1

BAB 1

METODE FUNDAMENTAL PENCACAHAN

Dalam bab ini diperkenalkan konsep dasar dari permutasi dan kombinasi, serta

perhitungan atau numerasi (pencacahan) menyangkut permutasi maupun kombinasi. Diawali

bab ini dengan dua prinsip utama dalam numerasi.

1.1 Prinsip Dasar dan Pencacahan

Terdapat dua prinsip atau aturan utama dalam pencacahan yaitu aturan

perkalian ( Multiplication Rule ) dan aturan penambahan ( Addition Rule )

1.1.1 Aturan Perkalian ( Multiplication Rule )

Bunyi aturan perkalian :

Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n1 cara, dan setiap kejadian pertama

diikuti oleh kejadian kedua dengan n2 cara, dan setiap kejadian kedua diikuti oleh

kejadian ketiga dengan n3 cara, dan seterusnya, dan setiap kejadian

ke-(p-1) diikuti oleh kejadian ke-p yang terjadi dalam np cara, maka kejadian pertama,

kedua, ketiga, … , ke-p.

Secara bersama-sama terjadi dalam n1 x n2 x n3 x … x np cara.

CONTOH :

1. Berapa macam menu makan siang yang terdiri atas sup, sandwich, desert dan

minuman yang dapat dipilih dari 4 macam sup, 3 jenis sandwich , 5 desert dan 4

minuman ?

Penyelesaian :

Banyaknya cara untuk memilih sup ada 4 cara

Banyaknya cara untuk memilih sandwich ada 3 cara

Banyaknya cara untuk memilih desert ada 5 cara, dan

Banyaknya cara untuk memilih minuman ada 4 cara

Jadi banyaknya macam menu makan siang adalah 4 x 3 x 5 x 4 = 240

2

2. Berapa banyak bilangan 4 digit yang tidak mengandung angka yang berulang ?

Penyelesaian :

Digit pertama ada 10 kemungkinan angka

Digit kedua ada 9 kemungkinan angka

Digit ketiga ada 8 kemungkinan angka

Digit keempat ada 7 kemungkinan angka

Jadi banyaknya bilangan 4 digit yang tidak mengandung angka yang berulang

adalah sebanyak 10 x 9 x 8 x 7 = 4536

SOAL LATIHAN 1.1.2

1. Sebuah sandi-lewat (password) panjangnya 6 sampai 8 karakter.

Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan

sandi-lewat yang dapat dibuat?

2. Bit biner hanya 0 dan 1. Berapa banyak string biner yang dapat dibentuk jika :

a. Panjang string 5 bit

b. Panjang string 8 bit

1.1.2 Aturan Penambahan ( Addition Rule )

Bunyi aturan penambahan :

Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam n1 cara, kejadian kedua secara

terpisah dapat terjadi dalam n2 cara, dan seterusnya, kejadian ke-p secara terpisah

terjadi dalam np cara maka kejadian pertama atau kedua, …, atau kejadian ke-p.

Dapat terjadi dalam n1 + n2 + … + np cara.

CONTOH :

1. Seseorang mahasiswa ingin memebeli sebuah motor. Ia dihadapkan untuk memilih

pada setu jenis dari tiga merek motor, honda 3 pilihan, susuki 2 pilihan, dan

yamaha 2 pilihan. Berapa cara yang dapat dilakukan ?

Penyelesaian :

Dengan demikian, mahasiswa tersebut mempunyai pilihan sebanyak 3+2+2=7

pilihan

3

2. Seorang Guru SMA di daerah, mengajar murid kelas X, kelas XI, dan kelas XII.

Jika jumlah murid kelas X adalah 25 orang dan jumlah murid kelas XI adalah 27

orang serta jumlah murid kelas XII adalah 20 orang. Berapa banyak jumlah murid

yang diajar guru ?

Penyelesaian :

Maka Guru SMA tersebut adalah mengajar 25+27+20= 72 murid

SOAL LATIHAN 1.1.2

1. Dalam Perpustakaan terdapat 10 buku Matematika, 25 buku Statistik dan 5 buku

social. Berapa cara yang dapat dilakukan untuk mengambil 1 buku ?

2. Sekelompok mahasiswa terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita. Berapa cara

memilih 1 orang yang mewakili kelompok tersebut (tidak perduli pria atau wanita)?

1.2 Permutasi

Permutasi adalah penyusunan beberapa objek dari suatu grup dengan

memperhatikan urutan. Didalam permutasi urutan diperhatikan.

Rumus Permutasi : P ( n , r ) = 𝒏!

( 𝒏−𝒓 )! Syarat : n r atau n = r

Notasi : nPr atau P𝑟𝑛

atau P (n, r)

CONTOH :

1. Sebuah dalam tim olahraga ada 10 orang siswa yang dicalonkan untuk menjadi

pemain. Namun hanya 5 orang boleh menjadi pemain utama. Tentukan banyak cara

yang bisa dipakai untuk memilih para pemain utama tersebut?

Penyelesaian:

Diketahui n = 10 dan r = 5

P ( n , r ) = 𝑛!

( 𝑛−𝑟 )!

P ( 10 , 5 ) = 10!

( 10−5 )! =

10!

4! =

10× 9 × 8 × 7× 6× 5 × 4!

4! = 151.200 cara

4

SOAL LATIHAN 1.2

1. Menjelang Pergantian kepengurusan BEM FKIP UHAMKA akan dibentuk panitia

inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada

6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa pasang calon yang dapat duduk

sebagai panitia inti tersebut?

