MEKANISME PERUSAKAN SIMETRIDENGAN DIMENSI EKSTRA

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Fisika

Muhandis Shiddiq0305027041

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan ALam

Universitas Indonesia

Depok2008

Lembar Persetujuan

Nama : Muhandis Shiddiq

NPM : 0305027041

Departemen : Fisika

Peminatan : Fisika Nuklir dan Partikel

Tanggal Sidang : 5 Desember 2008

Judul Skripsi : Mekanisme Perusakan Simetri dengan Dimensi Ekstra

Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui oleh

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. L. T. Handoko Dr. Terry Mart

Penguji I Penguji II

Dr. Agus Salam Dr. Anto Sulaksono

Ketua Departemen Fisika

Dr. Santoso Soekirno

Kata Pengantar

Perusakan simetri dalam teori model standar dihasilkan dengan memperkenalk-

an medan partikel Higgs sehingga partikel dapat memperoleh massa. Salah satu

kesulitan dalam teori tersebut adalah partikel Higgs belum ditemukan sampai

saat ini. Eksperimen penting untuk menemukan keberadaan (ketidakberadaan)

partikel Higgs baru dimulai pada tahun 2008 (tahun penulisan skripsi ini).

Untuk mengantisipasi tidak ditemukannya partikel Higgs, telah diusulkan be-

berapa mekanisme alternatif untuk perusakan simetri. Salah satu metode al-

ternatif tersebut adalah perusakan simetri dengan menggunakan dimensi ekstra.

Secara umum, metode ini dilakukan dengan membuat Lagrangian yang invari-

an terhadap simetri di dunia dengan dimensi ekstra. Lagrangian empat dimensi

diperoleh dengan mengintegralkan Lagrangian sebelumnya terhadap koordinat di-

mensi ekstra. Lagrangian empat dimensi ini akan menghasilkan suku-suku yang

merusak simetri. Skripsi ini mengkaji mekanisme perusakan simetri dengan di-

mensi ekstra untuk menghasilkan massa boson gauge electroweak.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

penyelesaian skripsi ini baik secara langsung maupun tidak langsung, antara lain:

• Dr. L.T. Handoko selaku pembimbing I yang telah membimbing penulis

mulai dari awal diskusi hingga penyelesaian tugas akhir ini serta atas ide-

ide, dukungan dan saran yang diberikan.

• Dr. Terry Mart selaku pembimbing II dan ketua peminatan Fisika Nuklir

dan Partikel atas bimbingan dan dukungan yang diberikan baik itu selama

kuliah maupun pengerjaan tugas akhir ini.

iii

• Dr. Agus Salam dan Dr. Anto Sulaksono selaku penguji I dan II atas

diskusi dalam penyelesaian tugas akhir ini.

• Orang tua dan adik-adik penulis atas semua dukungan yang diberikan.

• Rekan-rekan di Laboratorium Fisika Nuklir dan Partikel: Ryky Nelson, Pak

Ayung, Pak Andreas, Pak Sulaiman, Sandi Wibowo, Andrias Fajaruddin,

dan Fathia R. Syahroni. Terimakasih khusus penulis ucapkan untuk tiga

orang terakhir untuk kesediaannya mendengarkan pertanyaan-pertanyaan

’aneh’ dari penulis.

• Teman-teman fisika angkatan 2005.

• Juga semua pihak yang tidak dapat disebutkan di sini atas dukungan dan

doa kepada penulis selama penyelesaian tugas akhir ini.

Hasil karya ini tidaklah sempurna. Penulis menerima saran dan kritikan yang

membangun dari para pembaca.

Depok, November 2008

Muhandis Shiddiq

iv

Abstrak

Dikaji pemakaian model dimensi ekstra untuk pada perusakan simetri untuk

menghasilkan massa boson electroweak tanpa memakai mekanisme Higgs. Mo-

del ini memperluas dimensi fisika 4 dimensi dengan satu dan tiga dimensi ekstra.

Ditunjukkan bahwa model dengan satu dimensi ekstra tidak bisa mereproduksi

spektrum massa boson electroweak. Spektrum massa bisa dijelaskan dengan mo-

del tiga dimensi ekstra dengan geometri berbentuk balok dengan ukuran rusuk

L5 = ∞, L6 = (1, 09664± 0.00002)× 10−2GeV −1, dan L7 = (1, 4106± 0.0010)×10−2GeV −1.

Kata kunci: dimensi ekstra, massa boson gauge electroweak.

viii+31 hlm.; lamp.

Daftar Acuan: 17 (1961-2004)

Abstract

The symmetry breaking to reproduce masses of the electroweak gauge bosons

through extra dimension instead of using the conventional Higgs mechanism is

discussed. The model extends the 4-dimensional physics to one and three extra

dimension(s). It is shown that the model with one extra dimension cannot repro-

duce the mass spectrums of electroweak gauge boson. The mass spectrums can

be reproduced in the model with three extra dimensions with the geometry of

rectangular parallelepiped shape with sides L5 = ∞, L6 = (1, 09664± 0.00002)×10−2GeV −1, and L7 = (1, 4106 ± 0.0010) × 10−2GeV −1.

Keywords: extra dimensions, electroweak gauge boson masses.

viii+31 pp.; appendices.

References: 17 (1961-2004)

v

Daftar Isi

Kata Pengantar iii

Abstrak v

Daftar Isi vi

Daftar Gambar viii

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Model Standar 4

2.1 Teori Medan Kuantum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Formulasi Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Keinvarianan Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Perusakan Simetri dan Mekanisme Higgs . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1 Perusakan Spontan Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.2 Perusakan Spontan Simetri Gauge Global . . . . . . . . . . 10

2.2.3 Mekanisme Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Teori Glashow-Weinberg-Salam (GWS) . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Massa Boson Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Dimensi Ekstra 17

3.1 Dekomposisi Kaluza-Klein di Lima Dimensi . . . . . . . . . . . . 19

vi

3.2 Medan Gauge di Teori Kaluza-Klein . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Hasil dan Pembahasan 24

4.1 Reproduksi Massa Boson Gauge Electroweak dengan Satu Dimensi

Ekstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Reproduksi Massa Boson Gauge Electroweak dengan Tiga Dimensi

Ekstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2.1 Dimensi Ekstra Berbentuk Bola . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.2 Dimensi Ekstra Berbentuk Silinder . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.3 Dimensi Ekstra Berbentuk Kubus . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.4 Dimensi Ekstra Berbentuk Balok . . . . . . . . . . . . . . 29

5 Kesimpulan dan Saran 33

A Notasi 34

Daftar Acuan 35

vii

Daftar Gambar

2.1 Potensial V (ϕ) = 12µ2ϕ2 + 1

4λϕ4 untuk (a) µ2 > 0 dan (b) µ2 < 0,

dan λ > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Potensial V (ϕ) untuk medan skalar kompleks untuk kasus µ2 < 0,

dan λ > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1 Dimensi ekstra berbentuk bola dengan koordinat r, θ, dan ϕ. . . . 27

4.2 Dimensi ekstra berbentuk silinder dengan koordinat r, z, dan θ. . 28

4.3 Dimensi ekstra berbentuk kubus dengan rusuk L. . . . . . . . . . 28

4.4 Dimensi ekstra berbentuk balok dengan rusuk-rusuk L5, L6, dan L7. 29

4.5 Grafik L6 terhadap L7. Daerah yang diarsir menunjukkan nilai L6

dan L7 yang mungkin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

viii

Bab 1

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Simetri merupakan salah satu prinsip dasar dalam memahami alam. Prinsip

Simetri telah menjadi salah satu alat paling berguna untuk membangun pema-

haman dalam fisika teoritis dewasa ini. Berikut beberapa contoh pemakaian

simetri.

Kerangka teoritis yang menyediakan basis dari deskripsi alam pada energi

tinggi adalah teori medan kuantum (Quantum Field Theory / QFT). Model stan-

dar (Standard Model / SM) adalah teori medan kuantum yang mendeskripsikan,

dengan presisisi yang luar biasa, interaksi non-gravitasi antara partikel funda-

mental: interaksi kuat dan electroweak. Petunjuk dasar untuk menurunkan SM

dari hasil eksperimen adalah prinsip simetri. Selanjutnya, bahan dasar untuk te-

ori medan kuantum yang konsisten adalah: prinsip simetri, mekanika kuantum,

dan prinsip dekomposisi kluster [1]. Teori gravitasi, yang dideskripsikan oleh

relativitas umum, adalah salah satu contoh paling indah dari penerapan prin-

sip simetri. Contoh lainnya adalah formulasi Hamiltonian Mekanika klasik dan

penyatuan kelistrikan dan magnetisme klasik juga berdasarkan simetri.

