MELAKUKAN_PERHITUNGAN_MATEM

7/22/2019 MELAKUKAN_PERHITUNGAN_MATEM

1/50

SEKOLAH MENENGAH KEJURUANBIDANG KEAHLIAN TEKNIK MESIN

PROGRAM KEAHLIAN TEKNIK PEMESINAN

MELAKUKAN PERHITUNGAN MATEMATIS

BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM

DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUANDIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH

DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

2004


2/50

ii

SEKOLAH MENENGAH KEJURUANBIDANG KEAHLIAN TEKNIK MESIN

PROGRAM KEAHLIAN TEKNIK PEMESINAN

MELAKUKAN PERHITUNGAN MATEMATIS

PENYUSUN

TIM FAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUMDIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN

DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAHDEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL

2004


3/50

iii

KATA PENGANTAR

Matematika adalah Ratu dan Pelayan Sains (E.T. Bell), maka

peserta diklat di tingkat SMK yang berhubungan langsung dengan sains

dan teknik sangat mutlak harus mempelajari matematika. Modul

matematika berisi uraian singkat dan soal yang sangat mudah dipahami

oleh peserta diklat. Setiap kegiatan belajar diawali dengan penjelasan

singkat. Setelah itu dengan beberapa contoh dan soal tugas diharapkan

peserta diklat dapat memahami lebih mendalam uraian materi yang

dibahas.

Peserta diklat diharapkan aktif belajar sendiri dengan tuntunan

modul ini. Peran guru adalah membantu peserta diklat yang kurang dapat

memahami uraian materi maupun tugas, sehingga proses belajar berjalan

lancar. Peserta diklat diharapkan mempelajari modul ini dari awal hingga

akhir, dan mengerjakan semua tugas (tugas sebaiknya jangan dikerjakan

sebagian saja).

Guru sebagai nara sumber utuk pemelajaran modul ini diharapkan

menambah wawasan dengan membaca buku-buku dalam daftar pustaka,

dan buku penunjang lainnya. Dengan demikian peserta diklat yang bisa

dengan cepat menyelesaikan belajarnya dapat diberikan soal pengayaan.

Tugas yang diberikan pada modul ini telah diusahakan sebagian

besar berhubungan langsung dengan bidang keahlian para peserta diklat.

Sebagian besar soal diambil dari buku Technical Mathematics for the Metal

Tradekarangan Siegbert Hollger.

Yogyakarta, Desember 2004

Penyusun,

Tim Fakultas TeknikUniversitas Negeri Yogyakarta


4/50

iv

DAFTAR ISI

Halaman

SAMPUL ............................................................................................... i

HALAMAN FRANCIS ............................................................................... ii

KATA PENGANTAR................................................................................. iii

DAFTAR ISI .......................................................................................... iv

PETA KEDUDUKAN MODUL..................................................................... vii

GLOSSARIUM........................................................................................ viii

BAB I PENDAHULUAN........................................................................... 1

A. DESKRIPSI................................................................................ 1

B. PRASYARAT ............................................................................. 1

C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL............................................... 2

1. Bagi Peserta Diklat................................................................ 2

2. Bagi Guru ............................................................................. 3

D. TUJUAN AKHIR......................................................................... 4

E. KOMPETENSI ............................................................................ 5

F. CEK KEMAMPUAN...................................................................... 7

BAB II PEMELAJARAN........................................................................ 8

A. RENCANA BELAJAR PESERTA DIKLAT .......................................... 8

B. KEGIATAN BELAJAR................................................................... 9

1. Kegiatan Belajar 1 Rasio Trigonometri....................................... 9

a. Tujuan Kegiatan ............................................................... 9

b. Uraian Materi .................................................................. 9

c. Rangkuman...................................................................... 11

d. Tugas.............................................................................. 13e. Tes Formatif..................................................................... 15

f. Kunci Jawaban Tes Formatif ............................................... 16

2. Kegiatan Belajar 2 Menghitung Keliling..................................... 17


b. Uraian Materi .................................................................. 17

c. Rangkuman...................................................................... 19

d. Tugas.............................................................................. 20


5/50

v

e. Tes Formatif..................................................................... 21


3. Kegiatan Belajar 3 Transposisi Persamaan................................ 21


b. Uraian Materi .................................................................. 22

c. Rangkuman...................................................................... 23

d. Tugas.............................................................................. 24

e. Tes Formatif..................................................................... 26


4. Kegiatan Belajar 4 Sifat-sifat geometri untuk sudut, segitiga dan

segitiga............................................................................... 29


b. Uraian Materi .................................................................. 29

c. Rangkuman...................................................................... 30

d. Tugas.............................................................................. 30

e. Tes Formatif..................................................................... 31

f. Kunci Jawaban Tes Formatif .............................................. 32

5. Kegiatan Belajar 5 Bidang dan volume menurut Aturan Guldin

(Guldins Rule) ..................................................................... 33


b. Uraian Materi .................................................................. 33

c. Rangkuman..................................................................... 34

d. Tugas.............................................................................. 35

e. Tes Formatif..................................................................... 36

f. Kunci Jawaban Tes Formatif .............................................. 37

BAB III EVALUASI.............................................................................. 38

A. PERTANYAAN............................................................................ 38

B. KUNCI JAWABAN....................................................................... 40

C. KRITERIA KELULUSAN ............................................................... 40

BAB IV PENUTUP................................................................................ 41

DAFTAR PUSTAKA .............................................................................. 42


6/50

vi

M7.5A

M1.2FA

M1.3FA

M1.3FA

M1.4FA

M12.3A

M18.1A

M9.2A

M2.5C11

A

M7.24A

M2.7C10

M7.32A

M7.28A

M2.8C10

M7.15A

M7.8A

M7.7A

M7.6A

M7.10A

M7.16A

M7.11A

M7.21A

M7.18A

PETA KEDUDUKAN MODUL

A. DIAGRAM PENCAPAIAN KOMPETENSI

Diagram ini menunjukan tahapan atau tata urutan kompetensi yang

diajarkan dan dilatihkan kepada peserta didik dalam kurun waktu yang

dibutuhkan serta kemungkinan multi exit-multi entry yang dapat

diterapkan.

