Materi Aplikasi Matlab Pada Teknologi Proses STTN

Materi Coaching Matlab Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses

Disampaikan pada coaching Matlab STTN-BATAN Yogyakarta

Oleh

Gde Pandhe Wisnu Suyantara [email protected]

Sekolah Tinggi Teknologi Nuklir

Badan Tenaga Nuklir Nasional Yogyakarta

2011

Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses 2011

i

Daftar Isi

Daftar Isi .................................................................................................................................. i

1. Review Tools Box pada Matlab ................................................................................ 1

2. Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses .................................................................... 3

2.1. Waktu untuk mencapai ketinggian tertentu pada tangki bocor (integrasi numeris) ............................... 3

2.2. Waktu steady state tangki bocor (mencari nilai nol fungsi/root finding problems dan integrasi numeris)

.............................................................................................................................................................. 7

2.3. Kecepatan dan debit aliran cairan diantara dua tangki (root finding problems) ................................... 10

2.4. Pencampuran di dalam tangki dengan pemanas (penyelesaian persamaan diferensial ordiner simultan)

............................................................................................................................................................ 14

2.5. Distribusi suhu pada batang logam diantara dua dinding panas (penyelesaian persamaan diferensial

ordiner dengan permasalahan nilai batas, boundary value problem)................................................... 20

2.6. Pengeringan padatan silinder-penyelesaian persamaan diferensial parsial (PDP) ................................ 25

2.7. Penentuan order reaksi dan konstanta kecepatan reaksi...................................................................... 32

3. Latihan .................................................................................................................. 36

3.1. Penentuan dew point campuran .......................................................................................................... 36

3.2. Adsorpsi senyawa limbah ..................................................................................................................... 37

3.3. Reaktor tabung non-adiabatis dan non-isotermal (penyelesaian persamaan diferensial ordiner

simultan) ............................................................................................................................................. 37


1

1. Review Tools Box pada Matlab

Fungsi Deskripsi

Optimasi dan root finding problem

Fminbnd Minimasi fungsi nonlinear skalar pada batas-batas tertentu

Fminsearch Minimasi fungsi nonlinear multidimensi tak berbatas dengan

menggunakan metode pencarian langsung Nelder-Mead

Fzero Pencarian nilai-nilai pembuat nol fungsi

Integrasi Numerik

Quad Integrasi numerik dengan metode berderajat rendah

Quadl Integrasi numerik dengan metode berderajat lebih tinggi

Dblquad Integrasi numerik untuk integral ganda

Triplequad Integrasi numerik untuk integral tingkat tiga

Trapz Integrasi numerik dengan metode trapezoidal

Plotting & Grafik

Ezplot Menggambar grafik fungsi 2D

ezplot3 Menggambar grafik fungsi parametrik 3D

Ezpolar Menggambar grafik fungsi polar

Ezcountour Menggambar kontur

Ezcountourf Menggambar kontur berisi

Ezmesh Menggambar kurva permukaan 3D

Ezmeshc Menggambar kurva permukaan dengan kontur

Ezsurf Menggambar permukaan 3D berwarna

Ezsurfc Menggmabar permukaan 3D dengan kontur

Fplot Menggambar fungsi 2D

Solver untuk Persamaan Differensial (PD)

PD Ordiner dengan masalah initial value (nilai awal)

ode45 Menyelesaikan PDO non-stiff dengan metode berderajat menengah

ode23 Menyelesaikan PDO non-stiff dengan metode berderajat rendah

ode113 Menyelesaikan PDO non-stiff dengan metode berderajat yang

ditentukan

ode23t Menyelesaikan PDO stiff dan persamaan aljabar diferensial

berindeks 1 dengan metode trapezoidal

ode15s Menyelesaikan PDO stiff dan persamaan aljabar diferensial

berindeks 1 dengan metode berderajat yang ditentukan

ode23s Menyelesaikan PD stiff dengan metode berderajat rendah

ode23tb Menyelesaikan PD stiff dengan metode berderajat rendah

PD Ordiner dengan masalah boundary value (nilai batas)


2

bvp4c Menyelesaikan PDO dengan BVP dua titik dengan collocation

PD Parsial 1D

pdepe Menyelesaikan PD Parsial parabolic-eliptik dengan masalah nilai

awal

Fungsi-fungsi dasar

abs Nilai absolut

cumprod Produk kumulatif dari elemen-elemen

cumsum Produk kumulatif dari penjumlahan elemen

cumtrapz Kumulatif integrasi numerik dengan metode trapezoidal

max Komponen terbesar

mean Nilai rerata

median Nilai tengah

min Komponen terkecil

prod Produk dari elemen-elemen

sort Menyusun elemen-elemen array dengan urutan semakin naik atau

turun

std Standar deviasi

sum Jumlah dari elemen-elemen

Lebih lengkap lihat pada ketik help funfun dan help elfun pada command window


3

2. Aplikasi Matlab pada Teknologi Proses

2.1. Waktu untuk mencapai ketinggian tertentu pada tangki bocor (integrasi

numeris) Suatu tangki kosong kemudian disi cairan A dengan debit Fin m

3/jam. Pada saat yang

bersamaan bagian dasar tangki mengalami kebocoran sebesar d cm dengan kecepatan cairan

keluar sebesar v m/s yang merupakan fungsi dari tinggi cairan di dalam tangki (h). v sebagai

fungsi h dapat didekati dengan persamaan berikut :

(1.1)

Dengan g adalah percepatan gravitasi bumi yang besarnya 10 m/s2. Ingin diketahui berapa lama

waktu yang diperlukan agar tinggi cairan di dalam tangki mencapai 0,5 m ? Asumsikan bahwa

densitas cairan tidak mengalami perubahan.