Jadi, simetri memainkan peran yang penting sebagai penunjuk untuk mem-

bangun pengetahuan tentang hukum alam fundamental. Namun, ada banyak

simetri yang hanya terjaga sebagian di alam. Sebagai contoh yaitu ferromagnet

Heisenberg, susunan interaksi dipol magnet berspin 12. Walaupun Hamiltonian

untuk sistem ini invarian secara rotasi, keadaan dasarnya terarahkan ke orientasi

tertentu sehingga merusak simetri awal. Berkaitan dengan fisika partikel, contoh

1

yang biasa adalah simetri chiral yang, walaupun rusak oleh massa quark, menye-

diakan salah satu model fenomologis hadron yang pertamakali sukses. Contoh

lainnya yang juga penting adalah simetri electroweak di SM yang rusak secara

spontan. Daftar ini dapat berlanjut terus, tapi yang perlu ditekankan di sini

adalah perusakan simetri sama pentingnya dengan simetri itu sendiri.

Secara umum, simetri mengimplikasikan hubungan antara besaran-besaran fi-

sika, sehingga perusakan simetri bukanlah pekerjaan mudah jika seseorang juga

ingin tetap menjaga sifat-sifat yang timbul dari hubungan simetri. Salah satu ma-

salah dalam perusakan simetri adalah bahwa tidaklah natural untuk menerapkan

simetri yang berbeda pada bagian-bagian yang berbeda dari suatu teori. Efek

kuantum secara umum akan menginduksi suku-suku perusakan divergen, meru-

sak sifat-sifat yang diperoleh dari keivarianan semula. Banyak penelitian dewasa

ini yang langsung berhubungan dengan studi dan pemahaman terhadap subjek

ini. Skripsi ini ditulis untuk alasan-alasan tersebut. Tulisan ini akan mengkaji

perusakan simetri di fisika partikel, khususnya dalam teori electroweak.

Dalam skripsi ini akan dikaji kemungkinan perusakan simetri dengan dimensi

ekstra. Motivasi utama studi ini adalah karena fisika dimensi ekstra menyediakan

mekanisme baru dalam perusakan simetri. Mekanisme perusakan simetri yang

standar di teori electroweak adalah melalui mekanisme Higgs. Namun, partikel

Higgs yang menjadi syarat utama dalam mekanisme Higgs ini sampai sekarang be-

lum ditemukan. Eksperimen untuk mencari keberadaan (ketidakberadaan) parti-

kel Higgs baru dimulai tahun 2008 (tahun penulisan skripsi ini) dengan memakai

Large Hadron Collider (LHC) di CERN, Eropa.

Salah satu kandidat alternatif model perusakan simetri tanpa boson Higgs

adalah model dengan perusakan simetri yang diinduksi oleh efek dimensi ekstra.

Efek dimensi ekstra ini muncul akibat proses kompaktifikasi untuk membuat teori

kembali menjadi teori empat dimensi seperti yang dikenal selama ini.

2

1.2 Perumusan masalah

Pendekatan alternatif dalam perusakan simetri melalui penggunaan dimensi eks-

tra dipelajari. Dalam skripsi hanya diteliti masalah perusakan simetri untuk

mereproduksi massa boson gauge electroweak. Dimensi ekstra yang digunakan

adalah satu dan tiga dimensi ekstra.

1.3 Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat teoritik. Teori electroweak yang diperkenalkan oleh S.L.

Glashow, S. Weinberg, dan A. Salam [2,3,4] mempunyai kesulitan besar apabila

partikel Higgs tidak ditemukan. Hal ini menyebabkan perusakan simetri yang me-

nyebabkan partikel mempunyai massa tidak akan terjadi. Sehingga dibutuhkan

teori-teori baru diluar SM yang dapat menjelaskan perusakan simetri tanpa parti-

kel Higgs. Dalam hal ini penulis menggunakan model dimensi ekstra dengan satu

dan tiga dimensi ekstra. Model dimensi ekstra dalam skripsi ini dikembangkan

dari teori Kaluza-Klein [5,6] di lima dimensi.

1.4 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji ulang mekanisme perusakan simetri di

model standar untuk menghasilkan massa boson gauge electroweak dengan meng-

gunakan dimensi ekstra.

3

Bab 2

Model Standar

Hingga saat ini telah diketahui bahwa partikel dasar di alam semesta ini terbagi

menjadi dua macam, yaitu fermion dan boson. Fermion yang menjadi partikel

dasar penyusun materi terbagi menjadi dua grup: quark dan lepton. Quark

berinteraksi melalui gaya elektromagnetik, gaya kuat, dan gaya lemah. Lepton

berinteraksi melalui gaya elektromagnetik dan gaya lemah. Quark dikatakan

memiliki enam buah flavor, mereka adalah up (u), down (d), charm (c), strange

(s), top (t), dan bottom (b). Lepton dikatakan memiliki tiga buah tipe, yaitu

elektron (e) dan neutrinonya (νe), muon (µ) dan neutrinonya (νµ), serta tau (τ)

dan neutrinonya (ντ ). Sedangkan boson yang menjadi partikel mediasi interaksi-

interaksi dasar terdiri dari: gluon yang menjadi mediasi dalam interaksi kuat,

foton yang menjadi mediasi dalam interaksi elektromagnetik, boson W dan Z

yang menjadi mediasi dalam interaksi lemah, serta graviton yang menjadi mediasi

dalam interaksi gravitasi (jika memang benar gravitasi terkuantisasi).

Sedangkan terdapat empat buah interaksi yang terjadi di alam semesta, ke-

empat buah interaksi tersebut adalah interaksi kuat, interaksi elektromagnetik,

interaksi lemah, dan interaksi gravitasi. Diantara keempat buah interaksi ini,

interaksi elektromagnetik yang pertamakali dapat dimengerti dan dijelaskan de-

ngan sangat baik oleh teori elektrodinamika kuantum (Quantum ElectroDyna-

mics / QED), kemudian dibuat sebuah teori yang dapat menjelaskan interaksi

kuat yang modelnya diambil dari teori QED yang diberi nama teori kromodi-

namika quantum (Quantum ChromoDynamics / QCD), walaupun perhitungan

secara analitiknya sangat rumit (sehingga sering digunakan metode numerik) te-

4

tapi teori ini cukup baik dalam menjelaskan fenomena interaksi kuat. Setelah itu

S.L. Glashow, S. Weinberg, dan A. Salam mencoba menjelaskan fenomena inte-

raksi elektromagnetik dan interaksi lemah dengan sebuah teori yang disebut teori

Electroweak atau sering juga disebut dengan teori Glashow-Weinberg-Salam, wa-

laupun tidak sebaik QED namun teori ini dapat menjelaskan fenomena interaksi

lemah dengan cukup baik. QCD bersama dengan teori electroweak tergabung

menjadi teori model standar (SM), sedangkan fenomena interaksi gravitasi yang

dijelaskan oleh relativitas umum belum dapat dimasukkan ke dalam kerangka

model standar ini. SM inilah yang menjadi kerangka dasar untuk menjelaskan

semua fenomena interaksi fisika kecuali gravitasi.

2.1 Teori Medan Kuantum

Teori medan kuantum merupakan penyatuan antara relativitas khusus dan me-

kanika kuantum. Teori ini membentuk kerangka model standar dalam fisika par-

tikel. Formulasi matematika yang menjadi landasan dalam teori medan kuantum

adalah formulasi Lagrangian.

2.1.1 Formulasi Lagrangian

Jika medan ϕ(x) mempunyai energi kinetik T dan potensial V, maka Lagrangi-

annya adalah

L = T − V. (2.1)

Pada kasus kontinyu sebenarnya kita bekerja dengan densitas Lagrangian L

L = T − V =∫

d3x L. (2.2)

Jika kita mengintegrasikan Lagrangian terhadap waktu, kita mendapatkan kuan-

titas baru yang disebut aksi S

S =∫

dtL. (2.3)

Aksi merupakan fungsional karena aksi selalu mengambil fungsi sebagai argumen

dan menghasilkan sebuah bilangan. Partikel selalu mengambil lintasan dengan

aksi terkecil. Untuk menemukan lintasan, maka variasi dari aksi harus dimini-

malkan. Hal ini dilakukan dengan menggambarkan aksi sebagai suku minimum

5

dan sebuah suku variasi.

S −→ S + δS. (2.4)

dengan aksi minimum memenuhi syarat

δS = 0. (2.5)

Pada teori medan kuantum, karena yang dipakai adalah densitas lagrangian, ma-

ka persamaan untuk aksi akan menjadi

S =∫

d4x L. (2.6)

Dalam teori medan kuantum densitas Lagrangian L sering disebut Lagrangian

itu sendiri. Berikut merupakan contoh Lagrangian untuk partikel skalar

L =1

2(∂µϕ)(∂µϕ) − 1

2m2ϕ2. (2.7)

Suku pertama merupakan suku energi kinetik (mengandung (∂ϕ)2) dan suku

kedua merupakan suku massa (mengandung ϕ2).

Dalam teori medan kuantum dipelajari bahwa setiap teori yang dibangun ber-

dasarkan suatu simetri tertentu maka teori tersebut haruslah invarian terhadap

transformasi gauge global dan lokal dari simetri yang dibangun. Jika teori terse-

but invarian maka besaran-besaran fisis yang dihasilkan, nilainya tidak bergan-

tung pada kerangka acuan inersia dimana besaran tersebut diukur. Pernyataan

di atas berimplikasi bahwa Lagrangian yang dibuat dalam suatu teori haruslah

invarian terhadap simetri tertentu.