2. Sebuah bilangan 5 angka dibentuk dari angka 1,2,3,4,5,6,7 berapakah banyak

bilangan yang mungkin jika angka-angka dalam bilangan tersebut tidak ada yang

sama?

1.2.1 Permutasi Siklik Biasa

Dapat dikatakan permutasi siklik jika beberapa objek yang dijajar melingkar

(pada suatu lingkaran) dengan memperhatikan arah melingkarnya, misalnya searah

putaran jarum jam.

CONTOH :

1. Ada Empat kubus yang diberi label A, B, C, dan D yang akan dijajar melingkar

searah dengan putaran jarum jam ?

Penyelesaian :

Maka dari 4 objek itu akan didapat enam buah permutasi siklik yaitu, (ABCD),

(ABDC), (ACBD), (ACDB), (ADBC), dan (ADCB). Perhatikanlah bahwa dari

setiap permutasi-4 siklik tersebut terdapat 4 permutasi linear. Sehingga seluruhnya

terdapat 6 × 4 = 24 permutasi linear.

Jika pengulangan tidak diperkenankan, maka hubungan antara banyaknya

permutasi siklik dan banyaknya permutasi linear disajikan dalam teorema berikut.

Teorema 1.1

𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑘 𝑑𝑢𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑏𝑢𝑙𝑎𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓, 𝑚𝑎𝑘𝑎

𝑃 ∗ (𝑛, 𝑘) = 𝑛𝑘; dan 𝑃(𝑛, 𝑘) =𝑛!

𝑛−𝑘, untuk 𝑘 ≤ 𝑛

5

Teorema 1.2

Jika 𝑃𝑆(𝑛, 𝑘) menyatakan banyaknya permutasi-k siklik dari n objek berbeda,

maka

𝑃𝑆(𝑛, 𝑘) =𝑃(𝑛, 𝑘)

𝑘!=

𝑛!

𝑘(𝑛 − 𝑘)!

Khususnya,

𝑃𝑆(𝑛, 𝑛) = (𝑛 − 1)!

Bukti;

Karena dari setiap permutasi-k siklik terdapat k buah permutasi-k linear, maka

berdasarkan aturan perkalian diperoleh

𝑃𝑆(𝑛, 𝑘) × 𝑘 = 𝑃(𝑛, 𝑘)

Ekuivalen dengan

𝑃𝑆(𝑛, 𝑘) × 𝑘 =𝑃(𝑛, 𝑘)

𝑘

Berdasarkan teorema 1.1

diperoleh, 𝑃𝑆(𝑛, 𝑘) =𝑛!

𝑛−𝑘 ; Jika 𝑘 = 𝑛 diperoleh

𝑃𝑆(𝑛, 𝑛) =𝑛!

𝑛. 0!=

𝑛(𝑛 − 1)!

𝑛= (𝑛 − 1)!

Sehingga teorema 1.2 terbukti.

CONTOH :

1. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan

duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut

dapat diatur pada sekeliling meja tersebut ?

Penyelesaian:

𝑃𝑆(𝑛, 𝑘) = (𝑛 − 1)!

𝑃𝑆(10 , 5) = (10 − 1)!

Catatan: Jika arah putaran tidak dibedakan, artinya memutar

searah ataupun berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam

tidak dibedakan, maka permutasi siklik (ABCD) ekuivalen

dengan permutasi siklik (ADBC).

6

= 9!

= 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 362880 cara

2. Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang

anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya

cara yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika:

a. Mereka berpindah-pindah tempat ?

b. Ayah dan ibu selalu berdekatan ?

Penyelesaian:

a. Banyaknya anggota keluarga adalah 5 orang (seorang ayah, seorang ibu, dan 3

orang anak). Sehingga, banyaknya cara yang berlainan saat mereka duduk

berpindah-pindah tempat adalah (5 – 1)! = 4! = 24 cara. Perhatikan gambar

berikut.

b. Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap

satu. Sehingga terdapat 4 objek yang akan disusun secara siklis. Akan tetapi

pasangan ayah dan ibu dapat disusun kembali menjadi 2P2 cara. Sehingga

banyaknya susunan agar ayah dan ibu selalu berdekatan adalah (4 – 1)! × 2P2 =

3! × 2! = 12 cara

SOAL LATIHAN 1.2.1

1. Dalam suatu pesta terdapat 7 orang yang duduk mengelilingi sebuah meja makan

berbentuk lingkaran. Maka ada berapa cara yang mungkin dapat dibuat untuk

menempati posisi yang berlainan?

2. 5 orang direktur suatu perusahaan sedang melakukan pertemuan disebuah restoran

dan mereka menempati meja lingkaran yang tidak jauh dari pintu masuk. Maka ada

berapa cara untuk menyusun kursi para direktur tersebut?

7

3. Tentukan banyaknya permutasi siklik dari 4 unsur!

4. Ada berapa cara jika 8 gelas warna yang mengitari meja bundar, dapat menempati

kedelapan tempat dengan urutan yang berlainan?

5. Dengan berapa cara potongan 6 kue yang berbeda dapat disusun melingkar diatas

sebuah meja?

1.2.2 Permutasi Siklik (PS*)

Jika PS* (n,k) menyatakan banyak permutasi-k siklik dari n objek tanpa

memperhatikan arah putaran, maka : 𝑃𝑆 ∗ (𝑛, 𝑘) =𝑃𝑆(𝑛,𝑘)

2=

𝑛!

