Metoda Bagidua

Metoda Secant 0 Pertimbangan rasional

Jika |f(a)|<|f(b)| maka akarnya akan lebih dekat ke a daripada ke b, asalkan gradiennya tidak terlalu tajam.

(Inilah ide awal dari metoda secant)

0 Garis Secant adalah garis yang melalui (a,f(a)) dan(𝑏, 𝑓 𝑏 )

0 Sehingga penentuan nilai aprosimasi bergantung pada fungsi

Gambar 1 (a) metoda secant (b) metoda bagi dua

0 Ambil 𝑝−1 = 𝑎, 𝑝0 = 𝑏

0 Aproksimasi 𝑝1 diambil sebagai absis titik potong garis secant dengan sb. 𝑋.

0 Persamaan garis secant yang melalui 𝑝−1, 𝑓 𝑝−1 dan 𝑝0, 𝑓 𝑝0 diberikan oleh

𝑦 = 𝑓 𝑝0 +𝑓 𝑝0 − 𝑓 𝑝−1

𝑝0 − 𝑝−1𝑥 − 𝑝0

0 Titik potong garis ini dg sb. 𝑋 yaitu saat 𝑦 = 0 diperoleh

𝑥 = 𝑝0 −𝑓 𝑝0 𝑝0 − 𝑝−1

𝑓 𝑝0 − 𝑓 𝑝−1

0 Ambil 𝑝1 = 𝑥

𝑝1 = 𝑝0 −𝑓 𝑝0 𝑝0 − 𝑝−1

𝑓 𝑝0 − 𝑓 𝑝−1

0 Mulailah dengan interval [𝑎, 𝑏] yang memuat akar 𝑓 𝑥 = 0

0 Ambil 𝑝−1 = 𝑎 dan 𝑝0 = 𝑏

0 Untuk 𝑛 = 1,2,3,…, ambil barisan aprolsimasi (𝑝𝑛) sbb

𝑝𝑛 = 𝑝𝑛−1 −𝑓 𝑝𝑛−1 𝑝𝑛−1 − 𝑝𝑛−2

𝑓 𝑝𝑛−1 − 𝑓 𝑝𝑛−2

0 Tidak ada formulasi untuk estimasi error pada metoda secant seperti pada metoda bagidua sehingga error tidak dapat diestimasi melalui banyaknya iterasi. Jadi kri-teria stopping dengan menetapkan banyak iterasi N di awal algoritma tidak dapat memberikan estimasi error. Alternatifnya kita dapat menggunakan kriteria stopping berikut.

Algoritma Metoda Secant

0 Berhenti bila 𝑓 𝑝𝑛 < 𝑇𝑂𝐿

0 Berhenti bila 𝑝𝑛 − 𝑝𝑛−1 < 𝑇𝑂𝐿

kriteria kedua didasarkan pada kenyataan bahwa jika jarak antara kedua aproksimasi semakin lama semakin kecil, yaitu 𝑝𝑛 − 𝑝𝑛−1 < 𝑇𝑂𝐿 maka barisan aproksimasi (𝑝𝑛) akan konvergen ke akar eksaknya, sebab (𝑝𝑛) merupakan barisan Cauchy sehingga ia akan konvergen.

Kriteria Stopping

Soal

0 Hitung secara manual menggunakan metoda secant

1. Aproksimasi akar dari persamaan tak linier

𝑥 − 𝑒−𝑥

3 = 0 pada interval 0,1

2. Aproksimasi akar dari persamaan tak linier 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 1 sin 3𝑥 = 0 pada interval [2,3]

Metoda False Position 0 Pada metoda ini pengambilan aproksimasi mengikuti

metoda secant namun pem-bentukan garis secant menggunakan ide pada metoda bagidua yaitu dengan cara mempertahankan subinterval yang memuat akar.

Metoda False Position vs Bagidua

0 Mulailah dengan interval [𝑎, 𝑏] yang memuat akar 𝑓 𝑥 = 0

0 Ambil 𝑎1 = 𝑎 dan 𝑏1 = 𝑏

0 Untuk 𝑛 = 1,2,3,…, ambil barisan aprolsimasi (𝑝𝑛) , 𝑎𝑛+1 dan (𝑏𝑛+1)

𝑝𝑛 = 𝑏𝑛 −𝑓 𝑏𝑛 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛

𝑓 𝑏𝑛 − 𝑓 𝑎𝑛

dan

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛, 𝑏𝑛+1 = 𝑝𝑛 bila 𝑓 𝑎𝑛 . 𝑓 𝑝𝑛 < 0

𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑛, 𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 bila 𝑓 𝑎𝑛 . 𝑓 𝑝𝑛 > 0

Algoritma Metoda False Position

Soal

0 Hitung secara manual menggunakan metoda false position aproksimasi akar dari persamaan tak linier 𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 1 sin 3𝑥 = 0 pada interval [2,3]