13.1 Sinopsis Simetri

Kita akan menemukan bahwa setiap operasi simetri memiliki operator simetri

yang sesuai, seperti operator mekanika kuantum lainnya. Operator simetri

memindahkan benda, termasuk molekul, dalam tiga dimensi ruang menjadi objek

setara spasial.

Fungsi gelombang juga memiliki simetri, dan simetri mereka dapat digunakan

untuk memahami sifat-sifat mereka dan untuk mendefinisikan dan menjelaskan

fungsi gelombang molekul lebih mudah (seperti contoh quadri- lateral dan persegi di

atas). Pertimbangan simetri penting dalam mendekati orbital molekul sebagai

kombinasi linear orbital atom.

Akhirnya, kita akan mempertimbangkan bentuk molekul, bagaimana

bentuknya ditentukan oleh orbital atom dari atom, dan bagaimana orbital tersebut

dapat lebih baik digambarkan sebagai kombinasi yang disebut orbital hibrid. Simetri

juga berlaku untuk orbital hibrid seperti dengan cara alami.

13.2 Operasi Simetri dan Titik Kelompok

Pertimbangkan persegi panjang pada Gambar 13.1. Ketika Anda memutar

persegi panjang dengan 180 ° atau θ radian, angka yang dihasilkan terlihat identik

dengan aslinya. Bayangkan sumbu melalui pusat persegi panjang dan bentuk

berputar tentang itu sumbu oleh 180 °. Sumbu seperti sumbu tersebut disebut sumbu

simetri.

Sebuah bentuk seperti persegi panjang memiliki beberapa sumbu simetri;

untuk masing-masing rotasi terjadi pada sumbu spasial yang berbeda. Rotasi persegi

panjang untuk menghasilkan persegi panjang ekuivalen adalah contoh dari operasi

simetri. Operasi simetri adalah setiap gerakan dari suatu obyek yang meninggalkan

objek tampak seperti yang terjadi awalnya. Sumbu tentang yang rotasi terjadi adalah

contoh dari elemen simetri. Unsur simetri adalah titik, garis, atau pesawat (atau

kombinasinya).

Setiap jenis umum dari operasi simetri diberikan simbol untuk mewakilinya.

Sumbu simetri dilambangkan Cn, dimana n adalah jumlah kali hasil operasi harus

diulang agar objek untuk kembali ke posisi awal mulainya. Hal ini menunjukkan

bahwa n=3 60o/θ, dimana θ merupakan sudut rotasi yang diperlukan agar objek

tampak sama seperti pada awalnya.

Ada dua jenis operasi simetri. Yang pertama disebut elemen identitas, diwakili

oleh E. Semuanya memiliki E sebagai operasi simetri; itu adalah operasi simetri

karena keberadaan objek. Operasi simbolis yang terakhir merupakan sumbu yang

tidak tepat simetri, ditunjukkan oleh Sn. (Cn lebih khusus disebut rotasi yang tepat.)

Ini adalah kombinasi dari rotasi Cn (yaitu, menyalakan sumbu dengan 360 ° / n)

diikuti oleh refleksi melalui pesawat yang tegak lurus terhadap sumbu.

Molekul juga memiliki unsur-unsur simetri. Tergantung pada identitas dan

posisi atom dalam molekul, molekul apapun akan memiliki elemen simetri tertentu

sehingga operasi pada molekul yang oleh sesuai symme- mencoba operasi akan

menghasilkan orientasi "baru" dalam ruang yang berbeda – ataupun dari orientasi

asli

Benda nyata, termasuk molekul, tidak memiliki set simetri acak. Sebuah objek

nyata dapat memiliki lebih dari satu jenis yang sama simetri elemen pemerintah.

Hanya kelompok-kelompok tertentu dari unsur simetri yang mungkin untuk setiap

objek fisik. Karena semua elemen simetri kelompok tersebut berpotongan pada satu

titik dalam objek, kelompok tersebut disebut kelompok titik.

Sebuah grup jalur biasanya disebut dengan label untuk menunjukkan bahwa

suatu objek berisi bahwa set tertentu elemen simetri. Sebagai contoh, titik kelompok

C2v, yang menggambarkan simetri dari molekul air, terdiri dari E, sebuah rotasi

yang tepat C2, dan dua pesawat simetri.

Perhitungan simetri dapat dilakukan dengan system matematis aljabar yaitu

dengan system persamaan matriks. Matriks yang digunakan biasanya berukuran 3x3

Matriks.

13.3 Grup Basis Matematis

Operasi simetri adalah operator dan dinyatakan secara matematis dalam hal

matriks 3 x 3 untuk operasi pada titik dalam ruang 3-D dan hanya koleksi tertentu

elemen simetri, yang disebut grup jalur, yang mungkin untuk benda-benda nyata.

Bidang matematika yang berhubungan dengan simetri dan titik kelompok

yang disebut teori grup. Kelompok adalah kumpulan beberapa operasi tertentu yang

memenuhi kondisi berikut:

Kelompok harus memiliki operasi identitas sehingga operasi dengan

identitas tidak mengubah objek. Operasi ini harus komutatif dengan semua

operasi lain dari kelompok. Artinya, jika A merupakan operasi identitas

dan B mewakili operasi lainnya, maka secara gabungan AB memiliki efek

yang sama seperti BA kombinasi yang memiliki efek yang sama dari

operasi B dengan sendirinya.

