Materi 11_Limit Fungsi tri

Limit Fungsi Trigonometri

MAKALAH MATEMATIKA SEKOLAH II

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI DAN PEMBELAJARANNYA

Disusun oleh:

Kelompok X/ 2008 C

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA2010

1

1. Putri Maheni .S. (083174202)

2. Debby Dwi .S. (083174204)

3. Rita Rizki .K.S. (083174206)

4. Nizar Nur .U. (083174213)


LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

A.Pengertian Limit

Untuk mempelajari materi ini, sebelumnya kita harus memahami terlebih dahulu apa

itu limit. Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering mendengar kalimat-kalimat seperti

di bawah ini.

1. Ketika kamu melewati jalan yang menikung itu, sebaiknya

kecepatan mobilmu jangan sampai mendekati titik kritis

100 km/jam.

2. Minyak wangi yang dipakai adik sudah hampir habis.

3. Tim-tim sepak bola yang dulunya berjaya, sekarang sudah

di ambang zona degradasi.

Mendekati titik kritis, hampir, dan ambang, dalam bahasa matematika cukup

disebut dengan limit (mendekati). Limit sangat penting dipelajari karena limit

menjadikan sesuatu yang tidak terdefinisi menjadi sesuatu yang ada nilainya.

B.Memahami Limit Fungsi Secara Intuitif

Menggunakan persegi yang sisinya 1 satuan

Kegiatan awal yang dapat digunakan untuk mengawali dalam memahami konsep

limit, adalah sebagai berikut. Pandanglah suatu luasan berbentuk persegi yang sisinya

1 satuan.

Suatu persegi sisi-sisinya 1 satuan, sehingga luasnya 1

satuan luas.

Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah

12 satuan

luas.

2


Luas bagian persegi yang diarsir tebal adalah

12+ 1

4 satuan

luas.

Luas bagian persegi yang diarsis tebal adalah

12+ 1

4+ 1

8

satuan luas.

Begitu seterusnya. Jika kegiatan ini kita lakukan terus menerus maka jumlah luas

bagian persegi yang diarsir tebal akan mendekati 1 satuan luas.

Jadi, hasil penjumlahan dari

12+ 1

4+ 1

8+ 1

16+ 1

32+ .. .

adalah mendekati 1.

Pengertian limit secara intuitif berangkat dari pengertian mendekati 1 di atas.

C.Sifat-Sifat Dasar Limit

Untuk mempermudah perhitungan limit suatu fungsi, kita dapat menggunakan

sifat-sifat dasar limit fungsi. Sifat-sifat ini terangkum dalam suatu teorema yang

disebut Teorema Limit. Berikut ini diuraikan beberapa teorema limit. Pembuktian ini

tidak dibahas dimateri SMA, tetapi akan dibahas ditingkat yang lebih lanjut.

Untuk n bilangan bulat positif, c konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang mempuyai

limit di a berlaku teorema-teorema berikut:

1. limx → a

c=c

3

Teorema Limit


2. limx→ a

xn=an

3. limx→ a

[c f (x)]=c limx→ a

f (x )

4. limx →a

[ f ( x )± g ( x ) ]=limx→ a

f ( x )± limx→ a

g ( x )

5. limx → a

[ f (x ) X g ( x ) ]=[limx → af (x ) ] X [ limx →a

g ( x ) ]

6. limx→ a

f ( x )g ( x )

=limx→ a

f ( x )

limx→ a

g ( x )

dengan limx →a

g (x ) ≠ 0

7. limx → a

[ f (x) ]n=[ limx →af (x)]n

8. limx→ a

n√ f (x )=n√[ limx→ af (x )]dengan lim

x →af ( x )>0 dan nadalah bilangan asli .

D.Pembuktian Rumus Dasar Limit Fungsi Trigonometri

4

limx →0

xsinx

=1

limx →0

sinxx

=1

limx →0

xtanx

=1

limx →0

tanxx

=1

Catatan : Rumus – rumus tersebut hanya berlaku untuk nilai peubah x mendekati nol.


1 .Membuktikan Rumus limx → 0

sinxx

=1 dan limx →0

xsinx

=1

Kita membuktikanrumus limx→ 0

sinxx

=1 dan limx → 0

xsinx

=1 dengandua cara :

a. Menggunakan Kalkulator

1¿ . limx →0

sinxx

=1

Bukti :

Perhatikan tabel berikut ini !

Tabel berikut diperoleh dari kalkulator dengan mode radian.