2.1.2 Keinvarianan Gauge

Transformasi gauge global berbentuk

ψ → eiθψ, (2.8)

dengan θ adalah konstan.

Sedangkan gauge lokal berbentuk

ψ → eiα(x)ψ, (2.9)

6

dengan α(x) merupakan fungsi ruang dan waktu.

Untuk melihat keinvarianan suatu Lagrangian terhadap kedua transformasi

di atas, perhatikan lagrangian berikut ini

L = iψγµ∂µψ − mψψ, (2.10)

Lagrangian di atas merupakan Lagrangian persamaan Dirac untuk partikel ber-

spin 12. Jelas terlihat bahwa Lagrangian di atas invarian terhadap transformasi

global tetapi tidak untuk transformasi lokal.

Suku pertama Lagrangian tersebut tidak invarian terhadap gauge lokal di atas.

Untuk membuat Lagrangian di atas invarian maka derivative ∂µ dimodifikasi

menjadi

Dµ ≡ ∂µ − ieAµ, (2.11)

dengan transformasi Aµ adalah

Aµ → Aµ +1

e∂µα. (2.12)

Sehingga Lagrangian (2.10) akan berbentuk:

L = iψγµDµψ − mψψ

= ψ(iγµ∂µ − m)ψ + eψγµψAµ. (2.13)

Jadi, dengan adanya syarat keinvarianan gauge lokal, dibuat medan vektor Aµ

yang disebut medan gauge. Medan ini terkopel dengan partikel Dirac (ψ). Secara

fisis medan gauge ini merupakan medan foton. Karena medan ini merupakan

medan foton, maka kita perlu menambahkan suku kinetik medan foton pada

lagrangian (2.13). Karena suku kinetik harus invarian terhadap transformasi

gauge, suku tersebut hanya dapat terdiri dari gauge invariant field strength tensor

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. (2.14)

Sehingga Lagrangian lengkapnya adalah

L = ψ(iγµ∂µ − m)ψ + eψγµψAµ − 1

4FµνF

µν . (2.15)

Lagrangian ini adalah Lagrangian QED. Perhatikan bahwa penambahan suku

massa medan gauge 12m2AµA

µ adalah terlarang oleh syarat keinvarianan gauge.

7

Sehingga foton, sebagai partikel gauge, tidak bermassa. Foton yang tidak ber-

massa ini sesuai dengan kenyataan bahwa medan elektromagnetik mempunyai

jangkauan yang tidak terbatas.

2.2 Perusakan Simetri dan Mekanisme Higgs

Telah ditunjukkan pada bagian sebelumnya bahwa foton harus tidak bermassa ka-

rena keberadaan suku massa medan foton (12m2AµA

µ) akan membuat Lagrangian

tidak memenuhi keinvarianan gauge. Tetapi, hal ini tidak dapat diterapkan pa-

da interaksi lemah karena partikel mediasinya (W±, Z) harus bermassa menurut

hasil eksperimen. Sehingga, harus ditambahkan suku yang akan membangkitkan

massa dalam Lagrangian. Bagian berikut akan menjelaskan prosedur tersebut.

2.2.1 Perusakan Spontan Simetri

Perhatikan Lagrangian

L ≡ T − V =1

2(∂ϕ)2 − (

1

2µ2ϕ2 +

1

4λϕ4), (2.16)

dengan λ > 0. Di sini, Lagrangian invarian terhadap transformasi ϕ menjadi

−ϕ. Dua kemungkinan bentuk potensial ditunjukkan pada Gambar 2.1. Kasus

(a) untuk µ2 > 0 mendeskripsikan medan skalar dengan massa µ. Suku ϕ4 me-

representasikan interaksi-sendiri dari medan dengan kopling λ. Keadaan dasar

(vakum) adalah λ = 0. Keadaan ini mematuhi simetri refleksi dari Lagrangian.

Kasus (b) dengan µ2 < 0 merupakan kasus yang menarik. Sekarang, Lag-

rangian (2.16) mempunyai suku massa dengan tanda yang salah untuk medan ϕ,

karena tanda relatif suku ϕ2 dengan energi kinetik T adalah positif (seharusnya

negatif). Tidak seperti kasus (a), dalam kasus (b) potensial mempunyai dua nilai

minimum.

Nilai-nilai minimum ini memenuhi

∂V

∂ϕ= ϕ(µ2 + λϕ2) = 0 (2.17)

dan terletak pada

ϕ = ±ν dengan ν =

√−µ2

λ(2.18)

8

Gambar 2.1: Potensial V (ϕ) = 12µ2ϕ2 + 1

4λϕ4 untuk (a) µ2 > 0 dan (b) µ2 < 0,

dan λ > 0.

Nilai ekstrim ϕ = 0 bukanlah keadaan dengan energi minimum. ϕ = 0 merupakan

keadaan tidak stabil (lihat Gambar 2.1), keadaan tersebut dapat bergeser ke salah

satu dari dua keadaan minimum lainnya, dimana ϕ = +ν atau ϕ = −ν, yang

merupakan keadaan dasar sebenarnya. Namun, memilih satu dari keadaan ini

akan merusak simetri.

Dalam kasus Lagrangian (2.16), diketahui bahwa minimum sebenarnya pada

ϕ = ±ν. Titik ϕ = 0 tidak stabil, maka ekspansi perturbasi terhadap titik ini

tidak konvergen. Sehingga, ekspansi perturbasi harus dilakukan terhadap ϕ = +ν

atau ϕ = −ν. Keadaan ϕ(x) dapat ditulis

ϕ(x) = ν + η(x), (2.19)

dengan η(x) merepresentasikan fluktuasi kuantum terhadap minimum. Dalam

hal ini, telah dipilih ϕ = +ν, tetapi generalitas tidak hilang dalam kasus ini

karena ϕ = −ν selalu dapat dihasilkan dari simetri refleksi. Subtitusi (2.19) ke

dalam Lagrangian (2.16), didapat

L′ =1

2(∂η)2 − λν2η2 − λνη3 +

1

4λη4 + const. (2.20)

Medan η mempunyai suku massa dengan tanda yang benar karena tanda relatif

suku η2 dengan energi kinetik adalah negatif. Bandingkan dua suku pertama

dengan Lagrangian (2.7), didapat

mη =√

2λν2 =√−2µ2. (2.21)

9

Suku η dengan pangkat yang lebih tinggi merepresentasikan interaksi-sendiri med-

an η.

Ada kebingungan di sini. Lagrangian L pers.(2.16) dan L′ pers.(2.20) adalah

ekuivalen. Transformasi (2.19) tidak mungkin merubah hal yang fisis. Jika dua

Lagrangian tersebut dapat diselesaikan dengan tepat, mereka harus menghasilkan

fisika yang identik. Tetapi dalam fisika partikel, perhitungan secara tepat sulit

dilakukan, sebagai gantinya dipakai teori perturbasi dan menghitung fluktuasi di

sekitar energi minimum. Jika L digunakan, deret perturbasi tidak akan konvergen

karena ekspansi dilakukan di sekitar titik yang tidak stabil ϕ = 0. Sehingga

digunakan L′ dan ekspansi dilakukan dalam η di sekitar titik stabil ϕ = +ν.

Dalam teori perturbasi, L′ memberikan gambaran fisika yang benar, sedangkan

L tidak. Jadi, partikel skalar (yang dideskripsikan oleh Lagrangian L dan L′ yang

ekuivalen secara prinsip) memang mempunyai massa.

Cara ”membangkitkan” massa ini sering disebut ”perusakan simetri secara

spontan”. Dalam teori versi L′, simetri refleksi dari Lagrangian telah rusak de-

ngan pilihan keadaan dasar ϕ = +ν (daripada ϕ = −ν).

2.2.2 Perusakan Spontan Simetri Gauge Global

Untuk membangkitkan massa dari boson gauge, prosedur di atas diulang kembali

untuk medan skalar kompleks ϕ = (ϕ1 + iϕ2)/√

2 yang mempunyai Lagrangian

L = (∂µϕ)∗(∂µϕ) − µ2ϕ∗ϕ − λ(ϕ∗ϕ)2, (2.22)

yang invarian terhadap transformasi global ϕ → eiθϕ. Seperti sebelumnya, kasus

yang dipertimbangkan adalah kasus dengan λ > 0 dan µ2 < 0. Lagrangian (2.22)

ditulis ulang menjadi

L =1

2(∂µϕ1)

2 +1

2(∂µϕ2)

2 − 1

2µ2(ϕ2

1 + ϕ22) −

1

4λ(ϕ2

1 + ϕ22)

2. (2.23)

Sekarang ada lingkaran nilai minimum potensial V (ϕ) di bidang ϕ1, ϕ2 dengan

radius ν, sehingga

ϕ21 + ϕ2

2 = ν2 dengan ν2 =−µ2

λ, (2.24)

seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2. Selanjutnya, medan ϕ ditranslasikan ke

posisi energi minimum, yang tanpa kehilangan generalitas, diambil sebagai titik

10

Gambar 2.2: Potensial V (ϕ) untuk medan skalar kompleks untuk kasus µ2 < 0,dan λ > 0.

