2. ALJABAR

2.1 BENTUK ALJABAR DAN UNSUR-UNSURNYA

2.1.1 Bentuk aljabar

Suatu bentuk aljabar terjadi dari suatu konstanta dan variabel (peubah) atau

kombinasi konstanta dan peubah melalui operasi penjumlahan, pengurangan,

perkalian, pembagian, perpangkatan, dan pengakaran.

Contoh: y, + 5, 2 6, 22 + 7, 6 2

Dalam bentuk-bentuk aljabar kita harus mengenal apa yang dimaksud

dengan suku, faktor, koefisien, konstanta, variabel, suku sejenis dan tidak sejenis.

A. Suku

Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta bentuk aljabar

yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau kurang.

Contoh:

2 + 7 , 2 7

2 + + , 2 , ,

6 5 3 + 4 , 6, 5, 3, 4

Suku banyak (polinom) adalah bentuk aljabar yang terdiri dari dua suku

atau lebih. Dua suku disebut binom, tiga suku disebut trinom, dan

seterusnya. Bentuk aljabar yang hanya mempunyai satu suku, disebut suku

tunggal, contohnya: 2, 3, 22, 5,3

2

B. Faktor

Faktor adalah bilangan-bilangan yang membagi habis suatu bilangan

lain atau suatu hasil kali.

Contoh:

2 3 5 atau dapat juga ditulis 2 3 5

2, 3, dan 5 masing-masing disebut faktor.

2 5 3 + 15 memiliki faktor 2 5 3 + 15

C. Koefisien

Koefisien adalah faktor angka pada suatu hasil kali dengan suatu

variabel (peubah). Koefisien yang nilainya sama dengan 1 tidak harus

ditulis.

Contoh:

Perhatikan bentuk aljabar 4x2 8x + 2.

Bilangan 4 pada x2, disebut koefisien. Bilangan -8 pada -8x, disebut

koefisien. x2 dan x dinamakan variabel atau perubah. Bilangan 2 dinamakan

konstanta.

D. Konstanta

Konstanta adalah lambang yang menyatakan suatu bilangan tertentu

(bilangan konstan/tetap).

E. Variabel

Variabel (peubah) adalah lambang yang digunakan untuk mengganti

suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel

biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z.

F. Suku sejenis dan tidak sejenis

Suku-suku dikatakan sejenis, bila memuat variabel dan pangkat dari

variabel tersebut sama. Sebaliknya, jika berbeda maka disebut suku-suku

yang tidak sejenis. Contoh: Perhatikan bentuk aljabar berikut: 42 2 +

3 + 62 + 5 1. Suku-suku 42 sejenis dengan 62, 2 sejenis dengan

5, dan 3 sejenis dengan -1. Sedangkan 42 tidak sejenis dengan 5.

2.1.2 Operasi hitung

A. Menjumlahkan dan mengurangkan bentuk-bentuk aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat

dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan

koefisien pada suku-suku yang sejenis.

Contoh:

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut.

. 4 + 7

. 22 3 + 2 + 42 5 + 1

. 32 + 5 42 3 + 2

Penyelesaian:

. 4 + 7 = 4 + 7 = 3

. 22 3 + 2 + 42 5 + 1 = 22 3 + 2 + 42 5 + 1

= 2 + 4 2 + 3 5 + 2 + 1

= 62 + 8 + 3

= 62 8 + 3

. 32 + 5 42 3 + 2 = 32 + 5 42 + 3 2

= 3 4 2 + 3 + 5 2

= 1 2 + 3 + 3

= 2 + 3 + 3

B. Menyatakan perkalian konstanta dengan suku dua sebagai jumlah atau

selisih

Distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan

Penjumlahan: + = +

Pengurangan: =

Menyatakan perkalian konstanta dengan suku dua

Dengan mempergunakan distributif perkalian, maka perkalian konstanta

dengan suku dua dapat dinyatakan sebagai jumlah atau selisih.

Contoh:

1. 3 + = 3 + 3

2. 5 3 + 4 = 15 + 20

3. 3 4 5 = 12 + 15

a. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku

satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

=

+ = +

Contoh:

Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah.

. 4 +

. 5 +

. 3 2 + 6 7 + 1

. 8 2 + 3

Penyelesaian:

. 4 + = 4 + 4

. 5 + = 5 + 5

. 3 2 + 6 7 + 1 = 3 6 + 42 + 6

= 3 + 42 6 + 6

= 45

. 8 2 + 3 = 16 + 8 24

b. Perkalian antara dua bentuk aljabar

Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar,

untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat

memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat

distributif perkalian terhadap pengurangan. Selain dengan cara tersebut,

untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat

menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk

aljabar suku dua dengan suku dua berikut.