2𝑘(𝑛−𝑘)!

Jika arah putaran tidak dibedakan, artinya memutar searah ataupun berlawanan arah

dengan arah putara jarum jam tidak dibedakan, maka permutasi siklik (12345)

ekuivalen dengan permutasi siklik (15432), ditulis permutasi siklik (12345), seperti

terlihat pada diagram berikut :

CONTOH :

1. Terdapat 4 orang, ada berapa susunan duduk. Jika, arah putaran tidak dibedakan ?

Penyelesaian :

4!

2(4)(4−4)!=

4×3×2×1

2×4= 3

SOAL LATIHAN 1.2.2

1. Empat orang siswa masuk perpustakaan sekolah. Mereka membaca di meja

bundar. Berapa cara agar keempat siswa dapat duduk melingkar dengan urutan

yang sama ?

2. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk dapat terjadi jika 8 orang disediakan

4 kursi pada meja bundar dengan arah tempat duduk tidak dibedakan ?

1

5 2

4 3

12345

1

5 2

4 3

15432

8

3. Dari 50 manik-manik berlabel 1, 2, 3, 4, …20 akan dibuat gelang yang terdiri dari

10 manik-manik berbeda. Maka banyaknya gelang yang mungkin terbentuk adalah

…

4. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan

duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut

dapat diatur jika arah putaran tidak dibedakan .

5. Jika kita mempunyai 75 permata , berlebel 1,2,3,4, … 30 dan ingin digunakan 25

permata untuk membuat kalung, maka ada berapa kemungkinan gelang yang dapat

dibuat ?

1.3 Kombinasi

Istilah kombinasi dalam matematika yaitu kombinatorik yang berarti himpunan

objek yang tidak mementingkan urutan. Kombinasi berbeda dengan permutasi yang

mementingkan urutan. Sehingga kombinasi r objek yang dipilih dari n objek adalah

susunan r objek tanpa memperhatikan urutan atau posisi.

Kombinasi biasa dirumuskan dengan: Crn =

n!

r!(n−r)!

Contoh :

1. Dari 40 nomor rekening akan diundi untuk memenangkan 3 hadiah yang sama.

Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk ?

Penyelesaian :

C340 =

40!

3!(40−3)!=

40!

3!37!=

40 . 39 . 38 . 37!

3!37!=

40 . 39 . 38

3 . 2 . 1= 9880

2. Saat akan menjamu Bayern Munchen di Allianz arena, Antonio Conte (Pelatih

Juventus) punya 20 pemain yang akan dipilih 11 diantaranya untuk jadi starter.

Berapa banyak cara pemilihan starter tim juventus? (tidak memperhatikan posisi

pemain).

Penyelesaian :

9

C1120 =

20!

11!(20−11)!=

20!

11!9!=

20 . 19 . 18 . 17 . 16 . 15 . 14 . 13 . 12 . 11!

11!9!

=20 . 19 . 18 . 17 . 16 . 15 . 14 . 13 . 12

9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1= 167.960

3. Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang terletak

segaris adalah ?

Penyelesaian :

Membuat segitiga dengan memilih 3 titik dari 7 titik yang tersedia adalah masalah

kombinasi C(7, 3). Jadi, banyaknya segitiga C(7,3) 7!

3!4!=

7. 6 . 5

3 . 2 . 1= 35

SOAL LATIHAN 1.3

1. Tentukan kombinasi 5 dari 8 huruf yang berbeda missalnya ABCDEFGH ?

2. Bayu membawa 16 pemain saat Persita melawan Persija di GBK Stadium. 11

orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada babak pertama. jika kita tidak

memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara yang dapat diambil oleh

pelatih untuk memilih pemain ?

3. Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan, tetapi soal 1-5 harus di

kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah ?

4. Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka

saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan

yang terjadi ?

5. Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3 putri.

Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara

menyeleksi karyawan!

6. Sebuah kotak berisikan 5 bola merah dan 10 bola putih. Ada berapa cara

mengambil 6 bola sedemikian hingga dari bola-bola yang terambil tersebut

terdapat :

a. Tepat 2 bola merah

b. Paling banyak 2 bola merah

7. Sebuah kantong berisi 6 kelereng putih dan 4 kelereng merah.Dari kantong itu

diambil 3 kelereng sekaligus secara acak.Ada berapa cara pengambilan,jika

kelereng yang diambil adalah:

10

a. 2 kelereng berwarna putih dan 1 kelereng berwarna merah?

b. Ketiganya bebas warnanya?

8. Dalam sebuah ruangan terdapat 15 orang. Jika mereka saling bersalaman maka

berapa banyak salaman yang akan terjadi?

9. Terdapat 5 mawar merah , 10 mawar putih ditoko bunga. Dipilih 4 mawar secara

acak dari toko. Berapa banyak kemungkinan dari :

a. Tepat 2 mawar merah

b. Paling sedikit 3 mawar putih

10. Seorang penjahit akan membeli 3 benang hitam dan 2 benang biru dari seorang

pedagang yang memiliki 6 benang hitam dan 4 benang biru. Dengan berapa cara

penjahit tersebut dapat memilih benang-benang yang di inginkannya?

1.3.1 Kombinasi dengan Pengulangan

Kombinasi dengan pengulangan berukuran r dari n obyek adalah seleksi (pengambilan)

berukuran r dari kumpulan beranggota n obyek dengan urutan tidak diperhatikan dan

pengulangan (pengembalian) dibolehkan.