ϕ1 = ν, ϕ2 = 0. L diekspansi di sekitar vakum dalam suku medan η, ξ dengan

mensubstitusikan

ϕ(x) =

√1

2[ν + η(x) + iξ(x)] (2.25)

ke dalam (2.22) dan didapatkan

L′ =1

2(∂µξ)

2 +1

2(∂µη)2 + µ2η2 + const. + suku kubik dan pangkat empat dalam η, ξ.

(2.26)

Suku ketiga merupakan suku massa (−12m2

ηη2) untuk medan-η. Sehingga massa-η

adalah mη =√−2µ2. Suku pertama dalam L′ merepresentasikan energi kinetik

medan-ξ, tetapi tidak ada suku massa untuk ξ. Sehingga teori ini mempunyai

medan skalar tak bermassa, yang biasa disebut dengan boson Goldstone. Jadi,

terdapat masalah; dalam usaha untuk membangkitkan massa boson gauge, teori

perusakan gauge spontan tampaknya dihinggapi masalah partikel skalarnya sen-

diri tidak bermassa. Hal ini disebabkan karena potensial pada arah tangen (ξ)

adalah datar, mengimplikasikan mode tak bermassa; tidak ada hambatan untuk

eksitasi sepanjang arah-(ξ) pada Gambar 2.2.

Lagrangian pada kasus ini merupakan contoh sederhana dari teorema Golds-

tone [7], yang menyatakan bahwa partikel skalar tak bermassa akan terjadi setiap

11

kali simetri kontinu dari sebuah sistem fisik ”rusak secara spontan” (atau, lebih

tepat ”tidak terlihat di keadaan dasar”).

Terlihat bahwa teori dengan gauge global mempunyai masalah dengan partikel

skalar tak bermassa. Namun, teori dengan gauge lokal telah dapat mengatasi

masalah ini. Bagian berikut akan membahas teori gauge lokal.

2.2.3 Mekanisme Higgs

Pada bagian ini akan dijelaskan tentang perusakan spontan simetri gauge lokal. Di

sini diambil contoh paling sederhana: simetri gauge U(1). Pertama, Lagrangian

(2.22) harus invarian terhadap transformasi gauge lokal,

ϕ → eiα(x)ϕ. (2.27)

Hal ini mengakibatkan ∂µ harus digantikan oleh covariant derivative,

Dµ = ∂µ − ieAµ, (2.28)

dengan medan gauge bertransformasi seperti

Aµ → Aµ +1

e∂µα. (2.29)

Dengan demikian Lagrangian invarian gauge adalah

L = (∂µ + ieAµ)ϕ∗(∂µ − ieAµ)ϕ − µ2ϕ∗ϕ − λ(ϕ∗ϕ)2 − 1

4FµνF

µν . (2.30)

Jika µ2 > 0, maka Lagrangian di atas adalah Lagrangian QED untuk partikel

skalar bermuatan dengan massa µ (kecuali suku interaksi-sendiri ϕ4). Tetapi,

di sini akan diambil µ2 < 0 karena akan dibangkitkan massa dengan perusakan

simetri spontan.

Medan kemudian ditranslasikan ke keadaan dasar sebenarnya. Dengan men-

substitusikan (2.25), Lagrangian (2.30) menjadi

L′ =1

2(∂µξ)

2 +1

2(∂µη)2 − ν2λη2 +

1

2e2ν2AµA

µ

−eνAµ∂µξ − 1

4FµνF

µν + suku interaksi. (2.31)

12

Terlihat bahwa spektrum partikel L′ terdiri dari boson Goldstone tak bermassa

ξ, partikel skalar masif η, dan vektor masif Aµ. Dari (2.31) didapat

mξ = 0, mη =√

2λν2, mA = eν.

(2.32)

Secara dinamik telah dibangkitkan massa untuk medan gauge, tetapi masih ter-

dapat masalah dengan hadirnya boson Goldstone tidak bermassa. Namun, dalam

Lagrangian L′ terdapat suku Aµ∂µξ, yang berarti L′ harus diinterpretasi ulang.

Tampaknya spektrum partikel yang diberikan kepada L′ adalah tidak benar. De-

ngan memberikan massa kepada Aµ, derajat polarisasi meningkat dari dua men-

jadi tiga, karena Aµ sekarang mempunyai polarisasi longitudinal. Tetapi, hanya

dengan mentranslasikan variabel medan, seperti pada (2.25), tidak menciptakan

derajat kebebasan baru. Sehingga dapat disimpulkan bahwa medan dalam L′

tidak semuanya merepresentasikan partikel fisis tertentu. Sekarang yang harus

dilakukan adalah menentukan medan yang mana yang tidak fisis dan menemukan

transformasi gauge yang menghilangkan medan tersebut dari Lagrangian. Satu

petunjuk didapat dari

ϕ =

√1

2(ν + η + iξ)

≈√

1

2(ν + η)eiξ/ν

(2.33)

untuk orde terendah dalam ξ. Hal ini berarti set medan yang ada harus digantikan

oleh set medan real yang lain yaitu h, θ, Aµ, dimana

ϕ →√

1

2(ν + h(x))eiθ(x)/ν (2.34)

Aµ → Aµ +1

eν∂µθ (2.35)

Dalam gauge ini θ(x) dipilih sedemikian sehingga h real. Sehingga teori akan

bergantung pada θ. Jadi, didapat

L′ =1

2(∂µh)2 − λν2h2 +

1

2e2ν2A2

µ − λνh3 − 1

4λh4

+1

2e2A2

µh2 + νe2A2

µh − 1

4FµνF

µν . (2.36)

13

Dari Lagrangian (2.36) terlihat bahwa boson Goldstone sebenarnya tidak ada

dalam teori. Hal ini berarti derajat kebebasan ekstra yang terjadi sebenarnya

palsu, karena tergantung pada kebebasan untuk membuat transformasi gauge.

Lagrangian hanya mendeskripsikan dua partikel yang berinteraksi, boson gauge

vektor Aµ dan skalar masif h, yang disebut partkel Higgs. Boson Goldstone yang

tak dikehendaki telah diubah menjadi polarisasi longitudinal partikel gauge ma-

sif. Prosedur ini disebut “mekanisme Higgs”.

2.3 Teori Glashow-Weinberg-Salam (GWS)

Teori GWS atau electroweak dibangun berdasarkan simetri gauge isospin lemah

dan hypercharge lemah (SU(2)L × U(1)Y ), dengan transformasi gauge yang ber-

bentuk

ϕ → eiαaτa

eiβ/2ϕ, (2.37)

disini telah dimasukkan sebuah muatan +1/2 terhadap simetri U(1)Y , dan nilai

τa = 12σa dengan σa adalah matriks Pauli 2 × 2.

Agar teori GWS ini invarian, maka covariant derivative dari ϕ harus berbentuk

Dµϕ = (∂µ − igW aµ τa − i

1

2g′Bµ)ϕ, (2.38)

dengan W aµ dan Bµ adalah boson gauge dari SU(2)L dan U(1)Y . Sedangkan g

dan g′ merupakan konstanta kopling dari SU(2)L dan U(1)Y .

2.3.1 Massa Boson Gauge

Suku massa dari boson gauge dapat diperoleh dengan cara mengkuadratkan

pers.(2.38) dengan memasukkan medan Higgs Φ yang berbentuk

Φ =1√2

(0v

)(2.39)

sebagai ϕ. Maka akan didapatkan suku massa dari boson gauge yang berbentuk

Lmassa boson gauge =1

2

v2

4

[g2(W 1

µ)2 + g2(W 2µ)2 + (−gW 3

µ + g′Bµ)2]. (2.40)

14

Dari persamaan diatas akan muncul tiga buah boson bermassa dan sebuah boson

yang tidak bermassa sebagai berikut

W±µ =

1√2(W 1

µ ∓ iW 2µ) dengan massa MW = g

v

2; (2.41)

Z0µ =

1√g2 + g′2 (gW 3

µ − g′Bµ) dengan massa MZ =√

g2 + g′2 v

2; (2.42)

Aµ =1√

g2 + g′2 (g′W 3µ + gBµ) dengan massa MA = 0. (2.43)

Dua buah boson baru yang bermassa yang muncul pada persamaan diatas, yaitu

boson W dan Z disebut sebagai weak boson, adalah boson yang muncul dari

interaksi lemah. Sedangkan boson yang tidak bermassa pada persamaan diatas

telah muncul sebelumnya dalam teori QED yang dikenal sebagai foton, adalah

boson yang muncul dari interaksi elektromagnetik.