Fin=15 m3/jam

Fout m3/jam

D= 3 m

d= 3 cm

Gambar 1. Sistem untuk kasus 1 dan kasus 2

Diketahui:

Dari neraca massa di dalam tangki diperoleh persamaan sebagai berikut :

(1.2)

dengan

; ;

Penyelesaian

Untuk mencari nilai t pada saat h tertentu dapat dilakukan dengan memodifikasi persamaan

neraca massa diatas menjadi:

(1.3)

Integrasi persamaan diatas dengan batas-batas sebagai berikut:


4

Pada saat t=0 maka h=0

Pada saat t=t maka h=0,5

Menghasilkan persamaan sebagai berikut :

(1.4)

Algoritma pemrogramannya adalah sebagai berikut:

Input Data

Fin, g, D, d,

h

Subroutine

function t=integ_fun(h)

Hitung A, A0, v, Fout, dan t

Perhitungan

Selesai

Mulai Perhitungan

integrasi integ_fun

t=quadl(@integ_fun,0,h)

t

h

Gambar 2. Algoritma program untuk kasus 1

Main program run_integ_fun

% Kasus 1

% Menghitung waktu pengisian tangki

% ==================================

clc

clear all

% definisi global variabel

% ==================================

global Fin D d g

% Input Data

% ==================================

Fin=15/3600; % m3/jam to m3/s

D=3; % m

d=3/100; % cm to m

g=10; % m/s2


5

% Batas integrasi

% ==================================

h=0.5;

% Integrasi numeris

% ==================================


% Tampilan dalam bentuk grafik

% ==================================

run_fun_ode

Subroutine integ_fun


global Fin D d g

A=pi*D^2/4;

A0=pi*d^2/4;

v=sqrt(2*g.*h);

Fout=A0*v;

t=A./(Fin-Fout);

Program menampilkan grafik run_fun_ode

% Kasus 1 & 2

% Menampilkan grafik h versus t

% ==================================

% Input Data

% ==================================

tf=12*3600; % jam to s

[ts,hs]=ode45(@fun_ode,[0,tf],[0]);

plot(t/3600,h,'o',ts/3600,hs)

xlabel('waktu, jam')

ylabel('tinggi cairan, m')

legend('hasil hitungan','Location','Best')

Subroutine fun_ode

function dhdt=fun_ode(t,h)

global Fin D d g


6

A=pi*D^2/4;

A0=pi*d^2/4;

v=sqrt(2*g.*h);

Fout=A0*v;

dhdt=(Fin-Fout)/A;

Hasil

Waktu yang diperlukan hingga tinggi cairan = 0,50 m adalah 0,38 jam

Gambar 3. Profil tinggi cairan terhadap waktu


7

2.2. Waktu steady state tangki bocor (mencari nilai nol fungsi/root finding

problems dan integrasi numeris) Sama seperti pada Kasus 1, hanya saja ingin dicari berapa lama waktu yang diperlukan agar

kondisi di dalam tangki mencapai steady state (tinggi cairan didalam tangki tetap)?

Penyelesaian

Steady state digambarkan sebagai kondisi dimana tinggi cairan di dalam tangki tetap. Pada

gambar 3, kondisi steady tercapai pada saat dh/dt=0 sehingga dari persamaan (1.2)

(2.1)

Terlebih dahulu dicari berapa nilai h yang memenuhi persamaan (2.1). Kemudian nilai h yang

diperoleh digunakan sebagai kondisi batas atas persamaan (1.4) untuk mencari waktu yang

diperlukan mencapai ketinggian h steady state dengan cara yang sama seperti pada kasus 1.

Input Data

Fin, g, D, d

Hitung h pada saat dh/dt=0

sebagai nilai batas integrasi

h=fzero(@steady_state,h0)

Subroutine


Hitung A, A0, v, Fout, dan t

Perhitungan

Selesai

Mulai Perhitungan

integrasi integ_fun


t

h

h

f

Subroutine

function f=steady_state(h)

Hitung A, A0, v, Fout, dan f



8

Main program run_integ_fun_2

% Kasus 2

% Menghitung waktu steady state

% ==================================

clc

clear all


% ==================================

global Fin D d g

% Input Data

% ==================================

Fin=15/3600; % m3/jam to m3/s

D=3; % m

d=3/100; % cm to m

g=10; % m/s2

% Menghitung batas integrasi

% ==================================

h=fzero(@steady_state,1);

% Integrasi numeris

% ==================================

t=quadl(@integ_fun,0,0.999*h)

% Tampilan dalam bentuk grafik

% ==================================

run_fun_ode

Subroutine steady_state

function f=steady_state(h)

global Fin D d g

A=pi*D^2/4;

A0=pi*d^2/4;

v=sqrt(2*g.*h);

Fout=A0*v;

f=A./(Fin-Fout);

Hasil

Waktu yang diperlukan hingga steady state adalah 10,81 jam (tinggi cairan = 1,74 m)