Tampaknya sin x

x akan menuju 1 jika x menuju 0. Sehingga, untuk sementara

kita menduga bahwa limx → 0

sin xx

=1

2¿ . limx → 0

xsinx

=1

Bukti :



5

x 0,5 0,1 0,01 →0← -0,01 -0,1 -0,5

sin xx

0,95885 0,9983 0,99998 →?← 0,99998 0,998330,95885

x 0,5 0,1 0,01 →0← -0,01 -0,1 -0,5

xsin x

1,04291 1,001671,0000

2→?← 1,00002 1,00167

1,04291

r

r AC

B D

xO


Tampaknya x

sin x akan menuju 1 jika x menuju 0. Sehingga, untuk sementara


xsin x

=1

b. Menggunakan Trigonometri

Bukti:

Perhatikan gambar di samping. Dari gambar

di samping diketahui panjang jari-jari lingkaran = r,

besar sudut AOB adalah x radian, BC dan AD tegak

lurus OA untuk 0 < x < 12

π

BCOB

=sin x⟹BC=OB ∙sin x

BC=rsin x

ADOA

=tan x⟹ AD=OA∙ tan x

¿ r tan x

L∆OBC<L juring OAB<L∆OAD

12

∙OC ∙BC < 12

xr2< 12

∙OA ∙ AD

12

∙OC ∙ r sin x< 12

x r2<¿ 12

∙OA ∙ r tan x¿

:12

r2

12

∙OC ∙ rsin x

12

r2<

12

x r2

12

r 2<

12

∙OA ∙ r tan x

12

r2

OCr

sin x<x< OAr

tan x

6

CatatanIngat

15< 1

4< 1

3tetapi 5>4>3

atau 3<4<5


cos x sin x< x< rr

tan x

cos x sinx<x<tan x

:sin x

cosx< xsinx

< 1cosx

… (¿)

limx →0

cosx< limx →0

xsinx

<¿ limx→ 0

1cosx

¿

cos 0<limx→ 0

xsinx

<¿ 1cos 0

¿

1< limx →0

xsinx

<¿ 11

¿

1< limx →0

xsinx

<1

Maka limx →0

xsinx

=1 …¿

Dari persamaan(¿)dapat diperoleh1

cos x> sin x

x>cos x

limx →0

1cos x

>limx →0

sin xx

> limx → 0

cos x

1cos0

>limx→ 0

sin xx

>cos0

11> lim

x →0

sin xx

>1

1> limx →0

sin xx

>1

Maka limx →0

sin xx

=1 …(¿∗¿)

Persamaan (**) dan (***) dapat dituliskan sebagai berikut.

7limx →0

xsinx

=1 atau limx → 0

sin xx

=1


2 .Membuktikan Rumus limx → 0

tan xx

=1 dan limx → 0

xtan x

=1

Kita membuktikanrumus limx→ 0

tan xx

=1dan limx→ 0

xtan x

=1dengandua cara :

a. Menggunakan Kalkulator

1¿ . limx →0

tan xx

=1

Bukti:



X 0,5 0,1 0,01→0

←-0,01 -0,1

-0,5

tan xx

1,09260 1,00335 1,00003 →?← 1,00003 1,003351,09260

Tampaknya tan x

x akan menuju 1 jika x menuju 0. Sehingga, untuk sementara


tan xx

=1

2¿ . limx → 0

xtan x

=1

Bukti:


8

r

r AC

B D

xO



X 0,5 0,1 0,01→0

←-0,01 -0,1

-0,5

xtan x

0,91524 0,99666 0,99997 →?← 0,99997 0,996660,91524

Tampaknya x

tan x akan menuju 1 jika x menuju 0. Sehingga, untuk sementara


xtan x

=1

b. Menggunakan Trigonometri

Bukti:

Perhatikan gambar di samping. Dari gambar

di samping diketahui panjang jari-jari lingkaran = r,

besar sudut AOB adalah x radian, BC dan AD tegak

lurus OA untuk 0 < x < 12

π

BCOB

=sin x⟹BC=OB ∙sin x

BC=rsin x

ADOA

= tan x⟹ AD=OA∙ tan x

¿ r tan x

L∆OBC<L juring OAB<L∆OAD

12

∙OC ∙BC < 12

xr2< 12

∙OA ∙ AD

12

∙OC ∙ r sin x< 12

x r2<¿ 12

∙OA ∙ r tan x¿

9


:12

r2

12

∙OC ∙ rsin x

12

r2<

12

x r2

12

r 2<

12

∙OA ∙ r tan x

12

r2

OCr

sin x<x< OAr

tan x

cos x sin x< x< rr

tan x

cos x sinx<x<tan x

Dari persamaan :

cos x sinx<x<tan x

: tan x

cosx sinxtanx

< xtanx

< tanxtanx

cosx sinxsinxcosx

< xtanx

<1

cosxsinx

. cosx . sinx< xtanx

<1

cos2 x< xtanx

<1… (¿)

limx →0

cos2 x< limx→ 0

xtanx

<1

cos20< limx→ 0

xtan x

<1

10

CatatanIngat

15< 1

4< 1

3tetapi 5>4>3

atau 3<4<5


1¿ limx → 0

xtanx

<1

Maka diperoleh :

limx →0

xtanx

=1 … (¿)

