LTM Ke-1 Metode Grafik dan Numerik Konduksi Dimensi Rangkap 1Perpindahan Kalor Konduksi Tunak Metode Analisi Grafik dan Numerik Perpindahan Kalor Konduksi Dua Dimensi Oleh: Ahmad Faisal / 1006660491 / Kel. 8 I.Metode Analisi Grafik Metodeanalisisgrafikmerupakanmetodeyangmenggunakangaris-garisaliran-kalordan isothermyangmembentukberkas-berkasgaris-lengkungkurvilinearsepertiGambar2pada lampiran. Melaluimetode grafik, kita bisamenghitung perpindahan kaloryang relativelebih cepatdibandingdenganmetodeanalisismatematikpadasistemduadimensiyang geometrinyarumitdenganbatas-batasisothermaldanyangdiisolasi.Persamaanyang digunakan pada aliran kaloryangmelintasibagian kurvilinear diberikan olehhukumFourier dengan mengandaikan satuan kedalaman bahan : yTx k qAAA = ) 1 ( (1) Gambar 1. Bagan menunjukkan unsur untuk analisis bujur-sangkar kurvilinear aliran kalor dua dimensi (sumber : Holman, J.P. 1997. Perpindahan Kalor (terjemahan). Jakarta:Erlangga.) Persamaan(6)berlakuuntuksemuajaluraliran-kalordenganalirankalortotalmerupakan jumlahdarialirankalordalamsemuajalur.Tyangmelintaspadaunsur(denganx=y, dan dengan aliran kalor konstan) diberikan oleh : NTTmenyeluruhA= A (2) LTM Ke-1 Metode Grafik dan Numerik Konduksi Dimensi Rangkap 2Perpindahan Kalor Konduksi Tunak N merupakan banyaknya peningkatan suhu (temperature increment) antara permukaan dalam danluar.Alirankaloryangmelewatisetiapjalurakansamakarenatidakbergantungpada dimensi x dan y sehingga perpindahan kalornya adalah : ) (1 2T T kNMq = (3) Mmerupakanjumlahjaluraliran-kalor.Kuncidarimetodeiniadalahketelitiandan keterampilandalammenggambarkanbujur-sangkarkurvilinear.Namun,metodeinitidak banyak bermanfaat dalam menyelesaikan soal-soal sederhana. II.Metode Analisi Numerik Salahsatupendekatandalampenyelesaianmasalahyangterjadipadaperpindahankalor adalahmelaluimetodeanalisisnumerik.Pendekataninidisebutsebagaiteknikbeda berhingga (finite-difference technique). Perhatikanlahsebuahbendaduadimensiyangdibagiatassejumlahjenjangtambahankecil yangsama(equalincrements)padaarahxdanarahy,sebagaimanaterlihatpadagambardi bawah ini. Gambar 2. Bagan yang menunjukkan nomenklatur yang digunakan dalamanalisis numerik konduksi kalor dua dimensi (sumber : Holman, J.P. 1997. Perpindahan Kalor (terjemahan). Jakarta:Erlangga.) Titik-titiknodediberitandasepertipadagambaritu,lokasimmenunjukkantambahanpada arah x, dan lokasi n tambahan pada arah y. Kita ingin menentukan suhu pada setiap titik node didalambendaitudenganmenggunakanpersamaan(1)sebagaikondisiyangmenentukan. Kitagunakanbeda-bedaberhinggauntukmendekatitambahandiferensialpadakoordinat ruangdansuhu.Makinkeciltambahanberhinggayangkitagunakan,makinbaikpula LTM Ke-1 Metode Grafik dan Numerik Konduksi Dimensi Rangkap 3Perpindahan Kalor Konduksi Tunak pendekatankitaterhadapdistribusisuhusebenarnya.Persamaanumumyangdigunakanjika x = y adalah: 0 4, 1 , 1 , , 1 , 1= + + + + + n m n m n m n m n mT T T T T .........(4) Oleh karena dalamhalyang kita perhatikanini konduktivitas termal tetap, makaaliran kalor dapatdinyatakandalamdiferensialsuhu.Persamaan(1)dengansederhanamenunjukkan bahwaalirankalornettopadasetiapnodeialahnolpadakeadaantunak.Padahakekatnya, dalampendekatannumerikbeda-berhinggadistribusisuhuyangkontinudigantikandengan sejumlah batangan penghantar kalor khayalan yang bersambungan pada setiap titik node, dan tidak mempunyai pembangkitan kalor. Kita dapat pula menyusun jalan beda-berhingga yang memperhitungkan pembangkitan kalor. Kitahanyatinggalmenambahkansuku kqkedalampersamaanumumsehinggamendapat persamaan di bawah ini: ( )0 4,21 , 1 , , 1 , 1= A+ + + + + + n m n m n m n m n mTkx qT T T T............