Keterangan:

M12.3A Mengukur dengan alat ukur mekanik presisi

M18.1A Menggunakan perkakas tangan

M2.5C11A Menggunakan alat ukur

M2.7C10 Melakukan perhitungan - dasar

M7.24A Mengoperasikan dan mengamati mesin/proses

M2.8C10 Melakukan perhitungan - lanjut

M2.13C5 Melakukan perhitungan matematis

M9.2A Membaca gambar teknik


7/50

vii

M7.28A Mengoperasikan mesin NC/CNC (dasar)

M7.32A Menggunakan mesin untuk operasi dasar

M7.5A Bekerja dengan mesin umum

M7.6A Melakukan Pekerjaan dengan mesin bubut

M7.7A Melakukan pekerjaan dengan mesin frais

M7.8A Melakukan pekerjaan dengan mesin gerinda

M7.15A Mengeset mesin dan program mesin NC/CNC (dasar)

M7.10A Menggerinda pahat dan alat potong

M7.11A Mengefrais (kompleks)

M7.21A Membubut (kompleks)

M7.16A Mengeset dan mengedit program mesin NC/CNC

M7.18A Memprogram mesin NC/CNC (dasar)

B. KEDUDUKAN MODULUntuk mempelajari modul ini peserta diklat harus sudah

mempelajari Melakukan perhitungan-dasar (M2.7C10) dan

Melakukan perhitungan-lanjut (M2.8C10).


8/50

viii

GLOSSARI UM

Rasio : perbandingan

Adjacent : sisi segitiga yang berdekatan dengan sudut

Hypotenuse : sisi miring

Opposite : sisi segitiga di depan sudut yang dimaksud


9/50

1

BAB IPENDAHULUAN

A. DESKRIPSIModul Melakukan Perhitungan Matematis (M2. 13 C 5) dibuat untuk

membantu peserta diklat dalam melaksanakan belajar berdasarkan

Kurikulum 2004. Modul ini bekaitan dengan dua modul sebelumnya

yaitu Melakukan perhitungan dasar dan Melakukan perhitungan lanjut

(modul dengan kode M). Ruang lingkup modul ini sesuai dengan GBPP

meliputi Rasio trigonometri; Aplikasi sinus dan cosinus; Aljabar

sederhana; Sifat-sifat geometri untuk sudut, segitiga dan lingkaran;

dan Bidang dan Volume.

Setelah menyelesaikan modul ini peserta diklat diharapkan memiliki

kompetensi melakukan perhitungan matematis yang meliputi :

? Menunjukkan penghitungan yang menyangkut keenam rasio

trigonometri

? Mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam penyelesaian soal

? Menunjukkan/ melakukan operasi aljabar yang sederhana

? Menggunakan prinsip-prinsip geometri dalam menyelesaikan soal

? Mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk-bentuk yang

kompleks

B. PRASYARATUntuk mempelajari modul ini sebaiknya peserta diklat sudah

menguasai dua buah kompetensi yaitu: Melakukan perhitungan dasar

dan Melakukan perhitungan lanjut.


10/50

2

C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL

1. Bagi Peserta diklata. Langkah-langkah belajar yang harus ditempuh oleh peserta diklat

adalah :

? Membaca petunjuk penggunaan modul

? Mencoba mengerjakan soal pada Sub bab F (Cek kemampuan),

apabila telah bisa menyelesaikan soal-soal tersebut (minimal 70%

benar), peserta diklat dipersilahkan langsung mengerjakan tesformatif.

? Apabila cek kemampuan tidak bisa mengerjakan, peserta diklat

mempelajari modul ini dari awal sampai akhir mulai Kegiatan

belajar 1.

? Setiap Kegiatan belajar dilakukan dengan cara membaca penjelasan

singkat setiap sub kompetensi, memahami penjelasan tersebut

(bisa meminta pertolongan guru apabila belum jelas), kemudian

mengerjakan soal latihan.

? Soal tugas sebaiknya dikerjakan semua, apabila waktu di sekolah

tidak mencukupi maka dikerjakan di rumah sebagai tugas.

? Setelah selesai mengerjakan soal tugas hasilnya dilaporkan pada

guru untuk dinilai.

? Apabila nilai yang diperoleh belum 70, maka peserta diklat harus

mengulang mempelajari kegiatan belajar yang sama sampai nilai

yang diperoleh minimal 70.

? Setelah soal tugas dikuasai( nilai >70), kemudian mengerjakan Tes

Formatif.

? Peserta diklat dinyatakan menguasai sub kompetensi apabila nilai

test formatif yang dicapai minimal 70.


11/50

3

? Setelah kegiatan belajar 1 selesai dilanjutkan dengan kegiatan

belajar selanjutnya dengan langkah-langkah seperti yang telahdijelaskan di atas.

? Peran guru dalam mempelajari modul adalah sebagai nara sumber,

yaitu orang yang menguasai kompetensi yang selalu siap ditanyai

oleh peserta diklat dalam mempelajari kompetensi tertentu.

b. Perlengkapan yang harus dipersiapkan

Setiap peserta diklat dalam mempelajari modul sebaiknya

menggunakan perlengkapan : ballpoint, pencil, karet penghapus, bukutulis, kertas buram, dan kalkulator.

