Oleh : Sutopo, S.Pd., M.Pd.

Prodi P Mat-Jurusan PMIPAFKIP UNS

MateriKKD IKonsep dasar geometri dan segitiga (termasuk teorema dan aksioma terkait)KKD IIPoligon dan Lingkaran (sifat dan luas)KKD IIIBangun Ruang I (konsep dasar Lukisan, dan bidang iris) KKD IVBangun Ruang II (Luas dan Volume)

Pelaksanaan Ujian KKDJika Ujian I Nilai Kurang dari 60 maka Mhs dapatmengikuti remidi maks 1 kaliMhs yang remidi tetap mengikuti Perkuliahan padaKKD berikutnyaNilai Remidi Maksimal 60Syarat mengikuti ujian, mhs wajib hadir minimal 75%, tiap tatap muka KKD

SISTEM PERKULIAHAN

PENILAIAN KKD I =25%KKD II =25%KKD III =25%KKD IV =25%Total = 100%NA = (N KKD I + N KKD II + N KKD III + N KKD IV)/4

Nilai :A : NA 80B : 70 NA 79C : 60 NA 69D : 40 NA 59E : NA < 40

REFERENSIHaryono DW. 1993. Geometri. Surakarta : UNS

PRESSH.S.M. Coxeter, F.R.S. 1963. Introduction to

Geometri New York : John Wiley & Sons.H.S.M. Coxeter, F.R.S. 1967. Geometry Revisited. The

Mathematical Association of America

BAB IDASAR-DASAR GEOMETRIA. Pengertian Geometri

Geometri berasal dari bahasa latin “ Geometria”, Geo :Tanah dan Metria : Ukuran. Geometri di Indonesiaditerjemahkan Ilmu Ukur.

Geometri : Cabang Matematika yang mempelajari titik,garis, bidang dan benda-benda ruang beserta sifat, ukurandan hubungannya dengan yang lain.

Objek Geometri : Benda pikir yang berasal dari bendanyata yang diabstraksikan dan di Idialisasikan.

Diabstraksikan : tidak diperhatikan warna, bau, suhu dansifat-sifat yang lain.

Diidialisasikan : Dianggap sempurna.

B. Sistem Deduktif Aksiomatik

Pengertian Pangkal

Definisi Aksioma/Postulat

Dalil/Teorema

Dalil/Teorema

Definisi Aksioma/Postulat

Lemma

dst

Pengertian Pangkal (Unsur primitif) : Unsur-unsur yang tidak perlu didefinisikan. Hal ini diperlukan agar tidak terjadi perputaran dalam definisi. Contoh : titik, garis, bidang dst.Definisi : Ungkapan yang digunakan untuk membatasi konsep. Ciri dalam definisi adalah berlaku biimplikasi.Contoh : Segiempat disebut jajar genjang jika dan hanya jika sisi-sisi yang berhadapan sejajar.Konsep : Ide abstrak yang digunakan untuk mengklasifikasikan sesuatu.Contoh : Jajar genjang, persegipanjang dll.

Aksioma : pernyataan yang secara langsung dapat diterima kebenarannya.Dalil/Teorema : Pernyataan yang harus dibuktikan kebenarannya.

Beberapa Pengertian Pangkala. Titik

Titik disajikan dengan huruf kapital A, B, C, ...Contoh : A : Titik A

Antara titik yang satu dgn yg lain memenuhi relasi kongruensi

b. GarisGaris disajikan dengan huruf kecil, misal a, b, g dst.

Perhatikan :

BA

Garis AB atau atau garis g AB

Beberapa Aksioma :Aksioma 1.1 : Setiap garis adalah himpunan titik-titik.Aksioma 1.2 : Untuk sebarang dua titik yang berbeda, terdapat tepat satu garis yang memuat dua titik tersebut.Aksioma 1.3 : Setiap garis memuat paling sedikit dua titik yang berbeda.Aksioma 1.4 : Untuk suatu garis tertentu, minimal ada satu titik yang tidak terletak pada garis tersebut.

g

Definisi :Sebarang himpunan yang memuat paling sedikit dua titik yang merupakan himpunan bagian dari suatu garis disebut himpunan kolinier.Kolinier : Segaris.