9

Gambar 5. Profil tinggi cairan terhadap waktu dan kondisi steady state


10

2.3. Kecepatan dan debit aliran cairan diantara dua tangki (root finding

problems)1

1

2

z1

z2

v,QD, Le

Gambar 6. Sistem untuk kasus 3 : pengaliran cairan antara dua tangki

Suatu cairan akan dialirkan dari tangki 1 menuju tangki 2 melalui pipa dengan diameter D

dengan bantuan pompa. Panjang ekuivalen pipa, Le, diketahui. Karakteristik pompa sentrifugal

yang dipakai berupa hubungan antara head pompa (Hm, cm) dengan debit (Q, cm3/detik) dapat

didekati dengan persamaan :

(3.1)

Ingin dihitung kecepatan cairan di dalam pipa (v) dan debit aliran (Q)

Diketahui:

Persamaan Bernoulli

(3.2)

P1=P2=1 atm. Asumsi bahwa diameter tangki cukup besar sehingga v1 dan v2 dapat dianggap nol,

maka persamaan tersebut menjadi :

(3.3)

1 W.B. Sediawan dan A. Prasetya, 1997,”Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik Kimia”,

hal.115-117, Penerbit Andi : Yogyakarta.


11

Dengan :

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

Sedangkan debit aliran dapat dihitung dengan persamaan berikut:

(3.8)

Diketahui harga-harga:

ρ=1 g/cm3; µ=0,01 g/cm/s; g=981 cm/s

2 ; z1=300 cm; z2=800 cm; D=4 cm; Le=20000 cm.

Objective function

(3.9)

Penyelesaian

Harga v dapat ditentukan melalui prosedur trial and error (coba-coba) dengan memasukkan nilai

v ke dalam persamaan fobj diatas hingga diperoleh nilai fobj(v)=0

Algoritma perhitungan dan programnya pada gambar 7

Main program pump1

% Kasus 3

% Menghitung v dan Q pada pengaliran cairan

% ================================================

clc

clear

% Definisi global variabel

% ================================================

global g Z1 Z2 Le rho miu D

% Input data

% ================================================

g=981; % cm/s2

Le=20000; % cm

Z1=300; % cm


12

Z2=800; % cm

rho=1; % g/cm3

miu=0.01; % g/cm/s

D=4; % cm

%Nilai v trial awal

% ================================================

v0=200;

% Mencari nilai nol dari fungsi tujuan

% (objective function)

% ================================================

v=fzero(@obj_fun,v0);

% Hitung debit aliran

% ================================================

Q=pi/4*D^2*v;

% Tampilkan hasil

% ================================================

fprintf(' kecepatan cairan (v) = %6.4f cm/s \n',v)

fprintf(' debit cairan (Q) = %6.4f cm3/s \n',Q)

Subroutine obj_fun

function fobj=obj_fun(v)

global g Z1 Z2 Le rho miu D

Q=pi/4*D^2*v;

Hm=3718.5-2.3496*Q+7.8474e-4*Q^2-9.5812e-8*Q^3;

Re=rho*v*D/miu;

f=0.0596./Re.^0.215;

F=f*Le*v^2/2/g/D;

W=-Hm;

fobj=Z1-Z2-F-W;

Hasil

kecepatan cairan (v) = 227.6735 cm/s

debit cairan (Q) = 2861.0300 cm3/s


13

Mulai perhitungan

Input data

µ, ρ, g, z1,

z2, D, Le

Masukkan nilai

vtrial

Hitung Q=f(vtrial)

Hitung Hm=f(Q)

Hitung Re=f(v)

Hitung f=f(Re)

Hitung vhitung=f(Hm,f,vtrial)

vhitung=vtrial?

Perhitungan

selesai

Ya

Tidak

coba nilai v baru

Mulai perhitungan

Input data

µ, ρ, g, z1,

z2, D, Le,

vtrial

Hitung v

v=fzero(@obj_fun,vtrial)

Hitung Q=f(v)

Perhitungan

selesai

Subroutine

function fobj=obj_fun(v)

Hitung Q=f(vtrial)

Hitung Hm=f(Q)

Hitung Re=f(v)

Hitung f=f(Re)

Hitung fobj(v)

Langkah Perhitungan Manual Algoritma Program

Gambar 7. Algoritma perhitungan dan pemrograman kasus 3


14

2.4. Pencampuran di dalam tangki dengan pemanas (penyelesaian

persamaan diferensial ordiner simultan)

C1,kg/m3

Fv1, m3/jam

T1, oC

Cp1, J/kg/oC

Fs, kg/jam

Ts, oC

C2,kg/m3

Fv2, m3/jam

T2, oC

Cp2, J/kg/oC

C,kg/m3

Fv, m3/jam

T, oC

Cp,J/kg/oC

Fs, kg/jam

Ts, oC

U, watt/m2/oC

A, m2

C, kg/m3

V, m3

T, oC

Gambar 8. Sistem tangki pencampuran dengan pemanas

Sebuah tangki dilengkapi dengan pengaduk dan pemanas akan digunakan untuk mencampur

cairan B berkonsentrasi C1 dan bersuhu T1 dengan cairan B berkonsentrasi C2 dan bersuhu T2.

Campuran keluar tangki dengan konsentrasi C dan suhu T. Untuk mencapai suhu T, fluida

pemanas sebanyak Fs dengan suhu Ts, dialirkan melalui koil pemanas yang sepenuhnya

terendam di dalam cairan B. Ingin diketahui bagaimanakah profil suhu dan konsentrasi terhadap

waktu jika tangki dioperasikan selama 3 jam. Diketahui mula-mula di dalam tangki ada sebanyak

V cairan A dengan suhu T0 dan konsentrasi C0. Nilai kapasitas panas cairan dapat dianggap

tetap.