Teorema : Banyaknya kombinasi dengan pengulangan berukuran r dari n obyek

adalah (𝑛+𝑟−1)!

𝑟!(𝑛−1)!= (

𝑛 + 𝑟 − 1𝑟

) = (𝑛 + 𝑟 − 1

𝑛 − 1)

Untuk memperoleh dari mana bilangan dalam teorema tersebut diperoleh,

berikut ini diberikan contoh sebagai ilustrasi untuk menuju ke suatu generalisasi.

CONTOH :

1. Untuk memenuhi syarat kelulusan, 7 orang mahasiwa yang terancam DO (drop out)

diwajibkan mengambil 1 mata kuliah pilihan yang dipilih dari 4 mata kuliah pilihan

yang ditawarkan: Kriptologi, Teori Pengkodean, Matematika Finansial, dan

Optimisasi Kombinatorial. Ada berapa cara pemilihan 4 mata kuliah oleh ketujuh

mahasiswa yang bersangkutan?

Penyelesaian :

Misalkan K, T, M, dan O menyatakan Kriptologi, Teori Pengkodean, Matematika

Finansial, dan Optimisasi Kombinatorial. Sebagai gambaran, suatu contoh cara

11

pemilihan yang mungkin adalah K dipilih oleh 2 mahasiswa, T oleh 2 mahasiswa,

M oleh 2 mahasiswa, dan O oleh 1 mahasiswa, kemudian dinotasikan dengan

K,K,T,T,M,M,O dan ditulis sebagai xx|xx|xx|x.

Agar lebih jelas beberapa cara pemilihan yang mungkin lainnya diberikan dalam tabel berikut

ini.

Cara pemilihan yang mungkin Ditulis sebagai

K,K,K,K,T,M,O xxxx|x|x|x

K,K,K,K,O,O,O xxxx|||xxx

T,T,M,M,M,M,O |xx|xxxx|x

K,T,T,T,T,T,T x|xxxxxx||

O,O,O,O,O,O,O |||xxxxxxx

K,K,K,T,M,O,O xxx|x|x|xx

M,M,M,M,M,M,M ||xxxxxxx|

Beberapa contoh dalam tabel di atas mengarahkan kita pada suatu kesimpulan bahwa

masalah menentukan jumlah semua cara pemilihan yang mungkin dapat dibawa ke masalah

mencari banyaknya permutasi berukuran 10 dengan 2 jenis, yaitu 7 obyek berjenis "x"dan

tiga obyek berjenis "|". Dengan demikian ada 10!

3!7!= (

107

) cara ketujuh mahasiswa tersebut

memilih 4 mata kuliah yang ditawarkan.

2. Ada berapa cara apabila 13 kelereng yang identik didistribusikan ke dalam 5 lubang yang

berbeda?

Penyelesaian :

Dengan argumen yang sama dengan jawaban Contoh 1 diperoleh jawaban

17!

4! 3!= (

1713

)

3. Tentukan banyaknya semua penyelesaian intejer dari persamaan

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 20 ; dimana xi ≥ 0 untuk setiap 1 ≤ i ≤ 6.

Penyelesaian :

Dengan argumen yang sama dengan jawaban Contoh 1 diperoleh jawaban

12

25!

5! 20!= (

2520

)

SOAL LATIHAN 1.3.1

1. Tulislah semua kombinasi-3 dari {a, b, c, d} sedemikian sehingga pengulangan

diperbolehkan.

2. Jika n adalah bilangan bulat positif, berapa banyaknya (i, j, k) yang mungkin

apabila 1 ≤ i ≤j ≤ k ≤ n?

Perhatikan kisi-kisi berukuran 3 x 4 berikut:

Catatan

Dari ketiga contoh terakhir di atas, kita sampai pada kesimpulan bahwa ketiga pernyataan berikut

adalah ekuivalen:

1. Banyaknya pemilihan berukuran r dari koleksi beranggota n obyek dengan urutan tidak diperhatikan

dan pengulang dibolehkan.

2. Banyaknya solusi intejer dari persamaan x1 + x2 + … + xn = r, dimana xi ≥ 0 untuk setiap 1 ≤ i ≤ n.

3. Banyaknya cara pendistribusian apabila r obyek yang identik didistribusikan ke dalam n wadah

yang berbeda.

13

Jika kita ingin melintas dari titik P (pojok kiri bawah) ke titik Q (pojok kanan

atas) dengan syarat hanya boleh bergerak kekanan (K) dan keatas (A). salah satu

lintasan yang mungkin diperlihatkan oleh lintasan-1. Lintasan ini dapat dinyatakan

dengan barisan KKAKKAA (2 langkah kekanan, dilanjutkan 1 langkah keatas,

dilanjutkan 2 langkah ke kanan dan 2 langkah keatas).

Lintasan yang lain Lintasan-2 yang dapat dinyatakan dengan barisan

AAKKKAK. Perhatikan bahwa dalam setiap barisan terdapat empat K dan tiga A. Dai

setiap barisan yang demikian, diperoleh sebuah lintasan dari P dan Q. Jadi, banyak

lintasan yang mungkin sama dengan banyaknya binair 7 huruf yang memuat empat

huruf K dan tiga huruf A.

Barisan yang dimaksud sama dengan banyaknya cara memilih 4 posisi dari 7

posisi yang ada untuk meletakkan huruf K, yaitu C (7, 4) = C (4+3, 4) = 35. Sama saja

dengan banyak cara memilih 3 posisi dari 7 posisi untuk meletakkan huruf A, yaitu C

(7, 3) = C (4+3, 3) = 35. Dengan demikian terdapat 35 lintasan yang mungkin dari

Titik P ke titik Q pada kisi-kisi tersebut.