2. Peran Guru Antara Laina. Membantu peserta diklat dalam merencanakan proses belajar

b. Membimbing peserta diklat melalui menjelaskan materi yang dirasa

sulit dan menjelaskan tugas yang dijelaskan dalam tahap belajar

c. Membantu peserta diklat dalam memahami konsep dan praktek

baru dan menjawab pertanyaan peserta diklat mengenai proses

belajar peserta diklat

d. Membantu peserta diklat untuk menentukan dan mengakses

sumber tambahan lain yang diperlukan untuk belajar

e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika diperlukan

f. Merencanakan seorang ahli/pendamping guru dari tempat kerja

untuk membantu jika diperlukang. Merencanakan proses penilaian dan menyiapkan perangkatnya

h. Melaksanakan penilaian

i. Menjelaskan kepada peserta diklat tentang sikap, pengetahuan dan

ketrampilan dari suatu kompetensi yang perlu untuk dibenahi dan

merundingkan rencana pemelajaran selanjutnya.

j. Mencatat pencapaian kemajuan peserta diklat


12/50

4

D. TUJUAN AKHIR1.

Kinerja yang diharapkan: Peserta diklat mampu melakukanperhitungan matematis secara mandiri.

2. Kriteria keberhasilan: Peserta diklat dikatakan telah menguasai

kompetensi apabila telah mampu mengerjakan semua soal latihan, dan

sol tes formatif, dan evaluasi sumatif dengan nilai minimal 70.

3. Kondisi atau variabel yang diberikan: Kompetensi melakukan

perhitungan matematis ini diharapkan dapat diselesaikan peserta diklat

dalam waktu 160 jam pelajaran (@ 45 menit).


13/50

5

E. KOMPETENSIKOMPETENSI : Melakukan perhitungan matematis

KODE : M2. 13 C 5DURASI PEMELAJARAN : 160 Jam @ 45 menit

A B C D E F GLEVEL KOMPETENSI KUNCI

2 1 1 1 1 1 -

KONDISI KINERJA

1. Sumber Informasi :? Kode standar? Buku-buku pedoman

2. Kegiatan :? Menunjukkan penghitungan yang menyangkut keenam rasio trigonometri

? Mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam penyelesaian soal? Menunjukkan operasi aljabar yang sederhana

? Menggunakan prinsip-prinsip geometri dalam menyelesaikan soal? Mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk-bentuk yang kompleks

MATERI POKOK PEMELAJARANSUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR

SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN

1.Menunjukkan penghitunganyang menyangkut ke-enamrasio trigonometri

? Kalkulasi untukmenyelesaikan soal yangberkaitan dengan segitigasiku-siku, dengan

mengguna-kanperbanding-an yang sesuaidapat ditunjuk-kan.

? Rasio trigonome-tri

? Rasio trigono-metri ? Memahami cara meng-hitung denganmenggu-nakan rasiotrigonome-tri

2.Mengaplikasikan aturan sindan cosin dalam pe-nyelesaian soal

? Kalkulasi yang ditunjukkanpada bukan segitiga siku-siku yang memanfaatkanaturan sin dan cosin dapatdiaplikasikan.

?Aplikasi sinus dancosinus

? Hati-hatimengidentifi-kasibentuk segitigaapakah siku-sikuatau bukan

? Memahami cara meng-aplikasikan sinus dancosinus dalammenyele-saikan soal


14/50

6

MATERI POKOK PEMELAJARANSUB KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR

SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN

3.Menunjukkan operasi aljabaryang sederhana

? Transposisi rumussederhana untukmemisahkan variabel yangdiminta, yang menyang-kutpenambahan, pengurang-an, perkalian, pembagiandapat ditunjukkan.

? Rumus dibuat untukmenye-lesaikan soal yang

menyang-kut bentuk ataukonsep sederhana.

? Persamaan sederhana yangmenyangkut satu nilai yangtidak diketahui dapatdihitung.

? Rumus sederhanapada aljabar

? Rumuspenyelesaianbentuk soal dankonsep yangsederhana

? Persamaansederhana

? Memahami rumusaljabar yang sederhana

? Menerapkan carameng-gunakan rumusuntuk menyelesaikanbentuk dan konsepsoal

? Memahami cara persa-maan sederhana

4.Menggunakan prinsip-prinsipgeometri dalammenyelesaikan soal

? Penyelesaian soaldipermudah denganmenggunakan sifat-sifatgeometri untuk sudut,segitiga dan lingkarandalam kalkulasi.

? Sifat-sifatgeometri untuksudut segi tigadan lingkaran

? Membagi bentukkompleks menjadibentuk-bentuksederha-na

? Memahami prinsip-prinsip geometri untuksudut, segitida danlingkaran

5.Mengkalkulasi bidang danvolume dari bentuk-bentukyang kompleks

? Formula yang diberikanuntuk pengkalkulasianbidang dan volume dapatdipahami.

? Bidang danvolume

? Memahami caramengkalkulasi bidangdan volume daribentuk komplek


15/50

7

F. CEK KEMAMPUANIsilah tabel di bawah dengan cek list (v ) dengan sikap jujur dan dapatdipertanggung jawabkan untuk mengetahui kemampuan awal yang telah

anda miliki.

Saya telah menguasai sub

kompetensi iniSub

KompetensiPernyataan

Ya Tidak

Bila Jawaban

Ya Kerjakan

Menunjukkanpenghitungan

yang menyangkutkeenam rasio

trigonometri

Dapat melakukanpenghitungan yang

menyangkut keenamrasio trigonometri

Tes Formatif 1

Mengaplikasikanaturan sinus dan

cosinus dalampenyelesaian soal

Dapatmengaplikasikan

aturan sinus dancosinus dalam

penyelesaian soal

Tes Formatif 2

Menunjukkan

operasi aljabaryang sederhana

Dapat melakukan

transposisi untuk

semua operasi

aljabar

Tes Formatif 3

Menggunakanprinsip-prinsipgeometri dalam

menyelesaikan

soal

Dapat menggunakanprinsip-prinsipgeometri segitiga

dan lingkaran dalam

menyelesaikan soal

Tes Formatif 4

Mengkalkulasibidang dan

volume daribentuk-bentuk

yang kompleks

Dapat mengkalkulasibidang dan volume

dari bentuk-bentukyang kompleks

dengan aturanGuldin

Tes Formatif 5

Apabila anda menjawab tidakpada salah satu pernyataan di atas, maka

pelajarilah modul ini.


