Materi Ke- 7 Integrasi Numerik - Sketsa Sang Juara · 2019. 3. 14. · 2 b a x ' ( ( ) 4 ( ) ( )) 6...

Integrasi Numerik

Materi Ke- 7

❯❯❯❯❯

Cancel OK

Semoga selalu di garis depan

dalam berkarya nyata

B.J. Habibie

Kriteria Capaian

Mahasiswa dapat :

Mencari nilai integral suatu fungsi menggunakan pendekatan metode numerik, diantaranya: • metode trapesium: satu pias/banyak pias

• metode simpson: aturan 1/3 atau aturan 3/8

Referensi: Bambang Triatmodjo, 1992, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta (BAB VI. Integrasi Numerik)

Ilustrasi

x

y

b a

)()()()( bFaFxFdxxfb

a

b

a

b

a

dxxfI )(

Dengan F(x) adalah integral dari f(x) sedemikian sehingga F’(x) = f(x)

I

Integral Analitis :

)(xf

Definisi

Integral tertentu yang didasarkan pada hitungan perkiraan dengan mendekatinya melalui fungsi polinomial berdasar data yang tersedia.

Apa metode integral numerik ?

Integral numerik dilakukan apabila : • Integral yang tidak dapat (sukar) diselesaikan

secara analitis, • Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam

bentuk analitis, tetapi secara numerik dalam bentuk angka (tabel)

Ilustrasi

x

y

b a

2

)()()(

bfafabI

Bidang tersebut merupakan bentuk trapesium yang luasannya dapat dihitung dengan rumus geometri, yaitu:

I

Integral Numerik :

f(a)

f(b)

)(xf

Ilustrasi

x

y

c a

• Jika tersedia lebih dari dua data dapat dilakukan pendekatan dengan lebih dari satu trapesium, dan

• luas total adalah jumlah dari luas trapesium – trapesium yang terbentuk.

• Cara ini dikenal dengan metode trapesium banyak pias.

Integral Numerik :

f(a)

f(c) )(xf

I1 I2

f(b)

b

Ilustrasi

x

y

a

• Fungsi yang diintegralkan dapat pula didekati oleh fungsi polinomial dengan order lebih tinggi, sehingga

• kurva yang terbentuk tidak linier, tetapi kurva lengkung. • Contoh: Metode Simpson 1/3 (order 2), Simpson 3/8 (order 3),

dsb.

Integral Numerik :

f(a)

f(b) )(xf

b

I

Metode Trapesium

x b

a

2

)()()(

bfafabI

I

f(a)

f(b)

)(xf

Bidang tersebut merupakan bentuk trapesium yang luasannya dapat dihitung dengan rumus geometri, yaitu:

Metode trapesium merupakan metode pendekatan integral numerik dengan persamaan polinomial order satu. Dalam metode ini kurva lengkung dari fungsi f(x) digantikan oleh garis lurus.

y

Contoh 1

Gunakan metode trapesium satu pias untuk menghitung 4

0

dxeI x

Penyelesaian :

Bentuk integral di atas dapat diselesaikan secara analitis :

598150,53044

0

4

0

eeedxeI x

x

Hitungan integral numerik dilakukan dengan metode trapesium:

1963,1112

)04(2

)()()(

40

eebfaf

abI

Kesalahan relatif terhadap nilai eksak :

%46,107%100598150,53

1963,111598150,53

x

Terlihat bahwa metode ini memebrikan kesalahan sangat besar (lebih dari 100%)

Metode Trapesium Banyak Pias

)(xf

x0 = a xn = b x1 x2

Δx

x3 xn-3 xn-2 xn-1 x

y

n

abx

Luas bidang adalah jumlah dari luas beberapa pias tersebut. Semakin kecil pias yang digunakan, hasil yang didapat menjadi semakin teliti.

Panjang tiap pias adalah sama, sehingga:

n

n

x

x

x

x

x

x

dxxfdxxfdxxfI

1

2

1

1

0

)()()(

2

)()(

2

)()(

2

)()( 010101 xfxfx

xfxfx

xfxfxI

Lanjutan

Kemudian, dapat disederhanakan menjadi persamaan sbb.:

Atau dapat ditulis juga:

Jika memperhitungkan koreksi pada ujung interval a dan b, maka digunakan persamaan sbb.:

1

1

10 )()(2)(2

n

i

nxfxfxfx

I

1

1

1)(2)()(2

n

i

xfbfafx

I

)(')('12

)(2)()(2

21

1

afbfx

xfbfafx

In

i

i

Contoh 2

Gunakan metode trapesium empat pias dengan lebar pias adalah Δx = 1 untuk menghitung:

4

0

dxeI x

Penyelesaian :

Metode trapesium dengan 4 pias, sehingga panjang pias adalah:

14

)04(

n

abx

Luas bidang dapat dihitung dengan cara sbb:

1

1

1)(2)()(2

n

i

xfbfafx

I

991950,5722

1 32140 eeeeeI

Contoh 2 (Lanjutan)


%2,8%100598150,53

991950,57598150,53

x

Apabila dengan koreksi ujung, maka dapat dihitung dengan cara sbb:

)(')('12

)(2)()(2

21

1

1 afbfx

xfbfafx

In

i

0432140

12

12

2

1eeeeeeeI

525437,53466513,4991950,57 I


%14,0%100598150,53

525437,53598150,53

x

Metode Simpson

x

y

)(xf

b a

• Fungsi yang diintegralkan dapat pula didekati oleh fungsi polinomial dengan order lebih tinggi untuk menghubungkan titik – titik data

• Misal: apabila terdapat satu titik tambahan diantara f(a) dan f(b), maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi parabola

• Metode ini sering disebut Aturan Simpson 1/3

Metode Simpson

x

y

)(xf

b a

• Misal: apabila terdapat dua titik tambahan diantara f(a) dan f(b), maka keempat titik dapat dihubungkan dengan fungsi polinomial order tiga.