3. Relasi UrutanAntara (between) : Relasi teknik yg tidak didefinisiknSuatu titik B yang terletak diantara A dan C disajikan dengan (A, B, C).

Aksioma 1.5 : (A, B, C) Jhj (C, B, A)Aksioma 1.6 : Jika (A, B, C) maka A, B, dan C berbeda dan kolinier.Aksioma 1.7 : Jika A, B, C berbeda dan kolinier maka dipenuhi tepat satu dari sifat berikut : (A, B, C) atau (B, C, A) atau (C, A, B)

Teorema 1.1 : Jika (A, B, C) dan (A, C, D) maka A, B, C, dan D berbeda dan kolinierBukti : Menurut Aks 1.6 bahwa (A, B, C) berarti A, B, C berbeda dan kolinier, demikian juga (A, C, D). Jika D=B maka (A, C, D) menjadi (A, C, B) hal ini kontrakdisi dengan aks 1.7. Akibatnya A, B, C dan D berbeda.Perhatikan Aks 1.2. Terdapat satu grs yang melalui A dan C. Karena B dan D terletak pada garis tersebut maka A, B, C dan D kolinier.

Teorema berikut dapat digunakan sebagai latihan :o Teorema 1.2 : Jika (A, B, C) dan (A, C, D) maka (A, B, C, D)o Teorema 1.3 : Jika (A, B, C) dan (B, C, D) maka (A, B, C, D)

o Teorema 1.4 : a. Jika (A, B, D) dan (A,C,D) dan B C maka (A, B,C) atau (A, C, D).b. Jika (A,B,C) dan (A, B,D) dan C D maka (B, C, D) atau (B, D, C).c. Jika (A, B,C) dan (A,B, D) dan C D maka (A, D, C) atau (A, C, D).

Definisi:Misalkan O dan A dengan (O A) terletak pada garis g .

S 1 : Himp semua titik g yg memuat A dan X sedemikian sehingga (O, X, A) atau (O, A, X) dan S 2 : Himp semua titik X sedemikian sehingga (X, O, A).S 1 dan S 2 disebut setengah garis (half line) dari garis g terhadap O.

Definisi :Jika S 1 dan S 2 saling asing, berlaku :Untuk sebarang titik A pd S 1 dan B pada S 2 terdapat suatu titik dalam S (S = S 1 S 2).Untuk Sebarang dua elemen A dan B dalam himpunan yang sama tidak terdapat dari S yang terletak diantaranya, maka dikatakan S memisahkan S 1 sdan S 2.

4. Segmen garis.Definisi : Ditentukan dua titik A dan B yang berbeda. Himp semua titik X sedemikian sehingga (A, X, B) disebut segmen. Segmen garis AB disajikan

A x B

Segmen AB dengan A dan B sebagai UjungPerhatikan:Segmen AB bersifat terbuka dan kontinu

Teorema 1.5 : A dan B bukan elemen 1.6 : = 1.7 : adalah subset dari 1.8 : Jika = maka A=C dan B=D atau C = B dan A = D1.9 : Ditentukan dan (A, P, B). adalah subset dari

Buktikan teorema 1.11.

ABAB BA

AB

ABAB

CDAB

PBdanAPAB

Bukti :Diketahui dan (A, P, B), berarti P terletak diantaraA dan B.

Adib segmen AP subset dari segmen AB.Misalkan X adalah titik sebarang pada AP. Karena A, P,B kolinier maka x terletak pada segmen AB.

Jadi karena setiap titik pada AP juga terletak padasegmen AB maka segmen AP subset segmen AB.

Dengan Cara yang sama dpt ditunjukkan untuk segmenPB.

AB

5. Aksioma PaschJika A, B, C adalah tiga titik yang berbeda dan tidak kolinier, g adalah sebarang garis yang tidak melalui A, B dan C, dan g memuat satu titik pada segmen AC maka g juga memuat satu titik pada segmen BC atau AB.

Perhatikan : AB g

C

Teorema 1.10 : Jika A, B, C titik yang berbeda dan tidak kolinier, sebarang garis g yang memuat titik pada segmen AB dan AC pastilah tidak memuat titik pada segemen BC.

6. Himpunan Konveks Definisi :

Himpunan S disebut himpunan konveks jika sebarang dua titik P dan Q anggota S maka segmen PQ terletak dalam S.