Diketahui:

C1 = 10 kg/m3; C2 = 2 kg/m

3; C0 = 8 kg/m

3; T1 = 35

oC; T2 = 95

oC; Ts = 120

oC; T0 = 35

oC; Fv1

= 5 m3/jam; Fv2 = 3 m

3/jam; Fv= 5 m

3/jam; Fs = 60 kg/jam; V =1 m

3 ; U=15 watt/m

2/oC ; A=25

m2; Cp=Cp1=Cp2= 3 J/kg/

oC


15

Neraca massa total

kecepatan massa masuk- kecepatan massa keluar = kecepatan massa terakumulasi

(4.1)

Jika densitas cairan dapat dianggap konstan maka persamaan tersebut menjadi:

(4.2)

Kondisi awal:

Pada t=0 maka V=V (4.3)

Neraca massa komponen

kecepatan B masuk- kecepatan B keluar = kecepatan B terakumulasi

(4.4)

(4.5)

Kondisi awal:

Pada t=0 maka C=C0 (4.6)

Neraca panas

kecepatan panas masuk - kecepatan panas keluar= kecepatan panas terakumulasi

(4.7)


16

Kondisi batas:

Pada t=0 maka T=T0 (4.8)

Penyelesaian

Diperoleh persamaan diferensial ordiner simultan dengan permasalahan kondisi awal sebagai

berikut:

Kondisi awal

Pada t=0 maka V=V;C=C0,T=T0

Untuk menyelesaikan ketiga persamaan tersebut secara simultan maka dapat digunakan metode

Runge-Kutta. Di dalam toolbox Matlab, metode ini digunakan dalam ode45. Sintaks ode45

adalah sebagai berikut :

[t,Y] = ode45(odefun,tspan,y0)

[t,Y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)

[t,Y,TE,YE,IE] = ode45(odefun,tspan,y0,options)

sol = ode45(odefun,[t0 tf],y0...)

Algoritma pemrograman penyelesaian permasalahan ini diberikan pada gambar 9.

Main program mix_heat

% Kasus 4

% Pencampuran cairan dalam tangki berpengaduk dengan koil pemanas

% ===============================================================


% ===============================================================

global Fv1 Fv2 Fv C1 C2

global T1 T2 Ts Tref U A Cp

% input data

% ===============================================================


17

C1 = 10; % kg/m3

C2 = 2; % kg/m3

C0 = 8; % kg/m3

T1 = 35+273; % C

T2 = 95+273; % C

Ts = 120+273; % C

T0 = 35+273; % C

Fv1 = 5; % m3/jam

Fv2 = 3; % m3/jam

Fv= 5; % m3/jam

Fs = 60; % kg/jam

V = 1; % m3

U = 15; % watt/m2/C

A = 25; % m2

Cp = 3; % J/kg/C

tf=3; % jam

Tref=298; % K

% menyelesaian ode simultan dengan ode45

% ===============================================================

[t,Y]=ode45(@mix_heat_ode_fun,[0,tf],[V,C0,T0]);

% menampilkan hasil perhitungan dalam bentuk grafik

% ===============================================================

figure(1) % menampilkan volum & konsentrasi cairan terhadap waktu

[AX,H1,H2]=plotyy(t,Y(:,1),t,Y(:,2))

set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','volum cairan di dalam tangki, m3')

set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','konsentrasi cairan di dalam tangki, kg/m3')


figure(2) % menampilkan profil suhu sepanjang waktu

plot(t,Y(:,3),'r')


ylabel('Suhu, K')

legend('T','Location','Best')

subroutine mix_heat_ode_fun

function dYdt=mix_heat_ode_fun(t,Y)

global Fv1 Fv2 Fv C1 C2

global T1 T2 Ts Tref U A Cp

V=Y(1);

C=Y(2);

T=Y(3);


18

dYdt=zeros(3,1);

dYdt(1)=(Fv1+Fv2-Fv);

dYdt(2)=(Fv1.*C1+Fv2.*C2-Fv.*C-C.*dYdt(1))./V;

dYdt(3)=(Fv1.*C1.*(T1-Tref)+Fv2.*C2.*(T2-Tref)+U.*A.*(Ts-T)./Cp...

-Fv.*C.*(T-Tref)-T.*(C.*dYdt(1)+V.*dYdt(2)))./V./C;

Input dataC1 ; C2 ; C0 ; T1 ; T2 ; Ts

; T0 ; Fv1 ; Fv2 ; Fv ; Fs

; V ; U; A ; Cp ; Cp1 ;

Cp2 ; tf ; Tref

Subroutine

function dYdt=mix_heat_ode_fun(t,Y)

dVdt=f(V)

dCdt=f(V,C)

dTdt=f(V,C,T)

dYdt=[dVdt;dCdt;dTdt]

Perhitungan ode simultan

[t,Y]=ode45(@mix_heat_ode_fun,[0,tf],[V,C0,T0])

Tampilkan hasil

perhitungan dalam

bentuk grafik

Mulai perhitungan

Perhitungan

selesai

t

Y=V,C0,T0

dYdt

Gambar 9. Algoritma program kasus 4


19

hasil

Gambar 10. Profil volum dan konsentrasi terhadap waktu

Gambar 11. Profil suhu terhadap waktu


20

2.5. Distribusi suhu pada batang logam diantara dua dinding panas

(penyelesaian persamaan diferensial ordiner dengan permasalahan

nilai batas, boundary value problem)

Suatu batang dengan panjang L dan diameter D, kedua ujungnya ditempelkan pada dinding

panas dengan suhu yang dijaga konstan masing-masing Ta dan Tb (gambar 12). Ingin diketahui

distribusi suhu pada batang logam sebagai fungsi panjang logam pada saat steady state.