Mulai sekarang akan lebih baik jika semua persamaan dituliskan dalam hu-

bungannya dengan mass eigenstates, karena bentuk inilah yang memiliki arti fisis

yang diukur oleh eksperimen. Untuk fermion dalam representasi umum SU(2),

dengan muatan U(1) adalah Y , covariant derivative-nya akan berbentuk

Dµ = ∂µ − igW aµT a − ig′Y Bµ. (2.44)

dalam hubungannya dengan mass eigenstates persamaan diatas akan menjadi

Dµ = ∂µ − ig√2(W+

µ T+ + W−µ T−) − i

1√g2 + g′2Zµ(g2T 3 − g′2Y )

−igg′

√g2 + g′2Aµ(T 3 + Y ), (2.45)

dengan T± = (T 1 ± iT 2). Normalisasi dipilih sedemikian rupa sehingga

T± =1

2(σ1 ± iσ2) = σ±. (2.46)

Agar pers.(2.45) menjadi persamaan yang memiliki bentuk yang terkait de-

ngan interaksi elektromagnetik, maka perlu didefinisikan sebuah koefisien dari

interaksi elektromagnetik sebagai muatan elektron e,

e =gg′

√g2 + g′2 , (2.47)

dan mendefinisikan bilangan kuantum muatan listrik sebagai

Q = T 3 + Y. (2.48)

15

Untuk menyederhanakan pers.(2.45), akan didefinisikan weak mixing angle,

θw, sebagai sudut yang muncul dalam perubahan basis dari gauge eigenstates

(W 3µ , Bµ) menjadi mass eigenstates (Z0

µ, Aµ):(Z0

µ

Aµ

)=

(cos θw − sin θw

sin θw cos θw

) (W 3

µ

Bµ

), (2.49)

sehingga

cos θw =g√

g2 + g′2 , sin θw =g′

√g2 + g′2 , (2.50)

maka pers.(2.45) dapat ditulis dalam bentuk

Dµ = ∂µ − ig√2(W+

µ T+ + W−µ T−) − i

g

cos θw

Zµ(T 3 − sin2 θwQ)

−ieAµQ, (2.51)

dengan

g =e

sin θw

. (2.52)

Dapat dilihat disini bahwa semua pasangan (kopling) dari weak boson didesk-

ripsikan oleh dua buah parameter: muatan elektron e dan sebuah parameter baru

θw. Sedangkan massa boson W dan Z memiliki hubungan berdasarkan pers.(2.41)

dan (2.42) adalah sebagai berikut

MW

MZ

= cos θW (2.53)

Semua proses yang melibatkan pertukaran boson W dan Z dapat dituliskan dalam

tiga buah parameter dasar e, θw, dan mW .

16

Bab 3

Dimensi Ekstra

Besar gaya gravitasi F antara dua objek makroskopik yang terpisah pada jarak

r mematuhi hukum kuadrat terbalik, F ∼ r−2. Hal ini tidak akan terjadi jika

dunia mempunyai N ≥ 1 dimensi spasial ekstra yang mirip dengan dunia tiga

dimensi biasa-dalam kasus tersebut akan terukur F ∼ r−(2+N). Argumen yang

sama berlaku untuk dunia mikro partikel elementer. Sebagai contoh, dari ekspe-

rimen dengan akselerator diketahui bahwa interaksi elektromagnet dari partikel

bermuatan mematuhi hukum kuadrat terbalik.

Namun, kemampuan eksperimen terbatas dan begitu juga pengetahuan ter-

hadap kevalidan hukum alam ini. Sebagai contoh, interaksi elektromagnetik di-

ketahui mematuhi hukum kuadrat terbalik sampai pada jarak dengan orde 10−16

cm, tetapi interksi tersebut mungkin berubah pada skala lebih kecil dari itu.

Pada saat sekarang adalah tidak jelas bagaimana tepatnya hukum alam ini

mungkin berubah. Ada kemungkinan bahwa hukum tersebut akan berubah me-

nurut hukum di dimensi ruang yang lebih tinggi jika dimensi ekstra ada. Namun,

adalah wajar untuk mempertanyakan mengapa seseorang harus berpikir bahwa

dunia ini mungkin memiliki dimensi ekstra? Berikut merupakan argumen teoritis

utama yang memotivasi penelitian tentang dimensi ekstra.

Eksplorasi ilmiah pertama terhadap ide dimensi ekstra dilakukan oleh Kaluza

[5] dan Klein [6]. Mereka menduga bahwa interaksi gravitasi dan elektromagne-

tik, karena begitu mirip, mungkin merupakan turunan dari interaksi yang sama.

Namun, hal yang mengherankan adalah teori penyatuan gravitasi dan elektromag-

netik hanya mungkin diformulasikan di ruang dengan dimensi ekstra. Setelah itu,

17

interaksi lemah dan kuat juga dapat disatukan dengan gravitasi Einstein dalam

model dengan ekstra dimensi. Oleh karena itu, alasan pertama studi terhadap

dimensi ekstra adalah penyatuan interaksi gauge dan gravitasi dari partikel ele-

menter.

Di awal bab telah disinggung sedikit tentang gravitasi klasik. Mengenai gra-

vitasi modern, satu hal yang pasti adalah kuantisasi gravitasi bukanlah hal yang

mudah. Teori kandidat untuk gravitasi kuantum, string theory (M-theory), dapat

diformulasikan secara konsisten di ruang dengan dimensi ekstra; Sehingga, alasan

kedua untuk mempelajari dimensi ekstra adalah kuantisasi interaksi gravitasi.

Semua dimensi ekstra yang dibicarakan di atas adalah sangat kecil, dalam ska-

la panjang Planck dan karena itu tidak terdeteksi. Temuan terbaru oleh Arkani-

Hamed, Dimopoulos, dan Dvali (ADD)[8] menunjukkan bahwa masalah hirarki

massa Higgs mungkin dapat diselesaikan oleh model dengan dimensi ekstra yang

besar. Karena dimensi ekstra adalah besar dalam kerangka ADD, efek dimensi

ekstra tersebut akan dapat diukur dalam eksperimen table-top, astrofisika, dan

di akselerator pada masa depan. Selain itu, model ini dapat dimasukkan dalam

kerangka string theory [9]. Setelah itu, Randall dan sundrum mengajukan model

dengan dimensi ekstra terlipat [10] yang juga menyediakan prosedur yang mena-

rik untuk menyelesaikan masalah hirarki massa Higgs. Sehingga, alasan ketiga

adalah masalah hirarki massa Higgs.

Tipe lain dari masalah hirarki adalah masalah konstanta kosmologi. Masa-

lah ini sangat sulit untuk dipecahkan kecuali satu dari banyak ide konvensional

seperti lokalitas, unitaritas, kausalitas, atau empat dimensi dari ruang-waktu di-

abaikan. Dalam kasus ini, teori dengan volum dimensi ekstra tak terhingga [11]

- satu-satunya teori yang tidak empat dimensi pada energi rendah - diajukan

sebagai kandidat untuk memecahkan masalah konstanta kosmologi [12,13]. Jadi,

alasan keempat adalah masalah konstanta kosmologi.

Akhir-akhir ini juga terdapat pemikiran untuk menggunakan dimensi ekstra

untuk perusakan simetri [14]. Model dengan dimensi ekstra ini dapat menja-

di model alternatif atau model yang melebihi SM. Jadi, alasan kelima adalah

perusakan simetri. Alasan inilah yang melandasi penulisan skripsi ini.

18

3.1 Dekomposisi Kaluza-Klein di Lima Dimensi

Dimensi spasial ekstra adalah tidak sama dengan tiga dimensi biasa dalam pende-

katan Kaluza-Klein (KK). Dimensi ekstra KK membentuk ruang kompak dengan

skala kompaktifikasi L tertentu. Sebagai contoh, suatu dimensi ekstra KK dapat

merupakan suatu lingkaran dengan radius L, atau hanya suatu interval dengan

ukuran L. Untuk dimensi ekstra lebih dari satu, ruang ini dapat berbentuk bola

berdimensi lebih tinggi, torus atau manifold lainnya. Secara umum, ruang-waktu

berdimensi-D dalam pendekatan KK mempunyai geometri perkalian langsung

M4 × XD−4 dengan M4 melambangkan ruang-waktu Minkowski empat dimensi,

dan XD−4 melambangkan manifold kompak dari dimensi ekstra - disebut juga

manifold internal.

Hal yang diimplikasikan dari pendekatan KK adalah bahwa terdapat dinamika

tertentu di ruang-waktu berdimensi-D yang memberikan kompaktifikasi tertentu

pada dimensi ekstra (D − 4) membuat dimensi minkowskian empat tidak ter-

ganggu.

Sebelumnya diperkenalkan dahulu beberapa notasi dan asumsi. Indeks A,B

digunakan untuk merepresentasikan seluruh dimensi; µ, ν digunakan untuk me-

representasikan ruang-waktu empat dimensi; dan i, j digunakan untuk merepre-

sentasikan dimensi ekstra.

