Materi ajar

1. Sifat-sifat operasi penjumlahan matriks

Untuk A,B,C dan 0 adalah matriks yang berordo sama , maka berlaku:

a. A+B = B + A (sifat komutatif)

b. A+ (B+C) = (A+B) + C (sifat asosiatif)

c. A+0 = 0 + A = A (sifat matriks nol) A – B = A + (-B)

d. A – B = A + (-B) = (-B) + A ( sifat komutatif)

e. A + (-A) = (-A) + A = 0 (sifat lawan matriks A)

f. Terdapat matriks X sehingga A+ X = B ↔ X = B – A

g. (A+B)t =At + Bt

h. (A-B)t =At - Bt

2. Sifat-sifat operasi perkalian bilangan real terhadap matriks

Untuk setiap matriks A dan B yang berordo sama dan untuk setiap bilangan-

bilangan real k1 dan k2, berlaku:

a. (k1.k2)A = k1(k2.A) = k2 (k1.A)

b. K1 (A+B) = k1A +k1B (sifat distributive kiri)

c. (k1+k2) A = k1A + k2A (sifat distributive kanan)

d. 0.A = 0 (matriks nol)

e. 1.A = A

f. (-1) A = -A

g. A+A = 2A

3. Sifat-sifat operasi perkalian matriks dengan matriks

Jika penjumlahan dan perkalian dari setaip matriks berikut terdefinisi, maka

berlaku :

a. (AB) C = A (BC) ( sifat asosiatif)

b. A(B+C) = AB + AC ( sifat distributive kiri)

c. (B+C)A = BA + CA (sifat distributive kanan)

d. k(AB) = (kA)B = A(kB) , dengan k bilangan skalar

e. jika A adalah suatu matriks persegi berordo nxn dan I adalah matriks

identitas berordo nxn , maka AxI = IxA = A

f. perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif. AB BA (kecuali

untuk matriks-matriks khusus)

g. jika AB= 0 , belum tentu A=0 atau B= 0

jika AB=AC, belum tentu B = C

h. jika At dan Bt berturut-turut adalah transpose dari matriks A dan B, maka

(AB)t = Bt.At

i. jika 0 adalah matriks nol berordo sama dengan matriks A, maka Ax0=0xA

. Determinan Matriks

a. Determinan Matriks Ordo 𝟐×𝟐

Jika diberikan matriks , maka determinan matriks

dituliskan sebagai berikut.

b. Determinan Matriks Ordo 𝟑×𝟑

Kita telah mempelajari bagaimana menentukan determinanmatriks persegi

ordo 2 dan sekarang akan dibahas determinan matrikspersegi

ordo 3. Misalkan matriks .

Untuk menentukan determinan matriks ordo 3 × 3, dapat dilakukandengan

meletakkan lagi elemen-elemen kolom pertama dan keduadi belakang kolom

ketiga kemudian dioperasikan sebagai berikut.

2. Invers Matriks

a. Rumus Invers Matriks Berordo 𝟐×𝟐

Jika , maka rumus invers matriks A adalah sebagai

berikut.

b. Rumus Invers Matriks Berordo 𝟑×𝟑

Rumus invers matriks A dengan ordo 3×3 adalah sebagai berikut.

Pada aljabar bilangan, Anda telah mengenal bahwa jika suatu bilangan dioperasikan

dengan invers perkaliannya maka akan diperoleh unsur identitas. Begitu pula dalam

matriks, jika suatu matriks dikalikan dengan inversnya maka akan diperoleh matriks

identitas. Pelajari ilustrasi berikut, supaya Anda lebih memahami pernyataan di atas.

Karena perkalian antara matriks A dan matriks B menghasilkan matriks identitas, maka

dapat disimpulkan bahwa matriks A dan matriks B saling invers. Hal ini berarti matriks

B merupakan matriks invers dari matriks A (ditulis B = A-1). Dengan demikian dapat

disimpulkan bahwa jika A dan B merupakan dua matriks persegi berordo sama dan

memenuhi persamaan AB = BA= I, maka matriks A adalah matriks invers dari B atau

matriks B adalah matriks invers dari matriks A.

Misalkan dan , maka

a. Adjoin Matriks Ordo 2x2

Adjoin dari matriks ordo 2x2 diperoleh dengan cara menukar elemen pada

diagonal utama dan elemen pada diagonal sekunder dikalikan dengan (- 1). Jika

Misalkan, jika , maka adjoin

b. Invers Matriks Berordo 2x2

Misalkan merupakan matriks yang memiliki invers yaitu matriks yang

memiliki nilai dterminan tidak nol (matriks ini dis ebut matriks non singular, maka invers dari A yaitu A-1 yang dinyatakan

Adjoin A