Theorema : C* (n, k) = C (n+k-1, k) = C (n+k-1, n-1)

CONTOH :

1. S = {a,b,c}

Penyelesaian :

1. {𝑎, 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑐}|{0,0,0,1,0,1,0}

2. {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐}|{0,0,1,0,0,1,0}

3. {𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑐}|{0,1,0,0,0,1,0} ...

𝑑𝑙𝑙

C*(3, 5) = C (7, 5) = C (7, 2)

C* (n, k) = C (n+k-1, k) = C (n+k-1, n-1)

4.

B

A

3X2

14

Penyelesaian :

C (n+m, n) / C (n+m, m)

C (5, 2) = 5!

3! 2!=

5.4

2=

20

2= 10 Cara

1. KKAAA 6. AAKKA

2. KAAAK 7. AAKAK

3. AAAKK 8. AKAKA

4. AKKAA 9. KAAKA

5. AKAAK 10. KAKAA

RUMUS: Lintasan Cantik pada kisi-kisi n x n:

𝐶 (𝑛 + 𝑛, 𝑛) – 𝐶 (2𝑛, 𝑛 − 1)

𝐶 (2𝑛, 𝑛) – 𝐶 (2𝑛, 𝑛 − 1)

(2𝑛)!

𝑛! 𝑛!=

(2𝑛)!

(𝑛 − 1)! (𝑛 + 1)!

(2𝑛)!

𝑛! 𝑛!=

(2𝑛)!

𝑛!𝑛 (𝑛 + 1)𝑛!

(2𝑛)!

𝑛! 𝑛!=

(2𝑛)! 𝑛

𝑛! 𝑛! (𝑛 + 1)

(2𝑛)!

𝑛! 𝑛!= (1 −

𝑛

𝑛 + 1)

Lintasan Cantik (n x n ) adalah Bilangan Catalan

LINTASAN CANTIK ADALAH SUATU LINTASAN YANG MENYENTUH DAN

DIBAWAH DIAGONAL UTAMA

𝐑𝐔𝐌𝐔𝐒 𝐋𝐈𝐍𝐓𝐀𝐒𝐀𝐍 𝐂𝐀𝐍𝐓𝐈𝐊 (𝐧𝐱𝐦) ⇒ 𝐂(𝐧 + 𝐦, 𝐧 ) 𝐀𝐓𝐀𝐔 𝐂(𝐧 + 𝐦, 𝐧)

15

B

A

A

B

B

A

B

B

Soal Latihan :

1. Berapa banyak lintasan cantik dari A ke B melalui F?

2. Berapakah banyak lintasan cantik dari A ke B melalui C?

Lintasan Tak Cantik

Yang punya lintasan tak cantik hanyalah jika dan hanya jika jumlah baris dan

kolom pada sebuah kotak sama.

𝑙𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑘 = 𝐶(2𝑛,𝑛−1)/𝐶(2𝑛,𝑛+1)

Contoh :

A

1. Berapa banyak lintasan tak cantik dari A ke B

Penyelesaian :

Karena A ke B mempunyai jumlah kolom dan baris sama yaitu 4 maka,

=(2.4)!

4!4!. [1 −

4

5] =

8!

4!4!. [

1

5] =

8.7.6.5

4.3.2.1. [

1

5] = 14 lintasan

Maka lintasan tak cantik dari A ke B adalah sebanyak 14 lintasan

E

F

D C

C

16

D

C

1. Berapa banyak lintasan tak cantik dari C ke D !

Penyelesaian :

Karena lintasan tersebut mempunyai kolom dan baris berbeda maka dari C ke

D tidak mempunyai Lintasan Tak Cantik.

1.4 Koefisien Binominal dan Segitiga Pascal

Pada bagian ini akan diperlihatkan bahwa C(n,k) merupakan koefisien

binomial. Untuk keperluan tersebut, diperlukan teorema berikut, dikenal dengan

formula pascal. Perhatikan bahwa simbol C(n,k) sering di tulis seperti (𝑛𝑘

).

Teorema 1.4 (Teorema Binomial) Jika x dan y adalah variabel dan n adalah

intejer positif, maka

(𝑥 + 𝑦)𝑛 = ∑ (𝑛

𝑖) 𝑥𝑖𝑦𝑛−𝑖

𝑛

𝑖=0

Bukti :

(x + y)n dapat di tulis sebagai perkalian dengan n faktor (x + y): (x + y) (x + y) (x

+ y) (x + y) . . . (x + y). Ekspansi dari perkalian tersebut menghasilkan jumlahan

dengan suku suku bertipe xi yn-i untuk i = 1,2,3...n. banyaknya suku xi yn-i dari

ekspansi tersebut merupakan koefisien dari xi yn-i, yaitu (𝑛𝑖) Bilangan ini diperoleh

dari banyaknya cara memilih i faktor dari n faktor. Akibat dari teorema tersebut

adalah untuk seriap intejer 𝑛 ≥ 1

1. ∑ (𝑛𝑖) = 2𝑛𝑛

𝑖=0

2. ∑ (−1)𝑖(𝑛𝑖) = 0𝑛

𝑖=0

Catatan : substirusikan teorema tersebut dengan:

1. x = 1 dan y = 1

2. x = −1 dan y = 1

Teorema 1.5 untuk sembarang intejer n, r dengan 𝑛 ≥ 𝑟 ≥ 1

(𝑛 + 1

𝑟) = (

𝑛

𝑟) + (

𝑛

𝑟 − 1)

5.

