METRIK MEDAN GRAVITASI BENDA BERMUATAN

LISTRIK SIMETRI BOLA

Oleh: Bansawang BJ

Lab. Fisika Teori dan Komputasi Jurusan

FMIPA Unhas

Abstrak

Telah diperlihatkan cara perumusan persamaan medan gravitasi kovarian Einstein

melalui prinsip integral aksi dan sistem yang ditinjau adalah benda bermuatan listrik

simetri bola. Solusi yang diperoleh menghasilkan dua jari-jari yang masing-masing

bergantung pada massa benda dan muatan total benda, sehingga metriknya tidak

menghasilkan singularitas.

Kata kunci: Medan gravitasi, tensor metrik

I. PENDAHULUAN

Salah satu tema utama dalam perkembangan fisika adalah mencari teori terpadu

yang dapat menjelaskan perilaku partikel dan interksinya di alam semesta. Gravitasi

menjadi salah satu topik yang sangat penting dalam fisika teori sebab mempunyai implikasi

pada fisika partikel maupun pada teori medan. Oleh karena itu, relativitas umum Einstein

atau teori medan gravitasi kovarian adalah salah satu teori yang sangat mendapat perhatian

orang.

Sehubungan dengan hasrat para fisikawan teoritik untuk menyatukan gaya-gaya

fundamental alam semesta, maka beberapa dekade belakang ini, kajian medan gravitasi

kovarian telah menjadi sesuatu yang sangat penting dalam fisika teori. Setelah Einstein

berhasil membangun persamaan medan yang didalamnya memuat prinsip ekivalensi, telah

banyak memberikan kontribusi pada kajian bidang lain, misalnya pada teori String yang

belakangan ini banyak fisikawan berharap menjadi teori yang dapat menyatukan ke empat

gaya fundamental yakni gravitasi, lemah, elektromagnet dan nuklir.

Meskipun persamaan medan gravitasi Einstein merupakan persamaan diferensial

parsial yang sangat tidak linear, namun solusi eksak maupun non-eksaknya banyak

diperoleh. dari berbagai sistem fisis khusus dengan konsekuensi fisis yang ditimbulkannya.

Seperti halnya persamaan dinamika dalam teori medan klasik, persamaan gravitasi kovarian

umum dapat pula diturunkan dari formalisme Lagrange atau formalisme Hamilton dengan

mendefenisikan suatu fungsi keadaan yang memenuhi formalisme ini.

Tulisan ini bertujuan memformulasikan persamaan medan gravitasi Einstein

melalui formalisme Lagrange dan mencari penyelesaiannya (tensor metrik) untuk benda

bermuatan listrik simetri bola. Dalam tulisan ini terdiri atas beberapa bagian, yakni

pendahuluan, integral aksi untuk medan gravitasi, tensor energi momentum medan

Maxwell-Einstein, metrik simetri bola benda bermuatan dan bagian akhir berisi

kesimpulan.

II. TINJAUAN PUSTAKA

II. 1 Integral Aksi Untuk Medan Gravitasi

Dalam fisika klasik benda titik, biasanya fungsi Lagrange dipilih sebagai fungsi dari

pada beberapa parameter, seperti koordinat, momentum dan waktu. Sedangkan dalam teori

medan klasik yang merupakan generalisasi dari mekanika benda titik, yaitu dengan

mengambil banyaknya titik-titik menjadi tak berhingga sehingga variabel-variabel yang

digunakan adalah variabel kontinu dalam ruang datar , maka aksinya adalah:

xdxxI 4

, ))(),(£( (2. 1)

dengan ))(),(£(£ , xx menyatakan fungsi kerapatan Lagrange (Lagrange density)

Persamaan medan gravitasi dalam relativitas umum dapat pula diperoleh melalui

prinsip variasi, dengan integral aksi diungkapkan sebagai1)

:

xdKgI MG

4£2£ (2. 2)

di mana £M adalah rapat Lagrangian dari materi, £G = R adalah rapat Lagrangian untuk

medan gravitasi. sedang R adalah kelengkungan skalar Ricci yang diungkapkan sebagai

RgR dengan Rμν adalah tensor Ricci, yakni:

xxR (2.3)

dengan

x

g

x

g

x

gg

g

2

1

2

1

(2.4)

adalah lambang Christoffel.

