπ

dddrrea

eF oaro

dvGG nnnnn)0()0()1( ˆψψε ∫==

;1 /2/31001

oaros ea −−=≡

πψψ

Page 99: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

99

Koreksi order-1 terhadap )0(1sψ

( )[ ( )( ) ( ) ]

pzo

pzspzpyspy

pxspxssss

EEeFa

dvrdvr

dvrdvrEE

eF

2)0(2

)0(1

)0(2

)0(1

)0(2

)0(2

)0(1

)0(2

)0(2

)0(1

)0(2

)0(2

)0(1

)0(2)0(

2)0(

1

)1(1

745,0

coscos

coscos

ψ

ψψθψψψθψ

ψψθψψψθψφ

−=

++

+−

=

∫∫

∫∫

)0(

)()0()0(

)1(k

nk kn

knn EE

G ψφ ∑≠ −

= )0(1sψ

)0(2

)0(2

)0(2

)0(2 ,,, pzpypxs ψψψψ

)0(2E

)0(1E

;2241 2/2/3

2002oar

oos e

ara −−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=≡

πψψ .sinsin

241

;cossin241

;cos241

2/2/3

2

2/2/3

2

2/2/3

2102

ϕθπ

ψ

ϕθπ

ψ

θπ

ψψ

o

o

o

aZr

oopy

aZr

oopx

aZr

oopz

eaZr

aZ

eaZr

aZ

eaZr

aZ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

;1 /2/31001

oaros ea −−=≡

πψψ

)1(1

)0(1 ss φψ +

Page 100: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

100

Koreksi order-2 terhadap )0(1E

[ ]{ [ ][ ] [ ] }2)0(

2)0(

1

2)0(2

)0(1

2)0(2

)0(1

2)0(2

)0(1)(

2)0(

1

22)2(

1

coscos

coscos

∫∫

∫∫

++

+−

=

dvrdvr

dvrdvrEEFe

pzspys

pxssso

θψψθψψ

θψψθψψε

∑∑≠≠ −

=−

=)(

)0()0(

2

)()0()0(

)2(

nm mn

nm

nm mn

mnnmn EE

GEEGGε

2)(

2)0(

1

22)2(

1 )745,0( oo aEEFe−

Maka energi yang terkoreksi adalah: 2)0(

1)0(

2

22)0(

11)745,0( FEEeaEE o

−−=

Fungsi terkoreksi hingga order-1 adalah )0(2)0(

1)0(

2

)0(11

745,0pz

oss EE

eFaψψψ

−−=

Page 101: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

101

)0(1sψ

)0(2

)0(2

)0(2

)0(2 ,,, pzpypxs ψψψψ

)0(2E

)0(1E

)1(1

)0(11 sss φψψ +=

)2(1

)0(11 ε+= EE

G=0 G=erF cosθ

Harap dihitung sendiri

Page 102: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

102

6.4 Gangguan pada Sistem Berdegenerasi

nmmn HdH =∫ τφφ ˆ*

nmmn Sd =∫ τφφ *

∑=

=N

nnnc

1φψ

Misalkanlah adalah hamiltonian sistem yang terganggu.

Nyatakan suatu fungsi gelombang ψ dari sebagai kombinasi linier darifungsi-fungsi yang belum terganggu {φn}.

H

Untuk sistem yang mengandung fungsi-fungsi berdegenerasi, gangguanharus diselesaikan dengan metoda variasi sebagai berikut.

H

di mana kita dapat menghitung:

Page 103: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

103

Misalkan E energi sistem, sehingga:

∫∫=

dv

dvHE

ψψ

ψψ*

* ˆ

Untuk memperoleh energi E minimum, variasi terhadap semua koefisienc harus nol; misalnya turunan terhadap ck:

0=∂∂

kcE

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=+ ∑∑∑∑

≠≠nmm

mnnnn

nn

mnnmmnnn

nn SccScEHccHc *2*2

Hasilnya:

∑ ∑≠ ≠

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=+

kn knnknkkknknkkk ScScEHcHc

Page 104: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

104

( ) ( ) 0=−+− ∑≠kn

nknknkkkkk ESHcESHc

( ) 0=−∑n

nknkn ESHc

Setelah digabubng, hasilnya

0

...

...

...................................................................................................................................................................................

...........

........................