Diketahui :

Konduktifitas panas logam (k) =0,2 cal/s/cm/oC

Koefisien perpindahan panas secara konveksi (h) =0,002 cal/s/cm2/oC

L=15 cm; D=1.5 cm

Ta=500 oC Tb=100

oC

x x+Δx

x=0 x=L

Tu=35 oC

qkonveksi

qkonveksi

qkonduksi qkonduksi

Gambar 12. Batang logam diantara dua dinding bersuhu tetap

Neraca panas pada elemen volum = A.Δx

Kecepatan panas masuk – kecepatan panas keluar = kecepatan panas terakumulasi

qkonduksi pada x- (qkonduksi pada x+Δx + qkonveksi) = 0

=0

Dengan: ;dan

A = luas perpindahan panas secara konduksi; A=

A’ = luas perpindahan panas secara konveksi


21

—

Persamaan tersebut diatur ulang dan dibagi dengan elemen volum serta diambil limit Δx

Karena nilai k tetap maka diperoleh PD ordiner order dua sebagai berikut:

(5.1)

dengan batas-batas:

pada x=0, T=Ta

pada x=L, T=Tb

Penyelesaian

Persamaan matematis yang diperoleh merupakan permasalahan PD ordiner dengan permasalahan

nilai batas. Matlab menyediakan tools berupa bvp4c untuk menyelesaikan permasalahan jenis

ini. Akan tetapi, bvp4c hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan PD ordiner order satu

sehingga terlebih dahulu persamaan (5.1) dimanipulasi sedemikian sehingga menjadi PD ordiner

order 1 simultan.

Misalkan :

maka

Substitusi persamaan tersebut ke persamaan (5.1) menghasilkan PD ordiner simultan sebagai

berikut :

(5.2)

(5.3)


22

Sintaks dari bvp4c adalah sebagai berikut:

sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit)

sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options)

sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options,p1,p2...)

Algoritma pemrograman dengan Matlab diperlihatkan pada gambar 13.

Input data

Ta,Tb, Tu, h, k, L, D

Tentukan jumlah inkremen panjang (xint) serta nilai

tebakan penyelesaian PDO dengan permasalahan

nilai batas dalam solinit=bvpinit(xint,Y0)

Tampilkan hasil

perhitungan dalam

bentuk grafik

Mulai perhitungan

Perhitungan

selesai

Subroutine

function dy=ode_fun(x,y)

dTdx=f(y)

dydx=f(T)

dy=[dTdx;dydx]

Perhitungan numeris dengan bvp4c

sol = bvp4c(@ode_fun,@bc_fun,solinit)

x,y

dy

Subroutine

function bc_res=bc_fun(Ya,Yb)

Pada x=0, T=Ta

Pada x=L, T=Tb

Ya,Yb

bc_res

Ekstrak hasil hitungan sol dengan :

Yxint=deval(sol,xint)

Gambar 13. Algoritma kasus 5


23

Main program run_ode_bvp

% Kasus 5

% Distribusi suhu pada batang logam

% =================================


% =================================

global Tu k D h

global Ta Tb

% Input data

% =================================

Ta=400; % deg C

Tb=100; % deg C

Tu=35; % deg C

k=0.2; % cal/s/cm/deg C

D=1.5; % cm

L=15; % cm

h=0.002; % cal/s/cm2/deg C

% Menentukan jumlah inkremen

% =================================

xint = linspace(0,L,20);

% Menentukan tebakan awal penyelesaian

% =====================================

solinit=bvpinit(xint,[0 1]);

% Penyelesaian PDO dengan BVP

% =================================

sol = bvp4c(@ode_fun,@bc_fun,solinit);

% Mengekstrak hasil penyelesaian

% =================================

Yint = deval(sol,xint);

% Menampilkan hasil perhitungan

% =================================

plot(xint,Yint(1,:))

xlabel('x, cm')

ylabel('T, \circ C')

subroutine ode_fun

function dy=ode_fun(X,Y)

global Tu k D h

dy=zeros(2,1);


24

dy(1)=Y(2);

dy(2)=4*h/k/D*(Y(1)-Tu);

subroutine bc_fun

function bc_res=bc_fun(Ya,Yb)

global Ta Tb

bc_res=[Ya(1)-Ta

Yb(1)-Tb];

Hasil

Gambar 14. Distribusi suhu pada batang logam


25

2.6. Pengeringan padatan silinder-penyelesaian persamaan diferensial

parsial (PDP)2 Suatu padatan berbentuk silinder panjang, berjari-jari R, dengan kadar air mula-mula C0

(g/cm3) dikeringkan dengan udara yang mengandung uap air sebesar yud ( g air/g udara).