Contoh : Setiap segmen garis adalah himpunan konveks

A P Q B

7. SinarDefinisi :Sinar adalah himpunan semua titik pada suatu garis yang terletak sepihak dengan O. Atau garis yang ditarik dari sebuah titik kearah titik lain.Contoh :

O

A B Sinar AB atau Titik A disebut pangkal dan arah AB disebut arah sinar.

AB

8. Sudut.Definisi :Ditentukan 2 sinar berbeda yang tidak kolinier, misalkan dengan titik pangkal Y. Union dari dua sinar tersebut bersama titik pangkalnya disebut sudut.

Titik Y disebut titik Sudut dan sinar-sinar tersebut disebut kaki sudut.Penyajian sudut diatas dengan sudut [XYZ] atau sudut [ZYX] Sedang besar sudut dinyatakan dengan XYZ atau Y.

Dlm pemb sudut [XYZ] disajikan dgn XYZSudut dalam (interior) PQR adlh daerah seperti pd gamb berikut. Himpunan S (himpunan titik-2) adalah sudut dalam PQR.

Sudut Luar adalah daerah seperti yang ditunjukkan gb berikut.

a. Putaran (rotasi)

Jika sebuah sinar diputar pada titik pangkalnya (dari posisi AB ke AC) makaterbentuk sudut BAC.Besarnya sudut yang terbentuk tergantung seberapa besar memutar sinarAwalnya.

b. Ukuran Sudut.Besar suatu sudut adalah besar jarak putar kedua sisinya. Untuk menyatakan besar sudut digunakan derajat.Satu putaran ada 360

*) Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90 , *) Sudut lurus adalah sudut yang besarnya 180 .*) Sudut lancip adalah sudut yang besarnya antara 0 dan 90*) Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya antara 90 dan 180 .

Latihan :1. Lukislah sudut 90 , sudut 30 dan 60 hanya denganjangka dan penggaris.

C

BA

c. Sudut berkomplemen yaitu dua sudut yang jumlahnya90

Dari contoh tersebut, Jika sudut a dan b salingkomplemen maka jika besar sudut a= 30 maka sudut b adalah 60.

d. sudut bersuplemen (berpelurus)

AOB dan BOC diktkn saling bersuplemen (berpelurus)

e. Sudut bersisianSudut-sudut yang bersisian adalah dua sudut yangmempunyai titik sudut yang sama dan sebuah sisi yangberimpit yang terletak diantara dua sisi yang lain.

AOB dan BOC adalah saling bersisian.

B

AC O

BA

CO

9. BidangBidang tidak didefinisikan. Bidang dibedakan menjadi dua, yaitu bidang datar dan bidang lengkung.Suatu bidang disajikan dengan huruf kecil u, v, w dan seterusnya atau dengan huruf , , , ...Contoh:

Bidang Datar bidang Lengkung

vw

Beberapa AksiomaAksioma 1.8 :Melalui tiga titik yang berbeda sekurang-kurangnyadapat dibuat satu bidang datar.Aksioma 1.9 :Jika ada 2 titik yang berbeda dan terletak pada bidangdatar maka garis yang melalui dua titik tersebutterletak pada bidang

10. Kedudukan dua garisa. Dua garis berpotonganDefinisi : Dua garis dikatakan berpotongan jika dan hanya jika mempunyai tidak lebih dari satu titik persekutuan.

Perhatikan gb berikut.

Perhatikan Kedudukan sudut P1 dan sudut P3 serta sudut P2 dan sudut P4 saling bertolak belakang.

Teorema:Dua sudut yang bertolak belakang besarnya sama

Bukti:Akan dibuktikan bahwa P1 = P3.Sudut P1 dan P2 saling berpelurus sehingga P1+ P2 = 180Demikian jg sdt P2 dan P3 saling berpelurus shg P2 + P3 = 180Akibatnya P1 + P2 = P2 + P3 shg P1 = P3.Jadi terbuktiDengan cara yang sama dapat dibuktikan P2 = P4

Sudut potong adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis yang berpotongan.

l

g3 1P2

4

SEGITIGADefinisi:Misalkan diberikan 3 titik A, B, C yang tidakkolinier. Himpunan yang merupakan Union darihimpunan yang memuat A, B dan C saja danbersama dengan segmen AB, AC, dan BC disebutsegitiga.