17

Bukti:

Walaupun teorema ini bisa dibuktikan secara aljabar, yaitu dengan menggunakan

defnisi (𝑛𝑟) =

𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)! namun disini pembuktian akan di lakukan secara

kombinatorik.

Misalkan :

𝐴 = {𝑥, 𝑎1, 𝑎2 … 𝑎𝑛}

Banyaknya subhimpunan berkardinal r dari A adalah (𝑛+1𝑟

) Setiap subhimpunan

tersebut hanya ada dua kemungkinan: memuat x atau tidak memuat x. Banyaknya

subhimpunan yang memuat x adalah ( 𝑛𝑟−1

), sedangkan yang tidak memuat x adalah

(𝑛𝑟). Dengan aturan jumlah, kita dapatkan rumusan yang dimaksud.

CONTOH :

1. Tentukan koefisien dari x5y2 di dalam ekspansi (2x – 3y)7

Penyelesaian :

(75) 25(−3)2

SOAL LATIHAN 1.4

1. Tentukanlah koefisien dari x3y2 dalam ekspansi

a. (x + y)12

b. (x + 2y)12

c. (2x – 3y)12

2. Tentukan koefisien dari x2y7 dalam ekspansi

a. (2x – 2y)4

b. (4x – y )2

1.5 Koefisien Multinomial

Teorema binomial memberi formula untuk (𝑥 + 𝑦)𝑛 dengan n merupakan

bilangan bulat positif. Hal ini dapat diperluas ke multinomial (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑘)𝑛.

Berikut akan ditunjukkan bahwa koefisien suku 𝑥1𝑛1, 𝑥2

𝑛2, … , 𝑥𝑘𝑛𝑘 adalah

𝑛!

𝑛1!𝑛2!…𝑛𝑘!

18

Dengan 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 adalah bilangan-bilangan bulat non negatif dan 𝑛1 +

𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘 = 𝑛. Bilangan-bilangan ini disebut multinomial, dan sering

disimbolkan dengan (𝑛

𝑛1 𝑛2 … 𝑛𝑘).

Teorema 1.7 Misalkan n sebuah bilangan positif, maka untuk semua

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘 berlaku (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑘)𝑛 = ∑ (𝑛

𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘) 𝑥1

𝑛1, 𝑥2𝑛2, … , 𝑥𝑘

𝑛𝑘

, dengan sigma mencakup semua kemungkinan bilangan bulat non negatif

𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 yang memenuhi 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘 = 𝑛.

Bukti:

Tulis (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑘)𝑛 sebagai perkalian dari n buah faktor masing-masing

faktor adalah (𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑘). Ekspansi perkalian tersebut ke dalam suku-suku

sehingga tidak ada tanda “kurung” yang tersisa. Karena dari setiap faktor kita dapat

memilih 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑘, maka banyak sukuyang terbentuk adalah kn dan setiap suku

dapat dijajar dalam bentuk 𝑥1𝑛1, 𝑥2

𝑛2, … , 𝑥𝑘𝑛𝑘 dengan 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 bilangan bulat

non negatif yang memenuhi 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘 = 𝑛.

Suku-suku berbentuk 𝑥1𝑛1, 𝑥2

𝑛2, … , 𝑥𝑘𝑛𝑘 dapat diperoleh dengan: memilih 𝑥1

sebanyak 𝑛1 dari n faktor, memilih 𝑥2 sebanyak 𝑛2 dari 𝑛 − 𝑛1 faktor sisanya,

memilih 𝑥3 sebanyak 𝑛3 dari 𝑛 − 𝑛1 − 𝑛2 faktor sisanya,..., memilih 𝑥𝑘 sebanyak

𝑛𝑘 dari 𝑛 − 𝑛1 − 𝑛2 − ⋯ − 𝑛𝑘−1 faktor tersisa. Berdasarkan prinsip perkalian,

banyaknya suku berbentuk adalah

(𝑛𝑛1

) (𝑛 − 𝑛1

𝑛2) (

𝑛 − 𝑛1 − 𝑛2

𝑛3) … (

𝑛 − 𝑛1 − 𝑛2 − ⋯ − 𝑛𝑘−1

𝑛𝑘)

=𝑛!

𝑛1!(𝑛−𝑛1)!×

(𝑛−𝑛1)!

𝑛2!(𝑛−𝑛1−𝑛2)!×

(𝑛−𝑛1−𝑛2)!

𝑛3!(𝑛−𝑛1−𝑛2−𝑛3)!× … ×

(𝑛−𝑛1−𝑛2−⋯−𝑛𝑘−1)!

𝑛𝑘!0!

=𝑛!

𝑛1!𝑛2!…𝑛𝑘!= (

𝑛𝑛1 𝑛2 … 𝑛𝑘

) Dengan demikian teorema terbukti.

CONTOH :

1. Jika (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4)5 dijabarkan, berapakah koefisien dari: (a) 𝑥13𝑥2𝑥4? :

(b) 𝑥1𝑥2𝑥3𝑥42

Penyelesaian:

19

a. (5

3 1 0 1) =

5!

3!1!0!1!= 20

b. (5

1 1 1 2) =

5!

