ANALISIS INPUT-OUTPUTHeru Suprihhadi – 081 8323 124

PENDAHULUAN

Salah satu kegunaan penerapan aljabar matriks dalam bidang

ekonomi adalah analisis input-output yang pertama kali dikenalkan

oleh Wassily W.Leontief tahun 1936 dari Harvard University. Analisis

ini merupakan model matematis untuk menelaah berbagai sektor

kegiatan ekonomi. Sebagai ilustrasi perekonomian suatu Negara

yang dibagi menjadi beberapa sektor, antara lain: pertanian, industri,

jasa dan lain sebagainya. Output dari suatu sektor tertentu selain

digunakan oleh sektor itu sendiri, dipergunakan pula oleh sektor-

sektor lainnya sebagai input-nya.

Output sektor pertanian sebagai misal akan digunakan oleh

sektor pertanian itu sendiri (misalnya untuk benih) dan dipergunakan

oleh sektor industri (seperti karet yang dihasilkan dari sektor

pertanian akan dijadikan input sektor industri yakni karet untuk

membuat ban, kapas untuk bahan baku membuat tekstil), output

sektor industri digunakan untuk kepentingan sektor industri itu sendiri

(seperti benang untuk membuat tekstil) dan dipergunakan oleh sektor

pertanian (seperti output sektor industri berupa pupuk, bahan kimia

yang dipergunakan untuk membasmi hama). Dengan demikian

dapatlah dikatakan bahwa perkembangan suatu sektor akan

bergantung dari sektor-sektor lainnya.

1

Untuk itu, jelaslah bahwa analisis input-output pada hakekatnya

bertumpu pada anggapan bahwa suatu sistem perekonomian terdiri

dari sektor-sektor yang saling berkaitan. Dengan demikian, jika suatu

data input-output dari berbagai sektor dikumpulkan dan ditabulasikan

maka akan didapatkan tabel berbentuk matriks dan tabel semacam

ini kerapkali dinamakan tabel matriks transaksi.

MATRIKS TRANSAKSI

Sebagai langkah awal dalam analisis input-output yakni

menyusun tabel yang berisi keterangan-keterangan tentang distribusi

dari output sutu sektor ke dalam sektor-sektor lainnya sebagai input,

dan ke pemakai / pengguna akhir sebagai barang konsumsi. Sebagai

contoh tabel matriks transaksi seperti tampak berikut ini:

Matriks Transaksi Perekonomian Suatu Negara AmartaSektor - Sektor A B C Permintaan

AkhirTotal

OutputABC

Nilai Tambah

403020

110

70160100250

10120110230

80270240140

200580470730

Total Output 200 580 470 730 1980Keterangan:A = Sektor Pertanian B = Sektor Industri C = Sektor Jasa

Sumber: Data Hipotesis.

Tabel tersebut dapat didiskripsikan ke samping yakni, bahwa

seluruh output sektor pertanian senilai 200, digunakan untuk

2

keperluan sektor pertanian itu sendiri senilai 40 sebagai inputnya;

senilai 70 untuk input sektor industri, senilai 10 untuk input sektor

jasa, sedangkan sisanya senilai 80 dikonsumsi oleh pemakai /

pengguna akhir sebagai barang konsumsi. Diskripsi tabel ke samping

ini berlaku juga untuk seluruh output sektor industri dan begitun pula

output sektor jasa.

Sedangkan diskripsi tabel di baca ke bawah menunjukkan

bahwa seluruh output sektor pertanian senilai 200 ternyata berasal

dari sektor pertanian itu sendiri senilai 40 sebagai input-nya, senilai

30 berupa input berasal dari sektor industri, senilai 20 berupa input

yang berasal dari sektor jasa; sedangkan sisanya senilai 110 berupa

nilai tambah dari sektor pertanian atau kerapkali dinamakan sebagai

input primer.