Operasi terbalik harus hadir untuk setiap operasi dalam grup jalur yang

membalikkan tindakan operasi masing-masing. Beberapa operasi yang

terbalik sendiri.

Dalam kombinasi lebih dari satu operasi, hukum asosiatif berlaku. Ini

berarti bahwa jika Anda memiliki tiga operasi simetri berlabel A, B, dan

C, kombinasi (AB) C dan A (BC) harus menghasilkan efek keseluruhan

yang sama.

Setiap kemungkinan kombinasi lebih dari satu operasi dalam kelompok

harus setara dengan satu operasi kelompok. Properti ini disebut penutupan.

Jumlah operasi simetri individu dalam kelompok titik disebut urutan

kelompok dan dilambangkan dengan huruf h (tidak harus bingung dengan konstanta

Planck) (contoh h = 4). Setiap koleksi dari satu atau lebih operasi simetri disebut

kelas. E selalu di kelas sendiri. Hanya operasi simetri yang sama dikelompokkan

bersama dalam kelas, tetapi tidak semua operasi simetri yang sama dapat

dikelompokkan bersama-sama di kelas yang sama.

13.4 Molekul dan Simetri

Semua molekul memiliki struktur milik salah satu grup jalur diakui. Meskipun

kita telah menggunakan molekul sebagai contoh sistem yang memiliki elemen

simetri, kita hanya diasumsikan ide ini sejauh ini. Kebanyakan molekul benar-benar

memiliki sangat sedikit elemen simetri, dan sehingga dapat disebut sebagai memiliki

"rendah" simetri. Semua dari mereka memiliki setidaknya E, dan sehingga dapat

diakui sebagai memiliki simetri keseluruhan didefinisikan setidaknya oleh kelompok

titik C1. Banyak molekul, terutama yang kecil, memiliki unsur-unsur simetri lebih

dan begitu juga dikatakan memiliki "lebih tinggi" simetrinya.

Penerapan simetri molekul lebih dalam dari sekedar bentuk molekul.

Persamaan matematika juga memiliki sifat simetri. Kita telah membahas konsep

fungsi ganjil dan genap. Ini adalah properti simetri. Bahkan fungsi menyiratkan

bahwa bidang simetri ada, biasanya pesawat yang memotong sumbu y.

Sebagai fungsi matematika, fungsi gelombang mekanika kuantum juga dapat

memiliki sifat simetri tertentu. Tapi apa sifat simetri yang fungsi gelombang miliki?

Karena fungsi gelombang yang menentukan distribusi probabilitas elektron dalam

molekul, dan bahwa distribusi elektron akhirnya memberikan molekul bentuknya,

kita menyimpulkan bahwa fungsi gelombang molekul harus memiliki unsur-unsur

simetri sama dengan molekul itu sendiri.

Dengan demikian, jika unsur-unsur simetri molekul diidentifikasi, maka

fungsi gelombang molekul harus memiliki unsur-unsur simetri yang sama, dan

termasuk dalam kelompok titik yang sama, seperti molekul. Ini adalah ide yang

membuat simetri alat yang berharga dalam mekanika kuantum.

13.6 Fungsi Gelombang dan Simetri

Bagaimana simetri berlaku untuk fungsi gelombang? Pertama-tama, pikirkan

molekul itu sendiri. Sebuah molekul memiliki bentuk yang dapat dijelaskan oleh

salah satu dari sejumlah kelompok operasi simetri. Kelompok tersebut mengandung

mana saja dari satu operasi simetri (C1, yang memiliki E) ke banyak (Oh, yang

memiliki 48) yang tak terbatas.

Gelombang Fungsi molekul menjangkau seluruh molekul. Hal ini berlaku

meskipun kita cenderung membayangkan elektron lokal dalam molekul, seperti

dalam ikatan kovalen antara dua atom. Namun, tegasnya, fungsi gelombang Cover

dan elektron yang ada di seluruh molekul. Jika molekul memiliki bentuk, maka

orbital molekul harus memiliki bentuk yang sama. Hal ini menuntut bahwa fungsi

gelombang molekul harus memiliki sifat simetri yang sama dengan molekul.

Fungsi gelombang molekul juga harus memiliki beberapa perilaku

sehubungan dengan operasi simetri kelompok titik. Perilaku simetri fungsi

gelombang harus sesuai dengan salah satu representasi tereduksi dari grup jalur. Hal

ini khas untuk label fungsi yang disebabkan oleh gelombang dengan simbol untuk

itu representasi tereduksi, seperti itu adalah untuk label fungsi gelombang dengan

bilangan kuantum nya. Selanjutnya, karakter operasi E simetri untuk fungsi

gelombang adalah sama dengan degenerasi fungsi gelombang. Fungsi gelombang

dapat diberi label dengan label representasi tereduksi yang sesuai.