1!1!1!2!= 60

2. Berapakah koefisien dari 𝑥1𝑥23𝑥3𝑥4

2 dalam (𝑥1 − 5𝑥2 + 𝑥3 − 2𝑥4)7?

Penyelesaian:

Koefisien 𝑥1𝑥23𝑥3𝑥4

2 adalah (7

1 3 1 2) (−5)3(−2)2 = −210000

3. Ada berapa cara menempatkan 12 orang mahasiswa ke dalam dua kamar

sedemikian sehingga kamar pertama berisi 4 mahasiswa dan kamar kedua

berisi 8 mahasiswa?

Penyelesaian:

Terdapat C(12:4) cara memilih mahasiswa dari 12 mahasiswa untuk

ditempatkan dalam kamar pertama, dan terdapat C(12-4:8) cara memilih 8

mahasiswa dari 12-4 = 8 mahasiswa yang tersisa. Jadi banyaknya cara yang

dimaksud adalah

C(12;4) × C(8;8) = 12!

4!8!×

8!

8!0!=

12!

4!8!= 495 cara

4. Ada berapa bilangan 5 angka memuat dua angka “3”, satu angka “2”, dan dua

angka “1”?

Penyelesaian:

Banyak bilangan yang dimaksud adalah (5

2 1 2) =

5!

2!1!2!= 30.

5. Ada berapa kata sandi dengan panjang 9 yang dibentuk dari huruf-huruf A, B,

dan C sedemikian sehingga setiap huruf muncul tiga kali dalam setia kata

sandi?

Penyelesaian:

Banyaknya kata sandi yang dapat terbentuk adalah (9

3 3 3) =

9!

3!3!3!= 1680.

SOAL LATIHAN 1.5

1. Jika (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)4 dijabarkan, berapakah koefisien dari 𝑥12𝑥2𝑥3

2 adalah...

2. Berapakah koefisien dari 𝑥12𝑥2𝑥3

3𝑥4 dalam (2𝑥1 + 𝑥2 − 3𝑥3 + 𝑥4)6?

3. Ada berapa cara menyusun kata MATEMATIKA?

20

4. Panitia membeli 14 macam snack, ada berapa cara menempatkan snack tersebut

ke dalam dua kantong plastik sedemikian sehingga kantong pertama berisi 6

snack dan kantong kedua berisi 8 snack?

5. Ada berapa kata sandi yang terbentuk dari 6 huruf memuat dua huruf “L”, dua

huruf “R”, dan dua huruf “A”?

1.6 The Pigeonhole Principle (Prinsip Sarang Merpati)

Pigeonhole Principle atau Prinsip Rumah Merpati pertama kali dinyatakan

oleh ahli matematika dari Jerman yang bernama Johann Peter Gustav Lejeune

Dirichlet pada tahun 1834, sehingga prinsip ini juga dikenal dengan istilah Prinsip

Laci Dirichlet (Dirichlet drawer principle).

a. Prinsip Pigeonhole Bentuk Pertama

Bukti :

Misal, jika n merpati ditempatkan pada m rumah merpati, dimana n > m, maka

terdapat rumah merpati yang memuat paling sedikit dua merpati. Untuk

membuktikan pernyataan Prinsip Pigeonhole ini, kita gunakan kontradiksi.

Misalkan kesimpulan dari pernyataan tersebut salah, sehingga setiap rumah merpati

memuat paling banyak satu merpati. Karena ada m rumah merpati, maka paling

banyak m merpati yang bisa dimuat. Padahal ada n merpati yang tersedia dan n >

m, sehingga kita dapatkan sebuah kontradiksi.

CONTOH :

1. Jika terdapat 11 pemain dalam sebuah tim sepakbola yang menang dengan

angka 12-0.

Penyelesaian :

Maka haruslah terdapat paling sedikit satu pemain dalam tim yang membuat

gol paling sedikit dua kali.

2. Jika anda menghadiri 6 kuliah dalam selang waktu Senin sampai Jumat.

Jika n merpati ditempatkan pada m rumah merpati, dimana n > m , maka terdapat

rumah merpati yang memuat paling sedikit dua merpati.

21

Penyelesaian :

Maka haruslah terdapat paling sedikit satu hari ketika anda menghadiri paling

sedikit dua kelas.

3. Di antara sedkitinya 8 orang, pasti terdapat dua orang yang lahir pada hari yang

sama. Penyelesaian :

Pada contoh ini orang kita anggap sebagai objek dan banyak hari kita anggap

sebagai kotak. Karena terdapat sedikitnya 8 orang dan hanya ada 7 hari, maka

prinsip sarang merpati menjamin bahwa terdapat sedikitnya dua orang yang

lahir pada hari yang sama.

b. Prinsip Pigeonhole Bentuk Kedua

Bukti :

Untuk membuktikan Prinsip Pigeonhole Bentuk Kedua ini kita bisa

mengasumsikan X sebagai himpunan merpati dan Y sebagai himpunan rumah

merpati. Selanjutkan kita memasangkan merpati x ke rumah merpati f(x). Karena

jumlah merpati lebih banyak dari rumahnya, maka terdapat paling sedikit dua

merpati, x1, x2 ∈ X yang dipasangkan ke rumah merpati yang sama, yaitu f(x1) =

f(x2) untuk beberapa x1, x2 ∈ X, dimana x1 ≠ x2.

CONTOH :

1. Dalam membuat kode matakuliah untuk matakuliah-matakuliah bidang studi

informatika adalah dengan cara menambahkan tiga angka pada huruf TIK.