16/50

8

BAB IIPEMELAJARAN

A. RENCANA BELAJAR PESERTA DIKLATRencanakanlah setiap kegiatan belajar anda dengan mengisi tabel di

bawah ini dan mintalah bukti belajar guru jika telah selesai mempelajari

setiap kegiatan belajar.

Jenis Kegiatan Tanggal Waktu TempatBelajar

AlasanPerubahan

TandaTangan

Guru

Menunjukkan

penghitungan yang

menyangkut keenam

rasio trigonometri

Mengaplikasikan aturan

sinus dan cosinus

dalam penyelesaian

soal

Menunjukkan operasi

aljabar yang sederhana

Menggunakan prinsip-

prinsip geometri dalam

menyelesaikan soal

Mengkalkulasi bidang

dan volume dari

bentuk-bentuk yang

kompleks


17/50

9

B. KEGIATAN BELAJAR1. Kegiatan Belajar 1

Rasio Trigonometri

a. Tujuan kegiatan pemelajaran 1Memahami cara menghitung dengan menggunakan rasio trigonometri.

b. Uraian materi 1Segitiga ABC memiliki sudut siku di C dan panjang sisi a,b,c. Fungsi

trigonometri untuk sudut A didefinisikan sebagai berikut :

Nama ketiga sisi untuk segitiga di atas :

? Sisi berhadapan (opposite= sisi di depan sudut yang dimaksud)

? Sisi berdekatan ( adjacent= sisi yang berdekatan dengan sudut)

? Sisi miring (hypotenuse= sisi miring)

Harga dari rasio trigonometri tersebut dapat diperoleh melalui tabel,

grafik atau dengan menggunakan kalkulator.

Untuk harga rasio trigonometri dengan sudut A lebih dari 900,

digambarkan sebagai berikut :


18/50

10

Gambar Grafik rasio trigonometri y=sin x, dan y= cos x, dengan sudut

dalam derajad digambarkan di bawah ini.

y= sin x

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

0 90 180 270 360

sudut

y=cos x

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

0 90 180 270 360

sudut

Dari definisi dan gambar di atas dapat dicari rasio trigonometri

berdasarkan harga sinus dan cososinusnya, yaitu :

??

??

cos

sintan ?

??

?sin

1csc ?

??

?cos

1sec ?

??

??

sin

coscot ?


19/50

11

Nilai-nilai keenam rasio trigonometri untuk sudut istimewa dicantumkan

dalam tabel berikut :No. Sudut a sin a cos a tan a csc a sec a cot a

1. 00 0 1 0 Tidakdidefinisikan

1 Tidakdidefinisikan

2. 300

2

1 3

2

1 3

3

1

2

3

2 3

3. 4502

2

1 2

2

1

1 2 2 1

4. 6003

2

1

2

1 3

3

2

23

3

1

5. 900

1 0 Tidakdidefinisikan 1 Tidakdidefinisikan 1

Berdasarkan tabel dan grafik keenam rasio trigonometri coba lanjutkan

tabel di atas untuk sudut istimewa sampai dengan 3600.

c. Rangkuman 1Rasio sisi pada suatu segitiga siku dinamakan fungsi trigonometri, yang

terdiri dari sinus, cosinus, tangen, cotangen, secan, dan cosecan.Dengan demikian untuk sebuah segitiga jika diketahui dua harga dapat

dicari empat harga yang lain.

Contoh 1

Untuk panjang 40 cm pada suatu baji tingginya 30 cm, hitunglahpanjang dari sisi miringnya dan sudut kenaikannya .

Penyelesaian :

Ditanyakan :L dan a

Diketahui : l = 40 cm dan h = 30 cm

40

30

a


20/50

12

Jawab :

75,040

30tan ??? l

h?

'5236o?? (diperoleh dari tabel atau dari kalkulator dengan cara : tulis 30,

kemudian dibagi 40 = , sehingga tertulis 0,75. Setelah itu tekan inv (atau

shift) , tekan tan , tekan shift DEG).

NB : mintalah petunjuk guru untuk pemakaian kalkulator mencari sudut tersebut.

6,030

sin ??

L

? , sehingga 50

6,0

30??L

Sehingga jawabanya adalah : panjang sisi miring = 50 cm,

sudut kenaikannya 36o52.

Contoh 2

Suatu penyangga dari plat baja berbentuk segitiga siku-siku digunakan

untuk menahan suatu papan. Panjang dua sisi yang pendek adalah 50 cm

dan 50 cm. Berapakah panjang sisi miringnya ?

Dicari: c

Diketahui: Panjang dua sisi yang lain

a=b=50

Penyelesaian :

Perhitungan dengan teorema Phytagoras

222 bac ??

c2=502+502

c=50v2 = 70,71 cm

Perhitungan dengan rasio trigonometri

Dari gambar dapat dirumuskan 150

50tan ??? , sehingga dari tabel di atas

diperoleh =450. Maka, sin 450=c

502

2

1?

Sehingga, 71,702

2

100

2

100???c cm.

50

50

c


21/50

13

d. Tugas 1Kerjakan soal di bawah ini1. Jika 00< a


22/50

14

7.Apabila benda kerja pada

nomer 3 setiap ujungnyadichamfersatu sisi 10 mm

dan sisi yang lain 5 mm,

berapakah sudut

chamfernya ? dan

berapakah panjang bagian yang dipotong ?