Kerapatan Lagragian skalar £G dinyatakan dalam lambang Christoffel jenis kedua

diturunkan dari bagian gravitasional Lagrangian Hilbert, yakni:

xxgg

gI GG £

(2.5)

. Dengan melakukan variasi terhadap R dari integral aksi pada persamaan (2.2),

maka untuk suku bagian pertama, akan diperoleh:

xdggRgR

xdgI GG

4

4

2

1

£

(2.6)

di mana telah digunakan dggggd

2

1.

Sedangkan untuk suku kedua persamaan (2.2), variasi integral aksinya akan

diperoleh:

xdg

g

g

xg

gK

xdKgI

MM

MM

4

,

4

££2

£2

(2.7)

di mana medan yang berkaitan dengan integral Gauss telah diambil sama dengan nol.

Selanjutnya dengan memasukkan persamaan (2.6) dan (2.7) ke dalam persamaan

(2.2) dan mengambil variasi aksi, 0I , akan diperoleh persamaan medan gravitasi,

yakni:

TKRgRG 2

1 (2.8)

dengan tensor energi-momentum T adalah:

,

MM ££2

g

g

xg

g

gT

(2.9)

III. Tensor Energi-Momentum Medan Maxwell-Einstein

Untuk perumusan persamaan Maxwell dalam bentuk kovarian, terlebih dahulu

dengan mencari tensor kekuatan medan elektromagnet. Untuk maksud tersebut maka kita

tinjau persamaan Maxwell, yakni3)

:

1. 0

.

E

3.1a

2. 0. B

3.1b

3. t

BEx

3.1c

4. t

EJBx

000 3.1d

Dengan memperkenalkan potensial skalar dan potensial vektor A

, maka

komponen-komponen medan magnet dan medan listrik dinyatakan dalam dan A

masing-masing adalah:

j

kijki

x

AB

3.2a

t

A

xE i

ii

3.2b

Tensor kekuatan medan elektromagnet AAF dengan komponen-

komponennya kijkij BF dan ii EF 0 , i,j,k=1,2,3 masing-masing dinyatakan dalam

bentuk kovarian dan kontravarian F dan F , yakni:

0

0

0

0

xyz

xzy

yzx

zyx

BBE

BBE

BBE

EEE

F 3.3a

0

0

0

0

xyz

xzy

yzx

zyx

BBE

BBE

BBE

EEE

F

3.3b

Selanjutnya rapat Lagrangian medan elektromagnet tanpa arus dalam medan

gravitasi dinyatakan dengan tensor kekuatan F , yakni :

FFgL 16

1 (3.4)

dengan F seperti pada persamaan (3.3a).

Bila rapat Lagrangian medan elektromagnet pada persamaan (3.4) di atas

disubstitusi ke dalam persamaan (2.9) maka diperoleh:

FFg

g

gFF

g

L

2

16

1

(3.5)

Dengan menggunakan hubungan g

g

gg

g

g

2

11 , maka persamaan (3.5) dapat

ditulis menjadi:

FFFFg

gg

L

4

1

8

1

3.6b

0,

g

L. 3.6c

Dengan demikian diperoleh tensor energi-momentum medan elektromagnet dalam

medan gravitasi, yakni:

FFFFgT4

1

4

1 3.7

IV. Metrik Simetri Bola Benda Bermuatan

Tensor metrik simetri bola secara umum diungkapkan dalam elemen garis sebagai2)

:

22222222 sin ddrdredtcedS 4.1

di mana υ dan λ merupakan fungsi dari koordinat r dan waktu t. Tensor metriknya adalah:

22

2

sin000

000

000

000

r

r

e

e

g 4.2a

dan bentuk kontravariannya:

22

2

sin000

000

000

000

r

r

e

e

g 4.2b

Untuk mendapatkan solusi persamaan Einstein untuk metrik simetri bola, perlu

terlebih dahulu dihitung lambang Christoffel seperti pada persamaan (2.4). Komponen-

komponennya yang tidak lenyap adalah:

2

1

1

2

2

1

11

3

13

2

12

1

22

1

00

0

00

r

r

er

e

cot

cossin

sin

2

2

2

3

23

2

33

21

33

0

11

1

01

0

01

er

e

4.3

Dengan menggunakan lambang Christoffel di atas, akan dihitung ungkapan tensor

Ricci dan tensor Einstein masing-masing dengan menggunakan persamaan (2.3) dan (2.8).

Diperoleh komponen tensor campuran Einstein

G yang tidak lenyap, memberikan

persamaan medan, yakni:

2

2

2

2

1

122

1

0

0

022

222

1

222

1

11

2

1

11

KTe

re

KTrrr

e

KTr

e

KTrrr

e

4.4

Komponen tensor 3

3

3

3

2

2 KTGG dan yang lainnya lenyap.

Potensial vektor Aμ sangat menentukan dalam medan elektromagnet. Untuk

potensial simetri bola, maka hanya komponen A0 dan A1 yang tidak lenyap sedangkan

komponen lainnya lenyap yakni A2=A3=0 (x0=ct, x

1=r, x

2=θ, x

3=). Disamping itu,

potensial elektromagnet berlaku pula sifat invarian terhadap transformasi gauge yang

berbentuk:

xAA

4.5

di mana adalah fungsi skala yang bergantung pada jari-jari r dan waktu t sehingga dapat

dipilih (r,t) sedemikian sehingga 011

rAA

, dan hanya komponen A0 yang tidak

lenyap.

Sekarang kita akan menghitung tensor energi-momentum medan elektromagnet.

Untuk maksud tersebut, tinjaulah tensor kekuatan medan elektromagnet pada pers.(3.3) dan

komponen-komponennya yang tidak lenyap adalah:

100

01 fr

Af

4.6

Komponen-komponen kontravariannya fggf dapat diperoleh dengan

menggunakan persamaan (4.2b), maka:

r

Aefggf

0

01

110001 4.7

Dan seluruh komponen yang lain lenyap. Dengan menggunakan persamaan (3.7) kita akan

dapatkan ungkapan tensor energi-momentum, yakni:

ffffggT4

1

4

1 4.8

Dengan menguraikan komponen-komponennya, tensor energi-momentum dapat

diungkapkan sebagai:

1000

0100

0010

0001

8

12

0

r

AeT

4.9

Selanjutnya akan ditinjau solusi tensor metrik gabungan persamaan Maxwell-

Einstein. Dengan menggunakan persamaan (4.2a-42b) diperoleh determinan tensor metrik

sebagai:

24

22

2

sin

sin00

00

00

re

r

r

e

eg

4.10a

sindet 22/ regg 4.10b

Persamaan Maxwell yang diungkapkan sebagai

Jcx

fg

g

41

dengan

rapat arus J

=0 dapat direduksi menjadi dua persamaan,yakni:

0sin 0

22/

01

Aererr

fg 4.11a

0

sin 0

22/01

t

Are

t

fg

4.11b

Dari persamaan (4.11a-4.11b) di atas, setelah diintegralkan diperoleh:

tetapanAer

0

2/2 4.12

Konstanta sebelah kanan pada persamaan (4.12) di atas tidak bergantung pada

koordinat t dan r, dan ini dapat diperiksa pada jarak yang jauh. Dalam limit fungsi

eksponensial cenderung menuju ke satuan dan ini diperoleh tetapanAr 02 atau

2

0

r

e

dr

dA

sehingga r

eA 0 . Jika A0 berada dalam medan gravitasi dan e adalah muatan total benda

sumber gravitasi, maka dapat disimpulkan bahwa konstanta tersebut sama dengan –e.