Kesetimbangan H2O di fasa padat dan di udara dapat didekati dengan hokum Henry berbentuk

y=H.C (6.1)

Kecepatan perpindahan massa uap air dari permukaan padatan ke udara mengikuti

persamaan

(6.2)

Dengan y* adalah kadar H2O di udara setimbang dengan kadar H2O pada permukaan

silinder. Karena kadar air dalam silinder sudah cukup rendah, maka kecepatan difusi H2O dari

dalam silinder ke permukaan berpengaruh dan karena silinder sangat panjang (R<<L), maka

difusi H2O dianggap hanya kea rah radial. Ingin dicari kadar air dalam silinder (C) pada berbagai

posisi (r) dan waktu (t).

L

r

r+ΔrR

Δr

D

Gambar 15. Skema sistem pengeringan dan elemen volum pada silinder

Analisis matematis terhadap sistem pengeringan silinder menghasilkan sebuah PDP sebagai

berikut :

2 Soal diambil dari buku Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik Kimia, hal.147, karya

W.B. Sediawan dan A. Prasetya dengan modifikasi.


26

(6.3)3

dengan batas-batas sebagai berikut :

C(r,0)=C0

C(0,t)=finite atau

C(R,t)=NAA=kGA(H.C-yud)

A merupakan luas perpindahan transfer massa, A=

Nilai-nilai tetapan yang diketahui adalah sebagai berikut :

De=0,04 cm2/jam; kG=0,08 g/cm

2/jam; H=0,2; R=0,2 cm; C0=0,2 g/cm

3; yud=0,002 g/g udara;

waktu pengeringan=25 jam ;L=10 cm;

Penyelesaian

Penyelesaian persamaan differensial parsial (PDP) tersebut secara numeris dapat dilakukan

dengan menggunakan metode implisit, eksplisit atau dengan metode Crank-Nicolson. Khusus

untuk penyelesaian numeris PDP parabolik dan elliptik dengan satu variabel bebas ruang (x) dan

satu variabel bebas waktu (t), Matlab menyediakan tools yang bernama pdepe untuk

menyelesaikan PDP tersebut. Secara umum untuk permasalahan nilai awal, sintaks yang dapat

digunakan adalah sebagai berikut :

sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan)

sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options)

sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan,options,p1,p2...)

Algoritma penyelesaiannya disajikan pada gambar 16.

3 Penurunan persamaan dapat dilihat pada buku Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik

Kimia, hal.147, karyaW.B. Sediawan dan A. Prasetya


27

Input dataDe; kG; H; R; C0; yud; t0;

tf; L

Tentukan jumlah inkremen radius (xmesh) serta

nilai kisaran untuk waktu (tspan). Masukan faktor

geometri (m)

Tampilkan hasil

perhitungan dalam

bentuk grafik

Mulai perhitungan

Perhitungan

selesai

Subroutine

function u0=icfun(x)

Perhitungan numeris dengan pdepe

sol=pdepe(m,@pdefun,@icfun,@bcfun,xmesh,tspan)

Subroutine

function [c,f,s]=pdefun(x,t,u,DuDx)

Subroutine

function [pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t)

Gambar 16. Algoritma pemrograman kasus 6

Untuk menggunakan pdepe, persamaan matematis yang diperoleh harus menyesuaikan dengan

kehendak dari bentuk umum persamaan yang digunakan pada pdepe yaitu:

Dengan kondisi batas yang berlaku : dan maka bentuk penulisan IC

adalah sebagai berikut

Untuk BC, bentuk persamaan yang dikehendaki adalah sebagai berikut :


28

Sehingga untuk menyelesaikan permasalahan pengeringan padatan silinder tersebut terlebih

dahulu PDP yang diperoleh dimodifikasi sedemikian rupa sehingga memenuhi format yang

diinginkan Matlab.

Modifikasi persamaan

PDP dari kasus:

Modifikasi persamaan tersebut adalah:

Bentuk Matlab:

Jika u=C, x=r maka nilai-nilai dari variable c, m, f dan s sebagai berikut:

m=1

Bentuk Matlab untuk kondisi awal (IC)

IC kasus : C(r,0)=C0

jika t0=0 maka persamaan untuk IC adalah:

IC:


29

Bentuk Matlab untuk kondisi batas (BC)

BC pada r=0 kasus : C(0,t)=finite atau

Modifikasi BC

sehingga :

Maka persamaan BC untuk batas kiri (r = 0):

BC pada r=R kasus : C(R,t)=NAA=kGA(H.C-yud)

Modifikasi BC

sehingga :

Maka persamaan BC untuk batas kanan (r=R):

Pemrograman dengan pdepe menggunakan sintaks berikut :

sol = pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan)

Untuk melengkapi sintaks tersebut diperlukan pdefun,icfun,bcfun,xmesh,tspan.

pdefun

function [c,f,s]=pdefun(x,t,u,DuDx) global De c=1/De; f=DuDx; s=0;

icfun

function u0=icfun(x) global C0 u0=C0;


30

bcfun

function [pl,ql,pr,qr]=bcfun(xl,ul,xr,ur,t) global kG H yud R L NA=kG*(H*ur-yud) A=2*pi*R*L pl=0; ql=1; pr=ur-NA*A; qr=0;

Sementara itu pada program pada main program adalah sebagai berikut

% Kasus 6 % Pengeringan padatan silinder % ===============================

% Definisi variabel global % =============================== global De global C0 global kG H yud R L

% Input data % =============================== De=0.04; % cm2/jam KG=0.08; % g/cm2/jam H=0.2; % tanpa satuan Yud=0.002; % g/g udara R=2; % cm C0=0.2; % g/cm3 L=10; % cm t0=0; % jam tf=25; % jam