8. Sebuah pintu dari baja berukuran 2,1 m x 1,2 m akan dipotongsepanjang diagonalnya. Berapakah panjang potongnya?

9. Sebuah tangga panjangnya 5 meter,

apabila jarak kaki tangga terhadap tembok

1,25 m, berapa tinggi yang dapat

dipanjat ?

10.Sebuah kotak dengan panjang 2,5 m akan

digantung menggunakan rantai dengan

panjang 2 x 2 m. Berapakah tinggi h ?

11.Sebuah tangga untuk naik ke lantai dua akan dibuat sesuai dengansegitiga siku-siku. Panjang bagian alas 7 m dan tinggi tembok lantai

dua yang akan dinaiki 4 m. Berapakah panjang yang harus dilalui

ketika melewati tangga tersebut ?

12.Berapakah panjang sisi persegi maksimal (ujungnya runcing) yang

mungkin dibuat pada lubang diameter 60 mm ?

5x45

c

h


23/50

15

e. Tes formatif 1Petunjuk : Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menit

Kondisi : Boleh Buka Buku, Gunakan kalkulator

1. Hitunglah b dan x.

2. Hitunglah D.

3. Hitunglah h dan x.


24/50

16

4. Hitunglah L bila panjang bagian yang menempel di tembok 0,96

m.

5. Hitunglah c.

6. Berdasarkan grafik sinus dan cosinus buatlah grafik y=tan x,

dengan ketentuan bahwa tan x=sin x/cos x.

f. Kunci jawaban formatif 1

1. x= 135, b= 222,722. D = 41,233. h=8,62 , x=1,83

4. L= 1,83 m5. c= 651,9


25/50

17

2.Kegiatan Belajar 2Aturan Cosinus Dan Aturan Sinus Untuk Segitiga Tidak Siku

a. Tujuan kegiatan pemelajaran 2Memahami cara mengaplikasikan aturan sinus dan cosinus dalam

menyelesaikan soal.

b. Uraian materi 2Untuk segitiga di samping dengan nama dan notasi tersebut maka

berlaku aturan cosinus, yaitu :

?cos2222 bccba ???

?cos2222 accab ???

?cos2222 abbac ???

Untuk segitiga yang sama berlaku

juga aturan sinus:

??? sinsinsin

cba??

Contoh 1

Pada suatu segitiga diketahui a=5, b=6 dan ?=600, seperti tampak

pada gambar, carilah bagian-bagian lainnya.

Diketahui : segitiga dengan notasi dan

ukuran pada gambar.Ditanyakan: c, a , dan

Jawab :

C dapat dicari dengan aturan cosinus :

?cos2222 abbac ??? 0222 60cos.6.5.265 ???c

31)2

1.(60612 ???c

c= 6,531 ?

Aturan cosinus dapat pula digunakan untuk mendapatkan a :

A

B

C

600

a

b=6

a=5c

a

A

B

Cb

hc

a

?


26/50

18

?cos2222 bccba ???

6250,0)6,5).(6.(2

2531362

cos222

???????bc

acb?

0317,51??

Sudut dapat dicari juga dengan aturan cosinus. Akan tetapi karena

kita tahu bahwa jumlah sudut pada suatu segitiga adalah 1800, maka :

0000 683,68317,5160180 ?????

Contoh 2

Carilah bagian-bagian lain dari segitiga ABC seperti gambar di atas jika

diketahui : c=10, a=400, dan =600.

Ditanyakan :

a,b, dan ?

Diketahui :

c=10, a=400, dan =600.

Jawab :

Jumlah sudut pada segitiga ABC adalah 1800.

Sehingga ? = 1800-400-600= 800.

Sisi a dan b dapat dicari dengan??? sinsinsin

cba??

Dari rumus tersebut diperoleh

53,680sin

60sin10

sin

sin0

0

????

?cb

dan 79,880sin

40sin10

sin

sin0

0

????

?ca


27/50

19

c. Rangkuman 2Untuk mencari harga bagian-bagian segitiga tidak siku-siku dapatdigunakan

Atu ran cosinus

?cos2222 bccba ???

?cos2222 accab ???

?cos2222 abbac ???

Aturan sinus:

??? sinsinsin

cba??

d. Tugas 2Kerjakan soal di bawah ini

1. Carilah bagian-bagian segitiga ABC lainnya jika diketahui :

a. a=45, b= 47, ?=350.

b. a=20, b= 40, ?=280.

c. a=10, b= 40, ?=1200.

2. Carilah sudut terbesar pada segitiga ABC, jika

a. a=7, b=6, dan c=8

b. a=16, b=17, dan c=18

3. Panjang dua sisi yang berdampingan suatu jajaran genjang masing-

masing adalah 125 mm dan 162 mm. Carilah panjang kedua diagonal

jajaran genjang itu, jika sudut yang dibentuk kedua sisi tadi adalah

42020.

4. Carilah nilai bagian-bagian lain dari segitiga ABC :

5. a=320, =480, dan a= 10

6. a=600, =450, dan a= 3

7. a=450, a=8, dan b= 5


28/50

20

e. Tes formatif 2Petunjuk : Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menitKondisi : Boleh Buka Buku, Gunakan kalkulator

1. Carilah bagian-bagian segitiga ABC lainnya jika diketahui :

a. a=10, b= 10, =300.

b. a=7, b= 9, a=118,450.

c. a=8, b= 7, ?=63,470.

2. Carilah sudut terbesar pada segitiga ABC, jika a=17, b=25, dan c=12

3. Titik A dan B adalah dua tempat di sisi sebuah sungai. Titik C adalahsatu tempat di sisi sungai seberang. Apabila


29/50

21

3. Kegiatan Belajar 3Transposisi Persamaan

a. Tujuan kegiatan pemelajaran 3

? Memahami rumus aljabar yang sederhana

? Menerapkan cara menggunakan rumus untuk menyelesaikan

bentuk dan konsep soal

? Memahami cara mengaplikasikan persamaan sederhana.

b. Uraian Materi 3

Persamaan dapat dibandingkan dengan suatu timbangan seperti gambar

di atas.