Dari persamaan (¿ ) dapat diperoleh1

cos2 x> tan x

x>1

limx →0

1

cos2 x>lim

x→ 0

tan xx

>1

1

cos2 0>lim

x→ 0

tan xx

>1

11> lim

x →0

tan xx

>1

1> limx →0

tan xx

>1

Maka limx →0

tan xx

=1… (¿¿)

Persamaan (##) dan (###) dapat dituliskan sebagai berikut

Carilah nilai limit berikut :

a . limx→ 0

sin 2 x2x

e . limx →2

sin (t−2)t−2

11

limx →0

xtanx

=1 atau limx→ 0

tan xx

=1

Contoh Soal : Menggunakan Rumus Limit Fungsi Trigonometri


b . limx→ 0

2 xtan 4 x

f . limx →0

sin2 xx2

c . limx → 0

sin 2 x3 x

g . limx→ 0

sin2 2 x(2 x )2

d . limx → 0

sin 5xsin 3x

Jawab :

a . Misalkan, y=2x .Untuk x→ 0 maka y→ 0

Jadi, limx→ 0

sin 2 x2 x

=limy→ 0

sin yy

=1

b . limx→ 0

2 xtan 4 x

=limx→ 0

2xtan 4 x

.4 x4 x

¿ limx→ 0

4 xtan 4 x

.2 x4 x

¿1 .24

¿24

c . limx → 0

sin 2 x3 x

=limx→ 0

sin 2 x3x

.2 x2 x

¿ limx→ 0

sin 2 x2 x

.2 x3 x

¿1 .23

12


¿ 23

d . limx → 0

sin 5xsin 3x

=limx →0

sin 5 x .1

sin 3 x

¿ limx→ 0 ( sin 5 x

5 x ).5 x . ( 3 xsin 3 x ) .

13 x

¿ limx→ 0

5 x3 x

.( limx →0

sin5 x5 x ) .( lim

x →0

3 xsin3 x )

¿ 53

.1 .1

¿53

e . limt →2

sin(t−2)t−2

Misalkan , y=t –2. Jikat → 2maka y → 2−2 atau y → 0

Jadi,

limt →2

sin (t−2)t−2

=limy→ 0

sinyy

=1

f . limx →0

sin2 xx2 =( lim

x → 0

sin xx )

2

=(1 )2=1

g . limx → 0

sin2 2 x(2 x )2

=( limx → 0

sin 2 x2 x )

2

=(1)2=1

13


14

Dari contoh soal di atas, menggambarkan hal umum sebagai berikut:

1. limx→ 0

sin axax

=limx→ 0

axsin ax

=1

2. limx→ 0

sin axbx

=limx→ 0

axsin bx

=limx →0

sin axsin bx

=ab

3. limx→ a

sin(x−a)x−a

=1

4. limx →0

sin2 xx2 =lim

x→ 0

x2

sin2 x=1

5. limx→ 0

sin2 ax¿¿ ¿

6. limx→ 0

tan axax

= limx → 0

axtan ax

=1

7. limx→ 0

tan axbx

=limx →0

axtan bx

=limx→ 0

tan axtan bx

=ab

8. limx→ 0

tan2 xx2 =lim

x→ 0

x2

tan2 x=1

9. limx→ 0

tan2 ax

( ax )2=lim

x → 0

(ax )2

tan2 ax=1


E.Cara Menyelesaikan Soal Limit Fungsi Trigonometri

Pertama, kita selesaikan dulu soal limit tersebut dengan cara substitusi

langsung. Jika hasil yang diperoleh bukan bentuk tak tentu 00

, hasil tersebut

merupakan nilai limit yang dicari. Jika diperoleh bentuk tak tentu 00

, kita dapat

menggunakan rumus-rumus trigonometri yang telah kita kenal baik pada pembilang

maupun pada penyebut untuk menyederhanakannya. Dengan demikian, pembilang dan

penyebut tersebut tidak lagi melibatkan fungsi trigonometri yang menyebabkan bentuk

tak tentu 00

.