3

Tabel: Matriks Transaksi Jika Disusun Dalam Bentuk Notasi

Sektor-Sektor 1 2 3…… j…… n P A T O1

2

3....I....n

X1.1 X1.2 X1.3 X1.j X1.i

X2.1 X2.2 X2.3 X2.j X2.i

X3.1 X3.2 X3.3 X3.j X3.i

Xi.1 Xi.2 Xi.3 Xi.j Xi.n

Xn.1 Xn.2 Xn.3 Xn.j Xn.n

B1

B2

B3

bi

bn

X1

X2

X3

Xi

XnNilai Tambah Y1 Y2 Y3 Yj Yn Yn+1 Xn+1Total Output X1 X2 X3 Xj Xn Xn+1 XKeterangan:1 2 3 ……. = Nama Masing-Masing SektorP A = Permintaan AkhirT O = Total Output

Tabel matriks transaksi ini menunjukkan bahwa Xi.j melambangkan output sektor i yang dipergunakan sebagai input sektor j. Sedangkan bi melambangkan permintaan akhir terhadap output sektor I, sedangkan Y1 Y2 dan seterusnya melambangkan nilai tambah masing-masing sektor, begitu pula X merupakan total output.

Dengan demikian dapat dinyatakan total input sektor i adalah :

nXi = Xi.j + bi dimana : i = 1, 2, 3, ….. n+1

4

j=iTotal output sektor j : nXj = Xi.j + Yi dimana : i = 1, 2, 3, ….. n+1 i = 1Selanjutnya kalau aij = banyaknya output sektor i yang dipergunakan sebagai input untuk memproduksi 1 satuan output sector j sehingga: Xi.jai.j = -------- maka Xi.j = ai.j . Xj XjNilai ai.j antara 0 sampai 1Sehingga matriks transaksi akan berubah menjadi:Sektor-Sektor 1 2 3….. j….. n P A T O

1

2

3...i...n

a1.1 X1 a1.2 X2 a1.3 X3 a1.j Xj a1.n Xn

a2.1 X1 a2.2 X2 a2.3 X3 a2.j Xj a2.n Xn

a3.1 X1 a3.2 X2 a3.3 X3 a3.j Xj a3.n Xn

ai.1 X1 ai.2 X2 ai.3 X3 ai.j Xj ai.n Xn

an.1 X1 an.2 X2 an.3 X3 an.j Xj an.n Xn

b1

b2

b3

bi

bn

X1

X2

X3

Xi

Xn

Nilai Tambah Y1 Y2 Y3 Yj Yn bn+1 Xn+1Total Output X1 X2 X3 Xj Xn Xn+1 XKeterangan:P A = Permintaan AkhirT O = Total Output

5

Jika dibentuk dalam persamaan matriks dapat dituliskan:

X1 a1.1 a1.2 a1.3 …. a1.j …. a1.n b1

X2 a2.1 a2.2 a2.3 …. a2.j ….. a2.n b2

X3 a3.1 a3.2 a3.3 …. a3.j ….. a3.n + b3

. = . . . . . .

. . . . . . .

Xi ai.1 ai.2 ai.3 …. ai.j ….. ai.n bi

. . . . . . .

. . . . . . .

Xn an.1 an.2 an.3 an.j an.n bn

X A b

Atau dapat ditulis X = AX + b

Keterangan:A = matriks koefisien atau sering disebut matriks teknologi, karena elemen-elemennya menunjukkan besarnya input yang diperlukan untuk memproduksi 1 unit output dari sektor tertentu, dan nilai-nilai ini besar-kecilnya dipengaruhi oleh kemajuan teknologi.X = matriks kolom dari total output setiap sektorb = matriks kolom dari permintaan akhir setiap sektor

Dari persamaan matriks : X = AX + b akan didapatkan yakni:b = X - AX = X ( I - A )

6

( I - A ) adalah matriks Leontief yang semua elemen diagonalnya positif antara 0 sampai 1 sedangkan elemen lainnya negatif ( antara 0 sampai mendekati -1 ) atau nol.