Misal : Sisi kiri timbangan 9 dan sisi kanan 5+x, maka dalam kondisi

setimbang menjadi persamaan : 9=5+x

Apabila bagian kiri dikurangi 5, maka supaya setimbang bagian kanan

juga dikurangi 5, sehingga :

9-5=5+x-5, maka

4=x atau x = 4

Dengan cara lain :


30/50

22

5 + x = 9 ( 5 d ip indah ke kanan tanda + m en jad i-) maka,

x=9-5 atau x=4Dengan demikian dapat dikatakan bahwa jika berpindah ruas tandanya

dibalik.

Timbangan yang telah kita bahas terdahulu bisa juga diterapkan untuk

transposisi persamaan yang melibatkan perkalian dan pembagian.

Misalnya dalam keadaan setimbang ruas kiri berharga 20, dan ruas kanan

berharga 4.x, maka persamaannya menjadi :20= 4.x

4.x=20

Selanjutnya kita memperlakukan kedua sisi persamaan dengan cara yang

sama :

? mengalikan dengan besaran yang sama untuk kedua ruas

atau

? Membagi dengan besaran yang sama untuk kedua ruas.

Untuk persamaan tersebut di atas apabila kedua ruas kita bagi 4 (atau

dikalikan ), maka :

4

20

4

.4?

x

sehingga x = 5 , adalah penyelesaiannya.

Dengan cara lain :

4.x=20 , bilangan 4 (perkalian thd x) dipindah ke ruas kanan menjadi

pembagian terhadap 20, sehingga :4

20?x


31/50

23

Contoh 1

Seorang pengendara sepeda menempuh perjalanan dari kilometer 7,2sampai dengan kilometer 10,5. Berapa kilometer yang telah ditempuh ?

Dicari: s

Diketahuis1= 7,2 km dan s2= 10,5 km

Solusi :

s2=s1+s

s= s2- s1s=10,5-7,2=3,3 km

Contoh 2

Suatu plat baja panjang 385 mm harus dilubang pada tengahnya

berjumlah 6 buah, dengan jarak yang sama antara pinggir dan sumbu-

sumbu lubangnya. Hitunglah berapa jarak lubang tersebut ?

Jawab :

Dicari : t

Diketahui: L = 385 mm, dan n = 6 lubang

Solusi :

L=(n+1).t

557

385

1??

??n

Lt mm

Jarak antar lubang 55 mm.c. Rangkuman 3

? Kita harus memperlakukan dua

7,2 10,50

S1

S2

t

L


32/50


33/50

25

b=c-ac=a+b

4.Selesaikan persamaan berikut untuk semua huruf dalam persamaan :

a. a+b=c

b. k-d=v

c. 1+m=-d

d. l1+l2=L

e. g1-g2=G

f. F1-F2=F3

g. R1=R-R2

h. C2=C-C1

i. T=t1+t2

5.Selesaikan untuk semua huruf

a. a+b=76

b. c-t=-85

c. F-G=89

d. 654-G=68+K

e. 476+H=Z-67

f. W-49=37+K

g. -29+F=136+x

h.V-81=-142+L

i. -106+W=Z+316

6.Joko mempunyai uang Rp. 35400,-. Sesudah ia belanja uangnya tinggal

Rp.17150,-. Berapa uang yang telah ia belanjakan ?

7.Suatu ruangan memiliki panjang 2,95 m. Ruang yang lain lebih pendek

0,75 mm. Berapa panjang ruang tersebut ?

8.Tiga buah sisi sebuah segitiga memiliki panjang total 318 mm. Berapapanjang sisi ke tiga, apabila sisi pertama panjangnya 114 mm dan sisi

ke dua panjangnya 62 mm ?

9.Carilah x

a. 3x=24b. 6x=65

c. 4x=400d. 66=11x

e. b.x=af. a.x=p

g. 7x=Uh. 8x=72


34/50

26

10. Selesaikan harga x

a.433,0 ?x

b. 728

18?

x

c.6

34102

x?

d.

b?

4,0 e. R

x?

8

18

f.L

xG.102 ?

g. CxD ?.


a.x

Z

P

P 1

1

?

b.1

1

P

x

G

G?

c.s

v ?

d.s

x

Q

F?

e.rG

iF.

. ?

f.60

..2 xsv ?

g.A

s

F?

h.?.2.

.

F

xGR ?

12. Selesaikan untuk semua variabel

a. baA ..2? b. ?..4Vm ?

c. haV .?

d.4

.rbA?

e.6

..2 hAV ?

f.1000

.. ndV

??

g. nF .?

h.c

PW

.7240?

i.l

dD ??

1

j.c

RIV1

..?

e. Tes formatif 3

Petunjuk : Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menit

Kondisi : Boleh Buka Buku

1. Hitung x untuk

a. 94=x+7

b. 75=x+20

c. 85=x-j


35/50

27

d. m=2k+x

e.

81=17+xf. g=x-37

g. 185=x+100

h. 2z=7-x

2. Pada awal suatu perjalanan pencatat jarak di mobil terbaca 312,4 km.

Sesudah perjalanan terbaca 618,7 km. Berapa jauh perjalanan yang

ditempuh ?

3. Enam kali tekanan dibagi dua menghasilkan tekanan 16 bar. Berapatekanan yang dimaksud ?


a.42

303,0 ?x

b. 722

18?

x

c. 9

34

120

x

?

d. b?4,10

5. Sebuah mur segi enam tingginya 28,8 mm. Ukuran tersebut adalah

8/10 dari diameter baut. Berapakah ukuran baut ?