Terdapat juga beberapa asumsi geometri, yaitu

• Tidak ada interferensi antara komponen 4D dengan dimensi ekstra, sehing-

ga metrik tensor berbentuk

gAB =

(gµν 00 gij

). (3.1)

• Bentuk empat dimensi Minkowskian adalah datar, sehingga

gµν =

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

. (3.2)

• Bentuk dimensi ekstra adalah datar, sehingga

gij = 1. (3.3)

19

Sekarang akan dibahas tentang implikasi fisik dari dimensi ekstra kompak.

Berdasarkan akal sehat adalah jelas bahwa pada skala jarak jauh lebih besar dari

L, dimensi ekstra harusnya tak terlihat. Dimensi ekstra hanya menjadi terlihat

ketika seseorang menyelidiki pada jarak yang sangat dekat seorde dengan L.

Untuk membahas sifat ini lebih jauh akan dimulai dari contoh paling sederha-

na dari medan skalar real di ruang-waktu berdimensi-(4+1). Densitas Lagrangian

berbentuk

L = −1

2∂AΦ∂AΦ, A = 0, 1, 2, 3, 5. (3.4)

Di sini medan Φ(t, x⃗, y) ≡ Φ(xµ, y), µ = 0, 1, 2, 3, bergantung pada koordinat

berdimensi-empat xµ dan koordinat ekstra y. Dimensi ekstra diasumsikan di-

kompaktifikasi menjadi lingkaran S1 dengan radius L. Sehingga, ruang-waktu

berdimensi-lima mempunyai geometri M4 × XD−4.

Ekspansi medan

Φ(x, y) =+∞∑

n=−∞ϕn(x)einy/L. (3.5)

Perhatkan bahwa ϕ∗n(x) = ϕ−n(x). Substitusikan ekspansi di atas ke

∂AΦ∂AΦ = (∂µΦ∂µΦ) + (∂5Φ∂5Φ)

=+∞∑

n,m=−∞

{[∂µϕn∂µϕm] ei(n+m)y/L +

[∂5(e

iny/L)∂5(eimy/L)]ϕnϕm

}

=+∞∑

n,m=−∞

[(∂µϕn∂µϕm) − (

nm

L2ϕnϕm)ei(n+m)y/L

], (3.6)

sehingga

L = −1

2

+∞∑n,m=−∞

(∂µϕn∂µϕm − nm

L2ϕnϕm)ei(n+m)y/L, (3.7)

sementara aksi akan berbentuk

S =∫

d4x∫ 2πL

0dyL = −2πL

2

∫d4x

+∞∑n,m=−∞

(∂µϕn∂µϕ∗

n − n2

L2ϕnϕ∗

n). (3.8)

Pada sisi kanan dilakukan integrasi terhadap y. Ekspresi yang dihasilkan adalah

aksi untuk tak terhingga medan ϕn(x) empat dimensi. Perhatikan bahwa aksi

empat dimensi telah rusak simetrinya karena adanya suku ϕnϕ∗n yang merupakan

suku massa. Suku ini dihasilkan dari ∂5 yang bekerja pada Φ yang merupakan

20

kontribusi dari dimensi ekstra.

Untuk mempelajari sifat medan empat dimensi diperkenalkan medan

φ ≡√

2πLϕn. (3.9)

Hal ini menyebabkan (3.8) dapat ditulis menjadi

S =∫

d4x[−1

2∂µφ0∂

µφ0] −∫

d4x+∞∑k=1

(∂µφk∂

µφ∗k +

k2

L2φkφ

∗k

). (3.10)

Sehingga, spektrum medan teori kompaktifikasi terdiri dari:

• Satu medan skalar riil tak bermassa, yang disebut mode-nol, φ0;

• Medan skalar kompleks yang jumlahnya tak terhingga dengan masssa ber-

banding terbalik dengan radius kompaktifikasi, m2k = k2/L2.

Hal di atas mengimplikasikan bahwa dari sudut pandang 4D, medan skalar 5D

terlihat sebagai sumber (tak terhingga) medan 4D yang disebut mode Kaluza-

Klein: φn dengan massa2, m2n = n2/L2. Pada energi rendah, yaitu ketika E <

1/L, hanya mode-nol yang penting; sementara pada energi tinggi E ≥ 1/L semua

mode KK menjadi penting.

Jadi, dari sudut pandang 4D, jejak kehadiran dimensi ekstra adalah muncul-

nya sumber mode KK yang tak terhingga.

3.2 Medan Gauge di Teori Kaluza-Klein

Selanjutnya akan dibahas contoh medan gauge Abelian berdimensi-(4+1). Syarat

tambahan, dibandingkan dengan kasus skalar, adalah keinvarianan gauge lokal.

Ambil densitas Lagrangian

L = − 1

4g5

FABFAB, (3.11)

dengan FAB = ∂AAB−∂BAA dan dimensi diset sebagai berikut: [AB] = [massa], [g−15 ] =

[massa]. Seperti dalam contoh sebelumnya, diasumsikan kompaktifikasi pada

lingkaran S1 dengan radius L. Aµ dan A5 dapat diekspansi menjadi

Aµ(x, y) =+∞∑

n=−∞A(n)

µ (x)einy/L, A5(x, y) =+∞∑

n=−∞A

(n)5 (x)einy/L. (3.12)

21

Sehingga

FABFAB = FµνFµν + 2Fµ5F

µ5

=

[∂µ(

+∞∑n=−∞

A(n)ν einy/L) − ∂ν(

+∞∑n=−∞

A(n)µ einy/L)

]2

+ 2

[∂µ(

+∞∑n=−∞

A(n)5 einy/L) − ∂5(

+∞∑n=−∞

A(n)µ einy/L)

]2

=

[+∞∑

n=−∞einy/L(∂µA

(n)ν − ∂νA

(n)µ )

]2

+ 2

[+∞∑

n=−∞einy/L(∂µA

(n)5 − in

LA(n)

µ )

]2

=

[+∞∑

n=−∞ei(n+m)y/LF (n)

µν F (m)µν

]+ 2

[+∞∑

n=−∞ei(n+m)y/L(∂µA

(n)5 ∂µA(m)5

− im

LA(m)µ∂µA

(n)5 − in

LA(n)

µ ∂µA(n)5 − inm

L2A(n)

µ A(m)µ)]. (3.13)

Terlihat bahwa suku massa A(k)µ A∗(k)µ akan dihasilkan dari ∂5Aµ∂

5Aµ. Terlihat

juga bahwa untuk Lagrangian empat dimensi L4 suku ∂µA(n)5 . A

(n)5 merupakan

komponen medan di dimensi kelima, signifikansi medan ini di empat dimensi

terbatas pada keadaan dasar atau mode-nol. Mode-mode selain mode-nol tidak

signifikan di empat dimensi. Oleh karena itu suku-suku tersebut tidak ditulis

secara eksplisit dalam L4. Dengan menggunakan hasil-hasil di (3.13) didapat

L4 ≡∫ 2πL

0dyL =

∫ 2πL

0dy − 1

4g25

FABFAB

= − 1

4g4

{F (0)

µν F (0)µν + 2+∞∑k=1

[F (k)

µν F ∗(k)µν +2k2

L2A(k)

µ A∗(k)µ

]

+ 2(∂µA(0)5 )2

}. (3.14)

Sehingga, dapat disimpulkan bahwa spektrum model terkompaktifikasi terdiri

atas keadaan-keadaan berikut:

• Satu mode nol - suatu medan gauge A(0)µ tak bermassa dengan kopling gauge

g4 = g5/(2πL);

• Boson-boson gauge masif dengan massa m2k = k2/L2;

• Medan skalar A(0)5 yang tak bermassa.

Berikut beberapa penjelasan tentang keinvarianan gauge local. Model lima di-

mensi adalah invarian terhadap transformasi gauge lokal lima dimensi AB(x, y) →

22

AB(x, y) + ∂Bα(x, y). Setelah kompaktifikasi transformasi gauge lima dimensi

tereduksi menjadi tak terhingga transformasi gauge empat dimensi - satu untuk

setiap level KK A(n)µ (x) → A(n)

µ (x) + ∂Bα(n)(x). Namun, hanya mode-nol yang

merupakan medan gauge tak bermassa, semua mode KK yang lebih tinggi adalah

masif. Hal ini dapat diinterpretasikan sebagai konsekuensi dari mekanisme Higgs

yang terjadi pada setiap level KK masif dimana satu medan gauge tak bermassa

”memakan” satu skalar A(n)5 dan menjadi medan gauge masif dengan tiga derajat

kebebasan. Pada level medan tak bermassa terdapat medan gauge tak bermassa

4d dengan dua derajat kebebasan fisik dan satu skalar riil A(0)5 tak bermassa.

23

Bab 4

Hasil dan Pembahasan

Dalam bab ini, kita hanya fokus pada cara menghasilkan suku massa. Oleh karena

itu, kita hanya tertarik pada bagian Lagrangian yang menghasilkan suku massa

di empat dimensi. Dari uraian pada bab sebelumya, bagian tersebut adalah

suku (∂iAµ)(∂jAµ) dengan Aµ merupakan komponen medan di empat dimensi,

sedangkan i, j adalah indeks untuk dimensi ekstra (i, j = 5, 6, 7...).