( I - A ) adalah matriks non singular, determinan ( I – A ) positif, sehingga dapat dihitung invers ( I – A ) = ( I – A ) -1 Dengan demikian dapat dihitung total output :X = ( I – A ) -1 . b Rumus ini dipergunakan kalau ada perubahan permintaan akhir dan harus dihitung total output setiap sektor.( Semua elemen dari invers ( I – A ) adalah positif, bahkan elemen diagonalnya 1 )

Dengan rumus tersebut berarti jika matriks A dan vektor kolom

b diketahui, maka dengan sendirinya vektor X dapat dicari menurut

kaidah perkalian matriks. Dengan perkataan lain, jika masing-masing

koefisen input antar sektor dan permintaan akhir untuk setiap sektor

diketahui datanya; Maka dapatlah dihitung total output dari masing-

masing sektor. Satu hal yang harus diperhatikan dalam analisis input-

output bahwa koefisien input senantiasa dianggap konstan. Jadi

model analisis input-output yang disajikan adalah analisis statis.

Contoh:

Untuk kasus perekonomian Negara Amarta, hitunglah total output

untuk masing-masing sektor dan nilai tambah, bilamana ditargetkan

permintaan akhir terhadap sektor pertanian, industri dan jasa masing-

masing adalah 200, 600, dan 400. Susunlah matriks transaksi yang

baru.

7

Jawab: ai.jBerdasarkan perhitungan bahwa ai.j = ------- XjDapat dihitung matriks teknologi yakni:

0,20 0,12 0,02 A = 0,15 0,28 0,26 0,10 0,17 0,23

(Sebagai contoh untuk a1.1 = 40 : 200 = 0,20 )

Berdasarkan rumus yang telah dikemukakan:

X = ( I - A ) -1 . b

1 0 0 0,20 0,12 0,02 ( I - A ) = 0 1 0 - 0,15 0,28 0,26

0 0 1 0,10 0,17 0,23

0,80 - 0,12 - 0,02 ( I - A ) = -0,15 0,72 - 0,26 -0,10 - 0,17 0,77

0,80 - 0,12 - 0,02Det. I - A = - 0,15 0,72 - 0,26

- 0,10 - 0,17 0,77

= { [ (0,80) (0,72) (0,77) ] + [ ( - 0,12 ) ( - 0,26 ) ( - 0,10 ) ] + [ (- 0,02 ) ( - 0,17 ) ( - 0,15 ) ] } - { [ ( - 0,10 ) ( 0,72 ) ( - 0,02 ) ] + [ ( - 0,17 ) ( - 0,26 ) ( 0,80 ) ] + [ ( 0,77 ) ( - 0,12 ) ( - 0,15 ) ] }= 0,38923

Det. I - A = 0,38923 ======> Selalu Positif.

8

Mencari determinan

Mencari determinan

I - A -1 = Adj. ( I – A ) / Det. ( I – A )

