MATRIX1

21

22221

11211

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

Matrix

• Matrix : kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

Atau

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

Baris

KolomUnsur Matrix

Matrix berukuran m x n atau berorde m x n

Jika ( m = n ) dinamakan matrix bujursangkar (square matrix)

VektorVektor : bentuk matrix khusus yang hanya

mempunyai satu baris atau satu kolom. vektor baris (berbaris tunggal) dan vektor kolom (berkolom tunggal)

Contoh :

97

5

263

kolomVektor

736542 barisvektor

dc

b - a

Kesamaan matrix dan vektor• Dua matrix dikatakan sama apabila keduanya berorde sama dan semua

unsur yang terkandung di dalamnya sama (aij = bij, untuk setiap i dan j)

contoh :

• Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya sejenis, sedimensi dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.Contoh :

C B B, A B, A maka428532

428532

428532

CBA

532

53

2

842

532

b

vuaMaka a = b,

u ≠ v, a ≠ u ≠ v

dan b ≠ u ≠ v

• Matrix dapat dikatakan sebagai kumpulan vektor Amxn adalah matrix A yang merupakan kumpulan dari m buah vektor baris dan n buah vektor kolom.

42845

,23

,82

dan 53-2

vektor - vektordarikumpulan

merupakan yangmatrix adalah 428532

A

Pengoperasian Matrix dan Vektor• Penjumlahan dan Pengurangan

Dua buah matrix hanya dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila keduanya berorde sama.A + B = C dimana cij = aij + bij

• Berlaku kaidah Komutatif : A + B = B + A• Kaidah Asosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C = A

+ B + C

Perkalian Matrix dengan Skalar

• λA = B dimana bij = λaij

• Contoh :

1815126

6.35.34.32.3

3 maka

36542

BAA

A

Kaidah Komutatif : λA = A λ

Kaidah Distributif : λ(A+B) = λA + λB

Perkalian Antar Matrix

• Dua buah matrix hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari matrix yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matix pengalinya.

• Amxn x Bnxp = Cmxp

53392317

8.47.36.45.38.27.16.25.1

8675

4321

Kaidah Asosiatif : A(BC) = (AB) C = ABC

Kaidah Distributif : A(B+C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

Perkalian Matrix dengan Vektor

• Sebuah matrix yang bukan berbentuk vektor hanya dapat dikalikan dengan sebuah vektor kolom, dengan catatan jumlah kolom matrix sama dengan dimensi vektor kolom yang bersangkutan, hasilnya adalah berupa sebuah vektor kolom baru.

• Amxn x Bnx1 = Cmx1 n > 1

5323

8.47.38.27.1

87

4321

Bentuk-bentuk Khas Matrix

• Matrix Satuan / Identitas : Matrix bujursangkar yang semua unsur pada diagonal utamanya adalah angka 1 sedangkan unsur lainnya nol.

• Contoh

100010001

I 1001

I 32

Marix Diagonal

• Matrix diagonal adalah matrix bujursangkar yang semua unsurnya nol kecuali pada diagonal utama.

• Contoh :

1001

400030003

5003

Matrix Identitas

Matrix Nol

• Matrix nol : Matrix yang semua unsurnya NOL. 0

• Contoh :

000000

0 0000

0 2x322x

Matrix Ubahan (transpose)

• Matrix ubahan ialah matrix yang merupakan hasil pengubahan matrix lain yang sudah ada sebelumnya, dimana unsur-unsur barisnya menjadi unsur-unsur kolom dan sebaliknya.

• Amxn=[aij] matrix ubahannya A′nxm =[aji]

4312

' 4132

AA (A′) ′ = A

Matrix Simetrik

• Matrix simetrix adalah matrix bujursangkar yang sama dengan ubahannya.

• A = A′

7331

' 7331

AA

AA′ = AA = A2

Matrix simetrik miring (skew symmetric)

• Matrik ini merupakan matrix bujursangkar yang sama dengan negatif ubahannya.

• A = -A atau A = -A′ ′

024205450

024205450

024205450

-A'A'A

Matrix Balikan (inverse matrix)

Matrix balikan : matrix yang apabila dikalikan dengan suatu matrix bujursangkar menghasilkan sebuah natrik identitas.A balikannya adalah A-1

AA-1 = IA-1 = adj.A |A|

Bentuk khas yang lain• Matrix skalar : matrix diagonal yang

unsurnya sama atau seragam (λ). Jika λ = 1 matrix identitas

• Matrix ortogonal : matrix yang apabila dikalikan dengan matrix ubahannya menghasilkan matrix identitas (AA =I)′

• Matrix singular : matrix bujursangkar yang determinannya sama dengan nol. Matrik semacam ini tidak memiliki inverse

• Matrix non-singular : matrix bujusangkar yang determinannya tidak nol, memiliki balikan (inverse)

Latihan

• Dumairy Hal 298 – 300 dan 308 – 309