4.1 Reproduksi Massa Boson Gauge Electroweak

dengan Satu Dimensi Ekstra

Pada bagian ini akan coba dicari massa boson electroweak (W±, Z, dan γ) dengan

menggunakan satu dimensi ekstra terkompaktifikasi, sebagai alternatif metode

medan Higgs.

Seperti sebelumnya, digunakan ruang-waktu berdimensi-(4+1), dengan satu

dimensi ruang tambahan terkompaktifikasi menjadi lingkaran S1 dengan radius

L. Sehingga ruang-waktu lima dimensi mempunyai geometri M4 × S1.

Untuk interaksi electroweak terdapat tiga medan gauge SU(2), W aµ (x) dengan

a = 1, 2, 3, dan satu medan U(1), Bµ. Perhatikan Lagrangian energi kinetik

untuk boson electroweak di lima dimensi

L = − 1

4g5

(WAB.WAB − BABBAB), (4.1)

dengan

WAB = ∂AWB − ∂BWA − gWA × WB, dan BAB = ∂ABB − ∂BBA. (4.2)

24

Medan diekspansi menjadi

W aµ (x, y) =

+∞∑n=−∞

W a(n)µ (x)einy/L, W a

5 (x, y) =+∞∑

n=−∞W

a(n)5 (x)einy/L (4.3)

dan

Bµ(x, y) =+∞∑

n=−∞A(n)

µ (x)einy/L, B5(x, y) =+∞∑

n=−∞B

(n)5 (x)einy/L (4.4)

Dari Bab 3 terlihat bahwa massa partikel dihasilkan dari ∂5 yang bekerja

pada komponen medan empat dimensi. Sehingga massa boson gauge didapatkan

dengan menghitung∫ 2πL

0dy

[(∂5Wµ).(∂5Wµ) + (∂5Bµ)(∂5Bµ)

](4.5)

yang hasilnya adalah

2πL+∞∑k=1

2k2

L2(W 1(k)

µ W ∗1(k)µ + W 2(k)µ W ∗2(k)µ + W 3(k)

µ W ∗3(k)µ + B(k)µ B∗(k)µ). (4.6)

Terlihat bahwa semua medan gauge 4D bermassa sama. Hal ini berarti kita

tidak berhasil mereproduksi massa boson gauge electroweak SM. Sumber dari ma-

salah ini adalah hanya terdapat satu parameter, yaitu L (radius kompaktifikasi),

dalam teori lima dimensi dengan dimensi kelima terkompaktifikasi. Untuk meng-

hasilkan tiga massa boson yang berbeda (massa W±, Z, dan A) maka setidaknya

harus terdapat tiga parameter independen. Salah satu cara menambah parame-

ter independen adalah dengan menambah jumlah dimensi ekstra. Oleh karena

itu, pada bagian selanjutnya akan dibahas tentang reproduksi massa boson gauge

electroweak dengan tiga dimensi ekstra.

4.2 Reproduksi Massa Boson Gauge Electroweak

dengan Tiga Dimensi Ekstra

Setelah sebelumnya kita tidak berhasil mereproduksi massa boson gauge electro-

weak dengan satu dimensi ekstra, sekarang kita coba mereproduksi massa boson

dengan tiga dimensi ekstra. Sebelumnya diingatkan kembali beberapa notasi.

Indeks A,B digunakan untuk merepresentasikan seluruh dimensi; µ, ν digunakan

25

untuk merepresentasikan ruang-waktu empat dimensi; dan i, j digunakan untuk

merepresentasikan dimensi ekstra.

Tiga dimensi ekstra dapat berbentuk bermacam-macam. Tetapi, di sini hanya

akan diselidiki dimensi ekstra yang berbentuk bola, silinder, kubus, dan balok.

Berikut pembahasan reproduksi massa boson gauge electroweak dengan bentuk-

bentuk dimensi ekstra seperti di atas.

4.2.1 Dimensi Ekstra Berbentuk Bola

Dimensi ekstra berbentuk bola mempunyai radius R. Kita memakai koordinat

bola dalam dimensi ekstra ini, yaitu r, θ, dan ϕ (Gambar 4.1). Sehingga Medan

dapat diekspansi menjadi

W aA(x, r, θ, ϕ) =

+∞∑n=−∞

Wa(n)A (x)einr/Reinθeinϕ (4.7)

dan

BA(x, r, θ, ϕ) =+∞∑

n=−∞B

(n)A (x)einr/Reinθeinϕ. (4.8)

Sekarang, dilihat bentuk ∂iWaµ (x, r, θ, ϕ) untuk masing-masing i

∂rWaµ =

+∞∑n=−∞

in

RW a(n)

µ (x)einr/Reinθeinϕ, (4.9)

∂θWaµ =

+∞∑n=−∞

inW a(n)µ (x)einr/Reinθeinϕ, (4.10)

∂ϕWaµ =

+∞∑n=−∞

inW a(n)µ (x)einr/Reinθeinϕ. (4.11)

Terlihat dari ketiga persamaan di atas bahwa untuk suku massa hanya akan ter-

dapat satu parameter yaitu R. Hal ini mirip dengan kasus menggunakan satu

dimensi ekstra, jelas tidak akan didapatkan boson dengan massa berbeda. Sehing-

ga reproduksi massa boson gauge electroweak dengan dimensi ekstra berbentuk

bola tidak berhasil.

26

Gambar 4.1: Dimensi ekstra berbentuk bola dengan koordinat r, θ, dan ϕ.

4.2.2 Dimensi Ekstra Berbentuk Silinder

Dimensi ekstra berbentuk silinder mempunyai radius alas R dan tinggi L. Kita

memakai koordinat silinder dalam dimensi ekstra ini, yaitu r, z, dan θ (Gambar

4.2). Sehingga medan dapat diekspansi menjadi

W aA(x, r, z, θ) =

+∞∑n=−∞

Wa(n)A (x)einr/Reinz/Leinθ (4.12)

dan

BA(x, r, z, θ) =+∞∑

n=−∞B

(n)A (x)einr/Reinz/Leinθ. (4.13)

Sekarang, dilihat bentuk ∂iWaµ (x, r, z, θ) untuk masing-masing i

∂rWaµ =

+∞∑n=−∞

in

RW a(n)

µ (x)einr/Reinz/Leinθ, (4.14)

∂zWaµ =

+∞∑n=−∞

in

LW a(n)

µ (x)einr/Reinz/Leinθ, (4.15)

∂θWaµ =

+∞∑n=−∞

inW a(n)µ (x)einr/Reinz/Leinθ. (4.16)

Terlihat bahwa hanya akan tedapat dua parameter yaitu R dan L. Dengan tiga

jenis massa boson gauge yang berbeda, dua parameter jelas tidak mencukupi.

27

Gambar 4.2: Dimensi ekstra berbentuk silinder dengan koordinat r, z, dan θ.

4.2.3 Dimensi Ekstra Berbentuk Kubus

Dimensi ekstra berbentuk kubus mempunyai rusuk L (Gambar 4.3). Terlihat

bahwa dalam dimensi ekstra ini juga hanya terdapat satu parameter, yaitu L.

hal ini mengakibatkan dimensi ekstra berbentuk kubus tidak dapat digunakan

untuk menghasilkan tiga massa boson yang berbeda.

Gambar 4.3: Dimensi ekstra berbentuk kubus dengan rusuk L.

28

Gambar 4.4: Dimensi ekstra berbentuk balok dengan rusuk-rusuk L5, L6, danL7.

4.2.4 Dimensi Ekstra Berbentuk Balok

Dimensi ekstra berbentuk balok mempunyai tiga rusuk yang berbeda panjangnya,

yaitu L5, L6, dan L7 (Gambar 4.4). Dalam dimensi ekstra ini terdapat tiga

parameter (L5, L6, dan L7) sehingga memungkinkan untuk menghasilkan tiga

massa boson yang berbeda.

Koordinat yang dipakai dalam dimensi ekstra ini adalah y5, y6, dan y7. Medan

dapat diekspansi menjadi

W aA(x, y) =

1√L5L6L7

+∞∑n=−∞

Wa(n)A (x)einy5/L5einy6/L6einy7/L7 (4.17)

dan

BA(x, y) =1√

L5L6L7

+∞∑n=−∞

B(n)A (x)einy5/L5einy6/L6einy7/L7 . (4.18)

Koefisien di depan tanda sigma ditambahkan untuk normalisasi.

Massa boson gauge didapatkan dengan menghitung integral∫d3y

[(∂iWµ).(∂jWµ) + (∂iBµ)(∂jBµ)

](4.19)

yang hasilnya adalah

+∞∑k=1

2k2

LiLj

(W 1(k)µ W ∗1(k)µ + W 2(k)

µ W ∗2(k)µ + W 3(k)µ W ∗3(k)µ + B(k)

µ B∗(k)µ).