M1.1 - M1.2 M1.3Kofaktor ( I - A ) = -M2.1 M2.2 - M2.3 -M3.1 - M3.2 M3.3

0,72 - 0,26M1.1 = d

- 0,17 0,77

= [ ( 0,72 ) ( 0,77 ) ] - [ ( - 0,17 ) ( - 0,26 ) ] = 0,5102

- 0,15 - 0,26 - M1.2 = - 0,10 0,77

= - [ ( - 0,15 ) ( 0,77 ) ] - [ ( - 0,10 ) ( - 0,26 ) ] = 0,1415

- 0,15 0,72 M1.3 = - 0,10 - 0,17

= [ ( - 0,15 ) ( - 0,17 ) ] - [ ( - 0,10 ) ( 0,72 ) ] = 0,0975

- 0,12 - 0,02

- M2.1 = - 0,17 0,77

= - [ (- 0,12 ) ( 0,77 ) ] – [ ( - 0,17 ) ( - 0,02 ) ] = 0,0958

9

0,80 - 0,02 M2.2 =

- 0,10 0,77

= [ ( 0,80 ) ( 0,77 ) ] – [ ( - 0,10 ) ( - 0,02 ) ] = 0,6140

0,80 - 0,12 - M2.3 =

- 0,10 - 0,17

= - [ ( 0,80 ) ( - 0,17 ) ] – [ ( - 0,10 ) ( - 0,12 ) ] = 0,1480

0,72 - 0,26 M3.1 =

- 0,17 0,77

= [ ( 0,72 ) ( 0,77 ) ] – [ - 0,17 ) ( - 0,26 ) ] = 0,0456

0,80 - 0,02- M3.2 =

- 0,15 - 0,26

= [ ( 0,80 ) ( - 0,26 ) ] – [ ( - 0,15 ) ( - 0,02 ) ] = 0,2110

0,80 - 0,12 M3.1 =

- 0,15 0,72

= [ ( 0,80 ) ( 0,72 ) ] – [ ( - 0,15 ) ( - 0,12 ) ] = 0,5580

10

0,5102 0,1415 0,0975 Kofaktor ( I - A ) = 0,0958 0,6140 0,1480

0,0456 0,2110 0,5580

Semua elemen matriks ini selalu positif antara 0 sampai 1

M1.1 - M2.1 M3.1 Adjoint ( I - A ) = - M1.2 M2.2 - M3.2 M1.3 M2.3 M3.3

0,5102 0,0958 0,0456 Adjoint ( I - A ) = 0,1415 0,6140 0,2110

0,0975 0,1480 0,5580

( I - A ) -1 = Adjoint ( I - A ) / Determinan. I - A

0,5102 0,0958 0,0456= 1 / 0,38923 0,1415 0,6140 0,2110

0,0975 0,1480 0,5580

1,3108 0,2461 0,1171 ( I - A ) -1 = 0,3635 1,5775 0,5421

0,2505 0,3802 1,4336

( Elemen Diagonal > 1 )

X = ( I - A ) -1 . b

11

X1 = 1,3108 0,2461 0,1171 200X2 = 0,3635 1,5775 0,5421 600

X3 = 0,2505 0,3802 1,4336 400

X1 = (1,3108) (200) + (0,2461) (600) + (0,1171) (400) X2 = (0,3635) (200) + (1,5775) (600) + (0,5421) (400) X3 = (0,2505) (200) + (0,3802) (600) + (1,4336) (400)

X1 456,66 X2 = 1236,04 X3 851,66

Jadi total output masing-masing sektor menjadi :Pertanian = 456,66 ; Industri = 1236,04 ; dan Jasa = 851,66

Sedangkan nilai tambah masing-masing sektor adalah:Pertanian = ( 1 – 0,20 – 0,15 – 0,10 ) ( 456,66 ) = 251,16Industri = ( 1 – 0,12 – 0,28 – 0,17 ) ( 1236,04 ) = 531,50Jasa = ( 1 – 0,02 – 0,26 – 0,23 ) ( 851,66 ) = 417,32

Dari hasil perhitungan yang dilakukan, maka matriks transaksi baru yang dapat ditampilkan adalah:

Sektor Pertanian Industri Jasa P A T OPertanianIndustriJasa

91,3468,5045,66

148,32346,09210,13

17,00221,45195,89

200600400

456,661236,04851,66

Nilai Tambah 251,16 531,50 417,32Total Output 456,66 1236,04 851,66

Hasil perhitungan input-output untuk setiap sektor perhitungannya kurang tepat,

hal ini dikarenakan hanya disebabkan oleh faktor pembulatan. jika total output

merupakan bilangan utuh, maka input-output ataupun nilai tambah pada

perhitungan tabel transaksi akan dipastikan benar. Tabel tersebut ternyata

12

terdapat 4 sel yang kosong, bilamana salah satu sel diketahui maka semua sel

akan dapat dihitung dan berarti akan terisi untuk semua sel.