Selanjutnya dengan substitusi langsung, kita dapat menentukan nilai dari limit

fungsi trigonometri tersebut.

Jika kita telah menyederhanakan fungsi yang menyebabkan bentuk tak tentu 00

pada pembilang dan penyebut, kita dapat menggunakan rumus limit fungsi

trigonometri.

Pada bagian ini, akan dibahas secara terurut baagaimana menentukan limit

fungsi trigonometri dengan cara substitusi langsung dan dengan cara

menyederhanakannnya. Akhirnya kita dapat menggunakan rumus limit fungsi

trigonometri.

1. Cara Subtitusi Langsung

Untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri dengan cara subtitusi

langsung, kita langsung memasukkan harga peubah di bawah tanda limit ke dalam

fungsi trigonometri tersebut. Jika hasil yang diperoleh bukan bentuk tak tentu 00

,

hasil tersebut merupakan jawaban. Agar kita dapat memahaminya, mari kita

pahami contoh soal berikut.

15

Dari contoh soal di atas, menggambarkan hal umum sebagai berikut:

1. limx→ 0

sin axax

=limx→ 0

axsin ax

=1

2. limx→ 0

sin axbx

=limx→ 0

axsin bx

=limx →0

sin axsin bx

=ab

3. limx→ a

sin(x−a)x−a

=1

4. limx →0

sin2 xx2 =lim

x→ 0

x2

sin2 x=1

5. limx→ 0

sin2 ax¿¿ ¿

6. limx→ 0

tan axax

= limx → 0

axtan ax

=1

7. limx→ 0

tan axbx

=limx →0

axtan bx

=limx→ 0

tan axtan bx

=ab

8. limx→ 0

tan2 xx2 =lim

x→ 0

x2

tan2 x=1

9. limx→ 0

tan2 ax

( ax )2=lim

x → 0

(ax )2

tan2 ax=1


Selesaikan limit-limit berikut dengan cara substitusi langsung.

a . limx → π

¿¿

b . limx →

π2

1−cos2 x2cos x

c . limx → 0

sin xsin x+cos x

Penyelesaian :

a . limx → π

¿¿

b . limx →

π2

1−cos2 x2cos x

=1−cos 2

π2

2cos( π2 )

=1−cos π

2cosπ2

=1− (−1 )

2 (0 )=

20=∞

c . limx → 0

sin xsin x+cos x

= sin 0sin 0+cos 0

= 00+1

=01=0

2. Cara Menyederhanakan

Apabila hasil yang diperoleh melalui substitusi langsung berupa bentuk tak

tentu 00

, Anda harus melakukan penyederhanaan terhadap fungsi trigonometri. Hal

pertama yang mungkin Anda lakukan adalah menentukan fungsi trigonometri yang

menyebabkan bentuk tak tentu 00

.

Kemudian, Anda dapat

menggunakan rumus-rumus trigonometri

pada pembilang maupun penyebut

sehingga keduanya mengandung fungsi

penyebab bentuk tak tentu 00

. Sederhanakan fungsi yang menyebabkan bentuk tak

16

CatatanPenyebab bentuk tak tentu

00

pada fungsi trigonometri adalahsin xuntuk lim

x → 0f (x ) dan

Contoh Soal : Menentukan Limit Fungsi Trigonometri

Contoh Soal : Menentukan Limit Fungsi Trigonometri


tentu 00

. Selanjutnya, Anda dapat melakukan substitusi langsung untuk

mendapatkan jawabannya.

Pengetahuan rumus-rumus trigonometri yang telah Anda pelajari pada bab

sebelumya akan sangat membantu Anda dalam menyelesaikan masalah-masalah

limit fungsi trigonometri.

Selesaikan limit-limit berikut dengan cara menyederhanakan.

a . limx →

π2

sin 2 xcos x

b . limx→ 0

1−cos2 x1−cos4 x

Penyelesaian:

Mulailah dengan sustitusi langsung untuk menentukan penyebab bentuk tak tentu 00

a . limx →

π2

sin 2 xcos x

=sin 2( π

2 )cos

π2

= sin π

cosπ2

=00

Penyebab bentuk tak tentu 00

yang paling sederhana untuk x→π2

adalah cos x.

Oleh karena itu, fungsi sin 2x dinyatakan dalam cos x, yaitu

sin 2 x=2 sinx cos x .