(5) Untuk menggunakan metode numerik, Persamaan (1) harus ditulis untuk setiap node di dalam bahanitu,dansistempenamaanyangdihasilkanlaludiselesaikanuntukrnendapatkansuhu pada setiap node. Contoh yang paling sederhana ialah seperti pada Gambar di bawah: Gambar 3. Persoalan empat node (sumber : Holman, J.P. 1997. Perpindahan Kalor (terjemahan). Jakarta:Erlangga.) di mana empat persamaan untuk node 1,2,3, dan 4 adalah: LTM Ke-1 Metode Grafik dan Numerik Konduksi Dimensi Rangkap 4Perpindahan Kalor Konduksi Tunak Penyelesaian persamaan di atas akan menghasilkan: Jika suhu telah ditentukan, maka aliran kalor dapat dihitung dari persamaan: AAA =yTx k q ............(6) dimanaTditentukanpadabatas-batas.Dalamcontohdiatas,alirankalordihitungdari muka yang 500C atau pada ketiga muka yang 100C. Jika kita menggunakan kisi yang cukup halus,keduanilaiyangdidapatmestisangatmendekatisamasatusamalain.Dalam prakteknya, biasanya paling baik digunakan rata-rata dan kedua nilai itu untuk perhitungan. Jika benda padat berada dalam kondisi batas konveksi,seperti pada gambar 3, suhupadapermukaanharusdihitungdengancarayangberbedadarimetodediatas. Persamaan umumnya jika x = y adalah ( ) 0 22121 , 1 , , 1 ,= + + A |.|

\|+A + n m n m n m n mT T T Tkx hkx hT .............(7) Formulasi Numerik dengan Unsur-unsur Tahanan Hinggasaatinitelahditunjukkanbagaimanamenyelesaikansoal-soalkonduksidengan pendekatanbeda-berhinggaterhadappersamaan-persamaandiferensial.Untuksetiapnode dirumuskansebuahpersamaannode,laluperangkatpersamaanitudiselesaikanuntuk mendapatkan suhu pada seluruh benda itu. Dalam merumuskan persamaan itu, kita sebetulnya dapatsajamenggunakankonseptahananuntukmenuliskanperpindahankalorantaranode m-1,n m,n-1 m,n+1 m,n y y xx LTM Ke-1 Metode Grafik dan Numerik Konduksi Dimensi Rangkap 5Perpindahan Kalor Konduksi Tunak yang satu dengan yang lain. Dengan menandai nodeyang kita perhatikan dengan sub skrip i, dannodedisampingnyadengansubskripj,makaakankitadapatkansituasinode-konduksi-umum (general-conduction-node situation) seperti pada Gambar 3. Gambar 4.Node Konduksi Secara Umum (sumber : Holman, J.P. 1997. Perpindahan Kalor (terjemahan). Jakarta:Erlangga.) Pada keadaan-tunak, masukan kalor netto pada node i mesti nol, atau di mana qi adalah kalor yangdiserahkankenodeiolehpembangkitankalor,radiasi,dansebagainya.R11dapat mengambilbentukbataskonveksi,konduksidalam,dansebagainya.Persamaan(3)dapat dibuat sama dengan sesuatu sisa agar kita dapat menggunakan penyelesaian relaksasi, atau nol untuk penyelesaian dengan metode matriks. Tabel 1. Tahanan untuk Node x = y, z = 1 (sumber : Holman, J.P. 1997. Perpindahan Kalor (terjemahan). Jakarta:Erlangga.) LTM Ke-1 Metode Grafik dan Numerik Konduksi Dimensi Rangkap 6Perpindahan Kalor Konduksi Tunak =+j iji iiT T Tq 0 ............(8) Formulasi tahanan berguna pula untuk penyelesaian numerik bentuk-bentuk tiga dimensi yang rumit. Iterasi Gauss-Seidel Metodeinidigunakanjikajumlahnodesangatbanyak.Daripersamaan5diatas,kita dapatkan suhu Ti dan suhu-suhu node Tj di sebelahnya sebagai ( )( )+=jijjij j iiRR T qT/ 1/..............(9) IterasiGauss-Seidelmemanfaatkanpersamaan-persamaanbedasepertidalampersamaan6, menurut prosedur sebagai berikut : Mula-mula suatu perangkat awal untuk nilai Ti diandaikan. Kemudiandenganpersamaan6dihitungnilai-nilaibaruuntuksuhunodeTi,dengan menggunakan nilai Tj yang terbaru. Prosesinidiulangiterus-menerussehinggaperbedaanantaraduaperhitungancukup kecil. Daftar Pustaka Holman, J.P. 1997. Perpindahan Kalor (terjemahan). Jakarta:Erlangga.