6. Hanya dari panjang profil I yang diperlukan. Potongan yang tersisa

adalah 3,2 m. Berapakah panjang awal profil I ?

f. Kunci jawaban formatif 31.

a. x=87

b. x=55

c. x=85+j

d. x=m-2k

e. x=64


36/50

28

f. x=g+67

g.

x=7-2z2.L= 306, 3

3.P = 5,333

4.

a. x=2,38

b. x=8

c. x=31,76

d. x=0,096 b5.d=23,04

6.L=42,667 m


37/50

29

4. Kegiatan Belajar 4Sifat-sifat geometri untuk sudut, segitiga dan segitiga

a. Tujuan kegiatan pemelajaran 4Memahami prinsip-prinsip geometri untuk sudut, segitiga dan

lingkaran

b. Uraian materi 4? Lingkaran berdiameter D yang mengelilingi

sebuah PersegiDengan menggunakan teorema Phythagoras

diperoleh :

2222 2rrrs ???

414,12

2 ssr ??

414,12

sD

?

maka : sD .414,1?

? Lingkaran berdiameter D yang mengelilingisebuah Heksagonal

222 )2

(D

sD ??

22

22

4

3

4D

DDs ???

732,1.2

3.4

2

ssD ??

sD .155,1?

Lingkaran berdiameter D yangmengelilingi sebuahSegitiga

222 )2

(D

aD ??

a pada heksagonal, sehingga

aD .155,1?


38/50

30

Contoh

Berapakah kemungkinan ukuran heksagonal terbesar yang dapat difraisdari sebuah baja berdiameter 48 mm.

Jawab :

Dicari : s

Diketahui D= 48 mm (lihat gambar di atas)

Solusi : sD .155,1?

56,41

155,1

48

155,1

??? D

s mm

c. Rangkuman 4Diameter lingkaran pada suatu

Persegi : sD .414,1?

Heksagonal : sD .155,1?

Segitiga : aD .155,1?

d. Tugas 4Kerjakan semua soal tugas di bawah

1. Berapakah diameter sebuah poros apabila sisi persegi yang dibuat

diujungnya 35 mm ?

2. Kemungkinan terbesar persegi yang dapat

dibuat diujung poros yang berdiameter 60

mm, berapakah ukuran sisinya ?

3. Sebuah luasan lingkaran 44,18 cm2, akan

diubah menjadi persegi dengan luas yang

sama. Berapa ukuran sisinya ?


39/50

31

4. Ujung dari sebuah poros berdiameter 85 mm akan difrais berbentuk

persegi. Berapa persen bagian yang dibuang ?

5. Lebar W sebuah heksagonal adalah 75 mm. Berapakah diameter poros

asalnya ?

6. Sebuah segitiga sama sisi difrais di ujung sebuah poros yang

berdiameter 40 mm. Berapakah luas potongan melintang segitiga yang

terbentuk ?

7. Sebuah baja silindris dengan diameter 56 mm difrais untuk membuat

poros dengan potongan melintang heksagonal. Hitunglah lebar

heksagonal tersebut dan berapakah luas potongan melintangnya ?

e. Tes formatif 4Petunjuk : Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menit

Kondisi : Boleh Buka Buku, Gunakan kalkulator

1.Hitunglah D.

2.Hitunglah s.

3.Hitunglah D.


40/50

32

4.Hitunglah x.

5.Hitunglah D.

6.Hitunglah x.

f. Kunci jawaban formatif 4Kunci jawaban bisa ditanyakan pada guru, beserta langkah-langkah

perhitungannya.


41/50

33

5. Kegiatan Belajar 5Bidang dan volume menurut Aturan Guldin (Guldins Rule)

a. Tujuan kegiatan pemelajaran 5Memahami cara mengkalkulasi bidang dan volume dari bentuk

komplek

b. Uraian materi 51. Curved-surface area

1. Garis mengelilingi suatu

sumbu membentuk luas

permukaan kurva (curved-

surface area), sehingga :

Luas permukaan Kurva sama

dengan putaran l dikalikan

dengan jalur titik tengahnya atau

:

?.. sdlM ?

2. Garis keliling mengelilingi

suatu sumbu menghasilkan

permukaan (surface), maka

permukaan sama dengan

putaran keliling kali jalur titik

tengahnya :

?..sdUO ?

3. Luasan potongan melintang

mengelilingi suatu sumbu

menghasilkan volume, sehingga : ?.. sdAV ?


42/50

34

c. Rangkuman 5

Aturan Guldin dapat menghitung :

? Luas permukaan Kurva = putaran l . jalur titik tengahnya.

? Permukaan = putaran keliling . jalur titik tengahnya.

? Volume = putaran luasan. jalur titik tengahnya.

Contoh

Sebuah bushmemiliki tinggi 70 mm, diameter dalam 30 dan diameter luar50 mm. Hitunglah luas permukaan kurva dalam cm2dan volumenya dalam

cm3.

Ditanyakan :M dalam cm2 dan V dalam cm3.

Diketahui :

l = 70 mm, d = 30 mm, dan D=50 mm (lihat gambar)

Solusi :

?.. sdlM ? = 7 cm.5cm.3,14 = 109,9 cm2

?.. sdAV ? =(7 cm. 1 cm).4 cm.3,14=87,92 cm3


43/50

35

d. Tugas 5Kerjakan semua soal di bawah

1.Sebuah gasometerdengan diameter luar 22 m

dan tinggi 12 m akan dicat bagian luarnya.

Berapakah luas daerah yang akan dicat ?

2.Sebuah rollercat diameter 320 mm dan panjang

0,65 mm berputar 125 kali /menit. Berapakah

luas yang ditutupi cat dalam satu menit ?