3

2

1

332211

33333332323131

22232322222121

11131312121111

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−−−−

−−−−

−−−−−−−−

NNNNNNNNNNN

NN

NN

NN

c

ccc

ESHESHESHESH

ESHESHESHESH

ESHESHESHESHESHSHESHESH

Dalam bentuk matriks:

disebut persamaansekuler

Page 105: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

105

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

.............................................................................................................................................................

...................

2211

2222222121

1112121111

=

−−−

−−−−−−

NNNNNNNN

NN

NN

ESHESHESH

ESHESHESHESHESHESH

disebut determinan sekuler.

Karena mempunyai order-N maka dari persamaan tersebut akan diperolehN buah harga energi: E1, E2,….,EN.

Selanjutnya, substitusi setiap harga energi Ek ke persamaan sekulermenghasilkan satu set harga-harga koefisien, yakni ck1, ck2, ….,ckN denganmana

∑=

=→N

nnknkk cE

1φψ

Normalisasi: 1,

* =∑ nmmn

kmkn Scc

Page 106: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

106

Jika fungsi-fungsi {φn} bersifat ortonormal: ∫ = nmmn dv δφφ*

0

...

...

....................................................................................................................

..........

..........................

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−−

NNNNNN

N

N

N

c

ccc

EHHHH

HEHHH

HHEHHHHHEH

0

....................................................................................................................

..........

..........................

321

3333231

2232221

1131211

=

−−

EHHHH

HEHHH

HHEHHHHHEH

NNNNN

N

N

N

disebut determinan sekuler.

disebut persamaan sekuler

∑=

=→N

nnknkk cE

1φψ 1

,

* =∑ nmmn

kmkn cc δ

Page 107: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

107

Kelanjutan efek Stark

θcosˆˆ )0( eFrHH +=

pypxpzs 24232221 ,,, ψφψφψφψφ ====

∫ = kllk dv δφφ

( )∫∫ +== dveFrHdvHH lklkkl φθφφφ cosˆˆ )0(

oeFaHHEHHHH

32112

)0(244332211

−======

Lain-lainnya =0.

0

)(000

0)(00

00)(3

003)(

)0(2

)0(2

)0(2

)0(2

=

−−

−−

EE

EE

EEeFa

eFaEE

o

o

Determinan sekuler

Page 108: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

108

[ ]

)0(243

2)0(2

)0(22

)0(21

22)0(2

22)0(2

2)0(2

2)0(2

24)0(2

0)(

3,3)3()(

0)3()()(

0)()3()(

EEEEE

eFaEEeFaEEeFaEE

eFaEEEE

EEeFaEE

ooo

o

o

==→=−

+=−=→=−

=−−−

=−−−

Substitusi E1 menghasilkan c1=c2=1/√2

substitusi E2 menghasilkan c1=-c2=1/√2.

Karena E3 dan E4 sama dengan harga

asalnya maka fungsinya juga sama

dengan asalnya. py

px

pzs

pzs

244

233

22212

22211

,

),(2

1)(2

1

),(2

1)(2

1

ψφψ

ψφψ

ψψφφψ

ψψφφψ

==

==

−=−=

+=+=

Page 109: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

109

ψ1s

ψ2s ψ2pz ψ2px ψ2py

ψ1

ψ2

ψ3, ψ4

E1=E2(0)-3eFao

E3=E4=E2(0)E2

(0)

E2=E2(0)+3eFao

E1s(0)

2)0(

1)0(

2

22)0(

11)745,0(

FEEea

EEs

oss −

−=

pzo

s EEeFa

2)0(1

)0(2

1745,0

ψψ−

py

px

pzs

pzs

24

23

222

221

,

),(2

1

),(2

1

ψψ

ψψ

ψψψ

ψψψ

=

=

−−=

+=

Page 110: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

110

BAB 7TEORI GANGGUAN BERGANTUNG WAKTU

7.1 Gangguan Bergantung Waktu

),(ˆ)(ˆˆ )0( trGrHH +=

Gangguan bergantung waktu

)()(ˆ )0()0()0()0( rErH jjj ψψ =

Keadaan yang tidak terganggu (keadaan stasioner):

Hamiltonian total:

tiEjjj

j jertrtrHttr

i)0(

)(),(),(),( )0()0()0()0(

)0(

ψψψψ

=→=∂

∂h

Persamaan Schrödinger bergantung waktu:

Page 111: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

111

Karena H bergantung waktu, maka energi menjadi tidak stasioner, sehingauntuk menentukan fungsi gelomang diperlukan cara yang berbeda denganpersamaan eigen biasa. Misalkan fungsi gelombang bagi H adalah { }),( triψ

),()],(ˆ)(ˆ[

),(ˆ),(

)0( trtrGrH

trHttr

i

i

ii

ψ

ψψ

+=

=∂

∂h

∑=k

kiki trtatr ),()(),( )0(ψψ

Selanjutnya fungsi ψi(r,t) dinyatakan sebagai kombinasi linier dari fungsi-fungsi lainnya:

Misalkan )()0( riψ adalah keadaan awal, dan karena kehadiran gangguan

∑ ∑+k

kk

ikkik trtrGtatrHta ),(),()(),(ˆ)( )0()0()0( ψψ

=∂

∂+

∂∂ ∑∑ t

trtaitrttai k

kikk

k

ik ),()(),()( )0()0( ψψ hh

Page 112: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

112

∑∑ =∂

kkikk

k

ik trtrGtatrttai ),(),()(),()( )0()0( ψψh

∑ ∫∫∑ =∂

kkfikkf

k

ik dvtrtrGtrtadvdttrtrttai ),(),(),()(),(),()( )0(*)0()0(*)0( ψψψψh

Misalkan pada akhirnya, sistem berada pada ),()0( trfψ maka

∑ ∫=∂

kkfik

if dvtrtrGtrtatta

i ),(),(),()()( )0(*)0( ψψh

Pada permulaan diandaikan sistem berada sepenuhnya pada keadaansehingga aii=1 dan semua aik=0.

Asumsikan, beberapa saat sejak gangguan dimulai, aii masih mendekati 1 sedangkan semua aik << aii. Jadi, suku paling penting dalam persamaan diatas adalah yang mempunyai indeks k=i, sehingga

)()0( riψ

∫=∂

∂dvtrtrGtr

itta

ifif ),(),(),(1)( )0()0( ψψ

h

Page 113: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

113

Misalkan: )()(),( )0( trGtrG ϕ=

h

h

hh

h

h

h

/)()0(

/)()0()0(*)0(

/)0()0(/*)0(

)0()0(

)0()0(

)0()0(

)(1

)()()(ˆ)(1

)()()(ˆ)(1

tEEifi

tEEiif

tiEi

tiEf

if

if

if

etGi

etdvrrGri

dvertrGeri

=

=

=

ϕ

ϕψψ

ψϕψ

∫=∂

∂dvtrtrGtr

itta

ifif ),(),(),(1)( )0()0( ψψ

h

h

h

/)(

0

)0()0(

)()0()( tEEiTo

fiifif

ifetdtiG

aTa −

∫=− ϕ

Page 114: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

114

h

h

/)(

0

)0()0(

)()0()( tEEiTo

fiifif

ifetdtiG

aTa −

∫=− ϕ

=0

∫=T

tiofi

if dtetiG

Ta fi

0

)()( ωϕh

h

)0()0(if

fi

EE −=ω

Peluang bertransisi dari keadaan stasioner awal ke keadaanstasioner akhir

)()0( riψ)()0( rfψ

21 )(TaP ifTif =)()0( rfψ

)()0( riψ

G(r,t)

)0(fE

)0(iE

Page 115: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

115

Gangguan oleh medan EM to ωεε cosrr

=

Interaksi medan dengan momen dipol:

tretrG o ωθμ εε cos)cos(.),(ˆ ==rr

ttrerG o ωϕθε cos)(;cos)(ˆ )0( ==

fioifoofi MedvrrreG εε ψθψ == ∫ )(cos)( )0(*)0(

tiT

fioif

fietdtiMe

Ta ωωε

cos)(0∫=

h

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−−

++

−=

−+

ωωωω

ωωωωεfi

Ti

fi

Tifio

fifi eeiMe 11

2

)()(

h

Page 116: sainswp.files.wordpress.com · 2 BAB 1 PENDAHULUAN Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang

116

ψi

ψf

ψf

ψi(a) (b)

Dalam kasus absorpsi di sekitar ω =ωfi, suku pertama dapat diabaikan.

2

2

2

222

]2/)[(]2/)[(sin

4)(1

2

ωωωωε

−==

fi

fifioiffi

TTMe

taT

Ph