METODE ELIMINASI GAUSS

(untuk sistem linier dengan 3 variabel)

• Penjelasan step-by-step metode eliminasi Gauss untuk sistem persamaan linier

dengan 3 variabel

• Jika diketahui sistem persamaan linier:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3

maka dapat dituliskan sebagai perkalian matriks Ax = b yang berbentuk:

a11 a12 a13 x1 b1

a21 a22 a23 x2 = b2

a31 a32 a33 x3 b3

atau dapat ditulis secara disingkat sebagai berikut:

a11 a12 a13 b1

a21 a22 a23 b2

a31 a32 a33 b3

• Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks

segitiga atas, yaitu berbentuk:

a11 a12 a13 b1

0 a22 a23 b2

0 0 a33 b3

sehingga dapat diselesaikan dengan teknik penyulihan mundur (backward

substitution).

• Metode eliminasi dilakukan dgn cara:

� Tahap 1. Eliminasi (nol-kan) nilai a21 ,a31 dengan cara:

� R2 baru = R2 – (a21/a11).R1

� R3 baru = R3 – (a31/a11).R1

� Tahap 2. Eliminasi (nol-kan) nilai a32 dengan cara:

� R3 baru = R3 – (a32/a22).R2

Catatan:

� R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu:

- a11, a12, a13, b1

� R2 berarti setiap elemen pada baris ke-2, yaitu:

- a21, a22, a23, b2

� R3 berarti setiap elemen pada baris ke-3, yaitu:

- a31, a32, a33, b3

� Sampai pada tahap ini matriks telah menjadi matriks segitiga atas.

Selanjutnya bisa dilakukan teknik penyulihan mundur (backward

substitution) untuk menemukan nilai x1, x2, dan x3.

METODE ELIMINASI GAUSS

(untuk sistem linier dengan 4 variabel)

• Penjelasan step-by-step metode eliminasi Gauss untuk sistem persamaan linier

dengan 4 variabel

• Jika diketahui sistem persamaan linier:

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 = b3

a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 + a44 x4 = b4

maka dapat dituliskan sebagai perkalian matriks Ax = b yang berbentuk:

a11 a12 a13 a14 x1 b1

a21 a22 a23 a24 x2 = b2

a31 a32 a33 a34 x3 b3

a41 a42 a43 a44 x4 b4

atau dapat ditulis secara disingkat sebagai berikut:

a11 a12 a13 a14 b1

a21 a22 a23 a24 b2

a31 a32 a33 a34 b3

a41 a42 a43 a44 b4

• Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks

segitiga atas, yaitu berbentuk:

a11 a12 a13 a14 b1

0 a22 a23 a24 b2

0 0 a33 a34 b3

0 0 0 a44 b4

sehingga dapat diselesaikan dengan teknik penyulihan mundur (backward

substitution).

• Metode eliminasi dilakukan dgn cara:

� Tahap 1. Eliminasi (nol-kan) nilai a21 ,a31 , a41 dengan cara:

� R2 baru = R2 – (a21/a11).R1

� R3 baru = R3 – (a31/a11).R1

� R4 baru = R4 – (a41/a11).R1

� Tahap 2. Eliminasi (nol-kan) nilai a32 ,a42 dengan cara:

� R3 baru = R3 – (a32/a22).R2

� R4 baru = R4 – (a42/a22).R2

� Tahap 3. Eliminasi (nol-kan) nilai a43 dengan cara:

� R4 baru = R4 – (a43/a33).R3

Catatan:

� R1 berarti setiap elemen pada baris ke-1, yaitu:

- a11, a12, a13, a14, b1

� R2 berarti setiap elemen pada baris ke-2, yaitu:

- a21, a22, a23, a24, b2

� R3 berarti setiap elemen pada baris ke-3, yaitu:

- a31, a32, a33, a34, b3

� R4 berarti setiap elemen pada baris ke-4, yaitu:

- a41, a42, a43, a44, b4

� Sampai pada tahap ini matriks telah menjadi matriks segitiga atas.

Selanjutnya bisa dilakukan teknik penyulihan mundur (backward

substitution) untuk menemukan nilai x1, x2, x3, dan x4.

CONTOH SOAL METODE ELIMINASI GAUSS

• Diketahui sistem persamaan linier berikut:

x1 + x2 + x3 + x4 = 14

2x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4 = 51

3x1 + x2 + 4x3 + 6x4 = 61

4x1 + 7x2 + x3 + 2x4 = 38

Sistem linier ini memiliki 4 variabel.

Maka dapat dituliskan sebagai berikut:

1 1 1 1 14

2 4 3 5 51

3 1 4 6 61

4 7 1 2 38

• Tahap 1

� Baris 2. R2 baru = R2 – (2/1)R1

� a21 = 2 – 2.1 = 0

� a22 = 4 – 2.1 = 2

� a23 = 3 – 2.1 = 1

� a24 = 5 – 2.1 = 3

� b2 = 51 – 2.14 = 23

� Baris 3. R3 baru = R3 – (3/1)R1

� a31 = 3 – 3.1 = 0

� a32 = 1 – 3.1 = -2

� a33 = 4 – 3.1 = 1

� a34 = 6 – 3.1 = 3

� b3 = 61 –3.14 = 19

� Baris 4. R4 baru = R4 – (4/1)R1

� a41 = 4 – 4.1 = 0

� a42 = 7 – 4.1 = 3

� a43 = 1 – 4.1 = -3

� a44 = 2 – 4.1 = -2

� b4 = 38 –4.14 = -18

� Matriks berubah menjadi:

1 1 1 1 14

0 2 1 3 23

0 -2 1 3 19

0 3 -3 -2 -18

• Tahap 2

� Baris 3. R3 baru = R3 – (-2/2)R2, maka R3 baru = R3 + R2

� a31 = 0 + 0 = 0

� a32 = -2 + 2 = 0

� a33 = 1 + 1 = 2

� a34 = 3 + 3 = 6

� b3 = 19 + 23 = 42

� Baris 4. R4 baru = R4 – (3/2)R2, maka R4 baru = R4 – 1,5R2

� a41 = 0 – 1,5.0 = 0

� a42 = 3 – 1,5.2 = 0

� a43 = -3 – 1,5.1 = -4,5

� a44 = -2 – 1,5.3 = -6,5

� b4 = -18 – 1,5.23 = -52,5

� Matriks berubah menjadi:

1 1 1 1 14

0 2 1 3 23

0 0 2 6 42

0 0 -4,5 -6,5 -52,5

• Tahap 3

� Baris 4. R4 baru = R4 – (-4,5/2) R3, maka R4 baru = R4 + 2,25R3

� a41 = 0 + 2,25.0 = 0

� a42 = 0 + 2,25.0 = 0

� a43 = -4,5 + 2,25.2 = 0

� a44 = -6,5 + 2,25.6 = 7

� b4 = -52,5 + 2,25.42 = 42

� Matriks berubah menjadi:

1 1 1 1 14

0 2 1 3 23

0 0 2 6 42

0 0 0 7 42

• Pada tahap ini matriks telah menjadi matriks segitiga atas.

• Matriks di atas dapat dituliskan dalam bentuk sistem persamaan linier berikut:

x1 + x2 + x3 + x4 = 14

2x2 + x3 + 3x4 = 23

2x3 + 6x4 = 42

7x4 = 42

Dengan teknik penyulihan mundur (backward substitution) dapat dicari nilai

dari:

x4 = 6

x3 = 3

x2 = 1

x1 = 4