• Metode ini sering disebut Aturan Simpson 3/8

Aturan Simpson 1/3

Di dalam aturan Simpson 1/3 digunakan polinomial order dua (persamaan parabola) yang melalui titik f(xi-1), f(xi), dan f(xi+1) untuk mendekati fungsi.

)()4(3

5

1 xOfffx

I iiii

Pada pemakaian satu pias, sehingga persamaan diatas dapat ditulis sbb.: 2

abx

))()(4)((6

bfcfafab

I

dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b.

Jika dengan banyak pias (hanya genap) maka persamaan yang digunakan adalah sbb.:

1

1

2

1

11 )(2)(4)()(3

n

i

n

i

xfxfbfafx

I

Contoh 3

Gunakan aturan Simpson 1/3 untuk menghitung 4

0

dxeI x

Penyelesaian :

Dengan menggunakan aturan Simpson 1/3 dengan satu pias, maka:

7696,56)4(6

04))()(4)((

6

420

eeebfcfafab

I


%917,5%100598150,53

7696,56598150,53

x

Contoh 3 (Lanjutan)


%5,0%100598150,53

863846,53598150,53

x

Gunakan aturan Simpson 1/3 dengan Δx=1 untuk menghitung

Penyelesaian :

Dengan menggunakan aturan Simpson 1/3 dengan banyak pias, maka:

4

0

dxeI x

1

1

2

1

11 )(2)(4)()(3

n

i

n

i

xfxfbfafx

I

863846,532)(43

1 23140 eeeeeI

Aturan Simpson 3/8

Metode Simpson 3/8 diturunkan dengan menggunakan persamaan polinomial order tiga yang melalui empat titik.

Pada pemakaian satu pias, sehingga persamaan diatas dapat ditulis sbb.: 3

abx

Catatan Penting! • Dalam pemakaian banyak pias, metode Simpson 1/3 hanya berlaku untuk

jumlah pias genap. • Apabila dikehendaki jumlah pias ganjil, maka dapat digunakan metode

trapesium. Tapi metode ini tidak baik karena kesalahan cukup besar. • Untuk itu kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah pias genap digunakan

metode Simpson 1/3 sedang 3 pias sisanya digunakan metode Simpson 3/8.

)()(3)(3)(8

33210 xfxfxfxf

xI

)()(3)(3)(8

3210 xfxfxfxfab

I

Contoh 4

Gunakan aturan Simpson 3/8 untuk menghitung 4

0

dxeI x

Penyelesaian :

Dengan menggunakan aturan Simpson 3/8 dengan satu pias, maka:


%761,2%100598150,53

07798,55598150,53

x

)()(3)(3)(8

3210 xfxfxfxfab

I

07798,55338

04 46667,23333,10

eeeeI

Contoh 4 (Lanjutan)

Hitung pula integral tersebut dengan menggunakan gabungan dari metode Simpson 1/3 dan 3/8, apabila digunakan 5 pias dengan Δx = 0,8.

Penyelesaian :

Apabila digunakan 5 pias, maka data untuk kelima pias tersebut adalah:

1)0( 0 ef

95303,4)6,1( 6,1 ef

22554,2)8,0( 8,0 ef

02318,11)4,2( 4,2 ef

53253,24)2,3( 2,3 ef

59815,54)4( 4 ef

Integral untuk dua pias pertama dengan aturan Simpson 1/3 sbb.:

1

1

2

1

11 )(2)(4)()(3

n

i

n

i

xfxfbfafx

I 6,18,00 432

06,1eee

x

95303,422554,2416

6,1 x

96138,3

Contoh 4 (Lanjutan)

Tiga pias terakhir digunakan aturan Simpson 3/8:

)()(3)(3)(8

3210 xfxfxfxfab

I

)4()2,3(3)4,2(3)6,1(8

6,14ffffI

59815,5453253,24302318,11395303,48

4,2 xxI

86549,49I

Integral total adalah jumlah dari kedua hasil di atas:

836873,5386549,4996138,3 I


%427,0%100598150,53

836873,53598150,53

x

Contoh 1

0

0.4

0.8

1.2

0 0.5 1 1.5 2

5,5v

log75,5v

v(y) *

*

v

y0,17

v5,75

v

*

*

ogl

V

dyvv

yv

hV

h

*0

** 5,5

vlog75,5

1

Contoh 1

5,8log75,5v

v

*

k

y

Kedalaman aliran = 1.6 m; v*=0.045 m/dt; k=0.0012 m; berapa kecepatan rerata?

Contoh 2

wind T

z d

eLz

z

zzf

/2

5)(

dzz

zF e

LzL /2

0 5

L

L

dzzf

dzzfzd

0

0

)(

)(.

L= 30 m

Materi Ke- 7 Integrasi Numerik - Sketsa Sang Juara · 2019. 3. 14. · 2 b a x ' ( ( ) 4 ( ) ( )) 6...

Documents

Transcript of Materi Ke- 7 Integrasi Numerik - Sketsa Sang Juara · 2019. 3. 14. · 2 b a x ' ( ( ) 4 ( ) ( )) 6...