% Menentukan mesh dan tspan % =============================== xmesh=[0:0.2:R] % inkremen arah r tspan=linspace(t0,tf,10); % jangkauan waktu

% definisi geometri % =============================== m=1;


31

% Menyelesikan pdepe % =============================== sol=pdepe(m,@pdefun1,@icfun1,@bcfun1,xmesh,tspan)

% Menampilkan hasil % =============================== surf(rmesh,tspan,sol) xlabel('Radius batang, cm') ylabel('waktu, jam') zlabel('konsentrasi air, g/cm3')

Hasil

Gambar 17. Konsentrasi air pada padatan silinder sebagai fungsi waktu pengeringan dan radius


32

2.7. Penentuan order reaksi dan konstanta kecepatan reaksi4

Reaksi isomerisasi tak dapat balik

Dijalankan dalam sebuah reactor batch dan diperoleh data konsentrasi tiap waktu sebagai

berikut:

t (men) 0 3 5 8 10 12 15 17.5

CA (mol/l) 4,0 2,89 2,25 1,45 1,0 0,65 0,25 0,07

Tentukan order reaksi terhadap A,α dan konstanta kecepatan reaksi, k!

Penyelesaian

CA

Gambar 18. Skema reaktor batch

Asumsi bahwa data diperoleh pada kondisi isotermal dan volum cairan di dalam reactor tetap.

Dicoba model reaksi elementer sebagai berikut:

-rA = k.CAα (7.1)

Neraca massa pada reactor batch:

kec. A masuk- kec.A keluar+ kec. A tergenerasi = kec. A terakumulasi

4 Fogler, H.S., 1999, “Elements of Chemical Reaction Engineering”, 3

rd ed. p.270,Prentice Hall, Inc., Nw Jersey.


33

karena volum reaktor tetap maka persamaan tersebut menjadi :

(7.2)

Untuk menentukan nilai k dan α digunakan metode minimasi sum of squared errors (SSE) yang

didefinisikan sebagai:

(7.3)

Semakin kecil nilai SSE maka, semakin baik model tersebut mewakili data percobaan. Cmodel

diperoleh dari hasil penyelesaian persamaan (7.2) dengan mencoba-coba nilai k dan α agar

memberikan nilai Cmodel yang sedekat mungkin dengan Cdata atau dengan kata lain nilai SSE

seminimum mungkin.

Karena fungsi yang akan diminimasi merupakan fungsi nonlinier maka pilihan tools pada Matlab

yang tersedia adalah fminbnd atau fminsearch. Oleh karena tidak ada indikasi nilai batas k

dan α yang memberikan nilai SSE minimum, maka fminsearch akan lebih tepat untuk

digunakan.

Algoritma program disajikan pada gambar 19.

Main Program data_reaktor

% Kasus 7 Penentuan order reaksi dan konstanta kecepatan reaksi % ============================================================= clear clc clf % Definisi global variabel % ========================= global t C C_hit

% Input data percobaan % ========================= t=[0 3 5 8 10 12 15 17.5]; C=[4.0 2.89 2.25 1.45 1.0 0.65 0.25 0.07];

% Nilai trial k dan alfa % ========================= k0=[0.2,0.5]; % urutan nilai uji coba : k alfa

% Minimasi fungsi tujuan sse % =========================== [kons,var]=fminsearch(@hit_sse,k0);

% Tampilkan hasil dalam bentuk grafik % ==================================== figure(1) plot(t,C,'*',t',C_hit)


34

xlabel('Waktu reaksi, menit') ylabel('Konsentrasi A, mol/l') legend('Data','Model')

% Tampilkan hasil pada command window % ==================================== fprintf('Nilai k =%6.4f \n',kons(1)) fprintf('Nilai a =%6.4f \n',kons(2))

Input data percobaan

Tentukan nilai trial awal untuk k dan α

Tampilkan hasil

perhitungan dalam

bentuk grafik

Mulai perhitungan

Perhitungan

selesai

Subroutine

function dCdt=ode_reaktor(t,C,kons)

dCdt=f(C)

Minimasi fungsi objektif SSE

kons_hit=fminsearch(@hit_sse,k0)

Subroutine

function fsse=hit_sse(kons)

Penyelesaian ode_reaktor

Hitung fsse


Subroutine hit_sse function fsse=hit_sse(kons) global t C C_hit residual % Menyelesaikan PD ordiner untuk memperoleh nilai C model dengan ode45: [thit,C_hit]=ode45(@ode_reaktor,t,C(1,1),[],kons); % Hitung nilai residual: residual=C_hit-C'; % Hitung fungsi tujuan: fsse=sse(residual)/(length(t)-length(kons));


35

Subroutine ode_reaktor function dCdt=ode_reaktor(t,C,kons) dCdt=-kons(1).*C^kons(2);

Hasil Nilai k =0.1991

Nilai α =0.5027

Gambar 20. Hasil fitting data dengan model


36

3. Latihan

3.1. Penentuan dew point campuran5 Sistem campuran uap benzen (1) /toluen (2) dengan fraksi mol A (y1) = 0.33 didinginkan pada

tekanan tetap 120 kPa. Ingin dicari pada suhu berapa (oC) pengembunan terjadi dan komposisi

embunan yang terbentuk (xi) jika diketahui bahwa tekanan uap murni mengikuti persamaan

sebagai berikut:

(1.1)

Komponen6 A B C

Benzen 13,8594 2773,78 220,07

Toluen 14,0098 3103,01 219,79

Petunjuk : kesetimbangan uap-cair mengikuti hokum Roult-Dalton

(1.2)

dengan xi adalah fraksi mol cairan i, Pio adalah tekanan uap murni komponeni, yi adalah fraksi

mol uap i, dan PT adalah tekanan total system.