3.Sebuah kontainer silindris dengan diameter

dalam 600 mm dan tinggi 955 mm akan dibuat

dengan plat baja tebal 3 mm. Berapa m2plat

yang diperlukan ?

4. Sebuah kolom dengan diameter 800 mm, akan diperkuat dengan ring

yang terbuat dari batang baja persegi ukuran 20 mm. Berapa meter

batang baja diperlukan ?

5. Hitunglah tebal dinding yang diperlukan untuk melapisi pipa mild steel

dengan diameter rata-rata 68 mm dan luas potongan melintang 17,1

cm2.

6. Pipa baja berukuran 4 inchi memiliki ketebalan dinding 4,5 mm.

Berapakah luas potongan melintangnya ?

7. Pipa Alluminium tipis dengan tebal dinding 4 mm memiliki diameter

luar 80 mm. Hitunglah luasnya.

8. Sebuah gasketdengan lebar 25 mm digunakan untuk sebuaf flens

dengan diameter lubang baut 120 mm. Hitunglah luas (dalam cm2)

gaskettersebut, setelah dikurangi 6 lubang baut dengan diameter 11

mm.

9. Sebuah corong memiliki diameter 80 mm dan tinggi 140 mm. Berapa

banyak lembaran plat yang diperlukan ?


44/50

36

10.Sebuah ring dari besi beton 16 mm memiliki diameter luar 444 mm.

Berapa luas permukaannya dan volumenya ?11.Sebuah corong memiliki diameter terkecil 160 mm

dan diameter terbesar 240 mm, tingginya 420 mm.

Hitunglah kebutuhan bahan yang diperlukan untuk

membuatnya.

12.Pipa dari besi tuang dengan diameter dalam 320

mm, diameter luar 440 mm, dan panjangnya 650

mm. Berapakah volumenya ( dalam cm3) ?

13.Sebuah soket kuningan memiliki diameter kecil 60

mm, diameter besar 80 mm, dan volumenya 329,7

cm3. Berapakah tingginya ( dalam mm) ?

14.Dari gambar, berapa V (dalam cm3) ?

e. Tes formatif 5Petunjuk : Kerjakan soal di bawah dalam waktu 70 menitKondisi : Boleh Buka Buku, Gunakan kalkulator

1. Hitunglah L (m), apabila ukuran yang tercantum di gambar dibesarkandua kalinya.

2. Hitunglah M ( m2) apabila diameternya 200 mm.


45/50

37

3.Hitunglah O (m2)

4. Hitunglah V (cm3), bila daerah yang diarsir 30 x 45

f. Kunci jawaban formatif 5Kunci jawaban bisa ditanyakan pada guru, beserta langkah-langkah

perhitungannya.


46/50

38

BAB IIIEVALUASI

A. PERTANYAAN

Petunjuk : Kerjakan semua soal di bawah ini

Kondisi : Boleh buka Buku

Waktu : 120 menit

1.Jika 00< a


47/50

39

6.Carilah nilai bagian-bagian lain dari segitiga ABC :

a.

a=32

0

, =48

0

, dan a= 10b. a=600, =450, dan a= 3

c. a=450, a=8, dan b= 5

d. a=750, a=20, dan b= 10

7.Hitunglah b dan x, apabila ukurannya dua kali ukuran dalam gambar

8.Hitunglah D, apabila ukurannya dua kali ukuran dalam gambar

9.Lebar W sebuah heksagonal adalah 75 mm. Berapakah diameter poros

asalnya ?

10. Sebuah baja silindris dengan diameter 56 mm difrais untuk membuat

poros dengan potongan melintang heksagonal. Hitunglah lebar

heksagonal tersebut dan berapakah luas potongan melintangnya ?


48/50

40

11. Hitunglah L (m), jika ukuran benda 3 kali ukuran pada gambar

12. Hitunglah M ( m2), jika ukuran benda setengah kali ukuran pada

gambar.

13. Hitunglah O (m2), jika ukuran benda dua kali ukuran pada gambar.

B. KUNCI JAWABANKunci jawaban bisa ditanyakan pada guru, beserta langkah-langkahperhitungannya.

C. KRITERIA KELULUSAN

70 79 : Memenuhi kriteria minimal. Dapat bekerja dengan bimbingan.

80 89 : Memenuhi kriteria minimal. Dapat bekerja tanpa bimbingan.

90 100 : Di atas kriteria minimal. Dapat bekerja tanpa bimbingan.


49/50

41

BAB IVPENUTUP

Demikianlah modul yang telah tersusun untuk membantu para peserta

diklat mempelajari Melakukan Perhitungan Matematis sesuai dengan

Kurikulum 2004. Sesudah lulus mempelajari modul ini diharapkan peserta

diklat sudah memiliki bekal untuk mempelajari Kompetensi M7.11A.

Sebaliknya apabila peserta diklat belum lulus modul ini, maka harus

mengulang mempelajari modul ini sampai lulus, yaitu sekor minimal 70.


50/50

DAFTAR PUSTAKA

EMCO, 1980,A Center Lathe, EMCO Maier+Co , Hallein Austria

Holger,S., tt, Technical Mathematics for the Metal Trade, GTZ

GmbH, Eschborn, Federal Republic of Germany

Nasution,AH., 1997, Matematika 1 untuk Sekolah Menengah UmumKelas 1, Balai Pustaka, Jakarta

Nasution,AH., 1997, Matematika 2 untuk Sekolah Menengah Umum

Kelas2,Balai Pustaka, Jakarta

Spiegel, M.R., 1968, Mathematical Handbook of Formulas andTables,McGraw-Hill Book Company, New York

Weber,J.E., 1982, Mathematical Analysis Bussiness and EconomicApplications,Fourth Edition, Harper and Row Publisher Inc, New

York.

MELAKUKAN_PERHITUNGAN_MATEM

Documents

Transcript of MELAKUKAN_PERHITUNGAN_MATEM