Jadi,

limx→

π2

sin 2 xcos x

=limx →

π2

2sin x .cos xcos x

¿ limx→

π2

2sin x

¿2 sin( π2 )

17


¿2 ∙1

= 2

b . limx→ 0


=¿ 1−cos 01−cos 0

=1−11−1

=00

¿

Padaumumnya , penyebab bentuk tak tentu00

untuk limx →0

f ( x ) adal ah fungsi sinus .Ole h karena itu ,

nyatakanlah fungsi cos 2x dan cos 4x dalam fungsi seperti berikut.

cos2 x=1−2sin2 x

cos 4 x=1−2sin22 x

Jadi,

limx →0


=limx →0

1−(1−2sin2 x)1−(1−2sin2 2 x )

¿ limx→ 0

2sin2 x2sin2 2 x

¿ limx→ 0

sin2 x¿¿¿ ¿

¿ limx→ 0

sin2 x4 sin2 xcos2 x

¿ limx→ 0

1

4 cos2 x

¿ 1

4 cos2 0

¿ 1

4 (1)2

¿ 14

18


19

Diagram alir proses penyelesaian soal limit fungsi trigonometri.

Contoh :


F. Aplikasi Limit Fungsi Trigonometri

Limit fungsi trigonometri tidak dapat langsung dipakai dalam kehidupan nyata,

tetapi perlu dikaitkan dengan ilmu yang lain, misalnya fisika yaitu tentang

Kinematika.

20

MulaiSubstitusi langsung

Hasil = 0/0

Selesai

Cari penyebab 0/0 Sederhanaka

n

penyebab 0/0

Substitusi langsung

SelesaiGunakan rumus limit

Fungsi trigonometriSelesa

i

Untuk menyederhanakantida

kya

mudah

sukar


Perpindahan sebuah partikel pada saat t detik diberikan oleh s= 10 sin 2t dengan s

adalah jarak yang dinyatakan dalam meter. Tentukan kecepatan partikel pada saat

t=π6

detik .

Penyelesaian :

Kecepatan pada saat t dinyatakan oleh :

v(t )=limx→ 0

∆ s∆ t

=¿ limx → 0

s (t+∆t )−s (t )

∆ t¿

Diketahui :

s( t )=10 sin2 t

s( t+∆t )=10 sin 2 ( t +∆ t )

s( t+∆t )=10 sin (2t +2∆ t )

∆ s=s (t+∆t )−s (t )

∆ s=10 sin 2 ( t +2∆ t )−10 sin 2t

∆ s=10 [sin (2t +2∆ t )−sin 2 t ]…(i)

Dengan mengubah persamaan (i) menjadi bentuk :

sin A−sin B=2 cos12

( A+B ) ∙ sin12

( A+B ) , diperoleh

∆ s=10[2cos12

(2t +2∆ t+2t ) ∙sin12

(2 t+2∆ t−2 t )]❑

∆ s=20cos (2t +∆ t ). sin ∆ t

Dengan demikian,

v(t )= lim∆t → 0

20 cos (2 t+∆ t ) . sin ∆ t∆ t

❑

v(t )= lim∆t → 0

20 cos (2 t +∆ t ) ∙ lim∆t →0

sin ∆ t∆ t

v(t )=20 cos (2 t+0 ) .1

v(t )=20 cos2 t

21

Menentukan Kecepatan Sesaat


Untuk t=π6

detik

Maka v(t=π6 )=20 cos2( π

6 )=20 cosπ3=20 cos 600=20( 1

2 )=10 m /detik.

DAFTAR PUSTAKA

Dosen-Dosen Fisika FMIPA ITS. 1997. Fisika Kinematika, Dinamika, Getaran Panas.

Surabaya: Yanasika.

22


Halliday, David, dkk. 1998. Fisika Jilid I Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga.

Kanginan, Marthen. 2005. Cerdas Belajar Matematika untuk Kelas XI SMA/MA. Jakarta :

Grafindo Media Pratama.

Kartini, dkk. 2004. Matematika Program Studi Ilmu Alam Kelas XI untuk SMA. Klaten:

Intan Pariwara.

Moesono, Djoko. 1988. Kalkulus 1. Surabaya: Unesa University Press.

Negoro, ST, dkk. 2005. Ensiklopedia Matematika. Bogor: Ghalia Indonesia.

Nugroho Soedyarto dan Maryanto. 2008. Matematika untuk SMA dan MA kelas XI

Program IPA. Jakarta : Depdiknas.

Purcell, Edwin, dkk. 2004. Kalkulus Jilid I. Jakarta: Erlangga.

Sulistyono, dkk. 2004. Matematika SMA untuk Kelas XI. Jakarta: Erlangga.

Sunardi, dkk. 2004. Matematika IPA Kelas 2 SMA. Jakarta: Bumi Aksara.

23

Materi 11_Limit Fungsi tri

Documents

Transcript of Materi 11_Limit Fungsi tri