Persamaan yang diketahui :

Pada saat kesetimbangan terjadi maka

x1+x2=1 dan y1+y2=1

karena yang diamati adalah cairan maka digunakan persamaan:

f(T)=x1+x2-1 (1.3)

substitusi x1 dan x2 dari persamaan Roult-Dalton maka:

(1.4)

5 Smith,J.M., Van Ness, H.C., dan Abbott, M.M., 2001, “Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics”,

edisi ke-6, hal. 361, McGraw-Hill : Singapore. 6 Tabel 10.2 pada “Introduction to Chemical Engineering Thermodynamics” karya Smith, J.M., Van Ness, H.C., dan

Abbott, M.M.


37

3.2. Adsorpsi senyawa limbah7 Udara buang pabrik mengandung senyawa A yang akan dihilangkan A-nya sebelum dibuang ke

udara dengan cara menggelembungkan udara tersebut dalam larutan penyerap yang tidak volatile

sehingga sebagian besar A terserap dalam larutan. Jumlah udara G dengan kadar A adalah yAF.

Kandungan A dalam gas keluar larutan dianggap dalam keadaan setimbang dengan A dalam

larutan. Hubungan kesetimbangan uap-cair mengikuti hokum Henry: yA=HxA dimana xA dalam

gmol A/ gmol pelarut bebas A. Suhu sistem dianggap tetap sehingga harga H tetap. Larutan

penyerap berjumlah V dan mula-mula tidak mengandung A. Dengan berjalannya waktu,

kandungan A dalam larutan semakin tinggi sehingga kadar A dalam udara keluar menjadi yAB.

Hitunglah berapa lama proses penggelembungan bisa berlangsung sebelum larutan penyerap

harus diganti dengan larutan segar. Neraca massa A pada peristiwa tersebut dapat diturunkan

menjadi persamaan berikut:

(2.1)

G=0,2 gmol udara bebas A/detik; yAF=0,1 gmol A/gmol udara bebas A; yAB=0,05 gmol

A/gmol udara bebas A; H=0,1 gmol larutan bebas A/gmol udara bebas A; dan V=10 gmol bebas

A.

3.3. Reaktor tabung non-adiabatis dan non-isotermal (penyelesaian

persamaan diferensial ordiner simultan)8

Reaksi fasa gas bolak-balik, eksotermis

Dijalankan dalam sebuah reaktor tabung plug-flow, berdiameter dalam D dan panjang L.

Kecepatan reaksi dapat didekati dengan persamaan

-

Dengan

7 Soal ujian sisipan mata kuliah Perhitungan dengan Komputer, Magister Teknik Kimia, Jurusan Teknik Kimia FT

UGM, tanggal 14 Januari 2011 8 W.B. Sediawan dan A. Prasetya, 1997,”Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik Kimia”,

hal.135-139, Penerbit Andi : Yogyakarta.


38

Perubahan entalpi reaksi mengikuti persaaan

Dengan adalah perubahan entalpi reaksi pada suhu Tref. Umpan reaktor berjumlah F0

(mol/detik) bersuhu T0 dengan komposisi 90% A dan 10% inert (I). Tekanan sepanjang reaktor

dianggap tetap. Untuk menjaga agar suhu reaktor tidak terlalu tinggi, pendingin berupa cairan

jenuh bersuhu Ts dialirkan diluar tabung (dalam anulus). Pendingin meninggalkan annulus dalam

keadaan uap jenuh pada suhu Ts (sehingga suhu pendingin tetap). Koefisien perpindahan panas

antara gas dan pendingin dihitung berdasarkan luas permukaan dalam tabung=U. Kapasitas

panas gas-gas dianggap tetap dan gas dapat dianggap ideal. Ingin dicari konversi A (X) dan suhu

gas (T) pada berbagai posisi (z), pada keadaan steady.

Diketahui:

U = 0,0085 cal/cm2/det/K; F0 = 10 gmol/detik; x0 = 0; P=7,0 atm; D=35 cm; L=1000 cm;

CpA,CpB,CpC,CpI masing-masing 20,10,15, dan 10 cal/gmol/K; ΔHRo= -35000 cal/gmol; R=82

cm3.atm/gmol/K; A=10000 detik

-1; E/R =6500 K; α = -12.3; β = 4400 K; Tref=273 K; T0=470

K; Ts=421 K

F0,T0,P

90% A

10% I

Ts

z=0

D

z z+Δz

z=L

xout

Ts

Gambar 21. Skema reaktor alir pipa non-adiabatis dan non-isotermal

Ringkasan Persamaan Diferensial Ordiner Simultan9:

(3.1)

(3.2)

9 Penurunan persamaan dapat dilihat pada buku Pemodelan Matematis dan Penyelesaian Numeris dalam Teknik

Kimia, hal.135-139, karyaW.B. Sediawan dan A. Prasetya


39

Dengan keadaan awal :

Pada z=0; x=0 dan T=T0

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Materi Aplikasi Matlab Pada Teknologi Proses STTN

Documents

Transcript of Materi Aplikasi Matlab Pada Teknologi Proses STTN