Persamaan (4.12) dapat dituliskan sebagai:

2/

20

er

eA 4.13

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (4.9), akhirnya kita peroleh tensor

energi-momentum medan elektromagnet dalam medan gravitasi benda, yakni :

1000

0100

0010

0001

8 4

2

r

eT

4.14

Dengan memasukkan tetapan 4

8

c

GK

dan tensor energi-momentum medan

elektromagnet persamaan (4.14) ke dalam persamaan medan gravitasi (4.4), maka diperoleh

persamaan medan, yakni:

44

2

22

11

rc

Ge

rrre

4.15a

44

2

22

11

rc

Ge

rrre

4.15b

0 4.15c

Dengan menjumlahkan dua persamaan pertama (4.15a-4.15b) pada persamaan di atas akan

memberikan persamaan, yakni:

0 4.16

atau

)( 0xf 4.17

dimana f(x0) adalah tetapan integrasi yang hanya fungsi dari x

0. Sekarang kita dapat

membuat sebuah transformasi koordinat masih memuat bentuk elemen garis tidak berubah

bentuk (invarian). Dalam hal ini koordinat waktu berbentuk )( 00 xhx dan ruang

kk xx dengan k=1,2,3. Dapat ditandai bahwa tensor metrik g bertransformasi sebagai:

gx

x

x

xg

4.18

Komponen waktunya diperoleh

00

2

00

2

0

0

00 ghgx

xg

4.19

Sekarang jika dipilih fungsi

2

)(exp

0

0

0 xf

xd

dxh dengan )( 0xf sama dengan

persamaan (4.17), maka kita dapatkan eeg

00 .

Selanjutnya bila persamaan (4.15a) diintegralkan dengan menuliskannya dalam

bentuk integral, yaitu:

Crcr

Gere

drrc

Gered

4

2

24

2

1

4.20

sehingga diperoleh

42

2

1cr

Ge

r

Cee 4.21

Dengan C adalah konstanta integrasi, yang dalam relativitas dikenal sebagai jari-jari

Schwarschild yakni rc

GmrS 2

2 dengan m adalah massa total dari benda sumber gravitasi.

Tensor metrik ini dikenal sebagai metrik Reissner-Nodstrom.

Akhirnya diperoleh solusi persamaan medan gravitasi untuk benda bermuatan listrik

simetri bola yang dinyatakan dalam elemen garis berikut:

2222

21

42

2

2

20

42

2

2

2

sin

)2

1())(2

1(

ddr

drcr

Ge

rc

Gmdx

cr

Ge

rc

GmdS

4.21

V. Kesimpulan

Persamaan medan gravitasi kovarian dalam relativitas umum dapat pula diperoleh

melalui variasi prinsip aksi dengan merumuskan rapat Lagrangiannya. yang terdiri atas dua

bagian yakni rapat Lagrangian meteri dan rapat Lagrangian medan gravitasi

Solusi medan gravitasi benda bermuatan listrik simetri bola yang telah diperoleh

menunjukkan hasil yang mirip dengan solusi Schwarschild, namun metriknya ada suku

tambahan yang bergantung pada muatan total benda. Dengan suku tambahan ini

menunjukkan metriknya tidak menuju singularitas seperti pada solusi Schwarschild.

Daftar Pustaka

1. Cameli, M, 1990, “ Gravitation: SL(2,C) Gauge Theory And Conservation Laws” ,

World Scientific, Singapore.

2. Cameli, M, 1982, “ Classical Field: General Relativity and Gauge Theory, John Wiley

& Sons Inc., New York

3. Jackson, J.D (1988), Classical Electrodynamics, Wiley Eastern Limited, New Delhi

4. Bose, S.K, 1980; An Intoduction to General Relativity, Wiley Eastern Limited, New

Delhi