Materi Statmat II

8/16/2019 Materi Statmat II

http://slidepdf.com/reader/full/materi-statmat-ii 1/16

Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI

1

Distribusi Pendekatan

(Limiting Distributions) Ada 3 teknik untuk menentukan distribusipendekatan:1. Teknik Fungsi Distribusi

Contoh2. Teknik Fungsi Pembangkit Momen

Contoh3. Teknik Teorema Limit Pusat

Contoh




2

Teknik Fungsi Distribusi

Definisi:

Misalkan F n(x) fungsi distribusi dari peubah acak X n yang bergantung pada bilangan bulat positifn. Apabila F(x) merupakan fungsi distribusi dari

X sedemikian sehingga untuksetiap X dimana F(x) kontinu, maka dikatakanpeubah acak X n memiliki distribusi pendekatan(limiting distribution ) dengan fungsi distribusipendekatannya adalah F(x) .

x F x F Lim nn




3

Teknik Fungsi Pembangkit Momen

TeoremaMisalkan peubah acak X n mempunyai fungsidistribusi F n( x ) dan fungsi pembangkit momennya

Mn(t ) = M(t;n ) ada, untuk setiap n dan .Jika ada fungsi distribusi F( x ) dan fungsi pembangkitmomennya M( t ), sedemikian sehingga

maka X n dikatakan mempunyai distribusi pendekatandengan fungsi distribusi F( x )

0, h

t h

t M nt M n

;lim




5

Contoh 3

Misalkan X n adalah peubah acak berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan = n. Jika peubahacak , maka tentukan distribusipendekatan dari Y n dengan menggunakan FPM.

Untuk menyelesaikan contoh soal di ataspertama-tama terlebih dahulu menentukan fkp dariXn, dan menentukan FPM dari X n.

Selanjutnya menentukan FPM dari Y n dan apakahnilai

,

n

n X Y n

n2

t M nt M n

;lim




6

Apabila ternyata maka Yn

mempunyai distribusi pendekatan .

Apabila sebuah peubah acak mempunyai distribusipendekatan maka kita dapat menggunakan distribusipendekatan itu sebagai distribusi yang sebenarnya.

t M nt M n

;

lim




7

Teknik Dalil Limit Pusat

Pada teknik ini, peubah acak yang merupakan jumlahdan rata-rata tersebut dengan menggunakantransformasi tertentu (angka baku) akan berdistribusi

normal baku.




8

Pada perkuliahan sebelumnya telah membahasbahwa, jika X 1, X2, X3, . . . , X n menunjukkan sampel

acak dari distribusi normal yang mempunyai rerata μdan varians σ 2, maka peubah acak

berdistribusi N(0, 1) untuk setiap n anggota bilanganasli. Sekarang akan membahas suatu teorema yangsangat penting, yang salah satu hasilnya mengatakanbahwa, jika X 1, X2, X3, . . . , X n adalah suatu sampelacak berukuran n dari sebarang distribusi yang

n

n X

Z

n

i

i

n1

X n

Z n




9

mempunyai mean μ dan varians 0 < σ 2 < ∞, maka

Teorema Limit Pusat

Misalkan X 1, X2, X3, . . . , X n adalah suatu sampelacak berukuran n dari suatu distribusi yangmempunyai mean μ dan varians 0 < σ 2 < ∞, maka

1,0: N Z X n

Z d n

n

1,0:1 N Z X n

n

n X Z d n

n

ii

n




11

Kekonvergenan Stokastik

Misalkan F n(x) merupakan fungsi distribusi daripeubah acak X n yang distribusinya bergantung padabilangan bulat positif n.

Apabila c menunjukkan sebuah konstanta yang tidakbergantung pada n, maka peubah acak X n dikatakankonvergen stokastik ke-c jika dan hanya jika untuk

setiap ε > 0 berlaku:

1lim c X P nn



Fitriani Agustina, JurPend.Math, UPI 12

Penentuan konvergen stokastik sebuah statistikterhadap parameternya atau konstanta dapat

dinyatakan sebagai konvergen dalam peluang.Misalkan X 1, X2, X3, . . . , X n adalah barisan daripeubah acak yang didefinisikan atas ruang sampel

yang sama S. Misalkan pula X adalah peubah acaklain yang didefinisikan atas ruang sampel S.




Definisi

Xn dikatakan konvergen dalam peluang ke-Xdinotasikan dengan jika untuk setiap ε > 0berlaku

Penyelesaian masalah konvergen dalam peluangdapat dilakukan dengan menggunakanketidaksamaan Chebysev’s, yaitu

X X P n

0lim X X P nn

2

1lim

k k X P x xn




Langkah-langkah untuk penentuan konvergenstokastik:

1. Gunakan ketidaksamaan Chebyshev’s

2. Tentukan rerata dan variansi dari statistiknya

3. Substitusi nilai rerata dan variansi tersebut kedalam ketidaksamaan Chebyshev’s

4. Lakukan modifikasi terhadap nilai di dalam hargamutlaknya, sedemikian hingga nilai tersebutsesuai dengan yang diharapkan

5. Misalkan dengan sudah disubstitusikan

dan diperoleh nilai k.

xk x




Teorema-teorema dalam distribusi pendekatan

Misalkan F n(u) dan F n(v) merupakan fungsi distribusidari peubah acak U n dan V n yang distribusinyabergantung pada bilangan bulat positif n. Jika

dan (c ≠ 0, c > 0, d ≠ 0) dan P(Un

< 0) = 0,maka:

1. dan

2.3. dan

4.

cU P n

d V P

n

1 P n

d V

1 P n

cU

cU P

n

d cV U P nn cd V U P

nn

d

c

V

U P

n

n

Materi Statmat II

Documents

Transcript of Materi Statmat II