Terdapat 51 matakuliah yang harus diberi kode dan tiga angka yang harus

ditambahkan pada huruf TIK harus berkisar antara 101 sampai dengan 200.

Tunjukkan bahwa terdapat paling sedikit dua matakuliah yang diberi kode

dengan angka berurutan.

Penyelesaian :

Misalkan angka-angka yang dipilih adalah

a1, a2, …, a51

Jika angka-angka diatas digunakan bersama-sama dengan

Jika f merupakan sebuah fungsi dari suatu himpunan terhingga X ke suatu himpunan

terhingga Y dan |X| > |Y |, maka f(x1) = f(x2) untuk beberapa x1, x2 ∈ X, dimana x1 ≠ x2.

22

a1 + 1, a2 + 1, …, a51 + 1, maka terdapat 102 nomor yang merentang antara 101

sampai dengan 201. Karena ada 100 nomor yang disediakan (yaitu 101 sampai

dengan 200) dan ada 102 nomor yang akan digunakan, maka menurut Prinsip

Pigeonhole Bentuk Kedua terdapat paling sedikit dua nomor yang sama. Nomor

a1, a2, …, a51 dan a1 + 1, a2 + 1, …, a51 semuanya berbeda. Sehingga kita

mempunyai

ai = aj + 1. Dengan demikian kode ai berurutan dengan kode aj .

1.6.1 The Generalized Pigeonhole Principle Theorem (Generalisasi Prinsip Sarang

Merpati)

Jumlah dari objek melebihi dari jumlah kotak yang tersedia.

Jika f merupakan sebuah fungsi dari suatu himpunan terhingga X ke suatu

himpunan terhingga Y , dimana |X| = n, |Y | = m dan ⌈n

m⌉= k, maka terdapat paling

sedikit k anggota x1, x2, ..., xk ∈ X sedemikian hingga f(x1) = f(x2) = ... = f(xk).

Bukti :

Untuk membuktikan pernyataan Prinsip Pigeonhole bentuk ketiga ini, kita gunakan

kontradiksi. Misalkan Y = {y1, y2, ..., ym}. Andaikan kesimpulan dari pernyataan

tersebut salah, maka terdapat paling banyak k − 1 anggota x ∈ X dengan f(x) = y1;

terdapat paling banyak k−1 anggota x ∈ X dengan f(x) = y2, dan seterusnya sampai

dengan terdapat paling banyak k − 1 anggota x ∈ X dengan f(x) = ym. Sehingga

terdapat paling banyak m(k − 1) anggota X. Namun demikian m(k − 1) < m . 𝑛

𝑚 = n

yang merupakan sebuah kontradiksi. Oleh karena itu, terdapat paling sedikit k

anggota x1, x2, ..., xk ∈ X sedemikian hingga f(x1) = f(x2) = ... = f(xk).

CONTOH :

1. Ada berapa cara membagikan 10 buku matematika yang identik kepada tiga

orang mahasiswa ?

Penyelesaian :

Jika N obyek ditempatkan ke dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak

yang memuat sedikitnya [N/k] obyek.

23

N = 10, k = 3 . ⌈𝑁

𝑘⌉ = ⌈

10

3⌉ = ⌈3,333⌉= 4 (menggunakan pembulatan ke atas).

Jadi, paling banyak seorang siswa akan mendapatkan 4 buah buku.

SOAL LATIHAN 1.6.1

1. Misalkan terdapat banyak bola merah, bola putih, dan bola biru di dalam

sebuah kotak. Berapa paling sedikit jumlah bola yang diambil dari kotak (tanpa

melihat ke dalam kotak) untuk menjamin bahwa sepasang bola yang berwarna

sama terambi.

2. Misalkan sebuah turnamen basket diikuti oleh n buah tim yang dalam hal ini

setiap tim bertanding dengan setiap tim lainnya dan setiap tim menang paling

sedikit satu kali. Tunjukkan bahwa paling sedikit ada 2 tim yang mempunyai

jumlah kemenangan yang sama.

3. Seperti kasus nomor A. Sekarang, di laci ada 12 kaos kaki hitam, 13 kaos kaki

putih, 20 kaos kaki biru, 5 kaos kaki merah, 1 kaos kaki hijau, dan 1 kaos kaki

kuning. Berapa banyak kaos kaki minimal yang harus diambil agar setidaknya:

a. terdapat 2 kaos kaki yang memiliki warna yang sama

b. terdapat 2 kaos kaki yang memiliki warna yang berbeda.

4. Sebanyak 51 bilangan bulat diambil dari bilangan-bilangan bulat 1, 2, 3, 4, ….,

100. Tunjukkan bahwa diantara bilangan-bilangan yang terambil, terdapat dua

bilangan sedemikian hingga yang satu pembagi yang lain.

5. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Jika lima bilangan bulat diambil dari A,

apakah paling sedikit ada sepasang bilangan bulat yang jumlahnya 9?

6. Dalam matakuliah Matematika Diskrit diberikan tugas kelompok yang akan

dibagi menjadi enam kelompok. Jika terdapat 62 mahasiswa yang menempuh

mata kuliah tersebut, tunjukkan bahwa terdapat paling sedikit ada 11

mahasiswa yang menjadi anggota suatu kelompok yang sama!

7. Jika terdapat 20 sarang merpati dan 41 ekor merpati, ada berapa merpati yang

terdapat pada satu buah sarang?

8. Di antara 50 orang mahasiswa, ada berapa mahasiswa yang lahir pada bulan

yang sama?