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk

aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif

seperti uraian berikut.

+ + = + + +

= + + +

= 2 + + +

= 2 + + +

Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga

berlaku sebagai berikut.

= 2 + + + 2 + +

= 3 + 2 + + 2 + +

= 3 + + 2 + + +

Contoh soal:

Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah

atau selisih.

1. 2 + 3 3 2

2. 4 + 4 + 2

3. 2 1 2 2 + 4

4. + 2 2

Penyelesaian:

1. Cara (1) dengan sifat distributif.

2 + 3 3 2 = 2 3 2 + 3 3 2

= 62 4 + 9 6

= 62 + 5 6

Cara (2) dengan skema.

= 2 3 + 2 2 + 3 3 + 3 2

= 62 4 + 9 6

= 62 + 5 6

2. Cara (1) dengan sifat distributif.

4 + 4 + 2 = 4 4 + 2 + 4 + 2

= 162 8 + 4 + 22

= 162 4 + 22

Cara (2) dengan skema.

= 4 4 + 4 2 + 4 + 2

= 162 8 + 4 + 22

= 162 4 + 22

3. Cara (1) dengan sifat distributif.

2 1 2 2 + 4 = 2 2 2 + 4 1 2 2 + 4

= 23 42 + 8 2 + 2 4

= 23 42 2 + +8 + 2 4

= 23 52 + 10 4

Cara (2) dengan skema.

= 2 2 + 2 2 + 2 4 + 1 2 +

1 2 + 1 4

= 23 42 + 8 2 + 2 4

= 23 42 2 + 8 + 2 4

= 23 52 + 10 4

4. Cara (1) dengan sifat distributif.

+ 2 2 = 2 + 2 2

= 2 2 + 2 4

= 2 4

Cara (2) dengan skema.

= + 2 + 2 + 2 2

= 2 2 + 2 4

= 2 4

2.1.3 Pangkat aljabar

A. Perkalian dengan faktor yang sama

Perkalian dengan faktor yang sama dinyatakan sebagai perpangkatan.

Contoh:

5 5, 52, : 5 2

, 2,: 2

, 3, : 3

2 3 = = = 5

4 2 = 4 4 = = 8

Perkalian dengan faktor yang sama:

= +

=

Di mana , ,

2.1.4 Pecahan bentuk aljabar

Pecahan bentuk aljabar adalah pecahan yang pembilang, atau penyebut atau

kedua-duanya memuat bentuk aljabar. Misalnya: 1

,

2,

+

A. Menentukan KPK dan FPB dari bentuk-bentuk aljabar suku tunggal.

Sebelum menentukan KPK dan FPB dari bentuk-bentuk aljabar suku

tunggal, kita harus dapat menguraikannya menjadi faktor-faktor (faktorisasi).

Faktorisasi dilakukan untuk menerangkan operasi bilangan, sehingga dapat

mempermudah suatu penyelesaian.

1. Faktorisasi prima bentuk aljabar

Faktorisasi prima adalah menyatakan suatu bilangan ke dalam bentuk-

bentuk perkalian bilangan prima.

Contoh:

12 = 4 3 = 2 2 3 = 23 3

12 = 4 3 = 22 3

182 = 2 9 2 = 2 32 2

2. Menentukan KPK

Kelipatan adalah bilangan hasil penggandaan dari bilangan yang lain.

Kelipatan persekutuan adalah kelipatan yang sama dari dua bilangan atau

lebih.

KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) adalah kelipatan persekutuan dari

dua bilangan atau lebih,yang nilainya paling kecil.

KPK dapat ditentukan dengan menuliskan semua faktor prima yang ada.

Jika terdapat faktor prima yang sama maka dipilih yang terbesar.

Contoh soal:

1. Tentukan KPK dari 12 dan 182

Jawab:

12 = 22 3

182 = 2 32 2

= 22 32 2 = 4 9 2 = 362

2. Tentukan KPK dari 62, 8, dan 1232

Jawab:

62 = 2 3 2

8 = 23

1232 = 22 3 3 2

= 23 3 3 2 = 8 3 3 2 = 2432

3. Menentukan FPB

Faktor persekutuan adalah faktor hasil kali yang sama dari dua bilangan

atau lebih.

FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) adalah faktor persekutuan dari dua

bilangan atau lebih yang nilainya paling besar.

Contoh soal:

1. Tentukan FPB dari 12 dan 182

Jawab:

12 = 22 3

182 = 2 32 2

= 2 3 = 6

2. Tentukan FPB dari 62, 8, dan 1232

Jawab:

62 = 2 3 2

8 = 23

1232 = 23 3 32

= 23

B. Menyederhanakan Pecahan

Suatu pecahan dikatakan sederhana apabila pembilang dan penyebutnya

tidak mempunyai faktor persekutuan lagi, kecuali 1.

Untuk menyederhanakan suatu pecahan dapat dilakukan langkah-langkah

berikut:

1. Faktorkan pembilang dan penyebutnya.

2. Tentukan FPB dari faktor-faktor tersebut.

3. Gunakan FPB untuk menyederhanakan pecahan.

Contoh:

56

72=

87

89=

7

9

12

18=

62

63=

2

3

15

24=

35

38=

5

8

92

12=

3

34=

3

4

6+8

12=

2 3+8

26=

3+4

6

Cara yang paling banyak digunakan untuk menyederhanakan pecahan

adalah menggunakan sifat pecahan sebagai berikut, yaitu nilai suatu pecahan

tidak berubah, bila pembilang dan penyebutnya dikalikan, atau dibagi dengan

bilangan yang sama. Jika bilangan bulat, 0, dan bilangan asli,

maka

=

=

:

:

C. Menjumlahkan Pecahan

Pengerjaan hitung penjumlahan dan pengurangan pada pecahan dapat

dilakukan hanya jika penyebut-penyebutnya sama. Apabila penyebutnya tidak

sama, maka harus disamakan dengan menggunakan KPK agar pengerjaan itu

dapat dilakukan.

Contoh:

3

4

2

=

3

4

8

4=

38

4

2.2 OPERASI BENTUK ALJABAR

2.2.1 Perkalian bentuk aljabar

Salah satu penyelesaian perkalian bentuk aljabar dapat menggunakan hukum

distributif. Di bawah ini, akan dijelaskan hukum distributif perkalian terhadap

penjumlahan atau pengurangan, dan juga penjabaran bentuk-bentuk aljabar.

A. Hukum distributif perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan

+ + = 2 + + +

,

Contoh soal:

+ 3 + 5 = + 5 + 3 + 5

= 2 + 5 + 3 + 15

= 2 + 8 + 15

x 8 x 5 = x x 5 8 x 5

= 2 5 8 + 40

= 2 13 + 40

B. Penjabaran bentuk +

+ = 2 2

Contoh soal:

+ 7 7 = 7 + 7 7

= 2 7 + 7 49

= 2 49

C. Penjabaran bentuk + 2 dan 2

+ 2 = 2 + 2 + 2

2 = 2 2 + 2

Contoh soal:

1. 3 2 = 3 3

= 2 3 3 + 3 2

= 2 6 + 9

2. 2 = + 2

= + +

= 2 + + + 2

= 2 + 2

= 2 2 + 2

2.2.2 Menggunakan perkalian istimewa untuk menghitung perkalian

bilangan

Ada beberapa bentuk perkalian istimewa untuk menghitung perkalian

bilangan yang dapat kita pelajari.

A. Bentuk + = +

Contoh:

1. 8 46 = 8 40 + 6

= 8 40 + 8 6

= 320 + 48

= 368

Cara lain:

8 46 = 8 50 4

= 8 50 8 4

= 400 32

= 368

2. 9 78 = 9 70 + 8

= 9 70 + 9 8

= 630 + 72

= 702

Cara lain:

9 78 = 9 80 2

= 9 80 9 2

= 720 18

= 702

B. Bentuk + + = 2 + + +

Contoh:

1. 77 73 = 70 + 7 70 + 3

= 70 2 + 70 + 3 70 + 7 3

= 4900 + 10 70 + 21

= 4900 + 700 + 21

= 5621

2. 93 84 = 90 + 3 90 6

= 90 2 + 3 6 90 + 3 6

= 8100 + 3 90 18

= 8100 270 18

= 7812

C. Bentuk + = 2 2

Contoh:

1. 21 19 = 20 + 1 20 1

= 20 2 12

= 400 1

= 399

2. 35 25 = 30 + 5 30 5

= 30 2 52

= 900 25

= 875