KETERKAITAN KE DEPAN ATAU KE HILIR (FORWARD LINKAGE) DAN KETERKAITAN KE BELAKANG ATAU KE HULU (BACKWARD LINKAGE)

Dengan memperhatikan matriks ( I – A )-1 dapat dihitung angka keterkaitan ke belakang (hulu) ataupun angka keterkaitan ke depan (hilir) dari suatu jenis sektor yang ada di dalam tabel input-output. Keterkaitan ke belakang (hulu) atau backward linkage ( BL ) adalah hubungan antara suatu sektor tertentu dengan sektor yang menyediakan input-nya. Keterkaitan ke belakang ini menggambarkan tingkat penyerapan sektor tertentu terhadap output dari sektor-sektor lain. Sebaliknya keterkaitan ke depan (hilir) atau forward linkage (FL) adalah hubungan antara persediaan output sektor tertentu yang dibeli dan digunakan oleh sektor-sektor lain sebagai input antara. Keterkaitan ke depan ini menggambarkan tingkat penyerapan sektor lain terhadap output dari suatu sektor tertentu.

Menurut rumus Rasmussen bahwa backward linkage dan forward linkage dapat dihitung sebagai berikut:Dari matriks invers ( I – A ) atau ( I - A ) -1, maka rumus untuk menghitung angka Backward Linkage adalah:

BL = [ n kali jumlah angka matriks per kolom ] / [ jumlah seluruh angka dalam matriks invers ( I – A ) ]

Rumus angka Forward Linkage adalah:

FL = [ n kali jumlah angka matriks per baris ] / [ jumlah seluruh angka dalam matriks invers ( I – A ) ]

n = banyaknya sektor yang ada dari data input-output.

Berdasarkan angka keterkaitan ini dapat dipilih jenis sektor industri dalam perekonomian suatu Negara dengan kriteria sebagai berikut:

Jenis Sektor IndustriAngka Keterkaitan

BL FLIndustri AntaraIndustri HuluIndustri Hilir

1 1 1

1> 1 1

13

Industri Konsumsi 1 1Contoh: diketahui matriks input-output antar 3 sektor seperti berikut ini:

0,70 - 0,20 - 0,10- 0,10 0,70 - 0,20- 0,20 0,00 0,85

Jika diketahui bahwa nilai tambah setiap sektor yakni sektor I sebesar 14000,

sektor II sebesar 12000 dan sektor III sebesar 16500 ( dalam satuan milyar

rupiah ), maka ditanyakan:

a. Hitunglah matriks teknologi dan permintaan akhir setiap sektor ?

b. Hitunglah BL dan FL dari setiap sektor ?

Jawab :

a. Matriks teknologi = I - ( I – A ) :

1 0 0 0,70 - 0,20 - 0,10 = 0 1 0 - - 0,10 0,70 - 0,20 0 0 1 - 0,20 0,00 0,85

0,30 0,20 0,10 = 0,10 0,30 0,20 0,20 0,00 0,15

Total koefisien input adalah 0,60 0,50 0,45

Koefisien nilai tambah setiap sektor didapatkan dari: 1 - ( jumlah angka koesien matriks teknologi setiap sektor ), sehingga :Sektor I = 1 - ( 0,30 + 0,10 + 0,20 ) = 0,40 dan jika X I adalah total output sektor I, maka : 0,40 XI = 14000 XI = 14000 / 0,40 = 35000

14

Sektor II = 1 - ( 0,20 + 0,30 + 0,00 ) = 0,50 dan jika X II adalah total output sektor II, maka : 0,50n XII = 12000 XII = 12000 / 0,50 = 24000

Sektor III = 1 - ( 0,10 + 0,20 + n 0,15 ) = 0,55 dan jika X III adalah total output sektor III, maka :0,55 XIII = 16500 XIII = 165000 / 0,55 = 30000

