Materi Pokok 03TEORI PENARIKAN CONTOH DAN SEBAGAINYA

1. Sebaran t dan FPeubah acak dengan Z sebagai peubah acak normal

baku dan U adalah peubah acak yang menyebar 2(r) di mana Z dan U adalah dua peubah acak bebas.Fungsi kepekatan t adalah

U dan V adalah bebas dengan sebaran Khi-Kuadrat dan menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas r1 dan r2.

rUZ

T

dengan ., rVrU

Facak Peubah

t -

r t 1

1 .

2r τπr21 r τ

tf

1

1

21 r 2

Fungsi kepekatan peluang peubah acak F adalah

= pengganti f untuk membedakan f sebagai notasi fungsi.

Bila ingin membandingkan ragam dua sebaran normal N(, 12)

dan N(2, 22). Contoh acak bebas diambil dengan ukuran

masing-masing n1 dan n2 sehingga nisbah

Dengan S12 dan S2

2 ragam contoh dari populasi 1 dan populasi 2.

22 1

2121

1 - 2121

2121

rr rω r 1 2r τ2rτ

rω 2r r τr rr ωf

1 - nσ

S 1 - n

1 - nσ

S 1 - n

σ

Sσ

S

222

222

121

211

22

22

2

21

Nisbah ini mengingatkan kita pada F:

U adalah peubah acak yang menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas n1 – 1 dan V juga adalah peubah acak yang menyebar secara Khi-Kuadrat dengan derajat bebas r2 = n2 – 1 dan kedua peubah acak ini bebas.

Contoh 3.1Jika sebaran F adalah F(r1, r2) maka dengan tabel f dapat dihitung misalnya: r1 = 7, r2 = 8P(F 3,5) = 0,95 sehingga F 0,05(7,8) = 3,5 danUntuk r1 = 9, r2 = 4P(F 314,66) = 0,95 sehingga F 0,05(9,4) = 14,66

dimana rVrU

F2

1

2

2

222

21

211

σ

S 1 - n Vdan

σ

S 1 - n U

Tabel f dapat digunakan untuk nilai peluang kumulatif 0,01; 0,01 dan 0,05 dengan 1/F.

12α21α - 112α

21α - 1

1212

12α - 1

12α - 1

12α - 1

12

1

2

2

1

r ,r F1

r ,r Fdan r ,r F r ,r F

1 sehingga

α - 1 r ,rF F1

P maka r ,rF F1

karena

α - 1 r ,r F

1

F1

P

α r ,r F

1

F1

P

α r ,r F FP

sehingga r ,rF secaramenyebar juga iniDan

rVrU

F1

maka rVrU

F Jika

Contoh 3.2Jika sebaran F adalah F(4, 9) maka P(F c) = 0,01 dan

P(F d) = 0,05Dapat diperoleh sebagai berikut:

2. Limit Fungsi Pembangkit MomenSuatu sebaran Binomial dapat didekati dengan sebaran Poisson bila n cukup besar dan p kecil.Fungsi pembangkit momen sebaran Binomial dapat didekati dengan fungsi pembangkit momen Poisson.Perhatikan:Y ~ b(n, p), n

np n 0

0,1667 6,00

1

9,4 0,05 F1

4,9 0,95 F d

0,0682 14,66

1

9,4 0,01 F1

4,9 0,99 F c

Fungsi pembangkit momennya

1 - teλn t

n

bn

n

n t

nt

nt

e n

1 - eλ - 1 Lim

e nb

1 Lim

sehingga n

1 - eλ - 1

e nλ n

λ - 1 tM

nλ pdengan pe p - 1 tM

Teorema 3.1Jika barisan fungsi pembangkit momen mendekati nilai tertentu sebut M(t) maka limit sebaran berhubungan dengan sebarannya.

Contoh 3.3Fungsi pembangkit momen Poisson dengan = 5 mempunyai sebaran Binomial dengan np = 5.Keempat Fungsi Pembangkit Momen:

50 t

20 t

10 t

1 - te5

e 0,1 0,9 tM 101

50,b

e 0,25 0,75 tM 41

20,b

e 0,5 0,5 tM 21

10,b

e tM λP01

Makin besar n, nilai pendekatan Binomial makin dekat dengan nilai sebaran Poisson.

Contoh 3.4Peubah acak Y ~ b(50, 1/25) maka

Dan dengan sebaran Poisson = np = 2P(Y 1) = 0,406

Bila contoh acak X1, X2, …., Xn dari sebaran dengan nilai tengah maka fungsi pembangkit momen

0,400 2524

251

50 2524

1 YP49 50

μt2

n

n e ntM Limdan ntM X

Contoh 3.5Misalkan X1, X2, ….., Xn merupakan contoh acak berukuran n dari sebaran eksponensial dengan = 2. Fungsi pembangkit momen

3. Ketaksamaan Chebychev dan kekonvergenan Dalam PeluangTeorema 3.2Jika peubah acak X mempunyai nilai tengah dan ragam 2 maka untuk k 1

22t

nt-

n

e tM menjadi limitnyan besar semakin dan

n, nt - 1

e tMadalah

nθθ - x

2k

1 kσ μ - XP

2

2

2

2

2

ε

σ - 1 ε μ - XP

k

1 - 1 kσ μ - XP

ε

σ ε μ - XP

maka kσ ε Jika

Contoh 3.6Jika X mempunyai nilai tengah 25 dan ragam 2 = 16 maka batas bawah (Lower Bound) dari P(17 < X < 33) adalah

Dan batas atas (Upper Bound) untuk P(|X – 25| 12) adalah

0,75 41

- 1 2σ 25 - XP 8 25 - XP 33 X 17P

91 μ - XP

Jika peubah acak Y ~ B(n, p). Y/n frekuensi sukses dan p tidak diketahui sehingga Y/n digunakan menduga p.

2

2

nε

pq ε p -n YP

dan ε

npq ε p -n YP