(4.20)

dengan i, j = 5, 6, 7.

Terlihat bahwa ada enam kombinasi L yang berbeda ( 1L2

5, 1

L26, 1

L27, 1

L5L6, 1

L5L7,

dan 1L6L7

) untuk menghasilkan tiga jenis massa boson. Terjadi kelebihan kombina-

si, namun yang perlu diingat adalah bahwa salah satu boson tidak bermassa. Hal

29

ini dapat menjadi petunjuk untuk menyelesaikan ketidaksesuaian antara jumlah

jenis massa boson dengan jumlah kemungkinan kombinasi yang ada.

Ambil

Aµ =+∞∑k=1

2k2B(k)µ (4.21)

atau

AµA∗µ =

+∞∑k=1

4kB(k)µ B∗(k)µ. (4.22)

Selanjutnya dapat dipilih1

2M2

A =1

2L25

, (4.23)

karena MA = 0, maka

L5 = ∞. (4.24)

Hal di atas mengurangi kemungkinan kombinasi yang ada. Karena boson W±

dan Z bermassa, L5 tidak dapat digunakan lagi untuk menentukan massa boson-

boson tersebut. Sehingga kombinasi yang ada tinggal tiga lagi.

Sekarang kita definisikan

W±µ =

+∞∑k=1

√2k(W 1(k)

µ ∓ iW 2(k)µ ) (4.25)

maka

W+µ W+∗µ = W−

µ W−∗µ =+∞∑k=1

2k2(W 1(k)µ W ∗1(k)µ + W 2(k)

µ W ∗2(k)µ). (4.26)

Dari hasil (4.26) berarti dapat dipilih

M2W =

1

L6L7

, (4.27)

atau

MW =1√

L6L7

. (4.28)

Dan terakhir, apabila

Zµ =+∞∑k=1

2k2W 3(k)µ (4.29)

atau

ZµZ∗µ =

+∞∑k=1

4kW 3(k)µ W ∗3(k)µ, (4.30)

30

maka1

2M2

Z =1

2L26

. (4.31)

Dengan kata lain

MZ =1

L6

. (4.32)

Kita juga dapat mengetahui perbandingan massa W± dan Z, yaitu

MW

MZ

= cos θW =

√L6

L7

. (4.33)

Karena massa boson W± dan Z telah diketahui dari eksperimen, yaitu [15]

MW = 80, 403 ± 0.029 GeV , (4.34)

MZ = 91, 1876 ± 0, 0021 GeV , (4.35)

maka dapat dihitung nilai L6 dan L7. Nilai L6 didapat dari pers.(4.32). Sedang-

kan nilai L7 dapat dicari dengan menggabungkan pers.(4.27) dan (4.32) sehingga

dihasilkan

L7 =MZ

M2W

. (4.36)

Ketidakpastian L6 dan L7 dapat dihitung dengan rumus [16]:

∆L6,7 ≈(

∂L6,7

∂MZ

)∆MZ +

(∂L6,7

∂MW

)∆MW . (4.37)

Berikut nilai L6 dan L7 beserta ketidakpastiannya masing-masing:

L6 = (1, 09664 ± 0.00002) × 10−2 GeV−1 ,

L7 = (1, 4106 ± 0.0010) × 10−2 GeV−1 . (4.38)

Batas atas dan bawah nilai ini ditampilkan di Gambar 4.5.

Hal lain yang perlu diperhatikan dari pembahasan di atas adalah tidak ada

percampuran antara medan Bµ dan Wµ untuk menghasilkan medan fisis Aµ dan

Zµ. Hal ini berbeda dengan teori electroweak dalam SM dimana medan fisis Aµ

dan Zµ dihasilkan dari percampuran medan Bµ dan W 3µ .

31

Gambar 4.5: Grafik L6 terhadap L7. Daerah yang diarsir menunjukkan nilai L6

dan L7 yang mungkin.

32

Bab 5

Kesimpulan dan Saran

Perusakan simetri dengan menggunakan satu dimensi ekstra tidak berhasil me-

reproduksi massa boson gauge electroweak yang benar. Model ini menghasilkan

boson electroweak yang semuanya bermasa sama. Hal ini disebabkan karena da-

lam satu dimensi ekstra hanya terdapat satu parameter, yaitu radius dimensi

ekstra tersebut, sedangkan boson electroweak mempunyai tiga jenis massa yang

mengindikasikan bahwa sekurang-kurangnya harus terdapat tiga parameter.

Kebutuhan akan tiga parameter tersebut dipenuhi dalam model dimensi eks-

tra berbentuk balok dengan ukuran L5 × L6 × L7. Model ini dapat merepro-

duksi massa boson gauge electroweak apabila rusuk-rusuk balok dimensi ekst-

tra tersebut berukuran L5 = ∞, L6 = (1, 09664 ± 0.00002) × 10−2GeV −1, dan

L7 = (1, 4106 ± 0.0010) × 10−2GeV −1. Dalam model ini tidak ada percampur-

an antara medan Bµ dan Wµ untuk menghasilkan medan fisis Aµ dan Zµ. Hal

ini berbeda dengan teori electroweak dalam SM dimana medan fisis Aµ dan Zµ

dihasilkan dari percampuran medan Bµ dan W 3µ .

Penelitian ini hanya terbatas pada masalah perusakan simetri dengan dimensi

ekstra untuk menghasilkan massa boson gauge electroweak. Ke depan penelitian

lebih komprehensif harus dilakukan, khususnya untuk mengkaji interaksi antar

medan gauge dan fermion. Juga aneka implikasinya secara fenomenologis sebagai

alat untuk memverifikasi model. Selain itu, sesuai dengan motivasi awal model

dimensi ekstra, kajian terkait dengan teknik memasukkan gaya gravitasi serta

interaksinya perlu dilakukan.

33

Lampiran A

Notasi

Sistem satuan yang digunakan dalam perhitungan adalah sistem satuan alami

(natural system of units), di mana didefinisikan h̄ = c = 1 dan tidak berdimensi.

Energi, massa, dan momentum, seluruhnya berdimensi energi, yakni dengan sa-

tuan GeV. Dengan demikian, dimensi panjang dan luas masing-masing menjadi

energi−1 dan energi−2. Untuk mendapatkan nilai dan mengembalikan dimensi

besaran yang ingin diketahui, digunakan konversi berikut [17]:

h̄ = 6.58212233(49) × 10−25 GeV s (A.1)

h̄c = 197.327053(59) × 10−3 GeV fm (A.2)

(h̄c)2 = 0.38937966(23) GeV2 mbarn (A.3)

34

Daftar Acuan

[1] S. Weinberg, The Quantum theory of fields. VoL 1: Foundations, Vol. 2:

Modern applications.

[2] S. L. Glashow, Nucl. Phys. 22, 579 (1961).

[3] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19, 1264 (1967).

[4] A. Salam, in Elementary Particle Theory, (edited by N. Svartholm), Almqu-

ist and Forlag, Stokcholm, 1968.

[5] Th. Kaluza, Sitzungsber. Preuss.Akad.Wiss. Phys. Math. Klasse 996 (1921);

Reprinted with the English translation in Modern Kaluza-Klein Theories, T.

Appelquist, A. Chodos, P.G.O. Freund (Addison-Wesley, Menlo Park, 1987).

[6] O. Klein, Z.F. Physik, 37, 895 (1926); Reprinted with the English translation

in Modern Kaluza-Klein Theories, T. Appelquist, A. Chodos, P.G.O. Freund

(Addison-Wesley, Menlo Park, 1987).

[7] J. Goldstone, Nuovo Cim. 19, 154 (1961); J. Goldstone, A. Salam and S.

Weinberg, Phys. Rev. 127, 965 (1962) .

[8] N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos and G. R. Dvali, Phys. Lett. B 429, 263

(1998) [arXiv:hep-ph/9803315].

[9] I. Antoniadis, N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos and G. R. Dvali, Phys. Lett.

B 436, 257 (1998) [arXiv:hep-ph/9804398].

[10] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999) [arXiv:hep-

th/9906064].

35

[11] G. R. Dvali, G. Gabadadze and M. Porrati, Phys. Lett. B 485, 208 (2000)

[arXiv:hep-th/0005016].

[12] G. R. Dvali and G. Gabadadze, Phys. Rev. D 63, 065007 (2001) [arXiv:hep-

th/0008054].

[13] G. Dvali, G. Gabadadze and M. Shifman, Phys. Rev. D 67, 044020 (2003)

[arXiv:hep-th/0202174].

[14] C. Biggio, Symmetry Breaking in Extra Dimensions, Ph.D Thesis, Universita

di Padova, Italia, 2003.

[15] Particle Data Group, Review of Particle Physics, Phys. Lett. B, 592 (2004)

[16] P. R. Bevington dan D. K. Robinson, Data Reduction and Error Analysis

for The Physical Sciences (2nd ed.), McGraw-Hill, USA, 1992.

[17] M. E. Peskin dan D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field The-

ory, Westview, USA, 1995.

36