Permintaan akhir setiap sektor, maka dapat dihitung dengan menggunakan rumus: ( I – A ) . X yakni:

0,70 - 0,20 - 0,10 35000 16700 = - 0,10 0,70 - 0,20 . 24000 = 3300 - 0,20 0,00 0,85 30000 18500

Jadi permintaan akhir sektor I, II, dan III adalah masing-masing sebesar 16700, 3300, dan 18500 milyar rupiah.

b. Untuk menghitung backward dan forward linkage, terlebih dahulu harus dihitung invers matriks ( I – A ). Caranya, pertama kali yang dihitung determinan matriks ( I – A ) dan hasilnya sebagai berikut:

det. ( I – A ) = [ { (0,70) (0,70) (0,85) } + { (- 0,10) (0,00) (- 0,10) } + ( -0,20) (-0,20) (-0,20) } ] - [ { (-0,20) (0,70) (-0,10) } + { (0,00) (-0,20) (0,70) } + { (-0,10) (-0,20) (0,85) } ] = 0,3775 ( Ingat: nilainya selalu positip )

Kemudian menghitung adjoint matriks ( I – A ) cara menghitung matriks kofaktor seperti berikut ini:

M11 - M12 M13

15

= - M21 M22 - M23

M31 M32 M33

0,5950 0,1250 0,1400 = 0,1700 0,5750 0,0400

0,1100 0,1500 0,4700

Dengan demikian adjoint matriks ( I – A ) yang merupakan matriks

kofaktor yang ditranspose dapat ditunjukkan berikut ini:

0,5950 0,1700 0,1100

= 0,1250 0,5750 0,1500

0,1400 0,0400 0,4700

Invers dari matriks ( I – A ) adalah 1 / det. ( I – A ) Sehingga adjoint

matriks ( I – A ) adalah :

1,5762 0,4503 0,2914

( I – A ) -1 = 0,3311 1,5232 0,3974

0,3709 9,1060 1,2450

( Perhatikan angka dalam matrks ini bahwa semua positif dan angka

diagonal selalu > 1 )

16

Berdasarkan invers dari matriks Leaontief ( I – A ) didapatkan :

1,5762 0,4503 0,2914 2,3179

0,3311 1,5232 0,3974 2,2517

0,3709 0,1060 1,2450 1,7219

2,2781 2,0795 1,9338 6,2914

Jadi Backward Linkage dapat dihitung yakni:

Sektor I = ( = 3 X 2,2781/6,2914 ) = 1,0863

Sekor II = ( = 3 X 2.0795/6,2914 ) = 0,9916

Sektor III = ( = 3 X 1,9338/6,2914 ) = 0,9221

Forward Linkage :

Sektor I = ( = 3 X 2,3179/6,1914 ) = 1,1231

Sektor II = ( = 3 X 2,2517/6,2914 ) = 1,0737

Sektor III = ( = 3 X 1,7219/6,2914 ) = 0,8211

Berdasarkan angka perhitungan tersebut dapat diartikan bahwa:

Sektor I termasuk industri antara, Sektor II termasuk industri hulu,

dan Sektor III termasuk industri konsumsi.

17

c. Permintaan akhir dan total output yang baru :

Sektor I, II, dan III masing-masing:

Sektor I : naik 10 % dari 16700 menjadi 18370

Sektor II : naik 30 % dari 3300 menjadi 4290

Sektor III : naik 10 % dari 18500 menjadi 20350

Jadi total output setiap sektor dapat dihitung dengan cara mengalikan

invers matriks ( I – A ) dengan permintaan akhir :

1,5762 0,4503 0,2914 18370

0,3311 1,5232 0,3974 4290

0,3790 0,1060 1,2450 20350

36817 Total output sektor I

20704 Total output sektor II

32604 Total output sektor III

18